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domingo, 9 de abril de 2017

Demostración de que $1=0$

Hoy vamos a dar una prueba de que $1=0$. Obviamente esto no es cierto, por lo que tu misión, querido lector, es ver dónde te la estoy jugando. Allá vamos:

Sea $I:=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{i\tau+1}d\tau}$. Multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, obtenemos:

$I=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{i\tau+1}d\tau}=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{-i\tau+1}{1+\tau^2}d\tau}=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{1+\tau^2}d\tau}$

Pues la función $\phi=\displaystyle\frac{x}{1+x^2}$ es impar y el recinto de integración es par, luego la integral se anula. Finalmente, 

$I=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{1+\tau^2}d\tau}=\arctan(1)-\arctan(-1)=\frac{\pi}{2}$.


Por otro lado:

$I=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{i\tau+1}d\tau}=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{i}\frac{d}{d\tau}\log (i\tau+1)d\tau}=$

$=\displaystyle\frac{1}{i}[\log (1+i)-\log(1-i)]=\frac{1}{i}(\frac{i\pi}{4}-\frac{i7\pi}{4})=-\frac{3\pi}{2}$


Donde se ha tomado como argumento principal aquel en el intervalo $[0,2\pi)$. Como $I=I$, entonces tenemos que $\displaystyle\frac{\pi}{2}=-\frac{3\pi}{2}$. Dividiendo ambos miembros entre la cantidad $2\pi\neq 0$, obtenemos finalmente que:

$\displaystyle\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}\Longrightarrow 1=0$


¿Dónde está el error? 

Advertencia: Los comentarios de esta entrada contienen algún que otro spoiler ;)


viernes, 13 de enero de 2017

El viaje de la Voyager

Este 2017 se van a cumplir 40 años del lanzamiento de las dos sondas Voyager, motivo por el cual presento la entrada de hoy. En ella hablaré de los objetivos de la misión, los detalles técnicos de las órbitas seguidas por ambos satélites, su localización actual y el futuro incierto del proyecto. Que aproveche.


El primer objetivo de las dos sondas Voyager fue el estudio de Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno, para después abandonar el Sistema Solar en una órbita hiperbólica para no regresar jamás. Con este motivo, el científico Carl Sagan fue encargado para mandar un "mensaje en una botella" mediante estas dos naves para posibles civilizaciones extraterrestres.

La sonda Voyager 2 fue lanzada el 20 de agosto de 1977. Dos semanas después, el 5 de septiembre de 1977 es lanzada la Voyager 1. El 5 de marzo de 1979, la Voyager 1 alcanza Júpiter, y aprovechando su tirón gravitatorio partirá en un viaje de un año y medio a Saturno, al que llega en noviembre de 1980. Por su parte, la Voyager 2 llega a Júpiter en julio del 79 y a Saturno en agosto del 81, 9 meses más tarde que la Voyager 1.

Los científicos encargados de la misión decidieron aprovechar a la Voyager 1 para el estudio de Titán (satélite de Saturno), por lo que se cancelaría su viaje a Urano y Neptuno. Este tirón gravitatorio hizo a la sonda entrar en una órbita hiperbólica en el sistema heliocéntrico habiendo superado la velocidad de escape, poniendo rumbo a los confines de nuestro Sistema Solar.

Por su parte, la Voyager 2 visitó Urano en 1986 y Neptuno en 1989, para después pasar a convertirse, al igual que su hermana, en una sonda interestelar. 

Localización actual de las Voyager

En agosto de 2006, la Voyager 1 superó la distancia de 100 UA del Sol, superando asimismo a las sondas Pioneer y conviertiéndose en el objeto fabricado por el ser humano más alejado de nosotros. En 2005 supera el frente de choque de terminación, para pasar a la heliofunda con rumbo a la heliopausa.

