El efecto marea

Como ya mencionamos hace cierto tiempo en la entrada sobre la relación entre los corales y la duración del día terrestre, el período de rotación terrestre está aumentando, es decir, la Tierra se está frenando. Debido a ello, la Luna se aleja de la Tierra. ¿Pero por qué sucede todo esto? La respuesta la encontramos en el llamado "Efecto Marea", que trataremos de analizar en la entrada de hoy.

Partimos de que el momento angular del sistema Tierra-Luna se conserva. Trataremos a la Luna como una masa puntual y despreciaremos el momento de inercia de la Tierra respecto de su eje sobre el de la Luna alrededor de la Tierra. Consideraremos, por simplicidad, que el centro de masas del sistema coincide con el centro de la Tierra.

Las llamadas fuerzas de marea generan un torque que tiende a igualar la velocidad angular de rotación terrestre con la translación de la Luna en torno a nuestro planeta, de modo que en ese momento nuestro satélite se encontrará, aparentemente, en la misma posición en el firmamento.

La conservación del momento angular nos permite escribir que

Calculando el momento de inercia lunar y terrestre, encontramos que el de la Luna es tres órdenes de magnitud superior al de la Tierra, por lo que podemos decir que

En el momento en que los períodos se igualen, se cumplirá la ecuación

que aparece tras igualar la aceleración gravitatoria a la centrípeta.

Teniendo en cuenta el momento angular del sistema, es fácil ver que

lo que implica que la distancia final entre la Tierra y la Luna es 1,4 veces la actual.

Asimismo, la velocidad angular final del sistema vendrá dada por

que se corresponde con un período de unos 46 días actuales.

¿Cuánto se separa la Luna de la Tierra cada año?

Para ello tendremos que hacer un esquema ilustrativo de las fuerzas de marea que actúan sobre la Tierra. En la entrada de hoy despreciaremos la interacción con el Sol. Podríamos considerar el sistema Tierra-Luna de la forma:

Ahora calcularemos las fuerzas que ejerce la Luna sobre cada una de los dos masas. Llamaremos F1 a la fuerza sobre la masa más próxima y F2 a la más lejana. Utilizando la Ley de la Gravitación de Newton y el Teorema del coseno, llegamos a que:

Y por consiguiente, el torque generado por el par de fuerzas sobre la Luna será:

Pero como esto es un blog de Física y a los físicos no les gustan fórmulas tan grandes y feas, vamos a embellecerla un poco. Para ello tenemos en cuenta que D >> r, y tras una serie de cálculos y aproximaciones, llegamos a:

Que es infinítamente más sencilla, totalmente válida y más bonita. Para obtenerla hemos empleado el Teorema del seno además de las simplificaciones anteriormente mencionadas.

Sabemos también que el torque no es más que la primera derivada temporal del momento angular, y aproximando la órbita lunar a una circunferencia:

Introduciendo (1) en (2):

Y finalmente integrando:

Lo que, según la tasa actual de separación, implica que la Luna y la Tierra se alejan 3,4 cm cada año. Esa tasa se va frenando hasta el punto en que, cuando la variación de momento angular de la Luna se anule, sea cero. En ese instante desaparecerán las fuerzas de marea y la Tierra rotará a la misma velocidad a la que la Luna orbita nuestro planeta. Ambos periodos serán de 46 días.

Finalmente, hay que tener en cuenta que la energía del sistema se pierde debido a la viscosidad del agua en forma de calor. Una buena aproximación es que un 10% de la energía de subida del nivel del mar en una marea se disipa. Sabiendo aprovechar esta pérdida, podríamos producir en un año el equivalente a 10 mil millones de barriles de petróleo, la tercera parte de la energía consumida anualmente a nivel planetario. Yo creo que es una buena excusa para invertir en este tipo de energías.

Si quieres avanzar más y saber cómo se producen las mareas, haz clic aquí.

¡Un saludo y hasta la próxima!

