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domingo, 15 de mayo de 2016

Lámparas fluorescentes

Están en multitud de edificios o naves industriales, en forma de tubo, bombilla enrollada, etc. ¿Pero cómo funcionan? En la entrada de hoy hablaremos del funcionamiento y fundamento físico de las famosas lámparas fluorescentes, sus características y propiedades más relevantes. Para ello nos centraremos solamente en los tubos.


Un tubo fluorescente está formado, básicamente, por tres piezas: el tubo en sí, un cebador y una reactancia inductiva. El tubo es de vidrio, y en su interior se halla el vapor de mercurio combinado con algún gas inerte como el neón o el argón. Recubriendo el cristal hay un material llamado "fósforo", aunque no contenga esta sustancia. Su misión es absorber la luz UV que emite el mercurio al desexcitarse y emitir luz visible. Un tubo fluorescente sin este recubrimiento sería una lámpara de "luz negra".

Fuente: Wikipedia

Conectado al tubo hay un cebador. Se trata de un dispositivo con una ampolla de vidrio que contiene gases (como neón o argón) que al conectarse a la corriente se calientan y expanden. Dicha expansión cierra un circuito que hace que los filamentos del tubo (generalmente wolframio) se calienten al rojo vivo y comiencen a ionizar los gases del interior del tubo. Es en este momento cuando aparece ese color anaranjado en los extremos de los tubos antes de encenderse.

Al cerrarse el circuito del cebador, el gas se enfría, se contrae y se abre bruscamente el circuito. Es ahora cuando entra en juego la reactancia. De acuerdo con la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida (o fem) es igual a la variación del flujo magnético, sin olvidar un signo menos:

$\text{fem}=-\displaystyle\frac{d\Phi_{B}}{dt}$

La reactancia no es más que un solenoide o inductancia por el que circula la corriente. Por la Ley de Ampère, dentro de dicho solenoide aparecerá un campo magnético $\vec{B}$. Al cerrarse bruscamente el circuito, habrá una gran variación de flujo, y por efecto de autoinducción se inducirá una elevada fuerza electromotriz (de miles de voltios) que terminará de ionizar los gases del tubo. Una vez ocurrido esto, se establece una corriente de electrones entre el cátodo y el ánodo del tubo sin necesidad de altos voltajes.

Debido a que en Europa la corriente alterna oscila con una frecuencia de 50 Hz, los fluorescentes "parpadean" 100 veces cada segundo. Para evitar estos efectos estreboscópicos hay varias opciones. Una de ellas es la incorporación de un alternador electrónico que aumente dicha frecuencia a 50.000 Hz, como en las modernas bombillas fluorescentes. Otras opciones pueden ser colocar varios tubos juntos con corrientes desfasadas, minimizándose este efecto.

El consumo de un tubo fluorescente, así como su rendimiento, es bastante bajo. En la imagen inferior podemos observar el espectro emitido por una lámpara fluorescente de vapor de mercurio.


Como vemos, muy poca luz se desperdicia como infrarrojos, de modo que casi la totalidad de la potencia consumida se aprovecha para iluminación.

Asimismo, la potencia de los tubos es generalmente muy baja. Su pico de máximo consumo se alcanza al encender, pues es cuando más voltaje consume para ionizar el gas de mercurio. Es por eso por lo que se recomienda utilizar estas lámparas en lugares donde se necesite una fuente de luz permanente, es decir, que no se apaguen y se enciendan muchas veces. Esto también es porque la vida útil de las lámparas decrece cuantas más veces se enciendan.

Por último explicaremos por qué es necesario un condensador en este tipo de lámparas, para lo cual tendremos que introducir el concepto de potencia efectiva. Como sabemos, la corriente que llega a nuestras casas es alterna, es decir, oscilante. El motivo es simplemente las ventajas a la hora de transportarla. Por tanto, el voltaje que llega a nuestros enchufes (220 V en España) es oscilante. Entonces, ¿por qué un multímetro marca 220 V y no oscila? La respuesta es que lo que marca el multímetro no es el voltaje "instantáneo", sino el "eficaz", una especie de promedio. 

