¿Cómo se producen las mareas?

Para concluir esta triada de entradas relacionadas con las mareas, hoy hablaré de la explicación física de las propias mareas. Las otras dos publicaciones son El Efecto Marea y los Corales y la duración del día.

La relación entre las aceleraciones de dos sistemas, uno inercial y el otro no inercial, se halla así:

Ahora esquematicemos el sistema Tierra-Luna:

Sea una masa m localizada en la superficie terrestre. Por simplicidad, consideremos que la Tierra no gira sobre su eje y que la hidrosfera recubre toda la superficie del planeta. La masa solo está afectada gravitacionalmente por la Tierra y la Luna, de momento. La segunda ley de Newton sobre esta masa desde el sistema centro de masas nos permite escribir:

 Donde E es el empuje hidrostático y el vector a se refiere al sistema centro de masas.

Como consideramos la masa estática desde el sistema Tierra (despreciamos efecto Coriolis), así como que exista vector rotación ni su primera derivada temporal, en la ecuación deducida de (1) solo nos queda:

Donde el vector radio estrella es el que va desde el CM del sistema Tierra-Luna al centro de la Tierra. Como decíamos, por Newton podíamos escribir:

Siendo el vector F el que compensa a E para que la masa m esté en reposo. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y el centro de masas del sistema es:

 Y aplicando la Ley de la Gravitación de Newton podemos hallar la velocidad angular tal que:

Podemos decir, finalmente, que la fuerza F es:

Si nos fijamos, el primer término es simplemente la atracción terrestre. Teniendo solo en cuenta este primer término, no se producirían las mareas, por lo que el segundo y el tercer miembro de la ecuación son los generadores de mareas. De este modo llamamos f a la fuerza generadora de mareas de forma que:

Un esquema ilustrativo sobre nuestro planeta podría ser el siguiente:

Ahora procedamos a calcular cuál es el tiempo que transcurre entre dos mareas. Aparentemente puede parecer que son 12h, es decir, dos pleamares y dos bajamares diarias, pero mientras gira la Tierra sobre su eje, la Luna ha recorrido un pequeño ángulo de su órbita, variando la posición del centro de masas.

En la figura superior, las mareas altas se producen en la línea que une los centros de la Tierra y la Luna. En un instante inicial, nos encontramos en el punto A'. Queremos hallar el tiempo que transcurre hasta que nos encontremos en A. Como, desde la Tierra, el CM gira a la misma velocidad angular que la Luna, nuestra posición angular respecto al centro de la Tierra y la posición del punto A son, respectivamente,

Resolviendo el sistema obtenemos que el periodo T de las mareas es:

Podemos ver en la siguiente página una Tabla con las mareas de Gran Canaria. Como observamos, hay pequeás variaciones de minutos por las aproximaciones y simplificaciones hechas, además de por no tener en cuenta el liger efecto del Sol.

Para concluir la entrada, os dejo un vídeo ilustrativo que resume un poco todo.

Un saludo!

Los corales y la duración del día terrestre

Existen formas indirectas, como el depósito de sedimentos de un glaciar o las estrías de algunos corales, que nos permiten saber que hace millones de años el día duraba menos que en la actualidad. Hoy nos vamos a centrar en cómo podemos saber, a partir de un coral, que la rotación terrestre se está ralentizando y por qué.

Fósil de Calceola sandalina donde se pueden apreciar estrías de
crecimiento. 

Este coral es un fósil guía del Devónico medio, una etapa del Paleozoico que transcurre entre hace 395 y 385 millones de años.

Cada día, este coral desarrollaba una fina estría debido a las mareas. Las estrías se agrupan en franjas más grandes que corresponden al mes lunar, y estas a su vez se agrupan anualmente. En la especie de coral de la imagen, se han observado unas 400 estrías diarias por cada franja anual, es decir, el año en la época en que vivió el graciar duraba 400 días.

No será necesario considerar el aumento de la duración del periodo de rotación de la Tierra alrededor del Sol. En función de su potencia de radiación, de su masa y de la distancia Tierra-Sol se puede determinar que hace 400 millones de años el "año" era 27 minutos más corto. Como esos "27 minutos" son 13 órdenes de magnitud inferiores a los 400 millones de años, podemos despreciarlos. 

A partir del Principio de conservación del momento angular en el sistema Tierra-Luna (ya que la fuerza gravitatoria no produce momento respecto a la Tierra) y aproximando la órbita de la Luna alrededor de la Tierra como circular, podemos demostrar que una disminución en la velocidad angular de rotación de la Tierra sobre su eje conlleva una disminución (no proporcional) en la velocidad angular de traslación de la Luna en torno a nuestro planeta. Eso significa que la distancia entre ambos astros aumenta con el tiempo, para que se conserve el momento angular.

