tag:blogger.com,1999:blog-6486958677246234282024-03-19T04:56:13.006+01:00Ciencia como nunca"Yo: un universo de átomos, un átomo en el Universo"
Richard Phillips FeynmanGabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.comBlogger82125tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-24050654092030056862020-09-10T13:20:00.000+02:002020-09-10T13:20:06.920+02:00El Teorema de la bola de pelo (Hairy ball theorem)<div style="text-align: justify;">Cuando en el instituto (y en gran parte de la Universidad) hemos trabajado con vectores, siempre nos hemos limitado en su estudio a $\mathbb{R}^n$ como espacio vectorial. Fijémonos en el caso bidimensional para afianzar conceptos. Dotando a $\mathbb{R}^2$ de una estructura de <b>espacio vectorial</b> sobre el cuerpo de los números reales (mediante una operación de suma y otra de producto adecuadas), podemos tomar la base canónica en el plano con la cual podemos construir cualquier otro vector:</div><div style="text-align: justify;"> </div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiixlwwUA0-OleA0f6lqXcncdW_FMs3n4AhvZTzDn8P61r33Dbfmixf28YqgBaDGlidCNa65lk5vHl_VgdeEAkmasWpdFNGwDJ7ZlkvAsztG-4ddPe_l9dlPAYe_J0WlQmNZWBwKeQv4U/s682/vector_R2.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="541" data-original-width="682" height="406" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiixlwwUA0-OleA0f6lqXcncdW_FMs3n4AhvZTzDn8P61r33Dbfmixf28YqgBaDGlidCNa65lk5vHl_VgdeEAkmasWpdFNGwDJ7ZlkvAsztG-4ddPe_l9dlPAYe_J0WlQmNZWBwKeQv4U/w512-h406/vector_R2.png" width="512" /></a></td></tr><tr align="justify"><td class="tr-caption">$\mathbb{R}^2$ como espacio vectorial siempre admite una base: todo vector de $\mathbb{R}^2$ puede escribirse como combinación lineal única de los elementos de la base. Por ejemplo, el vector $v$ (en verde) puede escribirse como $4e_x + 3 e_y$.<br /></td></tr></tbody></table><p></p><p style="text-align: justify;">Podemos incluso ir más allá y no sólo considerar vectores en un punto, si no vectores en todos los puntos, es decir, <b>campos vectoriales</b>. En el caso plano sigue resultando cierto que existe una base global de campos vectoriales, y que por tanto todo campo vectorial puede escribirse como combinación lineal única de dichos vectores. Los coeficientes de la descomposición (en vulgo, las coordenadas) ya no son números reales, si no que son números reales punto a punto, es decir, funciones. Más adelante profundizaremos en las implicaciones que tiene esto.<br /></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhD7EDJBta-44VehbTCAtTd4vRhSJFGmfHZZH-EVczBNqH-1k4SzzsqbudIKQBZfeUm-ctrx5Gl6nN0MAeOAQpnylmYUMlN7RgUjzdhJLxPPtyFbZ_f2mIft7EokN3FfOx2qRLct4tjMLI/s682/campo_R2.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="541" data-original-width="682" height="406" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhD7EDJBta-44VehbTCAtTd4vRhSJFGmfHZZH-EVczBNqH-1k4SzzsqbudIKQBZfeUm-ctrx5Gl6nN0MAeOAQpnylmYUMlN7RgUjzdhJLxPPtyFbZ_f2mIft7EokN3FfOx2qRLct4tjMLI/w512-h406/campo_R2.png" width="512" /></a></td></tr><tr align="justify"><td class="tr-caption">En este caso, el campo vectorial $v$ define un vector en cada punto del plano. La base de campos vectoriales $e_x$ y $e_y$ está bien definida globalmente. La descomposición de $v$ en la base es única punto a punto. Es importante no confundir $\mathbb{R}^2$ como variedad con su espacio tangente, aunque sea algo a lo que estemos acostumbrados. Existe un isomorfismo entre ambos.<br /></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;">Pero el plano es un caso muy particular, poco interesante y una imagen nada realista de las superficies cotidianas que nos rodean. Es interesante, por tanto, estudiar otras <i>variedades</i> no planas, tales como esferas, toros y demás. No vamos a entrar en profundidad en las propiedades topológicas y geométricas de estos entes, pero daremos por supuesto que el plano y la (superficie de la) esfera no son en absoluto parecidos. Sin embargo, un huevo y una esfera se parecen un poco más. Matemáticamente esta relación se puede entender con ayuda de los <b>isomorfismos topológicos</b> (también llamados <i>homeomorfismos</i>). Diremos que dos espacios topológicos son homeomorfos, que a ojos de la topología viene a decir que son <i>casi</i> el mismo, si existe una biyección continua y con inversa continua entre ambos espacios. Entre una esfera y un huevo tal aplicación existe, pues podemos deformar uno en el otro (y viceversa) de forma continua. Entre el plano y la esfera no. Como digo, la topología sólo es capaz de distinguir las clases de equivalencia bajo homeomorfismos. </p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://qph.fs.quoracdn.net/main-qimg-3335c58bf2c370c1ff1fb6914918338c" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="531" data-original-width="602" height="425" src="https://qph.fs.quoracdn.net/main-qimg-3335c58bf2c370c1ff1fb6914918338c" width="482" /></a></td></tr><tr align="justify"><td class="tr-caption">Un doctor en topología, cuando desayuna, tiene problemas como éste. A ojos de la topología, la taza y el dónut son equivalentes, pues existe un homeomorfismo entre ambos espacios topológicos.<br /></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;">Como digo, no entraremos en materia avanzada sobre geometría diferencial, pero hay una idea que tiene que quedar clara: sobre la esfera, o cualquier otra variedad no necesariamente bidimensional, también podemos construir vectores y campos de vectores. La idea es que punto a punto podemos construir un espacio vectorial denominado <b>espacio tangente</b>. </p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEuFoU-LlLfTV-B6eesiL0ohfydpTvU6FvO0wfvCs51-3Ak3XxO0P_n4jeYH0-AiFgGQMbnfLnaWdbFYYiGK48GqgaKsrKLwPIFKVfkb72DxqcW5vCKOSt0hzy00tob1qzv90v_XoQRLk/s1426/esfera.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1426" data-original-width="1421" height="512" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEuFoU-LlLfTV-B6eesiL0ohfydpTvU6FvO0wfvCs51-3Ak3XxO0P_n4jeYH0-AiFgGQMbnfLnaWdbFYYiGK48GqgaKsrKLwPIFKVfkb72DxqcW5vCKOSt0hzy00tob1qzv90v_XoQRLk/w510-h512/esfera.png" width="510" /></a></td></tr><tr align="justify"><td class="tr-caption">Podemos visualizar el espacio tangente a la esfera en el punto $p$ vista desde $R^3$. Dicho espacio puede dotarse de una estructura de espacio vectorial, de modo que podemos construir vectores punto a punto sobre la esfera.<br /></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;">De igual modo a lo que hicimos en el plano, podemos tratar de construir campos vectoriales sobre la esfera. Formalmente, los campos vectoriales son secciones del fibrado tangente de la variedad. Pero sin entrar de momento en mucho detalle, los podemos imaginar visualmente.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://img2.freepng.es/20180423/rae/kisspng-vector-field-divergence-theorem-sphere-5addca2aa4c4a3.5728303415244846506749.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="729" data-original-width="800" height="525" src="https://img2.freepng.es/20180423/rae/kisspng-vector-field-divergence-theorem-sphere-5addca2aa4c4a3.5728303415244846506749.jpg" width="576" /></a></td></tr><tr align="justify"><td class="tr-caption">El campo vectorial (en rojo) define un vector en cada punto de la esfera. Dicho vector vive en el espacio tangente a la esfera en dicho punto.<br /></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;">Pero ahora surge una diferencia radical con respecto al caso plano. En la esfera <b>no</b> podemos encontrar una base global de campos vectoriales. Dicho de otro modo, es imposible encontrar un campo vectorial sobre la esfera que no se anule en algún punto sobre la misma. Este resultado se conoce como el <b>Teorema de la bola de pelo</b> (Hairy ball theorem en inglés) y fue demostrado por Poincaré en 1885 para la 2-esfera. Más tarde se generalizó para dimensión arbitraria. Podéis encontrar una demostración al teorema en el siguiente <b><a href="https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2018.1436836" target="_blank">enlace</a></b>. En ella se asume la existencia de un campo vectorial sobre $S^2$ que no se anula en ningún punto y se llega a una contradicción. Emplea los conceptos de<b> <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Homotop%C3%ADa" target="_blank">homotopía</a> </b>de curvas y de <b><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndice_(an%C3%A1lisis_complejo)" target="_blank">índice</a> </b>(winding number).<br /></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Hairy_ball.png/250px-Hairy_ball.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="209" data-original-width="250" height="261" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Hairy_ball.png/250px-Hairy_ball.png" width="313" /></a></td></tr><tr align="justify"><td class="tr-caption">Como se observa, este campo de vectores se anula en los polos, motivo por el que se conoce este resultado como que "no es posible peinar una esfera".<br /></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;">Sin embargo, existen otras variedades no planas que sí se pueden peinar, como es el caso del toro. Cuando una variedad admita una base global de campos vectoriales, diremos que dicha variedad es <b>paralelizable</b>. Como veremos, cuando esto ocurre, <b>el fibrado tangente es trivial</b>.<br /></p><p></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Hairy_doughnut.png/250px-Hairy_doughnut.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="176" data-original-width="250" height="220" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Hairy_doughnut.png/250px-Hairy_doughnut.png" width="313" /></a></td></tr><tr align="justify"><td class="tr-caption">Este campo de vectores sobre el toro no se anula en ningún punto. Existe por tanto una base global de campos vectoriales sobre el toro.<br /></td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: justify;">¿Qué está sucediendo aquí? ¿Por qué hay variedades que se pueden peinar y otras que no? Dicho de otro modo: ¿por qué hay variedades sobre las que existe una base global de campos vectoriales y otras sobre las que no? Para responder a estas preguntas necesitamos estudiar lo que es un espacio vectorial sobre un cuerpo y lo que es un módulo sobre un anillo.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><p></p><h1 style="text-align: left;">Un poco de álgebra<br /></h1><p style="text-align: justify;">Comencemos por la estructura más general con las que vamos a trabajar: el anillo. Un <b>anillo</b> $(R,+,\cdot)$ es un sistema algebraico formado por un conjunto $R$ (del inglés ring) y dos operaciones cerradas, generalmente llamadas suma ($+$) y producto ($\cdot$), que cumplen las siguientes propiedades para cualesquiera $a,b,c\in R$:<br /></p><p style="text-align: justify;"><b>(C) C</b>onmutatividad para la suma: $a+b=b+a$.</p><p style="text-align: justify;"><b>(A) A</b>sociatividad para la suma: $a+(b+c)=(a+b)+c$.</p><p style="text-align: justify;"><b>(N)</b> Elemento <b>n</b>eutro para la suma: $\exists 0\in R: 0+a=a$.</p><p style="text-align: justify;"><b>(I)</b> Elemento <b>i</b>nverso para la suma: $\exists (-a)\in R: a+(-a) = 0$.</p><p style="text-align: justify;">Por tanto, $(R,+)$ tiene estructura de grupo abeliano. Para el producto:</p><p style="text-align: justify;"><b>(A)</b> <b>A</b>sociatividad para el producto: $a\cdot b= b\cdot a$.</p><p style="text-align: justify;"><b>(D)</b> Propiedad <b>d</b>istributiva suma/producto: $a\cdot (b+c) = a\cdot b+a\cdot c$.</p><p style="text-align: justify;">Si el anillo cuenta con un elemento <b>n</b>eutro para el producto <b>(N)</b>, que denotaremos mediante el símbolo $1\in R$, diremos que el anillo es unitario. Esto quiere decir que $\exists 1\in R:1\cdot a = a$. Si la operación de producto es <b>c</b>onmutativa <b>(C)</b>, es decir que $a\cdot b = b\cdot a$, se dice que el anillo es conmutativo. Finalmente, un anillo de división es un anillo unitario en el que todo elemento distinto de $0\in R$ posee un elemento <b>i</b>nverso para el producto <b>(I)</b>, es decir, $\forall a\neq 0 \exists a^{-1}\in R: a\cdot a^{-1} = 1$.<br /></p><p style="text-align: justify;">Para no perdernos en definiciones demasiado abstractas veamos un ejemplo concreto. Y es que un anillo es una estructura bastante natural en nuestro día a día. Por ejemplo, el conjunto de los enteros con las operaciones usuales de suma y de producto es un anillo conmutativo unitario. En efecto, la única propiedad que falla es la existencia de elemento inverso para el producto, ya que por ejemplo, el número 2, no tiene inverso en $\mathbb{Z}$. Para lo que sigue, es interesante comentar que el conjunto de funciones $C^{\infty}$ sobre la variedad $M$, que denotaremos por $C^{\infty}(M)$, es un anillo, pues existen funciones no nulas sobre la variedad que sí que pueden anularse en algunos puntos. En dichos puntos, por tanto, no está definida la función inversa (para el producto).<br /></p><p style="text-align: justify;">La siguiente estructura que necesitamos definir es la de cuerpo. Para ello podemos emplear la anterior definición de anillo, pues un <b>cuerpo</b> no es más que un anillo de división conmutativo, satisfaciendo las propiedades CANI (para la suma) y CANI D (para el producto). El conjunto de los reales con las operaciones usuales de suma y producto tiene estructura de cuerpo. En este caso, el número 2 sí que tiene inverso en $\mathbb{R}$, el 1/2.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjgLMjPF5YW-JhrjEW9cHf1oL6oOHwXQyAWMNEkbjg00XvZLVFmUjobLOF46aCrcCeO96_HHprMqJEZWemzJeoQXpLMEYPhnEZf9X1xblvDXWgqaX1Q7P2AIa1q4zgkPCwMw8M0xCp2cng/s609/Cuerpo_anillo.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="156" data-original-width="609" height="129" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjgLMjPF5YW-JhrjEW9cHf1oL6oOHwXQyAWMNEkbjg00XvZLVFmUjobLOF46aCrcCeO96_HHprMqJEZWemzJeoQXpLMEYPhnEZf9X1xblvDXWgqaX1Q7P2AIa1q4zgkPCwMw8M0xCp2cng/w500-h129/Cuerpo_anillo.png" width="500" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Resumen de las propiedades de los anillos y del cuerpo.<br /></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;">A partir de un anillo y de un cuerpo se pueden definir unas nuevas estructuras denominadas módulo y espacio vectorial, respectivamente. Comencemos esta vez por el segundo, el espacio vectorial. </p><p style="text-align: justify;">Sea $K$ un cuerpo (del alemán, körper). Un $K$-<b>espacio vectorial</b> $(V,+,\cdot)$ es un conjunto $V$ equipado con unas operaciones cerradas de suma y de producto (no confundir con las del cuerpo) que satisfacen las siguientes propiedades para todos $a,b,c\in V$ y para todos $\alpha,\beta\in K$:<br /></p><p><b>(C) C</b>onmutatividad para la suma de vectores: $a+b=b+a$.<br /></p><p><b>(A) A</b>sociatividad de la suma: $(a+b)+c=a+(b+c)$.<br /></p><p><b>(N)</b> Elemento <b>n</b>eutro en la suma: $\exists 0\in V: 0+a = a$.<br /></p><p><b>(I) </b>Elemento <b>i</b>nverso para la suma: $\exists (-a)\in V: a+(-a)=0$.<br /></p><p><b>(A) A</b>sociatividad para el producto: $\alpha\cdot (\beta\cdot a) = (\alpha\cdot \beta)\cdot a$.<br /></p><p><b>(D)</b> Propiedad <b>d</b>istributiva para el producto: $(\alpha+\beta)a=\alpha\cdot a+\alpha\cdot a$.<br /></p><p><b>(D)</b> Propiedad <b>d</b>istributiva para la suma: $\alpha\cdot (a+b) = \alpha\cdot a+\alpha\cdot b$.<br /></p><p><b>(U)</b> Elemento neutro para el producto: $\exists 1\in K: 1\cdot a=a$.<br /></p><p style="text-align: justify;">Del mismo modo podemos definir el concepto de módulo. Sea $R$ un anillo. Diremos que $(M,+,\cdot)$ es un $R$-<b>módulo</b> si las operaciones de suma y de producto satisfacen CANI ADDU. Por tanto, un $R$-módulo es un campo vectorial definido sobre un anillo en vez de sobre un cuerpo.</p><div style="text-align: justify;">Un ejemplo de campo vectorial (sobre el cuerpo de los reales) lo encontramos, como bien sabemos, en el plano real. Es quizá más interesante el ejemplo relativo al módulo. Como mencionamos anteriormente, podemos definir sobre cada punto de una variedad $M$ el denominado <b>espacio tangente</b> sobre $p\in M$, que se denota por $T_p M$. Si construimos la unión disjunta de todos los espacios tangentes a todos los puntos de la variedad, encontramos el <b>fibrado tangente (tangent bundle)</b> $TM$. En este caso, el fibrado consta de la terna $(TM,M,\pi)$, donde $\pi: E\to M$ es una proyección, es decir, que dado $X\in TM$, $\pi(X)=p$ siendo $p$ el punto de la variedad tal que $X\in T_pM$. En este contexto, un campo vectorial sobre $M$ es una sección del fibrado, es decir, una aplicación $\sigma: M\to TM$ tal que $\pi \circ \sigma = Id_M$. Al conjunto de campos vectoriales sobre $M$ lo llamaremos $\Gamma (TM)$. Pues bien, dado que $C^{\infty}(M)$ resultaba ser un anillo, <b>$\Gamma (TM)$ es un $C^{\infty}(M)$-módulo.</b> Por tanto, <b>no es un espacio vectorial.</b><br /></div><p style="text-align: justify;">La cuestión ahora es que existe un teorema que garantiza que <b>todo módulo sobre un anillo divisor admite una base</b>. En particular, por tanto, todo espacio vectorial admite una base. Sin embargo, como ya hemos señalado, $C^{\infty}(M)$ no es un anillo divisor, y por tanto <b>$\Gamma (TM)$ no siempre admitirá una base</b>. Para probar este resultado necesitamos adentrarnos un poco en los axiomas de la Teoría de Conjuntos, pero antes de ello dejadme añadir que las variedades que admiten una base global de campos vectoriales (que como digo, no son todas) se denominan paralelizables. En ellas sucede que el fibrado tangente es trivial, es decir, que puede ser descompuesto en el producto cartesiano $TM \cong M\times \mathbb{R}^n$, siendo $n$ la dimensión de $M$. La idea es que si la variedad es paralelizable, la base global establece un isomorfismo natural entre $TM$ y $M\times \mathbb{R}^n$.