Slingshot, gravity assist o swing-by

Con estos términos nos referimos al hecho de aprovechar el tirón gravitatorio de un cuerpo celeste para modificar la trayectoria de una sonda espacial, e incluso para acelerarla.

Recientemente, esta técnica ha sido utilizada por la misión que hace poco visitó Plutón, y por ello hoy quería dedicar esta entrada para explicar, desde un ejemplo, su funcionamiento.

Sea un satélite de masa m lanzado desde la Tierra con una velocidad suficiente como para abandonar el campo gravitatorio solar. Alcanza la órbita de Júpiter perpendicularmente a una distancia b del astro y es capaz de desviarse un ángulo de 90º. Vamos a calcular cuánta energía gana nuestra nave.

Si el satélite tiene suficiente energía como para escapar del campo solar, es porque su energía en el infinito es nula, y por el Principio de Conservación de la Energía, su energía cuando se encuentra a una distancia cualquiera del Sol también será nula.

Sea r el radio orbital de Júpiter en el momento en que es alcanzado por la nave. Podemos decir que:

donde Vs representa la velocidad del satélite respecto del Sol y Mj la masa de Júpiter.

La velocidad desde el sistema de referencia de Júpiter lógicamente será

donde Vj representa la velocidad orbital de Júpiter.

Si durante el encuentro b es constante, debido a que el campo es central, se conservará el momento angular con respecto a Júpiter, por lo que de forma más o menos trivial observamos que la velocidad final Vf del satélite en el sistema de referencia del Sol es:

Por tanto, la energía cinética ganada por unidad de masa del satélite será de:

Lo que evidentemente supone enormes ventajas en el ahorro de combustible.

Un saludo y hasta la próxima publicación. No olviden comentar y compartir.

Deducción de la 1ª Ley de Kepler

En entradas anteriores hemos hablado de las Tres Leyes de Kepler, como puedes leer en Deducción de la Tercera Ley de Kepler y Deducción de la Segunda Ley de Kepler.

En la entrada de hoy vamos a deducir la Primera Ley de Kepler, que dice así: "Los planetas describen órbitas elípticas planas en torno al Sol, situado en uno de sus focos". Para ello tendremos que saber por qué son órbitas planas y por qué son elípticas.

Para demostrar que son planas vamos a partir de un concepto ya mencionado en la Deducción de la Segunda Ley de Kepler: el momento angular es constante en toda la órbita.

Al ser L (vector) constante, también lo serán r (vector) y el momento lineal (vector), r y p estarán siempre en el mismo plano, y por eso las órbitas son planas. Queda demostrar que la curva que describen los planetas es una elipse:

Imaginemos que se trata de una órbita desconocida, y que nuestro objetivo es hallar la ecuación de la misma:

A partir de esas definiciones vamos a intentar sacar la ecuación buscada.

Partiendo también de la definición de energía mecánica y despejando la velocidad normal:

Hacemos el siguiente cambio de variable:

Con lo que llegamos a la ecuación de una elipse en forma polar, cuya excentricidad depende de C y B, y estos a su vez de G, M, m, L y Em.

Una vez demostrada la Primera Ley de Kepler, hemos acabado con este conjunto de entradas sobre las Leyes de Kepler.

Un saludo! Hasta la próxima y FELIZ NAVIDAD!

Deducción de la Segunda Ley de Kepler

Hará cosa de medio año, en este blog deducimos la Tercera Ley de Kepler, o mejor dicho, la justificamos a partir de la Ley de la Gravitación Universal.

Hoy justificaremos la 2ª Ley de Kepler, que dice así: "Las áreas barridas por un radio vector con origen el Sol y destino un planeta, barren áreas iguales en tiempos iguales". Se verá mejor con una imagen:

Si el tiempo que tarda un planeta en ir desde P1 hasta P2 es el mismo que en ir desde P3 hasta P4, el área A1 será igual al área A2. Pero, ¿por qué ocurre esto?

Johannes Kepler se basó en los datos astronómicos de su coetáneo Tycho Brahe antes de que Isaac Newton estableciese su Ley de la Gravitación Universal. Nosotros vamos a partir de ahí, pero primero definamos algunos términos:

Perigeo: punto de la órbita más cercano al Sol (o al astro en torno al cual se orbite). En el caso de la Tierra, se llama Perihelio.

Apogeo: punto de la órbita mas alejado del Sol. En el caso de la Tierra se llama Afelio.

Velocidad Areolar: el área barrida por el radio vector por unidad de tiempo.