Podemos expresar la distancia entre la Tierra y la Luna en función de algunos parámetros que hemos utilizado a lo largo de esta entrada.

Luego gracias al número de estrías del coral, podemos saber que el día era más corto hace 400 millones de años, y que la distancia a la Luna era menor.


Hasta la próxima, que probablemente sea ya en verano debido a la PAU.

Un saludo!

Deducción de la Segunda Ley de Kepler

Hará cosa de medio año, en este blog deducimos la Tercera Ley de Kepler, o mejor dicho, la justificamos a partir de la Ley de la Gravitación Universal.

Hoy justificaremos la 2ª Ley de Kepler, que dice así: "Las áreas barridas por un radio vector con origen el Sol y destino un planeta, barren áreas iguales en tiempos iguales". Se verá mejor con una imagen:

Si el tiempo que tarda un planeta en ir desde P1 hasta P2 es el mismo que en ir desde P3 hasta P4, el área A1 será igual al área A2. Pero, ¿por qué ocurre esto?

Johannes Kepler se basó en los datos astronómicos de su coetáneo Tycho Brahe antes de que Isaac Newton estableciese su Ley de la Gravitación Universal. Nosotros vamos a partir de ahí, pero primero definamos algunos términos:

Perigeo: punto de la órbita más cercano al Sol (o al astro en torno al cual se orbite). En el caso de la Tierra, se llama Perihelio.

Apogeo: punto de la órbita mas alejado del Sol. En el caso de la Tierra se llama Afelio.

Velocidad Areolar: el área barrida por el radio vector por unidad de tiempo.

Demostración:

Primero vamos a demostrar esta ley en los casos particulares del apogeo y perigeo. Si consideramos un diferencial de tiempo (dt), el área barrida por el planeta se asemeja a un triángulo de base ds y de altura la distancia al Sol:

Calculemos el área de las zonas rojas (dA) como si fuesen triángulos:

En el caso del perigeo procederemos del mismo modo:

Ahora vamos a calcular el momento de fuerza de la fuerza gravitatoria del Sol al planeta con respecto al propio Sol. Por definición:

Entonces el momento será (modularmente):

El momento también puede escribirse de la siguiente forma:

Deducimos que el momento angular es constante (en dirección, sentido y módulo) a lo largo de toda la trayectoria. El momento angular se define como:

Como hemos dicho que el momento angular es constante, el momento angular en el apogeo será igual al del perigeo:

Finalmente llegamos a que la velocidad areolar en el perigeo es igual a la velocidad areolar en el apogeo:

Para cualquier otro punto de la órbita procedemos igual:

El área (dA):

Y como tanto L como m son constantes, la velocidad areolar también será constante y queda demostrada la Segunda Ley de Kepler.

Puedes leer también la demostración de la Primera Ley de Kepler.

Nos vemos en la próxima entrada!

La expansión del Universo

En las primeras décadas del siglo XX ya se conocían muy bien los espectros de emisión de los diferentes elementos. Un espectro de emisión es el conjunto de longitudes de onda que emite un elemento cuando uno de sus electrones disminuye de orbital, tal y como podéis recordar en mi entrada sobre las Auroras Polares.

Podemos imaginar que un electrón de un átomo es un libro. Podemos subirlo de estante o bajarlo, y al hacerlo, emite o absorbe energía. Un ejemplo son los fuegos artificiales de colores, hechos con elementos cuyos espectros se corresponden con los colores de la pirotecnia.

El color verde se consigue gracias al Bario

En esta página encontraréis los espectros de todos los elementos de la tabla periódica.

Como el Sol está formado por diversos elementos, si descomponemos su luz en colores podremos obtener en qué longitudes emite y por tanto sus elementos constituyentes, ya que cada elemento emite unas longitudes de onda correspondientes y bien definidas, tal y como establece el modelo atómico de Bohr.

Lo que hizo Edwin Hubble en la primera mitad del siglo XX es comparar el espectro del Sol (el Sol ni se aleja ni se acerca de nosotros) con el de un tipo especial de estrellas llamadas cefeidas. Estas estrellas tienen un brillo característico y regular, como un faro. Si conocemos su brillo, podemos saber la distancia a la que se encuentra, porque cuanto más lejos esté, menos brillará. 