</p><p style="text-align: justify;">Para el caso del círculo se verifica que $TS^1\cong S^1\times \mathbb{R}$, es decir, que el fibrado tangente al círculo es isomorfo al cilindro. Sin embargo, como hemos visto, $TS^2$ no es isomorfo a $S^2\times \mathbb{R}^2$. Existe un resultado general que dice que $TS^n\cong S^n\times\mathbb{R}^n$ si y solo si $n$ es impar. Por tanto <b>sí que es posible peinar esferas de dimensión impar. </b><br /></p><p><br /></p><h1 style="text-align: left;">Un poco de Teoría de Conjuntos<br /></h1><div style="text-align: justify;"> </div><div style="text-align: justify;">La Teoría de Conjuntos es el pilar fundamental sobre el cual se sustenta las Matemáticas modernas, y su campo de estudio son unos entes que se denominan... conjuntos. Fue desarrollada por G. Cantor y perfeccionada y sometida a un sistema axiomático por Russell, Zermelo, Fraenkel, entre otros. El sistema axiomático que detallaremos a continuación es el sistema de <b>Zermelo-Fraenkel (ZFC)</b> más el <b>axioma de elección (axiom of Choice)</b>. El motivo de separar el axioma de elección del resto de axiomas es porque es independiente de ellos, y de hecho es posible formular una teoría de conjuntos sin necesidad de él. Sin embargo, existen varios resultados fundamentales en matemáticas que precisan del axioma de elección para ser ciertos. Uno de ellos, como no podía ser de otra manera, es la demostración de que todo módulo sobre un anillo divisor admite una base.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Los axiomas ZFC tratan de definir la idea de conjunto y de pertenencia ($\in$), además de las relaciones fundamentales entre ambos objetos. Sin entrar en mucha profundidad, los axiomas son los siguientes:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>1. Axioma de $\in$.</b> $x\in y$ es una proposición si y solo si $x$ e $y$ son conjuntos. Este axioma nos permite evitar paradojas como la de Russell. Vamos a verlo. </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Supongamos que existe un conjunto $U$ que contiene a todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Formalmente,</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: center;">$\exists U:\forall z: (z\in U \Leftrightarrow z\notin z)$</div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Cabe preguntarse ahora si $U$ es un conjunto. Para ello estudiemos la proposición $U\in U$. Si ésta es cierta, entonces $U\notin U$, mas si ésta es falsa, entonces $U\notin U$ lo cual implica que $U\in U$. Por tanto, $U$ no es un conjunto, evitando así la paradoja de Russell.</div><div style="text-align: justify;"><b><br /></b></div><div style="text-align: justify;"><b>2. Axioma del vacío.</b> Existe un conjunto sin elementos: $\exists x: \forall y:y\notin x$. Es posible probar que este conjunto es único, por lo que recibe un nombre espacial: el conjunto vacío $\emptyset$.</div><div style="text-align: justify;"><b><br /></b></div><div style="text-align: justify;"><b>3. Axioma de pares.</b> Sean $x$ e $y$ dos conjuntos. Entonces existe un conjunto que contiene como elementos a $x$ e $y$.</div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: center;">$\forall x,y \ \exists m: \forall u:(u\in m\Leftrightarrow u=x \vee u=y)$</div><div style="text-align: center;"> </div><div style="text-align: justify;">En particular, esto garantiza que si $x$ es un conjunto, existe el conjunto $\{x\}:= \{x,x\}$. <br /></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>4. Axioma de la unión.</b> Sea $x$ un conjunto. Existe un conjunto $\bigcup x$ cuyos elementos son los elementos de los elementos de $x$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Sean $a,b$ conjuntos. Entonces existen los conjuntos $\{a\},\{b\}$ por el axioma de pares, y por tanto el conjunto $\{\{a\},\{b\}\}$. Entonces el axioma de unión garantiza que existe el conjunto $\{a,b\}$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>5. Axioma de reemplazo.</b> Sea $R$ una relación tal que $\forall x \ \exists ! y: R(x,y)$ y $m$ un conjunto. Entonces la imagen de $m$ bajo $R$ es un conjunto. La imagen consiste en todos los $y$ tales que existe un $x\in m$ tal que $R(x,y)$. El axioma de remplazo implica el <i>principle of restricted comprehension</i>:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Sea $P$ un predicado de una variable y $m$ un conjunto. Entonces los $y\in m$ tales que $P(y)$ constituyen un conjunto. Éste se denota por </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: center;">$\{y\in m | P(y)\}$</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>6. Axioma del conjunto potencia.</b> Sea $m$ un conjunto. Entonces existe el conjunto potencia, denotado por $\mathcal{P}(m)$, formado por todos los subconjuntos de $m$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>7. Axioma del infinito.</b> Existe un conjunto que contiene al vacío, y para cada uno de sus elementos $y$ contiene el elemento $\{y\}$. Uno de esos conjuntos podría ser el formado por los elementos $\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{\emptyset\}\}, ...$ Si ahora denotamos $0\equiv \emptyset$, $1\equiv \{\emptyset\}$, $2\equiv \{\{\emptyset\}\}$ y así sucesivamente, nos encontramos ante el conjunto de los números naturales, cuya existencia está garantizada por este axioma.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>8. Axioma de regularidad.</b> Todo conjunto no vacío $x$ contiene un elemento $y$ que no contiene elementos en común con $x$. En particular, ningún conjunto se puede contener a sí mismo.<br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Con estos ocho axiomas tenemos el sistema axiomático ZF. Como adelantamos, existe un noveno axioma independiente de los demás: el axioma de elección.</div><div style="text-align: justify;"><b><br /></b></div><div style="text-align: justify;"><b>9. Axioma de elección.</b> Sea $x$ un conjunto cuyos elementos no son vacíos y son mutuamente disjuntos. Entonces existe un conjunto $y$ que contiene exactamente un elemento de cada elemento de $x$. </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">El axioma de elección es equivalente al <b>Lema de Zorn: </b></div><div style="text-align: center;"> </div><div style="text-align: center;">"Un conjunto parcialmente ordenado $P$ tal que todos sus subconjuntos totalmente ordenados poseen una cota superior en $P$ contiene un elemento maximal"</div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Antes de explicar el contenido de este lema, es necesario añadir que Zermelo trató de probarlo a partir del resto de axiomas, pero los <b><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_incompletitud_de_G%C3%B6del" target="_blank">Teoremas de Incompletitud de Gödel</a></b> implican que el lema de Zorn no es demostrable a partir de los axiomas ZF. Por tanto se incorporó como noveno axioma. A continuación vamos a explicar el contenido del lema, cuya demostración a partir del axioma de elección podéis encontrar en el siguiente <b><a href="https://digitalcommons.kennesaw.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=2161&context=facpubs" target="_blank">enlace</a>.</b><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">1. Un conjunto $(P,\le)$ es <b>parcialmente ordenado</b> si, para todos $a,b,c\in P$ se satisfacen las siguientes propiedades:<br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">- Reflexividad: $a\le a$.</div><div style="text-align: justify;">- Antisimetría: $(a\le b \wedge b\le a) \Rightarrow a=b$.</div><div style="text-align: justify;">- Transitividad: $(a\le b \wedge b\le c) \Rightarrow a\le c$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">2. Un conjunto $(T,\le)$ es <b>totalmente ordenado</b> si, para todos $a,b,c\in P$ se satisfacen las propiedades de:<br /></div><div style="text-align: justify;"> </div><div style="text-align: justify;">- Antisimetría: $(a\le b \wedge b\le a) \Rightarrow a=b$.</div><div style="text-align: justify;">- Transitividad: $(a\le b \wedge b\le c) \Rightarrow a\le c$.</div><div style="text-align: justify;">- Totalidad: $a\le b$ o $b\le a$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">La diferencia entre ambas definiciones radica, por tanto, en la reflexividad (que no es requerida para un conjunto totalmente ordenado, pero sí por el parcialmente ordenado) y la totalidad.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">3. Cota superior: $u\in P$ es una <b>cota superior</b> de un subconjunto $T\subseteq P$ si para todo $t\in T: t\le u$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">4. Elemento maximal: $m$ es un <b>elemento maximal</b> de $P$ si no existe $x\in P$ tal que $m\le x$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Muy bien, llega el momento de enunciar y demostrar el resultado clave de esta entrada, y es que<b> todo módulo sobre un anillo de división admite una base</b>. Recordemos que dado un $R$-módulo $V$, una base $B$ (en el sentido de Hamel) es un subconjunto $B\subseteq V$ tal que</div><div style="text-align: justify;"> </div><div style="text-align: justify;">(i) Todo subconjunto finito $\{b_1,...,b_N\}\subseteq B$ es linealmente independiente, es decir que $\lambda^i b_i = 0 \Rightarrow \lambda^i = 0 \ \forall i=1,...,N$.</div><div style="text-align: justify;"> </div><div style="text-align: justify;">(ii) Para todo $v\in V$ existen $v^1,...,v^M\in R$ y $b_1,...,b_M\in B$ tales que $v=v^ib_i$ (empleamos el convenio de sumación de Einstein).</div><div style="text-align: justify;"> </div><div style="text-align: justify;">Ahora sí, la demostración se organizará en cinco pasos:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">(a) Sea $V$ un módulo sobre un anillo divisor $D$. Sea $S$ un sistema generador de $V$, es decir, que para todo $v\in V$ existan $e_1,...,e_N\in S$ y $v^1,...,v^N\in D$ tales que $v=v^a e_a$. Ciertamente $S$ existe, pues en el peor de los casos podemos tomar $S$ como el módulo entero. Nótese también que $S$ no constituye una base de $V$.<br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">(b) Definimos un conjunto parcialmente ordenado, $(P,\le)$ mediante el conjunto</div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: center;">$P:=\{U\in \mathcal{P}(S) | U \ \text{es linealmente independiente}\}$</div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: justify;">y la relación $\le\ \equiv\ \subseteq$. Entendemos que un conjunto es linealmente independiente si todo subconjunto finito de éste lo es. Ciertamente, por el axioma de reemplazo y el del conjunto potencia, $P$ es un conjunto y evidentemente la relación $\subseteq$ es parcial.<br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">(c) Sea $T$ cualquier subconjunto totalmente ordenado de $P$. Entonces la unión $\bigcup T$ es una cota superior de $T$. Por el lema de Zorn, $P$ tiene entonces un elemento maximal $B$, que por construcción es el subconjunto de $S$ linealmente independiente más grande.<br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">(d) El siguiente paso es probar que $B$ genera $S$. Sea $v\in S$. Dado que $B$ es maximal, $B\cup \{v\}$ es linealmente dependiente, por lo que existen $e_1,...,e_N\in B$ y $a^1,...,a^N\in D$, además de un $a\in D$, tales que $a^ie_i + av = 0$ donde $a\neq 0$ y no todos los $a^i$ son nulos. Es evidente que $a\neq 0$ porque $B$ es linealmente independiente. Como $D$ es divisor, existe $a^{-1}\in D$ tal que $a\cdot a^{-1}=1$. Por tanto $v=-a^{-1} a^i e_i$, lo cual prueba que $B$ genera $S$. <br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">(e) Por último, dado que por hipótesis $V=span_D(S)$ y acabamos de ver que $S=span_D(B)$, entonces $V=span_D(B)$. Como $B$ es linealmente independiente y además genera $V$, $B$ es una base de $V$.<br /></div><div style="text-align: justify;"> </div><div style="text-align: justify;">Como queríamos demostrar, <b>todo módulo sobre un anillo de división admite una base</b>. Nótese que el axioma de elección (escrito equivalentemente en términos del Lema de Zorn) ha jugado un papel determinante en esta demostración, así como el hecho de que $D$ sea un anillo de división.<br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Finalmente, el hecho de que el conjunto de funciones infinitamente diferenciables sobre la variedad, $C^{\infty}(M)$, no sea un anillo de división implica que <b>no está garantizado que siempre exista una base global de campos vectoriales sobre una variedad</b>. Si esto ocurre, como en el toro, la variedad es paralelizable y su fibrado tangente es trivial. Si no, como en las esferas de dimensión par, no es posible encontrar un campo vectorial que no se anule en algún punto. Y éste es el motivo por el cual <b>no es posible peinar una esfera</b>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><h1>Conclusiones</h1><div> </div><div>En esta entrada hemos entendido de forma visual que existen superficies (o en general, variedades) que admiten un campo vectorial que no se anule en ningún punto y otras que no. Nos hemos referido a ellas como "que se pueden (o no) peinar". El hecho de que no esté garantizada la exisencia de una base global de campos vectoriales se debe a que el conjunto de campos sobre una variedad no tiene estructura de espacio vectorial, si no que es un módulo sobre un anillo no divisor. Con un poco de álgebra y algunas nociones sobre teoría de conjuntos, hemos demostrado por qué no está garantizada la existencia de dicha base.<br /></div></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><p> </p><h1 style="text-align: left;">Referencias</h1><p style="text-align: left;">- <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hairy_ball_theorem" target="_blank">Teorema de la bola de pelo</a></p><p style="text-align: left;">- <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fiber_bundle" target="_blank">Fibrado</a> y <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_bundle">fibrado tangente</a></p><p style="text-align: left;">- <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Parallelizable_manifold" target="_blank">Variedad paralelizable</a></p><p style="text-align: left;">- <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma" target="_blank">Lema de Zorn</a></p><p style="text-align: left;">- <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory" target="_blank">Axiomas de la teoría de conjuntos</a></p><p style="text-align: left;">- <a href="https://www.youtube.com/playlist?list=PLtku678e9yj725K6hjLqKhJ854nTWWR5e" target="_blank">Curso de Geometría Diferencial de Frederic Schuller</a></p><p style="text-align: left;">- <a href="https://www.youtube.com/playlist?list=PLPH7f_7ZlzxTi6kS4vCmv4ZKm9u8g5yic" target="_blank">Lectures on geometrical anatomy of theoretical physics de Frederic Schuller</a></p><p style="text-align: left;">- <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)" target="_blank">Cuerpo</a>, <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)" target="_blank">anillo</a> y <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(matem%C3%A1tica)" target="_blank">módulo</a>.<br /></p>Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-83517332870368986132019-09-06T11:44:00.001+02:002019-09-06T11:44:55.979+02:00Energía gravitatoria<div style="text-align: justify;">
En Mecánica Clásica entendemos la <b>energía</b> como aquel <i>ente</i> capaz de realizar un trabajo. Si por ejemplo consideramos un campo de fuerzas conservativas, es decir que posean un potencial, podemos definir una <i>energía potencial</i> asociada a dicho campo, que se interpretaría como aquella cantidad de energía necesaria para desplazar una partícula hasta el <i>infinito</i> (o hasta tierra, es decir, donde el campo se anule).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://www.fisicalab.com/sites/all/files/contenidos/gravitacion/potencial-gravitatorio.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="262" data-original-width="424" height="246" src="https://www.fisicalab.com/sites/all/files/contenidos/gravitacion/potencial-gravitatorio.png" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Potencial gravitatorio creado por una distribución esférica de masa $M$.</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Consideremos la gravitación Newtoniana, donde el campo de fuerzas viene definido por la <b>Ley de la Gravitación Universal</b>:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$$ \vec F = - G \frac{m_1 m_2}{r^3} \vec r$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
siendo $G$ la constante de la gravitación universal, $m_1$ y $m_2$ las masas de las partículas en interacción y $\vec r$ el vector que las une. El campo es <b>conservativo</b>, pues proviene del potencial gravitatorio </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$$ V = - G \frac{m_1 m_2}{r} $$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