El 13 de septiembre de 2013, la sonda Voyager 1 alcanza el espacio interestelar (no en abandonar el Sistema Solar, que se extiende hasta la nube de Oort, a 2000 UA del Sol). Acualmente su velocidad parece estar decreciendo, hecho que causa controversia entre la comunidad científica y que ya se comentó en la entrada de Materia Oscura.

Según la página web de la misión, acualmente la Voyager 1 se encuentra a 137 UA del Sol, algo más de 20.000 millones de kilómetros, y la Voyager 2 a 113 UA, tardando la información que nos mandan más de 30 horas en llegarnos.

Futuro de la misión

 

Actualmente la misión es controlada por 10 científicos, corriendo el riesgo de ser abandonada. Los motores termonucleares de las sondas les permitirán funcionar hasta, como mínimo, 2025. Después de ese momento, sus operativos irán apagándose hasta convertirse en objetos inertes y fríos vagando por el espacio dirigiéndose hacia el centro de nuestra galaxia. Ambas sondas emiten señales con una potencia de 20 W y son detectadas por las enormes antenas de la Red de Espacio Profundo, como las de Robledo de Chavela (Madrid). Hay otra antena en EEUU y otra en Australia. Para hacernos una idea, estas antenas son capaces de detectar el equivalente a una bombilla de 20 W a una distancia de más de 20 mil millones de kilómetros...

Robledo de Chavela, Madrid, España.

Como ya comenté, las sondas transportan mensajes de la Tierra a posibles civilizaciones extraterrestres, como un mensaje en una botella. Contienen música, saludos en diversos idiomas, fotografías y un mapa indicando la posición de la Tierra en el Sistema Solar, y la de éste en la Vía Láctea "triangulando" con púlsares.


Órbitas seguidas por las sondas

 

A continuación entraré en detalle al estudio de la Física de los viajes, es decir, el cálculo ilustrativo de las órbitas y el efecto del tirón gravitatorio. Lo que aquí se explica no es lo que se realizó en realidad, pues la Voyager 1 fue acelerada en Júpiter y Saturno y se modificó la misión, y nosotros aquí solo estudiaremos el paso por Júpiter para entender cómo funciona el tirón gravitatorio.


Supongamos que queremos enviar una sonda de la Tierra (órbita circular pequeña) a Urano (órbita circular grande) en una órbita elíptica (en rojo). Dado que Urano se encuentra a 19,2 UA del Sol y la Tierra a 1 UA, la órbita en el sistema heliocéntrico vendrá dada por 
$$r(\theta)=\frac{1.92 \ UA}{1+0.9\cos\theta}$$

pues es la ecuación de una elipse con su excentricidad previamente calculada a partir de los semiejes de la órbita. El tiempo que tardará en llegar lo calcularemos mediante la Tercera Ley de Kepler: si $T$ es el periodo de la órbita y $\tau$ es un año,

$$t=\frac{T}{2}=\frac{\tau}{2}\left(\frac{a}{r_T}\right)^{3/2}\approx 16 \ años$$

Siendo $a$ el semieje mayor de la órbita y $r_T$ la distancia de la Tierra al Sol. Como la energía se conserva, puede verse que la velocidad en función de $r$ vendrá dada por

$$v^2=2GM_S\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2a}\right)$$

Para el perihelio, es decir $r=r_T$, esta velocidad es de 41 km/s. Si además le sumamos la velocidad de escape en la Tierra (11 km/s), necesitaríamos comunicarle una velocidad de 52 km/s a nuestra sonda, una verdadera barbaridad. Sin embargo, esta velocidad es respecto al sistema heliocéntrico. Como la Tierra en este sistema orbita a 30 km/s, solo necesitaríamos otorgarle 22 km/s a la sonda, y si lanzamos desde el ecuador aprovechando la rotación terrestre, la velocidad acaba reduciéndose a 21,5 km/s.