La potencia que consumimos también se mide de esta forma promediada. Al manejar las ecuaciones se llega a que la potencia "activa" depende de un factor de potencia que va desde 0 hasta 1. Ese factor no es más que el coseno del desfase entre la intensidad y el voltaje. Como nos interesa que el factor de potencia esté lo más próximo a 1 posible, necesitamos conseguir una resonancia entre reactancia inductiva y capacitiva. Será más fácil si observamos matemáticamente el desfase $\phi$:

$\phi=\arctan\displaystyle\frac{L\omega-1/C\omega}{R}$

Para hacer que el factor de potencia sea 1, hay que hacer que $\phi$ sea cero, para lo cual hay que colocar un condensador de capacidad $C$ tal que a la frecuencia $\omega$ de la red eléctrica, compense la inductancia $L$ de la reactancia del fluorescente.


Espero que os haya gustado la breve entrada de hoy. Un saludo!


domingo, 1 de mayo de 2016

El número $e$

A principios del siglo XVII el matemático John Napier introdujo los logaritmos en el Cálculo, y fue el primero en mencionar el número $e$. Posteriormente, Huygens se percató de la relación entre este número y el área bajo la curva $xy=1$. Años más tarde, Jacob Bernouilli encontró que el número $e$ es el límite de la sucesión inferior, que es actualmente su definición.

$\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n$

Esta sucesión es muy importante en el cálculo del interés compuesto. Además, el número $e$ se define frecuentemente de las siguientes formas:

$e:=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n-1}\right)^n}$

$e:=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$ 

$\displaystyle\int_1^e{\frac{dt}{t}}=1$

El número $e$ aparece en infinidad de sitios, como la geometría, los números complejos, la estadística, etc. En la entrada de hoy demostraremos que $e$ es un número trascendente e irracional.



Irracionalidad



Un número irracional es aquel que no puede ser expresado de la forma $a/b$ con $a,b \in \mathbb{Z}$. Supongamos pues que $e$ es racional para después llegar a un absurdo.

Sea $e=\displaystyle\frac{a}{b}$ con $a,b \in \mathbb{Z}$. Se define el siguiente número:

$x=b!\left(e-\displaystyle\sum_{n=0}^b{\frac{1}{n!}}\right)=a(b-1)!-\displaystyle\sum_{n=0}^b{\frac{b!}{n!}}\in Z$ pues $n<b$.

Finalmente probaremos que $0<x<1$:

Haciendo un desarrollo de Taylor de la función $e^x$ se puede llegar a que $e=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{b!}{n!}}$, de modo que considerando nuestra definición de $x$:

$x=\displaystyle\sum_{n=b+1}^{\infty}{\frac{1}{n!}}>0$

Observando que  $\displaystyle\frac{b!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)\cdot...\cdot (b+1)}<\frac{1}{(b+1)^{n-b}}$ y definiendo $k=n-b$ se tiene que 

$x<\displaystyle\sum_{n=b+1}^{\infty}{\frac{1}{(b+1)^{n-b}}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{(b+1)^{k}}}=\displaystyle\frac{(b+1)^{-1}}{1-(b+1)^{-1}}=\displaystyle\frac{1}{b}\leq 1$

Por tanto queda probado que $0<x<1$, pero como se probó que $x\in\mathbb{Z}$ y no hay enteros en $(0,1)$ se llega a contradicción, luego la hipótesis de que $e$ es racional es falsa, y por tanto $e$ es un número irracional.


Trascendencia



Un número trascendente es aquel que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros, es decir, si $\alpha$ es trascendente, entonces no existen $a_0,a_1,...,a_n\in\mathbb{Z}: p(\alpha)=a_0+a_1\alpha+...+a_n\alpha^n=0$. Por ejemplo, el número áureo $\phi$ es algebraico pues es solución de la ecuación $x^2-x-1=0$.