ya que $\vec F = -\nabla V$. La energía potencial se define como el potencial por unidad de masa. Si $M=m_1$ es la masa de la partícula que crea el campo y $m_2$ la que lo "siente", la <b>energía potencial</b> será </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$$E = - G \frac{M}{r}$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La interpretación física es que el valor numérico de $E$ en $r=r_0$ es la energía necesaria para llevar la partícula de $r=r_0$ hasta el infinito, donde no hay influencia gravitatoria. En este sentido, hemos encontrado una expresión <i>local</i> para la <b>energía gravitatoria</b>. Sin embargo, vamos a ver cómo todo se vuelve más complicado cuando nos adentramos en las fauces de la <b>Relatividad General</b>. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://www.publico.es/files/article_main/files/crop/uploads/2015/11/25/56557a3bb1679..0-29-644-361.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="340" data-original-width="660" height="205" src="https://www.publico.es/files/article_main/files/crop/uploads/2015/11/25/56557a3bb1679..0-29-644-361.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<h2 class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: #f1c232;">Principio de Equivalencia</span></h2>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Recordemos que, según la <b>Segunda Ley de Newton</b>, la fuerza y la aceleración que experimenta un cuerpo de masa $m$ están relacionadas por </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\vec F= m \vec a$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Por otro lado, hemos visto que la fuerza gravitatoria también depende de la masa $m$ de los cuerpos en interacción. La pregunta es, ¿son estas dos masas la misma? Esto es lo que se conoce como <b>Principio de Equivalencia de Galileo</b>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
En principio no tendría por qué. Fijémonos por ejemplo en la <b>Ley de Coulomb</b>, donde la fuerza electrostática depende de la carga $q$ de la partícula, no de la masa. De hecho, dos partículas de igual masa pero distinta carga <i>acelerarán</i> de forma diferente en presencia de un campo eléctrico. Esto es radicalmente distinto a lo que ocurre con el campo gravitatorio, en el que todos los cuerpos caen con la misma aceleración. ¿Qué tiene de especial la Gravitación?</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
A lo largo de la Historia ha habido multitud de experimentos para tratar de discernir si en efecto la masa gravitatoria (la de la Ley de la Gravitación Universal) es la misma que la masa inercial (la de la Segunda Ley de Newton). Uno de los más famosos fue el ideado por <b>Lóránd von Eötvös</b>, en el que aprovechó la rotación de la Tierra y la aceleración centrífuga correspondiente. En dicha experiencia y en sucesivas mejoras, se ha logrado probar que ambas masas son<i> iguales</i> con un error menor a $10^{-13}$ (en 1999). Actualmente la sonda espacial <b>MicroSCOPE</b> ha logrado llegar a cotas de $10^{-15}$, y se espera que el satélite <b>STEP</b> alcance hasta $10^{-18}$. Así pues, el Principio de Equivalencia de Galileo tiene una <b>gran base experimental</b>. Ahora bien, ¿qué conclusiones podemos obtener de él?</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
El <b>Principio de Equivalencia</b> de Galileo parece apuntar a que, de algún modo, un sistema de referencia acelerado es equivalente a uno inercial en presencia de un campo gravitatorio. Dado que el campo gravitatorio no es uniforme, esta equivalencia es sólo local. En este sentido, somos capaces de <i>anular</i> el efecto del campo gravitatorio dejándonos caer en él.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
El ejemplo típico, atribuido a Einstein, es el del ascensor. Si consideramos un ascensor que asciende con velocidad uniforme y dejamos caer un objeto, éste impactará contra el suelo del ascensor por efecto de la gravedad. Si repetimos el experimento en el espacio (sin gravedad) pero con un ascensor que se mueva de forma acelerada, el resultado va a ser el mismo. Análogamente, la Física en un ascensor inercial en ausencia de gravedad es la misma (localmente) a la que experimentaríamos en un ascensor en caída libre en presencia de un campo gravitatorio. Si en esta situación soltásemos un objeto, éste caería con nosotros, y lo percibiríamos "suspendido" ante nuestros ojos, como un sistema inercial en <b>Relatividad Especial</b>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://statics.memondo.com/p/s1/ccs/2019/07/CC_2727014_67d8f027766840739feb0a2a052ebfa4_trollface_principio_de_equivalencia_thumb_fb.jpg?cb=8624462" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="419" data-original-width="800" height="208" src="https://statics.memondo.com/p/s1/ccs/2019/07/CC_2727014_67d8f027766840739feb0a2a052ebfa4_trollface_principio_de_equivalencia_thumb_fb.jpg?cb=8624462" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Einstein elevó el Principio de Equivalencia a la categoría de <b>postulado</b> para su Teoría de la Relatividad General. Dicho postulado reza:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<i>Todas las leyes de la Física (salvo la gravitación) son las mismas, a escalas suficientemente locales, en un sistema en caída libre en presencia de un campo gravitatorio o en un sistema inercial en ausencia de gravedad.</i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Una versión alternativa es:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<i>Todas las leyes de la Física (salvo la gravedad) son iguales, localmente, en un sistema inercial en presencia de un campo gravitatorio y en un sistema de referencia acelerado en ausencia de gravedad.</i></div>
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<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
La principal consecuencia de este Postulado es que la gravedad ya no es una fuerza, si no que se trata de un efecto debido a la <b>Geometría</b> del espacio y del tiempo. Y una consecuencia secundaria es la imposibilidad de definir el concepto de <b>energía local gravitatoria</b> en Relatividad General. Veamos por qué.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
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<br /></div>
<h2 class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: #f1c232;">Energía local gravitatoria</span></h2>
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<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Recordemos que el Principio de Equivalencia nos lleva a abandonar toda esperanza de poder "medir el campo gravitatorio", al igual que Dante al descender al Inferno:</div>
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<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<i>" Lasciate ogni speranza, voi ch'entrate "</i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: right;">
<i>Inferno, La Divina Commedia, Dante Alighieri</i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: right;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Esto es debido a que el valor del campo (la métrica) toma valores diferentes en sistemas de referencia distintos. Por ejemplo, un observador en caída libre (coordenadas gaussinas), observa localmente la métrica de Minkowski, es decir, <b>no siente la gravedad</b>. En el límite newtoniano, la energía asociada al campo viene dada por el laplaciano del potencial gravitatorio, de modo que en Relatividad General esperaríamos que ésta dependiese de la métrica $g$ y sus primeras derivadas. Pero por el <b>Principio de Equivalencia</b>, la energía tomaría valores distintos en diferentes sistemas coordenados. Este es el motivo por el cual no se puede definir un tensor local de energía gravitatoria.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Sin embargo, sí que es posible construir un <b>pseudo-tensor local</b>, como por ejemplo el de Landau-Lifshitz. Este objeto no es tensorial, pues se anula en unos sistemas y no en otros, por lo que capta la esencia fundamental del Principio de Equivalencia. Además, a partir de él se pueden construir unas cantidades (masa ADM o momento ADM, en honor a Arnowitt-Deser-Misner, sus descubridores) conservados cuya interpretación es una <b>medida global</b> de la energía gravitatoria. La base matemática para introducir las formas de Landau-Lifshitz es bastante complicada, por lo que definiremos la <b>masa ADM</b> desde otra vía.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Desde los años 60 del siglo pasado se sabe que la <b>formulación hamiltoniana</b> de la Relatividad General (GR) es equivalente a la planteada por Albert Einstein en su teoría. A grandes rasgos, el Hamiltoniano es suma de dos términos: la ligadura hamiltoniana y la ligadura vectorial. Este formalismo canónico se sustenta en una <b>descomposición 3+1 de la GR</b>. Sin embargo, para normalizar el valor de la acción en GR es necesario añadir ciertos <b>términos de frontera</b> al hamiltoniano. Pues bien, precisamente uno de esos términos es la <b>energía ADM:</b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$E = \frac{1}{2}\int n^k(\partial_i h_{ik}-\partial_k h_{jj}) dS$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
donde la integral se realiza en la esfera del infinito, cuyo vector normal es $n$ y $h$ denota la métrica asintóticamente plana. Esta energía ADM obtenida desde el formalismo canónico <b>es la misma</b> que se encuentra a través del pseudo-tensor de Landau-Lifshitz.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
El ejemplo clásico no trivial es la energía ADM para la métrica de Schwarzschild en coordenadas isotrópicas. Un sencillo cálculo nos permite comprobar que dicha energía es igual a la <b>masa fuente</b> del campo gravitatorio. De esta forma podemos interpretar la <b>energía ADM</b> como una <b>medida global de la energía de campo gravitatorio en Relatividad General</b>. Si añadimos dicha energía como término de frontera al hamiltoniano, el valor numérico de éste resulta ser la energía ADM, recuperando así la noción de que el hamiltoniano es la energía del sistema.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<h2 class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: #f1c232;">Conclusiones</span></h2>
<h2 class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: #f1c232;"> </span></h2>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Según hemos visto, el Principio de Equivalencia nos obliga a abandonar la idea de poder medir el campo gravitatorio, y con ello a ser capaces de definir una medida local de energía gravitatoria. Sin embargo, sí que se puede definir una <b>medida global </b>de energía, asociada a la totalidad del campo. Dicha energía (ADM) se puede obtener desde una vía puramente geométrica (a partir de las formas de Landau-Lifshitz) o desde un planteamiento hamiltoniano de la Relatividad General.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<h2 class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: #f1c232;"><b>Referencias</b></span></h2>
<h2 class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: #f1c232;"><b> </b></span></h2>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
- R. Arnowitt, S. Deser, C. W. Misner, "Gravitation: An introduction to current research. The dynamics of General Relativity". John Wiley, Sons Inc., New York, London (1962).</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
- R. M. Wald, "General Relativity", The University of Chicago Press, Chicago and London, (1984).</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
- Y. Choquet-Bruhat, "General Relativity and the Einstein Equations". Oxford Mathematical Monographs, (2009).</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<b> </b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-73884870028751491752018-07-30T19:06:00.001+02:002018-08-01T16:22:07.029+02:00Sobre la imposibilidad de la cuadratura del círculo<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Muchos han sido los intentos de cuadrar un círculo con las "reglas clásicas de la antigüedad", es decir, construir con "regla y compás" un cuadrado de área igual a un círculo dado. Desde hace 150 años se sabe que es una tarea completamente imposible, al igual que muchos otros, como la trisección del ángulo o la duplicación del cubo (los tres problemas délicos). ¿Qué relación tiene la cuadratura del círculo con la trascendencia de $\pi$? ¡Comencemos!</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fd/Cuadratura-circulo-02.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="152" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fd/Cuadratura-circulo-02.png" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<span style="color: black;">Primero vamos a probar que el número $\pi$ es irracional y trascendente (sobre $\mathbb{Q}$, que lo omitiré en adelante). Este resultado es imprescindible para lo que después desarrollaremos.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><b>Proposición:</b> Todo número trascendente es irracional.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><b>Demostración:</b> supongamos que un número trascendente $p$ es racional. Entonces $p=\displaystyle\frac{a}{b}$ para ciertos enteros $a$ y $b$. Construímos el polinomio $p(x)=bx-a$, y como tiene por raíz a $p$, entonces es algebraico. Habiendo llegado a una contradicción, es claro que todo número trascendente es irracional. Por ello nos limitaremos a demostrar la trascendencia de $\pi$.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Una vez demostrada la trascendencia de $\pi$, veremos qué tiene que ver con la imposibilidad de cuadrar un círculo con regla y compás. Finalmente estudiaremos unas cuantas consecuencias y teoremas más.</span><br />
<span style="color: black;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<b></b><span style="color: black;"></span><span style="font-size: large;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: black; font-size: large;">1. Teorema de Lindemann-Weierstrass</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b></b><span style="color: black;"></span><span style="font-size: large;"></span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">Hermite (sí, el de los polinomios) fue el primero en probar que cualquier potencia racional de $e$ es trascendente, demostrando así que el propio $e$ es trascendente. Nueve años después, Lindemann lo generalizó diciendo que $e$ elevado a cualquier número algebraico es trascendente. Sin conocer la prueba de Lindemann, el español José Echegaray llegó al mismo resultado en 1886. El artículo lo puedes encontrar <b><a href="http://rodin.uca.es/xmlui/bitstream/handle/10498/7163/33925574.pdf" target="_blank">aquí</a></b>.</span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">Nosotros vamos a demostrar el caso más general del teorema, para luego particularizar al resultado que nos concierne. Bueno, vamos a ello:</span><br />
<b></b><span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;"><b>Lema (A): dados $c(i) \ \neq 0 \ \forall i\in\mathbb{Z}\cap [1,r]$ sean ${y(k)_1,..., y(k)_{m(k)}}$ las raíces de un polinomio con coeficientes $T_k(x)=v(k) x^{m(k)}+...+u(k)$ </b><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 700; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">$\forall k\in[1,r]$ enteros y con $u(k), v(k)\neq 0$. Entonces si $y(k)_i\neq y(u)_v$ con $(k, i)\neq (u, v)$ se tiene que $\sum_{i=1}^r{c(i)(e^{y(i)_i}+...+e^{y(i)_{m(i)}})}\neq 0$.</span></span><br />
<b></b><i></i><u></u><sub></sub><sup></sup><strike></strike><span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;"><b>Demostración:</b> en primer lugar la expresión final del enunciado puede ser escrita como </span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: black;">$S=\sum_{k=1}^n\beta_k e^{\alpha_k}\neq 0$</span></div>
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">donde $n_0=0$, $n=n_r$, $n_i=\sum_{k=1}^i m(k)$ con $i=1, …, r$, $\alpha_{n_i+j}=y(i+1)_j$ con $0\leq i\leq r$, $1\leq j\leq m(i)$ y $\beta_{n_i+j}=c(i+1)$. Supongamos que $S=0$ para llegar a una contradicción. Sea ahora </span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="color: black;">$f_i(x):=\frac{l^{np}(x-\alpha_1)^p...(x-\alpha_n)^p}{(x-\alpha_i)}$</span></div>
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">con $l$ entero y<span style="color: black;"> construyamos</span></span><span style="color: black;"> $I_i(s)=\int_0^s e^{s-x}f_i(x) dx=e^s\sum_{j=0}^{np-1}f_i^{(j)}(0)-\sum_{j=0}^{np-1}f_i^{(j)}(s)$ integrando por partes. En caso de que $s$ sea complejo integramos en un contorno cerrado que pase por la recta real y usamos el Teorema de Cauchy. Ahora evaluemos la suma</span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">$J_i=\sum_{k=1}^n \beta_k I_i(\alpha_k)=\sum_{j=0}^{np-1}f_i^{(j)}(0)\sum_{k=1}^n\beta_ke^{\alpha_k}-\sum_{k=1}^n\sum_{j=0}^{np-1}\beta_k f_i^{(j)}(\alpha_k)$ por lo que $J_i=-\sum_{k=1}^n\sum_{j=0}^{np-1}\beta_kf_i^{(j)}(\alpha_k)$ donde en la última igualdad hemos usado la hipótesis del absurdo.</span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">Si $j\geq p$ entonces $f_i^{(j)}(\alpha_k)$ es un entero algebraico múltiplo de $p!$. Si $j<p-1$ es claro que $f_i^{(j)}(\alpha_k)=0$ y si $j=p-1$ y $k=i$ entonces $f_i^{(j)}(\alpha_k)=l^{np}(p-1)!\prod_{i\neq k}(\alpha_i-\alpha_k)$. Este entero no es divisible por $p$ haciendo uso del <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Pequeño_teorema_de_Fermat" target="_blank">Pequeño Teorema de Fermat</a>, como puedes comprobar en la bibligrafía. Por tanto $J_i$ es divisible por $(p-1)!$. Ahora, reescribiendo $J_i$ como sigue</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="color: black;">$J_i=-\sum_{j=0}^{np-1}\sum_{t=0}^{r-1}c(t+1)(f_i^{(j)}(\alpha_{n_t+1})++f_i^{(j)}(\alpha_{n_{t+1}}))$</span></div>