La luz que emite el Sol es la de la izquierda, y la de una cefeida, la de la derecha. Se puede observar que las líneas negras están más hacia arriba en la cefeida que en el Sol, el conocido corrimiento al rojo. Esto, tal y como vimos en la entrada del Efecto Doppler, significa que esa cefeida se aleja de nosotros, al igual que la galaxia que la contiene. Como se aleja, las ondas que nos llegan de ella cada vez recorren más espacio, lo que se traduce como un aumento de la longitud de onda, que es lo que vemos comparando los espectros.

Hubble comparó el espectro de muchas cefeidas con el del Sol, y desarrolló la famosa ley de Hubble. Esta ley dice que cuanto más lejos está una galaxia, más rápidamente se aleja de nosotros. La desarrolló viendo cómo cambiaban los espectros entre unas cefeidas más cercanas y otras más lejanas, ya que el grado de corrimiento al rojo es proporcional a la distancia que nos separa de la cefeida.

En términos matemáticos, la ley dice que D = v/H, donde D es la distancia, v la velocidad de alejamiento y H es la constante de Hubble (H = 2,5·10E-18 Hz). Esa fórmula implica que cuanto más lejos está la galaxia, más rápido se aleja.

Y lo más importante es que todas las galaxias se alejan las unas de las otras entre sí, igual que los puntitos del globo de la imagen de abajo cuando la niña lo infla:

Cuando Hubble descubrió que el Universo se expandía aceleradamente, surgieron bastantes cuestiones: ¿Qué hace que se expanda? Y si cada vez es más grande, antes debió ser más pequeño. ¿Qué hubo al principio? ¿Cómo será el fin de nuestro Universo? 

Todas estas cuestiones las intentan responder los físicos cada día en laboratorios, aceleradores de partículas como el CERN o mediante la física teórica. Hablaremos de ellos en entradas posteriores. 

Para conocer más sobre cómo sabemos que el Universo está expansión, visita la entrada del Efecto Doppler Relativista.

Un saludo!

Deducción de la Tercera Ley de Kepler

A comienzos del siglo XVII, Johannes Kepler elaboró tres leyes que se cumplían en todos los planetas del Sistema Solar. Para ello se valió de los datos cedidos por su amigo el astrónomo Brahe y sus grandes dotes matemáticas. Las tres leyes son las siguientes:

1. Las órbitas de los planetas son planas y elípticas, con el Sol en uno de sus focos.

2. El vector posición que une el Sol con cada planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, debido al principio de conservación del momento angular.

3. Hay una relación de proporcionalidad entre el cuadrado del periodo de traslación y el cubo de la distancia media de cada planeta al Sol.

Nos vamos a centrar en la tercera ley y a intentar deducirla:

La fuerza de atracción del Sol debe ser igual a la fuerza centrífuga, para mantener a cada planeta en un órbita estable. Vamos a deducir la tercera ley de Kepler a partir de esta afirmación.

Igualando fuerza gravitatoria a fuerza centrífuga:

Recordemos la Tercera Ley de Kepler:

Por semejanza a la fórmula anterior, hallamos k en unidades del SI:

Esa constante (en segundos al cuadrado/metros cúbicos) es común a todos los cuerpos que orbiten en torno a otro. Para calcularla solo tenemos que despejar las constantes. G es la constante de la gravitación universal y Ms es la masa del Sol (en este caso).

Vamos a intentar hallar la constante de la gravitación universal según la fórmula que hemos obtenido, para observar que es correcta:

Y efectivamente, funciona.

En la entrada sobre ¿Cómo descubrieron Neptuno? puedes ver una aplicación práctica de lo comentado en la entrada de hoy.

Si quieres leer la demostración de la Segunda Ley de Kepler, clic aquí.

Si quieres echar un vistazo a la primera ley de Kepler, clic aquí.

Nos vemos en la siguiente entrada. 

Un saludo muy fuerte.

¿Cómo descubrieron Neptuno?

Una vez que sir Isaac Newton encontró su famosa Ley de la Gravitación Universal, se pensaba que todo en el universo se comportaría de forma predecible y que tantos los planetas como todos los astros seguían trayectorias lógicas y que se deducían a partir de las leyes de Kepler y Newton.

El Universo se contemplaba como una enorme máquina de relojería, y tenían la visión de Dios como un implacable matemático diseñador de tal obra. Nacería así el determinismo científico, teoría filosófica que básicamente niega la existencia de la libertad. Se pensaba que todo en el Universo era entendible según esas leyes que ya se poseían, y por tanto la conducta humana era también predecible, pero mucho más compleja.