Efecto Compton

Uno de los conceptos que más tiempo lleva dando vueltas en la cabeza del ser humano es la luz. A lo largo de la historia, físicos de todo el mundo han ido escribiendo obras sobre la naturaleza de la luz. Diferentes experimentos como el de la doble rendija (Thomas Young, 1801) demostraron que la luz se comportaba como una onda. Incluso Maxwell demostró que la luz era una onda electromagnética.

Pero a principios del siglo XX, la hipótesis corpuscular recobró importancia gracias al efecto fotoeléctrico y al efecto Compton. En la entrada de hoy trataremos éste último.

Arthur H. Compton utilizó el concepto de fotón para explicar la dispersión de los rayos X en 1923. De acuerdo con la teoría ondulatoria, cuando un haz de una determinada frecuencia alcanza un electrón, éste comenzará a vibrar y emitirá nuevas ondas de la misma frecuencia. Pero experimentalmente se demostraba que la frecuencia de las nuevas ondas era menor.

Compton escribiendo la ecuación que lleva su nombre

Compton partió de la expresión relativista de la energía de un fotón de momento p y de la Ley de Planck:

Ahora consideremos el choque entre un fotón y un electrón como se muestra en la figura inferior:

Teniendo en cuenta la conservación del momento lineal en dicho choque, así como de la conservación de la energía.

El 1 denota al rayo incidente, la e al electrón y el 2 al rayo dispersado

Sustituyendo la expresión (1) en (2), podemos obtener la Ecuación de Compton de forma trivial:

De la ecuación resultante se deduce que el fotón dispersado tiene mayor longitud de onda debido a la energía que ha perdido en el choque. Esto demuestra que la luz se comporta como una partícula cuando interacciona con los electrones, es decir, como un cuanto o fotón.

Los corales y la duración del día terrestre

Existen formas indirectas, como el depósito de sedimentos de un glaciar o las estrías de algunos corales, que nos permiten saber que hace millones de años el día duraba menos que en la actualidad. Hoy nos vamos a centrar en cómo podemos saber, a partir de un coral, que la rotación terrestre se está ralentizando y por qué.

Fósil de Calceola sandalina donde se pueden apreciar estrías de
crecimiento. 

Este coral es un fósil guía del Devónico medio, una etapa del Paleozoico que transcurre entre hace 395 y 385 millones de años.

Cada día, este coral desarrollaba una fina estría debido a las mareas. Las estrías se agrupan en franjas más grandes que corresponden al mes lunar, y estas a su vez se agrupan anualmente. En la especie de coral de la imagen, se han observado unas 400 estrías diarias por cada franja anual, es decir, el año en la época en que vivió el graciar duraba 400 días.

No será necesario considerar el aumento de la duración del periodo de rotación de la Tierra alrededor del Sol. En función de su potencia de radiación, de su masa y de la distancia Tierra-Sol se puede determinar que hace 400 millones de años el "año" era 27 minutos más corto. Como esos "27 minutos" son 13 órdenes de magnitud inferiores a los 400 millones de años, podemos despreciarlos. 

A partir del Principio de conservación del momento angular en el sistema Tierra-Luna (ya que la fuerza gravitatoria no produce momento respecto a la Tierra) y aproximando la órbita de la Luna alrededor de la Tierra como circular, podemos demostrar que una disminución en la velocidad angular de rotación de la Tierra sobre su eje conlleva una disminución (no proporcional) en la velocidad angular de traslación de la Luna en torno a nuestro planeta. Eso significa que la distancia entre ambos astros aumenta con el tiempo, para que se conserve el momento angular.

Podemos expresar la distancia entre la Tierra y la Luna en función de algunos parámetros que hemos utilizado a lo largo de esta entrada.

Luego gracias al número de estrías del coral, podemos saber que el día era más corto hace 400 millones de años, y que la distancia a la Luna era menor.


Hasta la próxima, que probablemente sea ya en verano debido a la PAU.

Un saludo!