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">Usando el <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_symmetric_polynomial#Fundamental_theorem_of_symmetric_polynomials" target="_blank">Teorema Fundamental de polinomios simétricos</a>, se puede probar que $J_i$ es un polinomio $G(\alpha_i)$, por lo que $|J_1...J_n|$ es un entero divisible por $(p-1)!^n$. La contradicción llega del hecho de que $|I(a_k)|\leq |a_k| e^{|a_k|}F_i{|a_k|}$ donde $F_i(x)$ es el polinomio cuyos coeficientes son los de $f_i(x)$ en valor absoluto. Pero entonces $J_i(|a_k|)\leq\sum_{k=1}^n|a_k\beta_k|e^{|a_k|}F_i(|a_k|)$ por lo que de alguna forma $|J_1...J_n|$ está acotado superiormente por cierto $N^p$, lo cual contradice la desigualdad anterior ya que $p$ es arbitrario y la cota inferior supera a la superior para $p$ suficientemente grande.</span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<b><span style="color: black;">Otro Lema (B): si $b(1),...,b(n)$ son naturales y $y(1),...,y(n)$ son algebraicos y diferentes, entonces $b(1)e^{y(1)}+...+b(n)e^{y(n)}\neq 0$.</span></b><br />
<b></b><span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;"><b>Prueba:</b> construyamos un polinomio con coeficientes enteros cuyas raíces sean $y(1),...,y(n),y(n+1),...y(N)$ y definamos $b(n+1)=…=b(N)=0$. Si suponemos que el enunciado es falso, es claro que </span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="color: black;">$\prod_{\sigma\in S_N}(b(1)e^{y(\sigma(1)}+...+b(N)e^{y(\sigma(N)})=0$</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">donde estamos considerando todas las permutaciones. Pero si expandimos ese productorio nos aparecen términos en exponenciales simétricas y al agrupar nos vamos a encontrar con una suma semejante a la del enunciado del lema A. Puede probarse que se satisfacen dichas hipótesis, lo cual es contradictorio y prueba el lema B.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: black;">Teorema de Lindemann-Weierstrass: si $a_1,...,a_n$ son números algebraicos no nulos y $\beta_1,...,\beta_n$ son números algebraicos distintos, entonces $a_1e^{\beta_1}+...+a_ne^{\beta_n}\neq 0$.</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b></b><span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><b>Demostración:</b> se prueba de forma muy parecida al Lema B.</span></div>
<span style="color: black;"></span><span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">La prueba que dio Lindemann originalmente de que $\pi$ es trascendente os la dejo en la bibliografía. Es menos general pero es suficiente para lo que necesitamos en esta entrada. De hecho simplemente con los lemas A y B podríamos probar la trascendencia e irracionalidad de $\pi$ y de $e$.</span><br />
<span style="color: black;"><br /></span>
<span style="color: black;">La trascendencia de $e$ ya fue probada en una entrada anterior, que puedes leer <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com/2016/05/el-numero-e.html" target="_blank"><b>aquí</b></a>. De hecho es trivial sin más que ver el enunciado del lema B, ya que si $e$ fuese algebraico la igualdad sería cero para ciertos coeficientes. </span><br />
<span style="color: black;"><br /></span>
<span style="color: black;">Ahora bien, si $\pi$ fuera algebraico, la <b><a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com/2015/01/la-igualdad-de-euler.html" target="_blank">ecuación</a></b> $e^{i\pi}+1=0$ contradeciría el Lema B, por consiguiente acabamos de demostrar que el número $\pi$ es trascendental. Ahora vamos a estudiar la relación entre la trascendencia y el hecho de que el número $\pi$ no sea construible.</span><br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: large;"><b>2. Imposibilidad de cuadrar un círculo</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">En primer lugar os remito a la <a href="https://www.gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-i-introduccion-y-primeras-construcciones/" target="_blank">bibliografía</a> para entender bien qué queremos decir con que un punto sea o no construible. Para el tema que nos concierne, es suficiente que entendáis que si $a$ y $b$ son dos puntos construibles, entonces su cociente es construible. Esto será clave para demostrar que es imposible cuadrar el círculo. Vayamos ahora a por un teorema, que tengo algo de mono.</span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<b><span style="color: black;">Un número es construible sí y sólo sí es algebraico y su polinomio mínimo irreducible sobre $\mathbb{Q}$ es potencia de 2.</span></b><br />
<span style="color: black;"><b></b><span style="color: black;"></span><br /></span>
<span style="color: black;">La demostración la puedes encontrar en el libro "What is mathematics?" que os dejo en la bibliografía, entre las páginas 127 y 140. La idea es simple y voy a tratar de ilustrarla.</span><br />
<span style="color: black;"><br /></span>
<span style="color: black;">Primero define un "number field" como un conjunto de números cerrado bajo operaciones racionales (suma, resta, producto y división). Llama $F_0$ al rational field y $F_1$ al irracional, que lo obtiene a partir de $F_=$. Obviamente ambos son construibles de forma muy sencillita (os vuelvo a remitir al artículo de Gaussianos). Poco a poco construye nuevos $F's$ a partir de los anteriores y observa qué números son construibles. Por ejemplo, los números de $F_1$ vienen de ecuaciones de segundo grado, los de $F_3$ de cuarto grado y así sucesivamente. Por tanto los números algebraicos son los únicos construibles. Además </span><br />
<span style="color: black;"><br /></span>
<span style="color: black;"><br /></span>
<span style="color: black;">Supongamos que es posible cuadrar el círculo con regla y compás. Esto equivale a decir que $R$ y $L$ son construibles, siendo $R$ el radio del círculo y $L$ el lado del cuadrado. Como $\pi R^2=L^2$ entonces $\sqrt{\pi}=L/R$ es construible por serlo $R$ y $L$. Pero esto es falso por ser $\pi$ trascendental. <b>Con lo cual queda probada la imposibilidad de cuadrar el círculo.</b></span><br />
<span style="color: black;"><b></b><br /></span>
<span style="color: black;"><br /></span>
<span style="color: black; font-size: large;"><b>3. Otros problemas délicos </b></span><br />
<span style="color: black;"><b></b><span style="font-size: large;"></span><br /></span>
<span style="color: black;"><br /></span>
<span style="color: black;">Además de la imposibilidad de cuadrar el círculo, existen otros dos problemas clásicos que se han demostrado imposibles.</span><br />
<span style="color: black;"><br /></span>
<span style="color: black;"><b>Duplicación del cubo:</b> no es posible porque el polinomio mínimo irreducible de $\sqrt[3]{2}$ es $x^3-2=0$ y 3 no es múltilplo de 2.</span><br />
<span style="color: black;"><br /></span>
<span style="color: black;"><b>Trisección del ángulo:</b> algunos ángulos sí se pueden trisecar, pero no es posible en general. En el artículo de Gaussianos de la bibliografía lo tiene hecho con el ángulo de 60º.</span><br />
<span style="color: black;"><br /></span>
<span style="color: black;"><br /></span>
<span style="color: black;"><b></b><span style="font-size: large;"></span><br /></span>
<span style="color: black; font-size: large;"><b>4. Curiosidades</b></span><br />
<span style="color: black;"><b></b><span style="font-size: large;"></span><br /></span>
<span style="color: black;"><br /></span>
<span style="color: black;">Hay otro teorema, el de Gelfond-Schneider, que garantiza que $a^b$ es trascendente si $a$ y $b$ son algebraicos y $b$ es irracional. Junto con el Teorema de Lindemann sería consecuencia de la <b><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Schanuel" target="_blank">Conjetura de Schanuel</a></b>, que no es más que eso, una conjetura.</span><br />
<span style="color: black;"><br /></span>
<span style="color: black;">De hecho, el teorema de Gelfond es el resultado del séptimo problema de Hilbert, una lista de 23 problemas matemáticos enunciada por Hilbert a principios del siglo pasado, de los cuales se han resuelto 9. </span><br />
<span style="color: black;"><br /></span>
<span style="color: black;"><br /></span>
<br />
<b><span style="color: black; font-size: large;">5. Conclusiones</span></b><br />
<b></b><span style="font-size: large;"></span><span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">La idea básica de esta entrada era probar que la cuadratura del círculo es imposible. Para ello hemos definido lo que es una construcción clásica con regla y compás, y hemos demostrado que sólo podemos construir números algebraicos que sean raíz de un polinomio irreducible de grado $2^n$ con $n$ natural. Habiendo probado que $\pi$ es trascendente gracias al Teorema de Lindemann-Weierstrass, hemos conseguido nuestro objetivo.</span><br />
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<span style="color: black;"></span><span style="color: black;"></span><br />
<br />
<br />
<br />
<h3>
<span style="color: black;">
Bibliografía</span></h3>
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">-<a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_trascendente" target="_blank"> https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_trascendente</a></span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">- <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann–Weierstrass_theorem" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann–Weierstrass_theorem</a> (Teorema de Lindemann)</span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">- <a href="http://gaussianos.com/echegaray-y-la-trascendencia-de-pi-no-lo-cuento-lo-hago/?utm_source=feedburner&utm_medium=feed&utm_campaign=Feed%3A+gaussianos+%28Gaussianos%29" target="_blank"> http://gaussianos.com/echegaray-y-la-trascendencia-de-pi</a></span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">-<a href="http://gaussianos.com/como-demostrar-que-%CF%80-pi-es-trascendente/" target="_blank"> http://gaussianos.com/como-demostrar-que-%CF%80-pi-es-trascendente/</a></span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">-<a href="http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-i-introduccion-y-primeras-construcciones/" target="_blank"> http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-i-introduccion-y-primeras-construcciones/</a> (Construcciones clásicas con regla y compás)</span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">- <a href="http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-ii-los-problemas-delicos/">http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-ii-los-problemas-delicos/</a></span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">-<a href="http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/numpi_lindemann.htm" target="_blank"> http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/numpi_lindemann.htm</a></span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">- <a href="http://gaussianos.com/quien-dijo-que-la-cuadratura-del-circulo-era-imposible/">http://gaussianos.com/quien-dijo-que-la-cuadratura-del-circulo-era-imposible/</a></span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">- <a href="http://www.cimat.mx/~ibrahim/LOTra_JIVG.pdf">http://www.cimat.mx/~ibrahim/LOTra_JIVG.pdf</a></span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">-<a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Hilbert" target="_blank"> https://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Hilbert</a> (Problemas de Hilbert)</span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">- <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Gelfond-Schneider">https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Gelfond-Schneider</a></span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">-<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxVwUeatfzQqdlBNakxHeGNBbzA/view?usp=sharing" target="_blank"> What is mathematics? Courant & Robbins </a>(los números algebraicos son los únicos construibles, pág 127-140)</span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">- <a href="http://rodin.uca.es/xmlui/bitstream/handle/10498/7163/33925574.pdf" target="_blank">http://rodin.uca.es/xmlui/bitstream/handle/10498/7163/33925574.pdf</a> (José Echegaray)</span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
- <a href="http://sixthform.info/maths/files/pitrans.pdf">http://sixthform.info/maths/files/pitrans.pdf</a> <span style="color: black;">(Más sobre la trascendencia de $\pi$)</span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<br />
<br />Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-71110485187340930852018-07-08T20:29:00.000+02:002018-07-11T00:57:34.737+02:00Las leyes de Newton y la curvatura del espaciotiempo<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Todos hemos oído hablar de las leyes de Newton desde pequeños. La primera de ellas nos dice cómo se mueve una partícula sobre la que no actúa ninguna fuerza, la segunda habla del efecto que produce la fuerza sobre la trayectoria, y la tercera es la ley de acción y reacción. En esta entrada nos vamos a centrar sólo en las dos primeras, que rezan así:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><b>1ª Ley:</b> un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza se mueve uniformemente y en línea recta.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><b>2ª Ley:</b> la desviación que sufre un cuerpo de moverse "libremente", es decir, uniformemente y en línea recta, es proporcional a la fuerza que actúa sobre él.</span><br />
<span style="color: black;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYIEn0RGQqRoGQ2wTqKZRAhbHRSDRSiPtrf7kAPu5UVakJi48HV7rDRn2fSJx55iIy0PfSCZgKvV7tHkt7kn3oRQIhbuQ_CumhUjpzGajWXqNAW26YIszRHxZgWqOWX7fjQAYzkUZmaFc/s1600/leyes-Newton-e1519761527205.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="450" data-original-width="800" height="180" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYIEn0RGQqRoGQ2wTqKZRAhbHRSDRSiPtrf7kAPu5UVakJi48HV7rDRn2fSJx55iIy0PfSCZgKvV7tHkt7kn3oRQIhbuQ_CumhUjpzGajWXqNAW26YIszRHxZgWqOWX7fjQAYzkUZmaFc/s320/leyes-Newton-e1519761527205.jpg" width="320" /></a></div>
<span style="color: black;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">En un sentido clásico, la primera ley nos define lo que es un sistema inercial, concepto clave, pues sólo en estos sistemas pueden aplicarse las otras dos leyes. Pero ya vemos aquí cierto argumento circular: ¿Cómo sabemos que sobre un cuerpo no actúan fuerzas?</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">De hecho, la fuerza de la gravedad es de alcance infinito, lo que lleva a pensar que la primera ley de Newton carece de significado práctico. ¿Cómo podemos lidiar con la 1ª Ley y con el hecho de que exista la gravedad? Muy sencillo, exigiendo que la gravedad no sea una fuerza sino algo distinto.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Desde un punto de vista geométrico, la 1ª Ley nos define lo que es una línea recta, es decir, nos define la curvatura de nuestro espacio (tiempo), y la 2ª nos informa de la desviación de las trayectorias como consecuencia de las fuerzas.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Para entender perfectamente la Física de esta entrada necesitamos cierto background matemático que pasaré a resumir a continuación.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<h2 style="text-align: justify;">
<span style="color: #cccccc;">1. Nociones básicas de geometría.</span></h2>
<div>
<span style="color: white;"></span><span style="font-size: large;"></span><span style="color: purple;"></span><span style="color: #cccccc;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Sea $(M,\theta,A)$ una variedad topológica diferenciable de dimensión $n$. Esto no es más que dotar a un conjunto $M$ de una topología $\theta$, osea, definir sobre ese conjunto lo que es un abierto $U$ y exigir que sea <b>localmente</b> homeomorfo a $\mathbb{R}^n$, es decir, que para cada abierto $U\subset M$ exista un homeomorfismo $x: U\longrightarrow \mathbb{R}^n$ biyectivo, continuo, invertible y con inversa continua. A la función $x$ se la llama "función coordenada" o "coordenadas".</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Esto no es nada del otro mundo. Pensad que cada punto $p$ de una esfera puede ser representado por dos coordenadas, $\theta$ y $\phi$, que representan a la esfera como un abierto de $\mathbb{R}^2$ de forma local.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Sobre cada $p\in M$ puedo construir un espacio vectorial llamado espacio tangente de la siguiente forma:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: black;">$T_pM := span\{\partial/\partial x^1, …, \partial/\partial x^n\}$</span></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"></span></span><br /></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">