Demostración:

Primero vamos a demostrar esta ley en los casos particulares del apogeo y perigeo. Si consideramos un diferencial de tiempo (dt), el área barrida por el planeta se asemeja a un triángulo de base ds y de altura la distancia al Sol:

Calculemos el área de las zonas rojas (dA) como si fuesen triángulos:

En el caso del perigeo procederemos del mismo modo:

Ahora vamos a calcular el momento de fuerza de la fuerza gravitatoria del Sol al planeta con respecto al propio Sol. Por definición:

Entonces el momento será (modularmente):

El momento también puede escribirse de la siguiente forma:

Deducimos que el momento angular es constante (en dirección, sentido y módulo) a lo largo de toda la trayectoria. El momento angular se define como:

Como hemos dicho que el momento angular es constante, el momento angular en el apogeo será igual al del perigeo:

Finalmente llegamos a que la velocidad areolar en el perigeo es igual a la velocidad areolar en el apogeo:

Para cualquier otro punto de la órbita procedemos igual:

El área (dA):

Y como tanto L como m son constantes, la velocidad areolar también será constante y queda demostrada la Segunda Ley de Kepler.

Puedes leer también la demostración de la Primera Ley de Kepler.

Nos vemos en la próxima entrada!

Los puntos de Lagrange

Los puntos de Lagrange, descubiertos por Joseph-Louis Lagrange en el siglo XVIII, son lugares entre dos cuerpos masivos donde un tercer cuerpo de masa despreciable está en estabilidad gravitacional. En la práctica, son lugares del espacio donde podemos colocar satélites o sondas ya que las fuerzas gravitacionales en ese punto se anulan, lo que le otorga gran estabilidad a ese tercer cuerpo. En el sistema de rotación Tierra-Sol, como en general, existen 5. Veámoslos:

Puntos de Lagrange.

L1

En este punto, la atracción gravitatoria del Sol es compensada por la atracción terrestre. Se calcula facilmente igualando las dos fuerzas gravitatorias opuestas:

Atracción Gravitatoria del Sol = Atracción Gravitatoria de la Tierra

Distancia Tierra-Sol = 150.000.000 Km

A partir de esos datos y conociendo las masas de los dos cuerpos, halamos que L1 se encuentra a 1.500.000 km de la superficie terrestre. Orbita a la misma velocidad angular que la Tierra, conque aparentemente está fijo. La fuerza de la gravedad que lo atrae hacia el Sol se anula con la que lo atrae hacia nosotros.

Aquí encontramos los satélites SOHO y ACE, entre otros.

L2

Este punto se encuentra en dirección opuesta al anterior, detrás de la Tierra. Describe su órbita a la misma velocidad angular que la Tierra, pero con un radio mayor. Si no fuese por la atracción terrestre que contrarrestra a esa fuerza centrífuga, los satélites allí alojados saldrían disparados. Se encuentran aparentemente estáticos desde el punto de vista de un observador en la Tierra.

Aquí encontramos al famoso WMAP, satélite que estudia el fondo de microondas cósmico.

L3

L3 se encuentra a una distancia parecida a la Tierra del Sol, pero en sentido opuesto. Gira en torno al centro de gravedad entre la tierra el Sol (que no es exactamente el propio Sol, si no un punto cercano a la superficie solar que es el centro de masas entre la Tierra y el Sol), y por tanto está un poco más cerca del Sol que la Tierra.

En la práctica es un lugar muy inestable, porque Venus pasa relativamente cerca suyo cada 20 meses aproximadamente. No es práctico la colocación de sondas allí. 

L4 y L5

Estos dos últimos puntos, los más estables, se encuentran orbitando en torno al baricentro de las masas de los dos cuerpos grandes. Forman un triángulo equilátero con ángulos de 60º con respecto a ellos. En el caso del resto de los puntos, cualquier mínima desviación puede ser catastrófica. Sin embargo, L4 y L5 son matemáticamente y físicamente más estables. Si te interesa la demostración matemática donde se deducen estos puntos, clic aquí. Colocar un satélite en L1, L2 o L3 es como colocar una canica encima de una bola de billar, son necesarios continuos reajustes para perfeccionar su órbita. En cambio, en L4 y L5, es como colocar la canica en un cenicero: mucho más estable.

Puntos de Lagrange entre la Tierra y el Sol

Un saludo, espero que os haya gustado esta entrada. Compartidla y dejad en los comentarios de qué queréis que hable la semana que viene.

Nos vemos en la próxima, saludos!