Pierre Simon Laplace postularía su tesis del Demonio de Laplace, un hipotético demonio capaz de conocer la posición y momento de todas las partículas del universo. Así, podría calcular sus posiciones y momentos en cualquier otro momento. 

Conociendo las distancias interplanetarias y las masas de cada planeta, podríamos calcular la velocidad de traslación de cada astro de nuestro Sistema Solar simplemente igualando la fuerza centrífuga (hacia fuera) de cada planeta debido al movimiento elíptico que describen con la atracción del Sol. Por ejemplo, si yo describo una rotonda en coche, para que el vehículo no vuelque en la curva, la fuerza de rozamiento del suelo debe ser igual a la fuerza centrífuga. Lo mismo ocurre con los planetas.

La fuerza centrífuga, para que la Tierra no salga despedida, es igual a la atracción gravitatoria del Sol

Efectivamente, la fuerza centrífuga tiene un valor muy parecido al de la atracción gravitatoria. Recordemos que la órbita es una elipse, no una circunferencia.

Aplicando esta definición planeta por planeta, comprobaron que la Ley de la Gravitación de Newton se ajustaba perfectamente a las predicciones, excepto en Urano. La órbita de Urano presentaba ciertas perturbaciones, y comenzó una desconfianza en la teoría de Newton, que parecía estar fallando.

En la década de 1840, John Couch Adams y Urbain le Verrier tuvieron la siguiente idea: puede que exista un cuerpo, más allá de la órbita de Urano, que por interacción gravitatoria desvíe la trayectoria de este último. De ser así, podríamos encontrarnos frente al octavo planeta del Sistema Solar.

Urbain le Verrier

Manos a la obra. De manera independiente trabajaron intentando hallar la masa, posición, tamaño y distancia de ese hipotético planeta. En 1846 concluyeron sus cálculos, prediciendo las coordenadas donde se encontraría la noche del 23 de septiembre de 1846. Efectivamente, ese día fue observado Neptuno, el primer planeta que anteriormente se había descubierto matemáticamente.

Neptuno

Pero aquí no acaba la cosa: Urano no era el único planeta que presentaba anomalías en su órbita. También era conocido el caso de la desviación del perihelio de Mercurio. Se atribuía a una mala medida, pero le Verrier volvió a plantear el mismo argumento que aplicó en el caso de Urano. Pensó que alomejor podría existir un planeta entre el Sol y Mercurio, al que bautizó como Vulcano, que desviase también su órbita. En este caso, se equivocó. La órbita de Mercurio, efectivamente, no encajaba dentro de la Teoría de Newton. Tuvo que ser en 1915 cuando Einstein encontrase la solución.

Debido a la enorme masa solar y el campo gravitatorio que genera, es necesario tener en cuenta los factores relativistas de la Teoría de la Relatividad General de Einstein, ya que la de Newton no es válida en esos casos. Uno de los hitos de la teoría de Einstein fue esa, explicar las anomalías de la órbita de Mercurio (entre multitud de fenómenos que predicen sus ecuaciones). También fue demostrada experimentalmente durante el famoso eclipse de 1919, donde se comprobó que la luz de estrellas situadas detrás del Sol se curvaba al pasar cerca suyo. La luz, aunque no tenga masa, posee un momento lineal asociado a su frecuencia, por lo que también deforma el espacio-tiempo y puede ser desviada.

Y así es como se descubrió un planeta gracias a la valiosísima herramienta que son las matemáticas. Hoy en día se descubren planetas de esta manera, al igual que los agujeros negros se encuentran observando cómo se comporta la materia a su alrededor. Otro método de detectar planetas es estudiar los cambios de brillo de estrellas cuando el planeta pasa por delante.

Visita la entrada Deducción de la Tercera Ley de Kepler.

Espero que os haya gustado esta entrada. Compartidla y comentar.
Un saludo,
Gabriel.

Eclipses Lunares

Como muchos ya sabrán, y más si aman el mundo de la astronomía, durante los próximos meses sucederán 4 eclipses lunares, lo que se conoce como tétrada. Aprovechando la ocasión, he decidido escribir una entrada sobre los eclipses lunares.

¿Cuándo y cómo se produce un eclipse lunar?