</span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">Cada $X_p\in T_pM$ es una aplicación $X_p : C^{\infty}(M)\longrightarrow \mathbb{R}$ que de cada función sobre la variedad</span><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"> me dice su "derivada direccional" $X_p(f):= X^i\partial_i f$, donde entendemos que $\partial_i f := \partial/\partial x^i (f\circ x^{-1})$.</span></span><b></b><i></i><u></u><sub></sub><sup></sup><strike></strike></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Ahora puedo construir el fibrado tangente, $TM$, como la unión disjunta de todos los espacios tangentes a cada punto de la variedad. Ciertamente puedo proyectar la topología de $M$ sobre $TM$ haciendo que $TM$ sea una variedad diferenciable. Con estas estructuras puedo definir un campo vectorial $X$ como una aplicación $X:M\longrightarrow TM$ tal que $X\circ \pi=Id$ con $\pi$ la proyección canónica de $TM$ sobre $M$. El conjunto de campos vectoriales sobre el anillo $C^{\infty}(M)$, $\Gamma(TM)$, tiene estructura de <span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">$C^{\infty}(M)$-module, pues <span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">$C^{\infty}(M)$ es un anillo, no un cuerpo. Esto va a implicar que no tiene por qué existir una base de $\Gamma(TM)$ global (pero sí local, obviamente). </span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"></span><br /></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;">Ahora que sé derivar funciones sobre variedades, $\nabla_X f := X(f)$, me interesa saber derivar tensores en general. Para ello construyo el operador $\nabla_X$ con una serie de propiedades (imponiendo que el resultado sea tensorial) y me doy cuenta que tengo bastante libertad a la hora de escoger su funcionamiento. En particular puedo escoger arbitrariamente lo que se denomina la conexión $\Gamma^i_{j k}:=dx^i(\nabla_k \partial_j)$ para así "definir" cómo actúan sobre campos vectoriales</span></span></span><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">. En cierto sentido las $\Gamma$'s portan información sobre lo que entendemos por "paralelismo" sobre la variedad.</span></span></span></span><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><b></b><i></i><u></u><sub></sub><sup></sup><strike></strike><br /></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">Lo realmente bonito es el hecho de que la conexión no es un tensor, es decir, las funciones $\Gamma^i_{j k}$<span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">, no transforman como un tensor, lo cual va a ser muy relevante posteriormente. Añado en este punto que la parte antisimétrica de la conexión sí que transforma como un tensor: la torsión.</span></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">Debido a que no transforman como tensores, punto a punto puedo escoger un cambio de coordenadas que me anulen la conexión (la parte no tensorial), pero en general no puedo anular la conexión en todo mi espacio, eso dependerá de la curvatura de la misma. Vamos ahora a definir qué es eso de la curvatura.</span></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">Sea $\gamma:\mathbb{R}\longrightarrow M$ una curva suave y sea $V$ el campo de vectores tangentes a la curva sobre la curva (en realidad sólo necesito vectores punto a punto). Un vector $X$ es transportado a lo largo de la curva si $\nabla_V X=0$. Esto no es más que ir arrastrando el vector sobre la curva sin modificar sus componentes (transporte paralelo). </span></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></span></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi04g_G-wnaCq6pq7apy0_Ds1VAWhIYXOfRQh7DLTvUXTo24rWo2Z7uJNk_JNLk70Zyb36NyXI9kMZk2wNebhUgnDwmPAWcbYbCSqzxBUKq_oe5WFt8vkukZhk8oeYCQ0w69zk026mhfCg/s1600/transporte+paralelo.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="402" data-original-width="681" height="188" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi04g_G-wnaCq6pq7apy0_Ds1VAWhIYXOfRQh7DLTvUXTo24rWo2Z7uJNk_JNLk70Zyb36NyXI9kMZk2wNebhUgnDwmPAWcbYbCSqzxBUKq_oe5WFt8vkukZhk8oeYCQ0w69zk026mhfCg/s320/transporte+paralelo.png" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Un vector transportado paralelamente a lo largo de la curva </td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">Cuando en una curva su vector tangente es transportado paralelamente a lo largo de ella misma, decimos que esa curva es una geodésica (afín). Vamos a calcular en coordenadas la ecuación de una geodésica. Para ello dada la curva $\gamma$ parametrizada por $t\in\mathbb{R}$ definimos su vector tangente en un punto $p=\gamma(t_0)$ como $V(f):=d/dt (f\circ \gamma)(t_0)$, de modo que en coordenadas, $V=\dot{\gamma^i}\partial_i $. Por tanto, la ecuación de la geodésica en componentes es </span></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">$(\nabla_{\dot{\gamma^i}\partial_i}(\dot\gamma^n\partial_n))^m=\ddot\gamma^m+\Gamma^m_{a b}\dot{\gamma}^a\dot\gamma^b=0$</span></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">Las curvas que siguen las partículas libres ahora dependen de la conexión. Para una variedad plana en cartesianas, las $\Gamma$'s son nulas, y recuperamos el movimiento rectilíneo uniforme, pero en variedades curvas con conexiones arbitrarias la cosa ya no es tan sencilla.</span></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">Si has estudiado geometría diferencial sobre superficies en $\mathbb{R}^3$ habrás estudiado las geodésicas métricas como las que minimizan la distancia sobre la superficie. Es sencillo probar que usando la conexión usual de Levi-Civita, esa definición es equivalente a la nuestra. En ese caso, las geodésicas son las curvas tales que su vector de curvatura es normal a la superficie a lo largo de toda la curva, osea que su curvatura geodésica es nula. Habrás estudiado también la derivada "intrínseca" a lo largo de una curva como la derivada usual a la que le restamos la componente normal. Pues es equivalente (Levi-Civita). Nótese que nosotros no hemos dotado aún de una métrica a nuestra variedad y que diferenciamos, en principio, geodésicas métricas (minimizan la distancia) de geodésicas afines (se autotransportan paralelamente).</span></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">Definimos ahora el tensor de Riemann como </span></span></span></span></span><br />
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></span>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">$Riem(\omega,Z,X,Y):=\omega(\nabla_X\nabla_Y Z-\nabla_Y\nabla_X Z-\nabla_{[X,Y]} Z)$ </span></span></span></span></span></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></span><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">que se puede entender como la curvatura de la variedad. Podemos escribirlo en coordenadas en función de la conexión y sus derivadas, por lo que en una variedad curva es imposible eliminar la conexión con un simple cambio de coordenadas, ya que $Riem$ es un tensor. Finalmente se define el tensor de Ricci contrayendo el primer y el tercer índice de $Riem$, y el escalar de Ricci contrayendo el tensor de Ricci con la métrica.</span></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">Para aclarar un poco las ideas, supongamos dos aviones que se dirigen hacia el polo norte. Uno despega desde Ecuador y otro desde Guinea. A medida que avanzan, los dos aviones tienden a acercarse. Si los pasajeros de ambos aparatos no saben que la Tierra es esférica, postularán que hay una misteriosa fuerza que los atrae. Pero alguien que sepa que la Tierra es redonda, atribuirá dicho acercamiento a un efecto de la curvatura terrestre. Esto es precisamente lo que vamos a hacer con la gravedad, salvando las distancias.</span></span></span></span></span></div>
<h3 style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: white;"></span><br /></span></span></span></span></h3>
<h2 style="text-align: justify;">
<span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: transparent; display: inline !important; float: none; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: transparent; display: inline !important; float: none; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: transparent; display: inline !important; float: none; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: transparent; display: inline !important; float: none; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: #cccccc;">2. La motivación de Laplace</span></span></span></span></span></h2>
<div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="font-size: large;"></span><span style="color: white;"></span><span style="font-family: inherit;"></span><span style="font-size: large;"></span><span style="color: purple;"></span><span style="color: #cccccc;"></span><br /></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">En esta sección vamos a intentar abandonar la idea de la gravedad como una fuerza para intentar entenderla como consecuencia de un espaciotiempo curvado. Esta motivación surge del principio de equivalencia, es decir, de la idea de que todas las partículas se aceleran igual independientemente de su masa. Lo que intentó Laplace fue codificar el campo gravitatorio de tal manera que la 2ª Ley de Newton para la gravedad tomase la forma de una geodésica. Pero eso es imposible, ya que la fuerza de la gravedad sólo depende de las posiciones, no de las velocidades, y en la ecuación de la geodésica intervienen las velocidades.</span></span></span></span></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"></span></span></span></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">
</span></span></span></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">El problema de fondo es que hasta ahora nuestras curvas dependen de la parametrización. Para librarnos de ella simplemente pensemos en el tiempo como una coordenada más. Simplemente eso. Hasta ahora una curva era de la forma $(x^1(t), x^2(t), x^3(t))$. Ahora es una aplicación hacia $\mathbb{R}^4$ del tipo $(x^0(t)\equiv t, x^1(t), x^2(t), x^3(t))$. Entonces la ecuación de una partícula en un campo gravitatorio, teniendo en cuenta el principio de equivalencia,</span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">$\ddot x^a-f^a(x(t))=0$</span></span></span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">es equivalente a la ecuación de la geodésica en una variedad de dimensión 4 dotada de una conexión nula salvo los términos $\Gamma^{\alpha}_{0 0}=-f^{\alpha}(x(t))$ con $\alpha\neq 0$, ya que $\dot{x}^0=1$.</span></span></span></span></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"></span></span></span></span><br />
<div>
<br /></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">
</span></span></span></span>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">$\ddot{x}^a+\Gamma^a_{b c}\dot{x}^b\dot x^c=0$</span></span></span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"></span></span></span></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">Ciertamente existe curvatura, y no es un artificio por una extraña elección de coordenadas. Basta calcularse el tensor de Riemann para comprobarlo. En otras coordenadas donde espacio y tiempo se entremezclen, la conexión tomará formas extrañas, pero tomando $x^0=t$ (atlas estratificado) queda así de sencilla. La curvatura es por tanto temporal y la fuerza de la gravedad ahora no es más que un efecto de la curvatura del espaciotiempo de Newton. De este modo la 1ª Ley funciona y nos define la geometría de nuestro espacio. </span></span></span></span></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">
</span></span></span></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">
</span></span></span></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">Como curiosidad podemos calcular la componente (0, 0) del tensor de Ricci, y usando la ecuación de Poisson para el campo gravitatorio, vemos que en cartesianas $Ri_{0 0}=-\partial_a f^a =4\pi G \rho$. Esto es una maravilla. ¡La curvatura de la variedad viene codificada por la densidad de materia! Recuerda que estamos en mecánica Newtoniana, no hemos mencionado nada de Relatividad. Sólo estamos codificando la gravedad como geometría del espacio-tiempo para que la 1ª Ley de Newton pueda ser aplicable.</span></span></span></span></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">
</span></span></span></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">
</span></span></span></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">
</span></span></span></span>
<br />
<h2 style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">
<span style="color: #cccccc; font-size: large;">3. Axiomas geométricos del espaciotiempo Newtoniano</span></span></span></span></span></h2>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">
</span></span></span></span>
<br />
<div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: #cccccc;"></span><br /></span></span></span></span></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">
</span></span></span></span>
<div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">Ahora que entendemos que existe una relación entre la gravedad y la geometría del espaciotiempo de Newton vamos a establecer 3 axiomas sobre esta nueva variedad, olvidando por un momento todo lo aprendido en la sección 2.</span></span></span></span></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">
<div>
<br /></div>
<div>
Partimos de una variedad $(M,\theta,A)$ diferenciable de dimensión 4 dotada de una conexión $\nabla$ sobre la que existe un tiempo absoluto $t:M\longrightarrow \mathbb{R}$ suave. ¿Cómo debe ser el tiempo absoluto para mantener la estructura del espaciotiempo de Newton? Lo más sencillo es colocarse en un punto $p\in M$ de la variedad y vamos a ver cómo cambia el tiempo al avanzar en la dirección $\partial_0\in T_pM$. Si $(dt)_p(\partial_0)=0$, el tiempo no avanzaría en esa dirección, y lo mismo podríamos hacer con el resto de coordenadas. Por eso postulamos lo siguiente:</div>
<div>
<br /></div>
<div>
1. $(dt)_p\neq 0 \ \forall p\in M$ implica que $M$ está "foliada" en subconjuntos $S_{\tau}:=\{p\in M:t(p)=\tau\}$ disjuntos tal que $M=\cup S_{\tau}$. Esto es consecuencia del Teorema de la Función Implícita. De hecho, con estos requerimientos, los conjuntos $S_{\tau}$ son variedades topológicas de dimensión 3 con cartas $(x^1, x^2, x^3)$ diferenciables. Si $(dt)_p=0$ entonces el tiempo moriría o emergería de ese punto, lo cual, lejos de cualquier interpretación abstracta, no tiene sentido físico en Mecánica Newtoniana.<br />
<br /></div>
<div>
2. El tiempo fluye uniformemente a lo largo de cualquiera de las 4 direcciones del espaciotiempo, o simbólicamente, $\nabla dt = 0$. Esto es equivalente a decir que la 1-forma $dt$ derivada a lo largo de cualquier dirección da la forma nula, lo que implica que cuando yo quiera ver cómo de rápido fluye el tiempo a lo largo de cualquier dirección, el resultado me va a dar lo mismo sobre cualquier punto $p$ de la variedad. El tiempo sólo avanza hacia el futuro (no en el espacio) y de forma constante. No es posible un viaje en el tiempo hacia el pasado.<br />
<br /></div>
<div>
<span style="font-family: inherit;">3. <span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">Necesitamos postular también cómo funciona $\nabla$. Tomando coordenadas cartesianas $(x^0, x^1, x^2, x^3)$ sobre la variedad tendremos, como antes, que $\Gamma_{0 0}^{\alpha}:=-f^{\alpha}(x(t))=\partial_{\alpha} U$, siendo $U$ el potencial gravitatorio. En estas coordenadas (y en cualquier otras) ahora podemos calcular la conexión, la curvatura de Riemann, la torsión, etc. </span>La conexión $\nabla$ no tiene torsión, osea que $[\nabla_{\mu},\nabla_{\nu}]V^{\lambda}=Riem_{\mu \nu\rho}^{\lambda}V^{\rho}$. Si tuviésemos torsión, la conexión no sería simétrica y los paralelogramos a lo largo de los ejes coordenados no cerrarían, implicando que al viajar espacios iguales primero en una dirección y luego en otra, no llegaríamos al mismo punto.</span><br />
<span style="font-family: inherit;"></span><br />
Si nos fijamos en los vectores de la base en $T_pM$ y cómo varían al movernos sobre la variedad, observamos que $\nabla_0\partial_0=\Gamma_{0 0}^i\partial_i$. Visualmente, una partícula con velocidad temporal (en reposo en el espacio) se va a acelerar por la curvatura de la variedad hacia donde aumente el campo gravitatorio. Lo mismo podemos deducir si calculamos las derivadas de la base de $T_pM^*$.</div>
<div>
<br />
Para introducir el concepto de observador necesitamos dotar de una métrica a nuestra variedad. Entonces diríamos que un observador es una curva en el espaciotiempo cuyo vector tangente apunta hacia el futuro, ie $dt(V)>0$, y que porta una elección de base de cada $T_pM$ continua (y ortonormal).<br />
<br /></div>
<div>
Ahora podemos reformular las leyes de Newton en términos geométricos. Nótese que no necesitamos dotar de una métrica a este espacio, la única estructura adicional ha sido una conexión. Si lees algo más sobre el tema, también puede partirse de un espacio métrico y desarrollar la misma teoría. En este marco, las leyes de Newton quedarían:</div>
<div>
<br /></div>
<div>
1ª Ley: la línea del mundo de una partícula sobre la que no actúan fuerzas (la gravedad no es una fuerza) es una geodésica dirigida hacia el futuro, es decir, $\nabla_V V=0$ con $dt(V)>0$.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
2ª Ley: la desviación que sufren las líneas de mundo de las partículas es proporcional a la fuerza, es decir, $\nabla_V V=F/m$ con $dt(F)=0$. Las fuerzas, por tanto, te aceleran en las direcciones espaciales pero no en la temporal.<br />
<b></b><i></i><u></u><sub></sub><sup></sup><strike></strike><br />
No hemos definido lo que es un sistema inercial en nuestro espacio-tiempo, ni falta que hace. Simplemente tenemos una variedad topológica dotada de una conexión (que conocemos explícitamente en unas coordenadas determinadas).<br />
<br /></div>
<div>
Tomemos ahora coordenadas de tal modo que $x^0=t$, igual que antes. Nadie nos lo impide y va a simplificar todo, pues ahora los elementos $\Gamma^0_{a b}$ de la conexión son todos cero, con $a,b=0, 1, 2, 3$. De este modo la 2ª Ley en coordenadas nos dice que la coordenada $x^0$ es proporcional al parámetro que define la curva, y con un cambio adecuado de unidades podemos parametrizar con el tiempo absoluto $t$. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