Deducción de la 1ª Ley de Kepler

En entradas anteriores hemos hablado de las Tres Leyes de Kepler, como puedes leer en Deducción de la Tercera Ley de Kepler y Deducción de la Segunda Ley de Kepler.

En la entrada de hoy vamos a deducir la Primera Ley de Kepler, que dice así: "Los planetas describen órbitas elípticas planas en torno al Sol, situado en uno de sus focos". Para ello tendremos que saber por qué son órbitas planas y por qué son elípticas.

Para demostrar que son planas vamos a partir de un concepto ya mencionado en la Deducción de la Segunda Ley de Kepler: el momento angular es constante en toda la órbita.

Al ser L (vector) constante, también lo serán r (vector) y el momento lineal (vector), r y p estarán siempre en el mismo plano, y por eso las órbitas son planas. Queda demostrar que la curva que describen los planetas es una elipse:

Imaginemos que se trata de una órbita desconocida, y que nuestro objetivo es hallar la ecuación de la misma:

A partir de esas definiciones vamos a intentar sacar la ecuación buscada.

Partiendo también de la definición de energía mecánica y despejando la velocidad normal:

Hacemos el siguiente cambio de variable:

Con lo que llegamos a la ecuación de una elipse en forma polar, cuya excentricidad depende de C y B, y estos a su vez de G, M, m, L y Em.

Una vez demostrada la Primera Ley de Kepler, hemos acabado con este conjunto de entradas sobre las Leyes de Kepler.

Un saludo! Hasta la próxima y FELIZ NAVIDAD!

Deducción de la Segunda Ley de Kepler

Hará cosa de medio año, en este blog deducimos la Tercera Ley de Kepler, o mejor dicho, la justificamos a partir de la Ley de la Gravitación Universal.

Hoy justificaremos la 2ª Ley de Kepler, que dice así: "Las áreas barridas por un radio vector con origen el Sol y destino un planeta, barren áreas iguales en tiempos iguales". Se verá mejor con una imagen:

Si el tiempo que tarda un planeta en ir desde P1 hasta P2 es el mismo que en ir desde P3 hasta P4, el área A1 será igual al área A2. Pero, ¿por qué ocurre esto?

Johannes Kepler se basó en los datos astronómicos de su coetáneo Tycho Brahe antes de que Isaac Newton estableciese su Ley de la Gravitación Universal. Nosotros vamos a partir de ahí, pero primero definamos algunos términos:

Perigeo: punto de la órbita más cercano al Sol (o al astro en torno al cual se orbite). En el caso de la Tierra, se llama Perihelio.

Apogeo: punto de la órbita mas alejado del Sol. En el caso de la Tierra se llama Afelio.

Velocidad Areolar: el área barrida por el radio vector por unidad de tiempo.

Demostración:

Primero vamos a demostrar esta ley en los casos particulares del apogeo y perigeo. Si consideramos un diferencial de tiempo (dt), el área barrida por el planeta se asemeja a un triángulo de base ds y de altura la distancia al Sol:

Calculemos el área de las zonas rojas (dA) como si fuesen triángulos:

En el caso del perigeo procederemos del mismo modo:

Ahora vamos a calcular el momento de fuerza de la fuerza gravitatoria del Sol al planeta con respecto al propio Sol. Por definición:

Entonces el momento será (modularmente):

El momento también puede escribirse de la siguiente forma:

Deducimos que el momento angular es constante (en dirección, sentido y módulo) a lo largo de toda la trayectoria. El momento angular se define como:

Como hemos dicho que el momento angular es constante, el momento angular en el apogeo será igual al del perigeo:

Finalmente llegamos a que la velocidad areolar en el perigeo es igual a la velocidad areolar en el apogeo:

Para cualquier otro punto de la órbita procedemos igual:

El área (dA):

Y como tanto L como m son constantes, la velocidad areolar también será constante y queda demostrada la Segunda Ley de Kepler.

Puedes leer también la demostración de la Primera Ley de Kepler.

Nos vemos en la próxima entrada!