Ahora estudiemos el caso de la imagen superior. Pasaremos con la nave cerca de Júpiter para aprovechar su tirón gravitatorio, acelerar nuestra nave y desviar la trayectoria. Esto puede ser entendido como un choque elástico en el sistema de referencia de Júpiter. Denotaremos con $v$ al vector velocidad en el sistema heliocéntrico, $v^*$ en el sistema de Júpiter y $V_J$ a la velocidad de Júpiter en el sistema heliocéntrico. Con esta notación es evidente que 
$$v=V_J+v^*\Rightarrow v^*=v-V_J$$


Si calculamos la velocidad orbital de Júpiter obtenemos unos 13 km/s, y si calculamos la velocidad de nuestra sonda para $r=r_J$ resulta ser de 16 km/s. Para determinar $v^*$ necesitamos conocer el ángulo $\beta$, para lo cual emplearemos que el momento angular se conserva. Si $v_p$ es la velocidad en perihelio, es claro que

$$r_T v_p=r_Jv\cos\beta\Rightarrow\cos\beta=1/2\Rightarrow v^*= 14,7 \ km/s$$

Como el choque es elástico, esta velocidad se conserva en módulo (no así en dirección) en el sistema de Júpiter. Por tanto la velocidad final en el sistema heliocéntrico será

$$v_f=V_J+v^*_f$$

$v_f$ será máximo si conseguimos que $v^*_f$ salga tangente a la órbita de Júpiter. En ese caso es claro que $v_f=27.7 \ km/s$. El ángulo $\theta^*$ de dispersión en el sistema CM puede calcularse de forma sencilla dibujándose un diagrama con las velocidades antes y después del choque, y resulta ser de 110º. Este ángulo no deja de ser el que forma la velocidad de salida de la nave con la velocidad inicial en el sistema CM. 



Por otra parte, calculándonos el ángulo de dispersión en función del parámetro de impacto $b$, obtenemos que 

$$\tan\left(\theta^*/2\right)=\frac{GM_J}{b{v^*}^2}$$

De donde se obtiene que $b\approx 400.000 \ km$, unas 5 veces su radio. De esta forma nos aseguramos la no colisión física. Cálculándonos la nueva órbita en el sistema de Júpiter conocida la energía y la excentricidad de la curva tendríamos 

$$r(\theta)=\frac{4,3R_J}{1+1,22\cos\theta}$$

Por último tenemos que transformar esta ecuación al sistema heliocéntrico. Para ello necesitaremos simplemente el nuevo momento angular y energía de la sonda. Puede verse que $L=mv_fr_J$ y $E=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{GM_Sm}{r_J}$ o $r_J=\frac{v_f^2r_J^2}{GM_S(1+\epsilon)}$, ecuaciones que se obtienen al resolver el problema de los dos cuerpos y que no deduciremos hoy aquí. De esta guisa es inmediato llegar a que

$$r(\theta)=\frac{23.6 \ UA}{1+3,54\cos\theta}$$

en el sistema heliocéntrico. Es evidentemente una órbita hiperbólica pues $\epsilon>1$ y $E>0$. Calculando la energía podemos deducir que la velocidad a distancias donde la atracción solar es despreciable es del orden de 20 km/s. Si tenemos en cuenta que la velocidad real de la Voyager 1 es actualmente de 17 km/s, nuestras aproximaciones y suposiciones no son tan malas a fin de cuentas.

En realidad, el parámetro de impacto fue mayor para poder interceptar a Saturno en su órbita, por lo que la velocidad de salida no fue tan grande. Después, la Voyager 1 volvió a acelerarse en Saturno, repitiendo el mismo procedimiento que hemos hecho con Júpiter, pero teniendo en cuenta que la velocidad orbital de Saturno es menor.