Si escribimos la 2ª Ley de Newton en coordenadas espaciales vamos a obtener lo siguiente:</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\ddot x^{\alpha}+\Gamma^{\alpha}_{b c}\dot x^c\dot x^d+\Gamma^{\alpha}_{0 0}+2\Gamma^{\alpha}_{0 b}\dot x^b=F^{\alpha}/m$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Donde he separado los términos espaciales de los temporales para que se entienda mejor. El término $\Gamma^{\alpha}_{0 0}$ es el único que aparece en presencia de gravedad (con una buena elección de coordenadas). En ausencia de gravedad, podríamos escoger coordenadas tales que todas las $\Gamma$'s se anulasen (espaciotiempo plano). El resto de términos de la conexión no son gravitatorios, sino debidos a las coordenadas. Son las correciones de Coriolis, Centrípeta... fruto de elegir sistemas rotantes (que son coordenadas fijas en el espaciotiempo). Si escogemos coordenadas cartesianas, en un espacio sin gravedad, tendríamos </div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\ddot x^b=F^b/m$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</span></span></span></span><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><div style="text-align: justify;">
<span style="color: #cccccc;"></span><br /></div>
</span></span></span></span><br />
<h2 style="text-align: justify;">
<span style="color: #cccccc;">4. Variedad métrica</span></h2>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">
</span></span></span></span>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;">Como complemento, vamos a intentar dotar a nuestra variedad de una métrica, de modo que de ella se desprenda la conexión del apartado anterior de forma natural. Sea $(U,x)$ la carta con la que hemos trabajado anteriormente. En estas coordenadas defino la métrica </span></span></span></span></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: black;">$g_{i j}:=diag( -U, 2, 2, 2)_{i j}$</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Puedes probar como ejercicio que de esta métrica puede derivarse la conexión de Levi-Civita (determinada unívocamente) y que coincide con la conexión definida en la sección anterior. De este modo dotando a la variedad de este campo métrico, obtenemos todos los resultados de antes.</span></div>
</span></span></span><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"></span><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #cccccc;"></span><br /></div>
<h2 style="text-align: justify;">
<span style="color: #cccccc;">5<span style="color: #cccccc;">. Ejemplos</span></span></h2>
</span></span></span></span><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">
<div>
<span style="color: #999999;"><span style="color: #004000;"></span><span style="color: #cccccc;"></span><br /></span></div>
<div>
<span style="color: black;">En primer lugar vamos a estudiar una partícula libre en ausencia de gravedad. Por simplicidad tomemos sólo dos componentes espaciales. Escogiendo coordenadas cartesianas y condiciones iniciales tales que $(t(0)=0,x(0)=x_0,y(0)=y_0)$ y $(\dot t(0)=1,\dot x(0)=a,\dot y(0)=b)$ tendremos, por el primer axioma de Newton (en coordenadas) que $x=at+x_0$ y $y=bt+y_0$. Nada del otro mundo. La variedad es plana, pero escogiendo otras coordenadas (como polares), en la conexión aparecen términos no nulos pero que son un mero artificio. En este caso, $\Gamma^{\phi}_{r \phi}=1/r$ y $\Gamma^r_{\phi \phi}=-r$ de modo que obtendríamos $\ddot\phi+1/r\dot\phi\dot r=0$ y $\ddot r-r\dot\phi^2=0$. No es más que una línea recta en el espacio pero descrita en polares.</span></div>
<div>
<span style="color: black;"><br /></span></div>
<div align="justify">
</div>
</span></span></span></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="color: black;">La curva para una partícula libre, ahora con gravedad, vendrá dada por la primera ley de Newton. Supongamos una curva $\gamma$ en una carta $(U, x)$, que es aquella en la que la conexión tomaba esa forma tan sencilla, que parte de $(0,H,0,0)$ con vector tangente $(1,0,0,0)$. Evidentemente no podemos anular la conexión escogiendo unas "buenas coordenadas", pues la variedad es curva, ie, $Riem \neq 0$. Dicha curvatura (tensor de Riemann) viene codificada por la densidad de materia del universo. El único elemento no nulo de la conexión es $\Gamma^1_{0 0}=-g$ <b>con $g$ constante</b> a lo largo de la curva. La primera Ley de Newton nos dice que $\nabla_V V=0$, es decir, que la partícula se va a mover en "línea recta" por la variedad. Si resolvemos las ecuaciones (es trivial y lo propongo como ejercicio) en estas coordenadas, obtenemos las del tiro parabólico, es decir, $\gamma_x=(t, H-1/2g t^2, 0, 0)$. Por tanto, en esta geometría, ¡la "línea recta" corresponde a una parábola!</span></span></span></span></span><br />
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">Podemos pasar a unas coordenadas $(y^0, y^1, y^2, y^3)=(y\circ x^{-1})(x^0, x^1, x^2, x^3)=(t, x^1-H+1/2g t^2, x^2, x^3)$, donde la métrica toma la forma $g_{0 0}=-U-2g^2t^2$, $g_{1 0}=g_{0 1}=4gt$, $g_{1 1}=g_{2 2}=g_{3 3}=2$ y el resto nulos. Si calculas los elementos de la conexión, te vas a llevar una sorpresa: todos son cero (en todo punto de la variedad). Esto ocurre porque te la he colado un poquito. Si $g$ fuese constante la variedad sería plana, y esto no es así por la ecuación de Poisson. Si admitimos que $g=g(x^1)$ aún podríamos eliminar la conexión, pero sólo en un punto (o en un conjunto de puntos) de la variedad. Es lo que se denominan coordenadas localmente inerciales.<br />
</span></span></span></span><br />
<div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">Vemos por tanto que la conexión es algo ligado al observador (algo así como la sensación de peso) y la curvatura es algo intrínseco a la variedad (que codifica la materia). Dos observadores en un mismo espaciotiempo curvo pueden tener sensaciones de peso muy distintas, como acabamos de comprobar. El observador en caída libre no siente la gravedad (su conexión es nula, coordenadas localmente inerciales) mientras que el observador "en reposo" nota una conexión no nula.</span></span></span></span></div>
<div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></div>
<div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">De igual modo, dos observadores en un espaciotiempo plano pueden tener sensaciones muy distintas. Uno inercial no siente la gravedad (la conexión es nula), pero uno acelerado sí (por puro efecto de las coordenadas).</span></span></span></span></div>
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">
</span></span></span></span></div>
<br />
<h2>
<span style="color: #cccccc;">6. Conclusiones</span></h2>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br />
La idea básica que subyace es la siguiente: gracias al principio de equivalencia podemos codificar la gravedad como curvatura del espaciotiempo, de modo que dejemos de considerar los efectos de la gravedad como una fuerza y los atribuyamos a una consecuencia de un espaciotiempo curvado. Las geodésicas en esta nueva geometría son las curvas que describen las partículas libres, que no son trayectorias "uniformes y rectas" en el sentido habitual de la expresión.</span></span></span></span><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"> </span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><br /></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;"><span style="background-color: transparent; color: black; display: inline; float: none; font-family: "times new roman"; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; text-align: justify; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px;">En primer lugar hemos definido la conexión de manera constructiva en unas cómodas coordenadas, para después axiomatizar la teoría a partir de la cual podemos hacer física. Con pocos axiomas sobre la conexión y el tiempo absoluto hemos construido el espaciotiempo newtoniano incorporando la gravedad como curvatura del mismo. Del mismo modo podemos axiomatizar la teoría postulando una métrica como la de la sección 4 de la que se puede deducir la conexión.</span></span></span></span></div>
<br />
<h2>
<span style="color: #cccccc;">7. Bibliografía</span></h2>
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">Newton - Cartan theory on Wikipedia</span><br />
<span style="color: black;"></span><span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">Newtonian spacetime (Frederic Schuller) of Winter Scohol on gravity and light</span><br />
<span style="color: black;"></span><span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">The Geometry of Physics (Theodore Frankel)</span><br />
<span style="color: black;"></span><span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">Introducción a la Geometría Diferencial - Univ. de Granada (M.S.C & J.L.F.D)</span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<span style="color: black;">Introducción a la Relatividad General - Bert Janssen</span><br />
<span style="color: black;"></span><br />
<br />Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com0Salamanca, España40.9701039 -5.663539700000001240.9221424 -5.7442207000000014 41.0180654 -5.582858700000001tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-26043278562825657522017-04-09T17:49:00.000+02:002017-04-10T14:02:51.404+02:00Demostración de que $1=0$<div style="text-align: justify;">
Hoy vamos a dar una prueba de que $1=0$. Obviamente esto no es cierto, por lo que tu misión, querido lector, es ver dónde te la estoy jugando. Allá vamos:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Sea $I:=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{i\tau+1}d\tau}$. Multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, obtenemos:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$I=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{i\tau+1}d\tau}=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{-i\tau+1}{1+\tau^2}d\tau}=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{1+\tau^2}d\tau}$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Pues la función $\phi=\displaystyle\frac{x}{1+x^2}$ es impar y el recinto de integración es par, luego la integral se anula. Finalmente, </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$I=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{1+\tau^2}d\tau}=\arctan(1)-\arctan(-1)=\frac{\pi}{2}$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Por otro lado:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$I=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{i\tau+1}d\tau}=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{i}\frac{d}{d\tau}\log (i\tau+1)d\tau}=$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$=\displaystyle\frac{1}{i}[\log (1+i)-\log(1-i)]=\frac{1}{i}(\frac{i\pi}{4}-\frac{i7\pi}{4})=-\frac{3\pi}{2}$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Donde se ha tomado como argumento principal aquel en el intervalo $[0,2\pi)$. Como $I=I$, entonces tenemos que $\displaystyle\frac{\pi}{2}=-\frac{3\pi}{2}$. Dividiendo ambos miembros entre la cantidad $2\pi\neq 0$, obtenemos finalmente que:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}\Longrightarrow 1=0$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
¿Dónde está el error? </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Advertencia: Los comentarios de esta entrada contienen algún que otro spoiler ;)<br />
<br />
<br /></div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com8tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-16570813156799257912017-01-13T09:49:00.000+01:002017-01-13T09:49:07.107+01:00El viaje de la Voyager<div style="text-align: justify;">
Este 2017 se van a cumplir 40 años del lanzamiento de las dos sondas Voyager, motivo por el cual presento la entrada de hoy. En ella hablaré de los objetivos de la misión, los detalles técnicos de las órbitas seguidas por ambos satélites, su localización actual y el futuro incierto del proyecto. Que aproveche.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://pirman.es/images/ampliadas/voyager-1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="290" src="https://pirman.es/images/ampliadas/voyager-1.jpg" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
El primer objetivo de las dos sondas Voyager fue el estudio de Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno, para después abandonar el Sistema Solar en una órbita hiperbólica para no regresar jamás. Con este motivo, el científico <b>Carl Sagan</b> fue encargado para mandar un "mensaje en una botella" mediante estas dos naves para posibles civilizaciones extraterrestres.<br />
<br />
La sonda Voyager 2 fue lanzada el 20 de agosto de 1977. Dos semanas después, el 5 de septiembre de 1977 es lanzada la Voyager 1. El 5 de marzo de 1979, la Voyager 1 alcanza <b>Júpiter</b>, y aprovechando su tirón gravitatorio partirá en un viaje de un año y medio a <b>Saturno</b>, al que llega en noviembre de 1980. Por su parte, la Voyager 2 llega a Júpiter en julio del 79 y a Saturno en agosto del 81, 9 meses más tarde que la Voyager 1.<br />
<br />
Los científicos encargados de la misión decidieron aprovechar a la Voyager 1 para el estudio de <b>Titán </b>(satélite de Saturno), por lo que se cancelaría su viaje a Urano y Neptuno. Este tirón gravitatorio hizo a la sonda entrar en una órbita hiperbólica en el sistema heliocéntrico habiendo superado la velocidad de escape, poniendo rumbo a los confines de nuestro Sistema Solar.<br />
<br />
Por su parte, la Voyager 2 visitó Urano en 1986 y Neptuno en 1989, para después pasar a convertirse, al igual que su hermana, en una<b> sonda interestelar. </b><br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="http://voyager.jpl.nasa.gov/mission/images/missionImage_top.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="http://voyager.jpl.nasa.gov/mission/images/missionImage_top.jpg" height="218" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Localización actual de las Voyager</td></tr>
</tbody></table>
<br />
En agosto de 2006, la Voyager 1 superó la distancia de 100 UA del Sol, superando asimismo a las sondas <b>Pioneer</b> y conviertiéndose en el objeto fabricado por el ser humano más alejado de nosotros. En 2005 supera el frente de <b>choque de terminación</b>, para pasar a la heliofunda con rumbo a la heliopausa.<br />
<br />
El 13 de septiembre de 2013, la sonda Voyager 1 alcanza el espacio interestelar (no en abandonar el Sistema Solar, que se extiende hasta la nube de Oort, a 2000 UA del Sol). Acualmente su velocidad parece estar decreciendo, hecho que causa controversia entre la comunidad científica y que ya se comentó en la entrada de <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/2016/04/la-materia-oscura.html" target="_blank"><b>Materia Oscura</b></a>.<br />
<br />
Según la <a href="http://voyager.jpl.nasa.gov/where/index.html" target="_blank"><b>página web de la misión</b></a>, acualmente la Voyager 1 se encuentra a <b>137 UA del Sol</b>, algo más de <b>20.000 millones de kilómetros</b>, y la Voyager 2 a 113 UA, tardando la información que nos mandan más de 30 horas en llegarnos.<br />
<br />
<h4>
Futuro de la misión</h4>
<h4>
</h4>
Actualmente la misión es controlada por 10 científicos, corriendo el riesgo de ser abandonada. Los motores termonucleares de las sondas les permitirán funcionar hasta, como mínimo, 2025. Después de ese momento, sus operativos irán apagándose hasta convertirse en objetos inertes y fríos vagando por el espacio dirigiéndose hacia el centro de nuestra galaxia. Ambas sondas emiten señales con una <b>potencia de 20 W</b> y son detectadas por las enormes antenas de la<b> Red de Espacio Profundo</b>, como las de Robledo de Chavela (Madrid). Hay otra antena en EEUU y otra en Australia. Para hacernos una idea, estas antenas son capaces de detectar el equivalente a una bombilla de 20 W a una distancia de más de 20 mil millones de kilómetros...<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://fotosdeespana.files.wordpress.com/2012/05/120601-mad-robledo-de-chavela-estacic3b3n-nasa-rimg49313.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="307" src="https://fotosdeespana.files.wordpress.com/2012/05/120601-mad-robledo-de-chavela-estacic3b3n-nasa-rimg49313.jpg" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Robledo de Chavela, Madrid, España.</td></tr>
</tbody></table>
<br />
Como ya comenté, las sondas transportan mensajes de la Tierra a posibles civilizaciones extraterrestres, como un mensaje en una botella. Contienen <b>música</b>, saludos en diversos idiomas, fotografías y un mapa indicando la posición de la Tierra en el Sistema Solar, y la de éste en la Vía Láctea "triangulando" con púlsares.<br />
<br />
<br />
<h4>
Órbitas seguidas por las sondas</h4>
<h4>
</h4>
A continuación entraré en detalle al estudio de la Física de los viajes, es decir, el cálculo ilustrativo de las órbitas y el efecto del <b>tirón gravitatorio</b>. Lo que aquí se explica no es lo que se realizó en realidad, pues la Voyager 1 fue acelerada en Júpiter y Saturno y se modificó la misión, y nosotros aquí solo estudiaremos el paso por Júpiter para entender cómo funciona el <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/2015/07/slingshot-gravity-assist-o-swing-by.html" target="_blank"><b>tirón gravitatorio.</b></a><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiN56N2QGk9ulTE3juJe4eTOdTFBdrklqOl_YUcn1UoA3jblTsv9YjRe09ovqhXZMgjXG5n_XCnURyOb-LwGjcYKpk03Q3Xs_hwJtk8WVR5Zky_3-ryI5g4zT4qFl29SgK8gZ60LLU9KHw/s1600/Sin+t%25C3%25ADtulo.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiN56N2QGk9ulTE3juJe4eTOdTFBdrklqOl_YUcn1UoA3jblTsv9YjRe09ovqhXZMgjXG5n_XCnURyOb-LwGjcYKpk03Q3Xs_hwJtk8WVR5Zky_3-ryI5g4zT4qFl29SgK8gZ60LLU9KHw/s320/Sin+t%25C3%25ADtulo.jpg" width="314" /></a></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Supongamos que queremos enviar una sonda de la Tierra (órbita circular pequeña) a Urano (órbita circular grande) en una órbita elíptica (en rojo). Dado que Urano se encuentra a 19,2 UA del Sol y la Tierra a 1 UA, la órbita en el sistema heliocéntrico vendrá dada por </div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: center;">