Supongamos que existe un polinomio $p(x):=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ con coeficientes enteros y $e$ es una de sus raíces. Se definen las funciones $f(x)$ y $F(x)$ del siguiente modo:

$\phi (x):=\displaystyle\frac{x^{p-1}}{(p-1)!}\prod_{i=1}^m{(x-i)^p}$

$\Phi (x):=\displaystyle\sum_{i=0}^{mp+p-1}{\phi^{i)}(x)}$

Donde $p$ es un número primo. De las definiciones superiores se sigue que $\Phi (x)-\Phi '(x)=\phi(x)$, pues $\phi^{mp+p)}(x)=0$. Entonces es claro que 

$\displaystyle\frac{d}{dx}(e^{-x}\Phi (x))=-e^{-x}\Phi (x)+\Phi '(x)e^{-x}=-\phi (x)e^{-x}$

Multiplicando por un coeficiente del polinomio $a_j$e integrando en $(0,j)$ la expresión anterior:

$a_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \  dx=a_j\left[e^{-x}\Phi (x)\right]_j^0=a_j\Phi (0)-a_je^{-j}\Phi (j)$

Y multiplicando por $e^j$ y sumando obtenemos:

$\displaystyle\sum_{j=0}^m e^ja_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \  dx=\displaystyle\sum_{j=0}^me^ja_j\Phi (0)-\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\Phi (j)=-\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$

Ya que  $\displaystyle\sum_{j=0}^me^ja_j\Phi (0)=0$ según definimos $p(x):=\displaystyle\sum_{j=0}^m{a_jx^j}$ con $a_j\in\mathbb{Z}$. Nuestro objetivo es mostrar que la igualdad inferior no es cierta para un primo $p$ arbitrario.

$\displaystyle\sum_{j=0}^m e^ja_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \  dx=-\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$

En efecto, considerando el segundo término de la ecuación superior vemos que se trata de un entero no nulo no divisible por $p$, pues los términos no nulos del sumatorio son aquellos que se han derivado al menos $p$ veces ya que existe el factor $(x-j)^p$. En dichos casos, fijándonos en la definición de $\phi (x)$, $\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$ es múltiplo de $p$. Existe un caso en que $\phi^{i)}(j)$ no es múltiplo de $p$, cuando $j=0$ e $i=p-1$. En ese caso es evidente que el valor de la función es $\phi^{p-1)}(0)=(-1)^p\cdot ... \cdot (-m)^p$. Escogiendo un $p$ arbitrariamente grande (mayor que $m$) es claro que dicho producto no tiene a $p$ como factor primo, luego $\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$ es un numero entero no nulo y no divisible por $p$.

Por otra parte,  para valores positivos de $t$ tales que $t\leq m$ es claro que $\left|\phi (t)\right|\leq\displaystyle\frac{m^{mp+p-1}}{(p-1)!}$ y $0\leq\left|e^{-x}\phi (t)\right|\leq\left|\phi (t)\right|$ de modo que podemos realizar la siguiente acotación:

$0\leq\displaystyle\sum_{j=0}^ma_je^j\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \ dx\leq\sum_{j=0}^ma_je^j\int_0^j{\frac{m^{mp+p-1}}{(p-1)!}}=\displaystyle\sum_{j=0}^m{a_je^j\frac{jm^{mp+p-1}}{(p-1)!}}$

Finalmente notamos que $\displaystyle\lim_{p\to\infty}\displaystyle\sum_{j=0}^m{a_je^j\frac{jm^{mp+p-1}}{(p-1)!}}=0$ por la fórmula de Stirling: $n!\sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}$. Por tanto existe algún número primo $p>0$ tal que

$\displaystyle\sum_{j=0}^m e^ja_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \  dx\neq -\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$

Y habiendo llegado a una contradicción, es claro y evidente que $e$ es un número trascendente. Por tanto hemos concluido con la demostración de irracionalidad y trascendencia del número $e$. 

Quod erat demonstrandum.


Por último mencionar que la demostración sobre la trascendencia es del matemático francés Charles Hermite.


Bibliografía







Puedes leer también la entrada de este mismo blog sobre la igualdad de Euler.