Un eclipse de Luna se produce cuando el Sol, la Tierra y la Luna se alinean en ese orden. Para que ocurra, nuestro satélite debe estar en fase de Luna Llena. Debido al mayor tamaño de la Tierra con respecto de la Luna, nuestro planeta "hace sombra" a nuestro satélite, bloqueando los rayos solares y produciéndose el eclipse, como vemos en esta imagen:

Esquema de un eclipse lunar

Según observamos en la imagen, se crean dos zonas de sombra: la zona de "penumbra", donde solo llegan algunos rayos solares; y la zona de "umbra", donde la oscuridad es total ya que la Tierra bloquea la luz solar. Dependiendo de la zona en la que se encuentre la Luna durante el eclipse, clasificamos estos de tres maneras:

• Eclipse Penumbral, en el que la Luna atraviesa la zona de penumbra.
• Eclipse Parcial, en el que nuestro satélite pasa por las dos zonas.
• Eclipse Total, en el que la Luna se encuentra en su totalidad en la zona de umbra.

Así, desde la superficie de la Tierra, podemos ver dos zonas: La zona más roja de la imagen coincide con el lugar donde podemos observar la umbra, y por tanto el eclipse es total. La zona menos roja corresponde con la penumbra, donde el eclipse es parcial o penumbral, y la zona no teñida de rojo son los puntos donde el eclipse no es observable. En la imagen superior, el eclipse total es visible desde el océano Pacífico y la zona oeste del continente americano. En los límites del eclipse (en este caso China, Francia...) podríamos ver la Luna poniéndose por el horizonte mientras sale el Sol por el lado contrario.

Así evoluciona la Luna durante un eclipse:

El momento en el que la luna se encuentra en tonos rojizos corresponde cuando atraviesa la zona de umbra, y cuando la luna adquiere tonos grises significa que se encuentra en la zona penumbral. 

Desde la Tierra, la zona de umbra y penumbra ocupan un lugar en el espacio semejante al de la siguiente imagen:

Si durante un eclipse la Luna se encuentra en la umbra, el eclipse es total y la luna se tiñe de rojo. Si se encuentra en la Penumbra, el eclipse es parcial o penumbral y se tiñe de gris.

Ahora que ya tenemos una mayor noción sobre los eclipses de Luna, pasaremos a entender por qué la Luna se colorea de rojo durante un eclipse.

¿Por qué durante el eclipse vemos la Luna roja?

La razón, una vez más, se debe a la refracción de la luz. En varias entradas he explicado la refracción, como en La radiación de Cherenkov o en ¿Por qué el cielo es azul?

La luz cambia de velocidad al pasar de unos medios transparentes a otros. Como consecuencia de ese cambio de velocidad, se produce una curvatura de los rayos luminosos, tal como vemos en la imagen inferior:

Ese grado de curvatura aumenta con la frecuencia. Vemos que los rayos más desviados (azul, violeta...) son aquellos con frecuencias más altas. Como c=λv, siendo c la velocidad de la luz en el vacío, λ la longitud de onda y v la frecuencia, a mayor frecuencia la longitud de onda es menor. De esta manera obtenemos que la luz que menos se curva es la que tiene mayor longitud de onda.

La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todas las longitudes de onda, pero en otros medios transparentes esto no es así. Los colores con una longitud grande (rojo) reducen menos la velocidad que los que poseen longitudes más pequeñas (azul). Entonces el índice de refracción del color azul es mayor que el índice de refracción de la luz roja. De este modo, el azul se desviará más que el rojo al pasar de un medio a otro, como veíamos en la imagen de arriba.

Los rayos solares se refractan al pasar por la atmósfera. Como podemos ver en la imagen, los rayos rojos se curvan menos que los azules (y que el resto). De este modo, durante un eclipse lunar, la única luz que puede llegar a la Luna es la roja, que se refleja y nosotros observamos.

Esta es la explicación de por qué durante los eclipses lunares vemos la luna de color rojizo.

El próximo eclipse Lunar tendrá lugar el 15 de abril de 2014, a las 7:48 UTC. El siguiente el 8 de octubre de 2014 a las 10:54 UTC. Ambos son eclipses totales, que podrás ver online y en directo gracias al Proyecto Europeo Gloria, liderado por un astrónomo del Instituto Astrofísico de Canarias. El enlace a la página es el siguiente: http://live.gloria-project.eu/. También podrás verlo desde aquí: Eclipse en Vivo

Para unite a una videoconferencia en directo desde California, clic aquí: Hangouts Lunar Eclipse Live.

Para ver el eclipse desde la página de la NASA: Watch the Total Lunar Eclipse

Espero que hayan disfrutado leyendo esta entrada, y que disfruten más aún con los eclipses que nos aguardan. Un saludo y hasta la próxima!