$$r(\theta)=\frac{1.92 \ UA}{1+0.9\cos\theta}$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
pues es la ecuación de una elipse con su excentricidad previamente calculada a partir de los semiejes de la órbita. El tiempo que tardará en llegar lo calcularemos mediante la <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/2014/06/deduccion-de-la-tercera-ley-de-kepler.html" target="_blank"><b>Tercera Ley de Kepler</b></a>: si $T$ es el periodo de la órbita y $\tau$ es un año,</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$t=\frac{T}{2}=\frac{\tau}{2}\left(\frac{a}{r_T}\right)^{3/2}\approx 16 \ años$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Siendo $a$ el semieje mayor de la órbita y $r_T$ la distancia de la Tierra al Sol. Como la energía se conserva, puede verse que la velocidad en función de $r$ vendrá dada por</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$v^2=2GM_S\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2a}\right)$$</div>
<br />
Para el perihelio, es decir $r=r_T$, esta velocidad es de 41 km/s. Si además le sumamos la velocidad de escape en la Tierra (11 km/s), necesitaríamos comunicarle una velocidad de 52 km/s a nuestra sonda, una verdadera barbaridad. Sin embargo, esta velocidad es respecto al <b>sistema heliocéntrico</b>. Como la Tierra en este sistema orbita a 30 km/s, solo necesitaríamos otorgarle 22 km/s a la sonda, y si lanzamos desde el ecuador aprovechando la rotación terrestre, la velocidad acaba reduciéndose a 21,5 km/s.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLtTBo4SIbtmKxSo-XGDPJ33msvGN_YC6D1yZq_EhUrLenLbP5pSjZS9UU9Kt6JL7gPCr_ivQSwdz0ne_GBCxcDURejQ1aBaoMjtSDhK_x0qV3u0pggwejfyWzvtK8v3n1TJl2EZ_4HA4/s1600/Sin+t%25C3%25ADtulo.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLtTBo4SIbtmKxSo-XGDPJ33msvGN_YC6D1yZq_EhUrLenLbP5pSjZS9UU9Kt6JL7gPCr_ivQSwdz0ne_GBCxcDURejQ1aBaoMjtSDhK_x0qV3u0pggwejfyWzvtK8v3n1TJl2EZ_4HA4/s320/Sin+t%25C3%25ADtulo.jpg" width="314" /></a></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Ahora estudiemos el caso de la imagen superior. Pasaremos con la nave cerca de Júpiter para aprovechar su tirón gravitatorio, acelerar nuestra nave y desviar la trayectoria. Esto puede ser entendido como un choque elástico en el sistema de referencia de Júpiter. Denotaremos con $v$ al vector velocidad en el sistema heliocéntrico, $v^*$ en el sistema de Júpiter y $V_J$ a la velocidad de Júpiter en el sistema heliocéntrico. Con esta notación es evidente que </div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: center;">
$$v=V_J+v^*\Rightarrow v^*=v-V_J$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUhGfyR12BdA-ww72uCaVYSr5fH6CLwpEMzXFHid6fRnpHDK_wDVwUtxswr6uQ0-9U3gCNKCPG5V-gYcXNXGmN9C7sQYk8kMibiSDoRHdFiXLT-rAx49ZoU6IffL2P5Zb2O7U9lTzPbb8/s1600/Sin+t%25C3%25ADtulo.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="212" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUhGfyR12BdA-ww72uCaVYSr5fH6CLwpEMzXFHid6fRnpHDK_wDVwUtxswr6uQ0-9U3gCNKCPG5V-gYcXNXGmN9C7sQYk8kMibiSDoRHdFiXLT-rAx49ZoU6IffL2P5Zb2O7U9lTzPbb8/s320/Sin+t%25C3%25ADtulo.jpg" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
Si calculamos la velocidad orbital de Júpiter obtenemos unos 13 km/s, y si calculamos la velocidad de nuestra sonda para $r=r_J$ resulta ser de 16 km/s. Para determinar $v^*$ necesitamos conocer el ángulo $\beta$, para lo cual emplearemos que el momento angular se conserva. Si $v_p$ es la velocidad en perihelio, es claro que<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$r_T v_p=r_Jv\cos\beta\Rightarrow\cos\beta=1/2\Rightarrow v^*= 14,7 \ km/s$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Como el choque es elástico, esta velocidad se conserva en módulo (no así en dirección) en el sistema de Júpiter. Por tanto la velocidad final en el sistema heliocéntrico será</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$v_f=V_J+v^*_f$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$v_f$ será máximo si conseguimos que $v^*_f$ salga tangente a la órbita de Júpiter. En ese caso es claro que $v_f=27.7 \ km/s$. El ángulo $\theta^*$ de dispersión en el sistema CM puede calcularse de forma sencilla dibujándose un diagrama con las velocidades antes y después del choque, y resulta ser de 110º. Este ángulo no deja de ser el que forma la velocidad de salida de la nave con la velocidad inicial en el sistema CM. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhroMlTJKBs25IV0vjigp6LcHfkhuIP4XkdS1BV2UpSsk7l8Y2c85UJiHm1wzWlkgPl8AawxppSP1ymqKv-jZfV_XmuWEcmx_F1TQ9JDCwgnZlZUHnOzZlhm2n1qKGIgZObpecLkdGXiDU/s1600/Sin+t%25C3%25ADtulo.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="215" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhroMlTJKBs25IV0vjigp6LcHfkhuIP4XkdS1BV2UpSsk7l8Y2c85UJiHm1wzWlkgPl8AawxppSP1ymqKv-jZfV_XmuWEcmx_F1TQ9JDCwgnZlZUHnOzZlhm2n1qKGIgZObpecLkdGXiDU/s320/Sin+t%25C3%25ADtulo.jpg" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Por otra parte, calculándonos el ángulo de dispersión en función del parámetro de impacto $b$, obtenemos que </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$\tan\left(\theta^*/2\right)=\frac{GM_J}{b{v^*}^2}$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
De donde se obtiene que $b\approx 400.000 \ km$, unas 5 veces su radio. De esta forma nos aseguramos la no colisión física. Cálculándonos la nueva órbita en el sistema de Júpiter conocida la energía y la excentricidad de la curva tendríamos </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$r(\theta)=\frac{4,3R_J}{1+1,22\cos\theta}$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Por último tenemos que transformar esta ecuación al sistema heliocéntrico. Para ello necesitaremos simplemente el nuevo momento angular y energía de la sonda. Puede verse que $L=mv_fr_J$ y $E=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{GM_Sm}{r_J}$ o $r_J=\frac{v_f^2r_J^2}{GM_S(1+\epsilon)}$, ecuaciones que se obtienen al resolver el problema de los dos cuerpos y que no deduciremos hoy aquí. De esta guisa es inmediato llegar a que</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$r(\theta)=\frac{23.6 \ UA}{1+3,54\cos\theta}$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
en el sistema heliocéntrico. Es evidentemente una <b>órbita hiperbólica</b> pues $\epsilon>1$ y $E>0$. Calculando la energía podemos deducir que la velocidad a distancias donde la atracción solar es despreciable es del orden de 20 km/s. Si tenemos en cuenta que la velocidad real de la Voyager 1 es actualmente de 17 km/s, nuestras aproximaciones y suposiciones no son tan malas a fin de cuentas.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En realidad, el parámetro de impacto fue mayor para poder interceptar a <b>Saturno</b> en su órbita, por lo que la velocidad de salida no fue tan grande. Después, la <b>Voyager 1</b> volvió a acelerarse en Saturno, repitiendo el mismo procedimiento que hemos hecho con Júpiter, pero teniendo en cuenta que la velocidad orbital de Saturno es menor.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAR3_xN752PyHeXrtABGyn3CQbkvfhL2ZAV11Frt5XwNK1jiHn4qKk7Nz4myrwUewYKOa77WMzPE6ywBBBRQegQplZKV8L2HXhcbW-8VXfrm_lY3rd3TRYQjy8VPCMreB5A1Ge5sehZo8/s1600/WhatsApp+Image+2017-01-09+at+00.27.52.jpeg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="265" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAR3_xN752PyHeXrtABGyn3CQbkvfhL2ZAV11Frt5XwNK1jiHn4qKk7Nz4myrwUewYKOa77WMzPE6ywBBBRQegQplZKV8L2HXhcbW-8VXfrm_lY3rd3TRYQjy8VPCMreB5A1Ge5sehZo8/s320/WhatsApp+Image+2017-01-09+at+00.27.52.jpeg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Trayecto seguido por las Voyager</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En esencia, en este tipo de maniobras, se trata de "frenar un poco" a un planeta muy masivo como Júpiter y aprovechar esa energía para acelerar enormemente una sonda de masa despreciable. Podemos hacer un <b>balance de energías</b> en el sistema heliocéntrico para ver que efectivamente esto es así:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$\Delta E_{nave}=\frac{1}{2}m\left(v_f^2-v_0^2\right)=-\Delta E_J=-\frac{1}{2}\left(v_0^2-v_f^2\right)=2\cdot 10^{11} \ J$$</div>
<br />
Este aumento de energía de la nave nos permite saber cuánto disminuye la velocidad de Júpiter, resultando ésta ser del <b>orden de 10 nm/s. </b>Podemos entonces decir que Júpiter no se frena en absoluto, pues 10 nm/s frente a sus 13 km/s es prácticamente cero.<br />
<br />
Espero que hayáis disfrutado con esta entrada. No os olvidéis de compartirla.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Un saludo!</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-88327696313779582452016-11-22T17:25:00.001+01:002016-11-22T22:29:31.037+01:00El arcoiris<br />
<div style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: justify;">
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Canta, oh musa, la cólera del pélida Aquiles; cólera funesta que causó
infinitos males a los aqueos y precipitó al Hades muchas almas valerosas
de héroes, a quienes hizo presa de perros y pasto de aves; cumplíase la
voluntad de Zeus desde que se separaron disputando el Atrida, rey de
hombres, y el divino Aquiles.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: right;">
La Ilíada, Homero.</div>
<div style="text-align: right;">
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigZ9RVcIlXts8rr3lQv8oXZheckCY8dfC-G05dYK8EMGhDIC66Yt3vC5IfK1k9gagUTAO1zun4K7SO5JSK5TC-WP4PWgUTQiWQVuCgCF2hvqsSqop32OVvltf_5IYpHXE3TPpfvhmRniU/s1600/Iris_and_Jupiter.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigZ9RVcIlXts8rr3lQv8oXZheckCY8dfC-G05dYK8EMGhDIC66Yt3vC5IfK1k9gagUTAO1zun4K7SO5JSK5TC-WP4PWgUTQiWQVuCgCF2hvqsSqop32OVvltf_5IYpHXE3TPpfvhmRniU/s320/Iris_and_Jupiter.jpg" width="318" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Iris y Júpiter (Michel Corneille), Versalles.</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: right;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
Según la mitología griega, Iris, hija de Taumante y Electra, es descrita como mensajera de los dioses y personificación de la tregua entre los dioses y los hombres al final de la tormenta. Para Platón, la palabra Iris procedía de <i>eireín</i>, símbolo de dialéctica y filosofía. En la tradición judeocristiana, el arcoíris simboliza el pacto entre Dios y los humanos después del Diluvio. En la epopeya de Gilgamesh, también es símbolo de pacto después de la Inundación. Hoy trataremos de explicar, tal y como hizo Descartes en el año 1637, por qué se producen los arcoíris.</div>
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<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Como sabemos, cuando un rayo de luz atraviesa una separación entre dos medios de distinto índice de refracción, sufre un cambio de dirección gobernado por la ley de Snell.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="http://www.comolahice.com/wp-content/uploads/2010/09/MG_3170.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="http://www.comolahice.com/wp-content/uploads/2010/09/MG_3170.jpg" height="320" width="211" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Refracción entre aire y agua</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El índice de refracción, en general, depende de la longitud de onda de la luz. En el caso del agua, la luz de color rojo es la que menos se desvía, mientras que la azul, por tener menor longitud de onda, sufre una mayor refracción. Esto puede observarse muy bien mirando al <b>Dark side of the Moon</b>...</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="http://rockthebestmusic.com/wp-content/uploads/2014/08/TD.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="http://rockthebestmusic.com/wp-content/uploads/2014/08/TD.png" height="200" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">The Dark side of the Moon, Pink Floyd</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En el caso del arcoíris, cuando después de la lluvia el ambiente está cargado de pequeñas partículas de agua, éstas actúan como lentes que desvían la luz solar, tal y como podemos ver en la siguiente imagen:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhm2HVzdq80_f7vLv3ihDbHwtn8mUFoF6xfakhaZIgKJP-X5dIajgIghIDB-WJM6XW8l23pa136BV6Qm6_Wpv-oX0PaA7L2lhcp4tv25lJ2l4pYpBH0aTG47BbPO8GguMlpULj0jyvZEOI/s1600/difraccion-gota-de-agua.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="261" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhm2HVzdq80_f7vLv3ihDbHwtn8mUFoF6xfakhaZIgKJP-X5dIajgIghIDB-WJM6XW8l23pa136BV6Qm6_Wpv-oX0PaA7L2lhcp4tv25lJ2l4pYpBH0aTG47BbPO8GguMlpULj0jyvZEOI/s1600/difraccion-gota-de-agua.png" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">La luz solar, de color blanco, se descompone por colores</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En ocasiones, la luz se refleja dos veces dentro de la gota de agua, produciéndose dos arcoiris: uno primaro y otro secundario con los colores invertidos.</div>
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<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://abelgalois.files.wordpress.com/2009/03/arco_iris_doble.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="300" src="https://abelgalois.files.wordpress.com/2009/03/arco_iris_doble.jpg" width="400" /></a></div>
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<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Pero, ¿por qué siempre vemos el arcoíris de espaldas al Sol y con el mismo ángulo? Para responder a esta pregunta, fijémonos que dependiendo de con qué ángulo entre la luz, los rayos se desviarán en una dirección o en otra. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
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" width="350" /> </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Como vemos en la imagen, hay una región dónde los rayos están más concentrados. Esa región puede encontrarse muy fácilmente sin más que determinar el ángulo de desviación en función del de entrada. Mediante el uso de trigonometría y de la ley de Snell, es sencillo determinar que </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$\phi_d=\pi+2\theta_1-4\cdot arcsen\frac{\sin\theta_1}{n}$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgA0ckpJXQ59aXfauxOWJclwH1N7ALZ-TwGu-sxIMy4obJkaj-sWLyvPNBrqTMXtkx3ZSsFuGvG4sK_pCgpxf6CyBgyNKyi8OIXVoczKQfMvaNctdbmUkrt1-QLYrKMJOZbFCxYoe5DjU0/s1600/Sin+t%25C3%25ADtulo.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="201" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgA0ckpJXQ59aXfauxOWJclwH1N7ALZ-TwGu-sxIMy4obJkaj-sWLyvPNBrqTMXtkx3ZSsFuGvG4sK_pCgpxf6CyBgyNKyi8OIXVoczKQfMvaNctdbmUkrt1-QLYrKMJOZbFCxYoe5DjU0/s400/Sin+t%25C3%25ADtulo.jpg" width="400" /> </a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
Derivando dicha función e igualando a cero para hallar el mínimo, descubrimos que éste es tal que $\phi_d=138º$, es decir, una desviación de 42º para la luz roja (y 40º para la azul). Por ello, los arcoíris siempre se forman cuando estamos de espaldas al Sol. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En teoría, es posible ver arcoíris completos, es decir, la circunferencia completa, siempre que se den las condiciones necesarias. También debemos recordar que el arcoíris como tal no existe, es una ilusión óptica fruto de la descomposición de la luz blanca por colores. Cada persona ve su propio arcoíris, pues la luz es dispersada por gotas distintas.</div>
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<br /></div>
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<br /></div>
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Más información:</div>
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<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Arco%C3%ADris" target="_blank">WikiPedia</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- <a href="http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/color/arcoIris/ArcoIris.htm" target="_blank">Ayto de A Coruña</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- <a href="http://noticias.eltiempo.es/2014/06/04/9-curiosidades-sobre-el-arcoiris/" target="_blank">Curiosidades de elTiempo.es</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-2227494612980000412016-11-12T17:46:00.000+01:002016-11-12T17:46:09.212+01:00La braquistócrona<div style="text-align: justify;">
Imaginad que os encargan la construcción de un tobogán con la siguiente condición: el tiempo de bajada tiene que ser el mínimo posible. ¿Cómo podríamos saber qué forma darle? Esta misma pregunta se la hicieron en el siglo XVII Jakob y Johann Bernouilli, y la solución a la que llegaron fue <b>la cicloide</b>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRuYkShWP42yVm9DmcJv_wwTe1XseNKr5dBM7rH5GDT8KMjulg4pN8jIJ3I6vBrQEz0KITq5ElIyMvC_Y77TnRhQP-BHdhHlQGwBJ-cqXtofYXwzCc4LNHyD7D7VyiKBy-fdBj_-e8eOk/s1600/Brachistochrone.gif" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="166" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRuYkShWP42yVm9DmcJv_wwTe1XseNKr5dBM7rH5GDT8KMjulg4pN8jIJ3I6vBrQEz0KITq5ElIyMvC_Y77TnRhQP-BHdhHlQGwBJ-cqXtofYXwzCc4LNHyD7D7VyiKBy-fdBj_-e8eOk/s400/Brachistochrone.gif" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">La curva roja es una cicloide</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La cicloide es una curva matemática parametrizada por las ecuaciones:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$x=a(t-\sin t)$$</div>