Trayecto seguido por las Voyager

En esencia, en este tipo de maniobras, se trata de "frenar un poco" a un planeta muy masivo como Júpiter y aprovechar esa energía para acelerar enormemente una sonda de masa despreciable. Podemos hacer un balance de energías en el sistema heliocéntrico para ver que efectivamente esto es así:

$$\Delta E_{nave}=\frac{1}{2}m\left(v_f^2-v_0^2\right)=-\Delta E_J=-\frac{1}{2}\left(v_0^2-v_f^2\right)=2\cdot 10^{11} \ J$$

Este aumento de energía de la nave nos permite saber cuánto disminuye la velocidad de Júpiter, resultando ésta ser del orden de 10 nm/s. Podemos entonces decir que Júpiter no se frena en absoluto, pues 10 nm/s frente a sus 13 km/s es prácticamente cero.

Espero que hayáis disfrutado con esta entrada. No os olvidéis de compartirla.

Un saludo!


martes, 22 de noviembre de 2016

El arcoiris



Canta, oh musa, la cólera del pélida Aquiles; cólera funesta que causó infinitos males a los aqueos y precipitó al Hades muchas almas valerosas de héroes, a quienes hizo presa de perros y pasto de aves; cumplíase la voluntad de Zeus desde que se separaron disputando el Atrida, rey de hombres, y el divino Aquiles.

La Ilíada, Homero.

Iris y Júpiter (Michel Corneille), Versalles.
 
Según la mitología griega, Iris, hija de Taumante y Electra, es descrita como mensajera de los dioses y personificación de la tregua entre los dioses y los hombres al final de la tormenta. Para Platón, la palabra Iris procedía de eireín, símbolo de dialéctica y filosofía. En la tradición judeocristiana, el arcoíris simboliza el pacto entre Dios y los humanos después del Diluvio. En la epopeya de Gilgamesh, también es símbolo de pacto después de la Inundación. Hoy trataremos de explicar, tal y como hizo Descartes en el año 1637, por qué se producen los arcoíris.

Como sabemos, cuando un rayo de luz atraviesa una separación entre dos medios de distinto índice de refracción, sufre un cambio de dirección gobernado por la ley de Snell.

Refracción entre aire y agua

El índice de refracción, en general, depende de la longitud de onda de la luz. En el caso del agua, la luz de color rojo es la que menos se desvía, mientras que la azul, por tener menor longitud de onda, sufre una mayor refracción. Esto puede observarse muy bien mirando al Dark side of the Moon...

The Dark side of the Moon, Pink Floyd

En el caso del arcoíris, cuando después de la lluvia el ambiente está cargado de pequeñas partículas de agua, éstas actúan como lentes que desvían la luz solar, tal y como podemos ver en la siguiente imagen:

La luz solar, de color blanco, se descompone por colores

En ocasiones, la luz se refleja dos veces dentro de la gota de agua, produciéndose dos arcoiris: uno primaro y otro secundario con los colores invertidos.


Pero, ¿por qué siempre vemos el arcoíris de espaldas al Sol y con el mismo ángulo? Para responder a esta pregunta, fijémonos que dependiendo de con qué ángulo entre la luz, los rayos se desviarán en una dirección o en otra. 

                                      

Como vemos en la imagen, hay una región dónde los rayos están más concentrados. Esa región puede encontrarse muy fácilmente sin más que determinar el ángulo de desviación en función del de entrada. Mediante el uso de trigonometría y de la ley de Snell, es sencillo determinar que 

$$\phi_d=\pi+2\theta_1-4\cdot arcsen\frac{\sin\theta_1}{n}$$


Derivando dicha función e igualando a cero para hallar el mínimo, descubrimos que éste es tal que $\phi_d=138º$, es decir, una desviación de 42º para la luz roja (y 40º para la azul). Por ello, los arcoíris siempre se forman cuando estamos de espaldas al Sol. 

En teoría, es posible ver arcoíris completos, es decir, la circunferencia completa, siempre que se den las condiciones necesarias. También debemos recordar que el arcoíris como tal no existe, es una ilusión óptica fruto de la descomposición de la luz blanca por colores. Cada persona ve su propio arcoíris, pues la luz es dispersada por gotas distintas.


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