<div style="text-align: center;">
$$y=a(1-\cos t)$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Y se puede obtener como se observa en la siguiente presentación:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhbzuU9W0jdZrw6a6Fj_Ge-6K4ZFKc2QXY7-6WT4SsF7DhhXBg_iRM-VYK0vb0KEsahhhcNP91RrEsUsq63jl4oxs7MIC-6BZqrnMA2gmNL8Ha6OS4aQeaREHB8CJGAUmXrRdgP2hyT9bU/s1600/Cycloid_animated.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="150" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhbzuU9W0jdZrw6a6Fj_Ge-6K4ZFKc2QXY7-6WT4SsF7DhhXBg_iRM-VYK0vb0KEsahhhcNP91RrEsUsq63jl4oxs7MIC-6BZqrnMA2gmNL8Ha6OS4aQeaREHB8CJGAUmXrRdgP2hyT9bU/s400/Cycloid_animated.gif" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Bueno, tratemos de resolver el problema de la braquistócrona: una partícula de masa $m$ localizada en el origen se mueve a un punto arbitrario $A$ bajo la acción de la gravedad involucrando un tiempo mínimo. ¿Cuál es la trayectoria?</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Por conservación de la energía podemos decir que la velocidad es en todo momento $v=\sqrt{2gy}$, suponiendo que $\vec{g}$ actúa en el sentido negativo del eje $OY$. Por tanto el tiempo en llegar del origen a $A$ será:</div>
<div style="text-align: center;">
$$t=\frac{1}{\sqrt{2g}}\displaystyle\int_O^A{\sqrt{\frac{1+\dot{x}^2}{y}} dy}$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Denotando a $\dot{x}:=\frac{dx}{dy}$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange al funcional a integrar, y teniendo en cuenta que no depende explícitamente de $x$, uno observa que</div>
<div style="text-align: center;">
$$\frac{\partial f}{\partial\dot{x}}=\frac{\dot{x}y^{1/2}}{(1+\dot{x}^2)^{1/2}}=cte:=(2a)^{-1/2}$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Despejando y resolviendo la ecuación diferencial se llega a que:</div>
<div style="text-align: center;">
$$x=\displaystyle\int{\frac{ydy}{(2ay-y^2)^{1/2}}}$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Cuya solución es:</div>
<div style="text-align: center;">
$$x=a(t-\sin\theta)$$</div>
<div style="text-align: center;">
$$y=a(1-\cos\theta)$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
¡Precisamente una cicloide! Además de braquistócrona, la cicloide es tautócrona, es decir, que independientemente de la posición inicial, cualquier masa tarda el mismo tiempo en llegar al mínimo de la curva:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjslrtYFy3PmiHj37nurnYNTyJto8wCRXQMeJnM7WkUjP9KHO6QPS3B9H0zI99_EtdTEgO8I21LGewLIYP_LAkgx8E7BtFKv_V43sCHi-Ug3F6Ir0qP1LO8HmNUheWUyJrbNFnObpfFs5A/s1600/Tautochrone_curve.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="266" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjslrtYFy3PmiHj37nurnYNTyJto8wCRXQMeJnM7WkUjP9KHO6QPS3B9H0zI99_EtdTEgO8I21LGewLIYP_LAkgx8E7BtFKv_V43sCHi-Ug3F6Ir0qP1LO8HmNUheWUyJrbNFnObpfFs5A/s400/Tautochrone_curve.gif" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Esta propiedad es sencilla de demostrar, pues generalizando a una altura inicial $y=y_0$, uno tiene que </div>
<div style="text-align: justify;">
$$t=\frac{1}{\sqrt{2g}}\displaystyle\int_O^A{\sqrt{\frac{1+\dot{x}^2}{y-y_0}} dy}=2\left(\frac{a}{g}\right)\left(\pi/2-\arcsin\left(\frac{\cos\theta_f/2}{\cos\theta_0/2}\right)\right)$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Y dado que $\theta_f=\pi$ para todas las partículas, el tiempo será el mismo e igual a </div>
<div style="text-align: center;">
$$T=\pi\left(\frac{a}{g}\right)^{1/2}$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Con esto en mente, fue posible la mejora de los relojes de péndulo, montándolos sobre cicloides como se oberva en la imagen, pues de esta forma siempre marcarán el mismo periodo (isócronos). Esto mejoró mucho la navegación a partir del siglo XVIII.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/old/05edumat/geometriahoy/experimentosgeom/51a.gif" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/old/05edumat/geometriahoy/experimentosgeom/51a.gif" height="190" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Péndulo con envolvente una cicloide. Es isócrono</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<h4 style="text-align: justify;">
Para profundizar:</h4>
<h4 style="text-align: justify;">
- <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_braquist%C3%B3crona" target="_blank">Curva braquistócrona</a></h4>
<h4 style="text-align: justify;">
- <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cicloide" target="_blank">Cicloide</a></h4>
<h4 style="text-align: justify;">
- <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_variaciones" target="_blank">Cálculo variacional</a></h4>
<h4 style="text-align: justify;">
- <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Euler-Lagrange" target="_blank">Ecuaciones de Euler - Lagrange</a></h4>
<h4 style="text-align: justify;">
<br /></h4>
<h4 style="text-align: justify;">
<br /></h4>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-5953030407600607222016-06-29T18:32:00.002+02:002016-06-30T15:41:35.459+02:00¿Existen los números?<div style="text-align: justify;">
Desde pequeños hemos aprendido que los naturales son el 0, el 1, el 2,... y que hay infinitos. Sabemos que si vamos sumando 1 a cada número obtenemos el siguiente, y que da lo mismo hacer 2+5 que 5+2; en ambos casos obtendremos 7. ¿Pero son estos resultados algo trivial?<b> En absoluto.</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
¿Cómo podemos estar seguros de que existen los números? ¿Cómo sabemos que 1+1 = 2? Estas preguntas se las hizo el matemático Giuseppe Peano en el siglo XIX, introduciendo los conocidos como <b>Axiomas de Peano. </b>Tratemos de introducirlos partiendo de muy pocos preceptos evidentes e indubitables.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://66.media.tumblr.com/d877f2f01214b7637f4239f99f1c9100/tumblr_ntr1rpQaOz1tapdy5o1_1280.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://66.media.tumblr.com/d877f2f01214b7637f4239f99f1c9100/tumblr_ntr1rpQaOz1tapdy5o1_1280.jpg" height="225" width="400" /></a></div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Supongamos que existen entes que llamaremos "<b>conjuntos</b>", y que contiene otros entes llamados "<b>elementos</b>". Digamos que dos conjuntos $A$ y $B$ son iguales si cada uno está incluído en el otro, es decir, $A=B\leftrightarrow A\subset B\wedge B\subset A$. Éste es el <b>axioma de extensión. </b>Nos creeremos que para todo conjunto $A$ y condición $T$ existe $B\subset A$ definido como los elementos de $A$ que verifican $T$. Éste es el <b>axioma de especificación</b>. Ahora soy capaz de demostrar que<b> existe el cero</b>: definiendo $B=\{x\in A:x\neq x\}$ me doy cuenta de que este conjunto no posee elementos. Lo llamaré conjunto vacío o cero, denotándolo como $\Phi$. Bautizaré al cero como 0, al $\{0\}$ lo llamaré uno, al $\{0,1\}$ lo llamaré dos,...</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Axioma de la unión:</b> dada una colección de conjuntos $C$, existe uno que contiene a todos los elementos de al menos uno de ellos, I mean, $\exists V:\forall A\in C\wedge\forall x\in A$ se tiene que $x\in V$. El conjunto unión se denotará como</div>
<div style="text-align: center;">
$\bigsqcup_{A\in C} A=\{x\in V:x\in A\}$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Definiremos también el sucesor de $A$ como $A+=A\cup\{A\}$ y el concepto de conjunto sucesor, sobre el que pivota la teoría de Peano. $S$ es un conjunto sucesor si $0\in S$ y si $A\in S\Rightarrow A+\in S$. Tomaremos como <b>axioma</b> la existencia de un conjunto sucesor. A partir de unión y especificación construímos el conjunto intersección:</div>
<div style="text-align: center;">
$\bigcap_{A\in C} A=\{x\in \bigsqcup_{A\in C} A:x\in A\forall A\in C\}$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b> Lema: </b>si $A$ y $B$ son conjuntos sucesores, $A\cap B$ también lo es. Es evidente pues si $0\in A\wedge 0\in B\Rightarrow 0\in A\cap B$ y además si $n\in A\wedge n\in B\Rightarrow n+\in A\cap B$ pues $n+\in A\wedge n+\in B$ por hipótesis. Como corolario podemos afirmar que dada una colección de conjuntos $D$ y un conjunto $A$, $\bigcap_{A\in C} A$ es un conjunto de sucesores al que llamaremos <b>conjunto de los número naturales</b>: $\mathbb{N}=\bigcap_{A\in C} A$. Ahora estamos en disposición de enunciar los <b>axiomas de Peano.</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><u>Propiedades de $\mathbb{N}$</u></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><u></u></b><br /></div>
<div style="text-align: justify;">
1. Si $S\subset\mathbb{N}$ es sucesor entonces $S=\mathbb{N}$, pues $0\in S$ y toda vez que $n\in S$ entonces $n+\in S$. Esta es una generalización del <b>principio de inducción</b>. Otra forma de probarlo es mediante el <b>Principio del Máximo: </b>dado un conjunto acotado superiormente, éste tiene un máximo. </div>
<div style="text-align: justify;">
2. Cada $n\in\mathbb{N}$ satisface que $n+\neq 0$ pues $n\in n+$ y por tanto no puede ser $n+=\Phi$.</div>
<div style="text-align: justify;">
3.<b> </b>Dados $n,m\in\mathbb{N}$ con $n+=m+$ entonces $n=m$. Es una trivialidad, pues si $n=m$ no hay nada que demostrar, y si $n\neq m$ entonces como $n\cup\{n\}=m\cup\{m\}\rightarrow n\in m\rightarrow n\subset m$ y por la misma razón $m\subset n$ luego por el exioma de extensión $n=m$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Considerando el 1 en vez del 0 se tiene: </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><u>Axiomas de Peano</u></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><br /></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>(1) $1\in\mathbb{N}$ o más formal, $N(1)$.</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>(2) Si $n\in\mathbb{N}\rightarrow n+\in\mathbb{N}$ ó $\forall x(N(x)\rightarrow N(x'))$</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>(3) $\forall n\in\mathbb{N}, n+\neq 1$ ó $\neg \ \exists \ x(N(x)\wedge x'=1)$</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>(4) Si $1\in S\wedge n\in S\rightarrow n+\in S$ entonces $S=\mathbb{N}$. Otra forma más elegante es $(\phi(1)\wedge\forall x(\phi(x)\rightarrow\phi(x')))\rightarrow\forall x\phi(x)$</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>(5) Dados $n,m\in\mathbb{N}$ con $n+=m+$ entonces $n=m$. Formalmente, $\forall x\forall y((N(x)\wedge N(y)\wedge x'=y')\rightarrow x=y)$</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$N(n)$ simboliza que $n\in\mathbb{N}$. x' denota al sucesor de x. $\phi$ es cualquier proposición sobre $\mathbb{N}$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Hemos visto que tan solo con unos pocos axiomas razonables y reglas lógicas hemos demostrado que existe un conjunto al que llamamos "<b>números naturales</b>" que verifica una serie de propiedades mencionadas y otras que no hemos citado, pues no son relevantes para el tema a tratar. Ahora bien, ¿qué operaciones podemos hacer con los números y qué propiedades cumplen? Para ello tendremos que definir un par de conceptos más y ver el <b>Teorema de Recurrencia:</b><br />
<br />
Sea $a\in X$ y $f:X\rightarrow X$. Existe una <b>única</b> función $u:\mathbb{N}\rightarrow X$ tal que $u(0)=a$ y $u(n+)=f(u(n))$ $\forall n\in\mathbb{N}$.<br />
<br />
<u><b>Demostración:</b></u> Sea $C=\{A\subset\mathbb{N}\times X:(0,a)\in A\wedge (n+,f(x))\in A \ \text{siempre que} \ (n,x)\in A\}$. Probaremos en primer lugar que $u:=\bigcap_{A\in C} A\in C$. En efecto, si $(n,x)\in u\Rightarrow (n,x)\in A \ \forall A\in C\Rightarrow (n+,f(x))\in u$, y además como $(0,a)\in A \ \forall A\in C$, entonces $(0,a)\in u$, luego $u\in C$. Si ahora probamos que $u$ es función, acabaría la demostración, es decir, que para cada $n\in\mathbb{N}$ existe un solo $x\in X$ tal que $(n,x)\in u$. Como siempre, invoquemos a un conjunto sucesor. Sea $S=\{n\in\mathbb{N}:\exists \ \text{como mucho un } x\in X:(n,x)\in u\}$. Evidentemente $0\in S$. Supongamos que $n\in S$, entonces $(n,x)\in u$ y por cómo está definida $u$ se llega claramente a que $n+\in S$, luego $S=\mathbb{N}$ y quedaría probado el Teorema. El detalle de "como mucho un $x\in X$" se demuestra por reducción al absurdo suponiendo que hay dos y llegándose a que son el mismo. En efecto sea $V=u/\{(0,b)\}$ y $(n,x)\in V$. Entonces por Peano, $(n+,f(x))\in u$ y como $n+\neq 0\forall n\in\mathbb{N}$ entonces $(n+,f(x))\in V\Rightarrow V\in C\wedge u\subset V$ contra la hipótesis.<br />
<br />
Sea ahora $s:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ definida por $s(n)=n+$. El Teorema anterior nos garantiza la existencia de una función $S_m:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tal que $S_m(0)=m$ y $S_m(n+)=s(S_m(n))$. Llamaremos a esta función <b>la suma</b>, denotándola como $S_m(n)=m+n$. Por ejemplo, $1+1=S_1(1)=S_1(0+)=s(S_1(0))=s(1)=1+=2$. <b>Nunca una operación tan sencilla se hizo con tanta elegancia. </b>La función así definida es única, luego podemos estar tranquilos: 1 y 1 siempre sumarán 2.<br />
<br />
De esta definición se pueden deducir las propiedades que desde que íbamos a la escuela conocemos: la propiedad asociativa, distributiva y la existencia del 0 como elemento neutro. Pese a ser repetitivos, las demostraremos:<br />
<br />
<u><b>El 0 como elemento neutro</b></u><br />
<br />
Queremos probar que $0+m=m+0=m$ $\forall m\in\mathbb{N}$. Es evidente que $m+0=S_m(0)=m$, luego bastará probar que $0+m=m$. Sea $S=\{m\in\mathbb{N}:0+m=m\}$. Se ve que $0\in S$ y que si $m\in S\Rightarrow m+\in S$ ya que $0+m+=S_0(m+)=s(S_0(m))=(0+m)+=m+$, luego $\mathbb{N}=S$ y queda probado.<br />
<br />
<u><b>Propiedad conmutativa</b></u><br />
<br />
Sea $S=\{a\in\mathbb{N}:a+b=b+a \ \text{con} \ b\in\mathbb{N}\}$. $0\in S$ pues es neutro. Si $n\in S$ entonces $b+n+=S_b(n+)=s(S_b(n))=s(b+n)=s(n+b)=(n+b)+=n+ +b\Rightarrow n+\in S$, por lo que también queda probada.<br />
<br />
<u><b>Propiedad asociativa</b></u><br />
<br />
Definiendo un conjunto $S$ como en los casos anteriores y demostrando que es sucesor se deduce trivialmente. No queremos ni atosigar al lector ni insultar a su inteligencia.<br />
<br />
<br />
Por el T. de la Recurrencia podemos definir $P_m:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ con $P_m(0)=0$ y $P_m(n+)=S_m(P_m(n))$. Esta función se llamará <b>producto</b> y se denotará como <b>$P_m(n)=m\times n$</b>. Por ejemplo, $1\times 2=P_1(2)=P_1(1+)=S_1(P_1(1))=S_1(1)=2$. Al igual que antes podemos verificar las propiedades <b>asociativa y conmutativa</b>, demostrar que el 1 es el <b>elemento neutro</b> y demás, cosas que dejaremos como ejercicio al lector. Para hacerlo basta encontrar un conjunto sucesor, como hicimos antes.<br />
<br />
Podemos definir otras operaciones como <b>la potencia</b>. En este caso, de nuevo, $E_m:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$, $E_m(0)=1$, $E_m(n+)=P_m(E_m(n))$ y se denota por $E_m(n)=m^n$. Al igual que antes, podemos demostrar todas las propiedades que ya sabemos sobre las potencias, pero ahora de una forma más elegante y rigurosa. Por ejemplo:<br />
<br />
$E_m(n+k)=E_m(n)\times E_m(k)$<br />
<br />
Demostración: sea $S=\{n\in\mathbb{N}:E_m(n+k)=E_m(n)\times E_m(k)\}$. Es evidente que $0\in S$. Supóngase que $n\in S$. Entonces<br />
<div style="text-align: center;">
$E_m(n++k)=E_m((k+n)+)=P_m(E_m(k+n))=P_m(E_m(n)\times E_m(k))=$</div>
<div style="text-align: center;">
$=m\times E_m(n)\times E_m(k)=E_m(n+)\times E_m(k)$ </div>
suponiendo demostrada la propiedad asociativa del producto.<br />
<br />
<br />
Espero que esta entrada, pese a quizá ser demasiado formal, os haya gustado.<br />
<br />
Un saludo!<br />
<br />
<br />
<br /></div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-21921307445205085162016-05-15T14:04:00.001+02:002016-05-15T14:06:14.473+02:00Lámparas fluorescentes<div style="text-align: justify;">
Están en multitud de edificios o naves industriales, en forma de tubo, bombilla enrollada, etc. ¿Pero cómo funcionan? En la entrada de hoy hablaremos del funcionamiento y fundamento físico de las famosas lámparas fluorescentes, sus características y propiedades más relevantes. Para ello nos centraremos solamente en los tubos.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://images.jimper.es/2013/10/bombillas-LFC.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://images.jimper.es/2013/10/bombillas-LFC.png" height="238" width="320" /></a></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Un tubo fluorescente está formado, básicamente, por tres piezas: el tubo en sí, un cebador y una reactancia inductiva. El tubo es de vidrio, y en su interior se halla el vapor de mercurio combinado con algún gas inerte como el neón o el argón. Recubriendo el cristal hay un material llamado "fósforo", aunque no contenga esta sustancia. Su misión es absorber la luz UV que emite el mercurio al desexcitarse y emitir luz visible. Un tubo fluorescente sin este recubrimiento sería una lámpara de "luz negra".</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="http://www.cambioenergetico.com/Documentos/Graficos/CIRCUITO%20TUBO%20FLUORESCENTE.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="http://www.cambioenergetico.com/Documentos/Graficos/CIRCUITO%20TUBO%20FLUORESCENTE.png" height="248" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fuente: Wikipedia</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Conectado al tubo hay un cebador. Se trata de un dispositivo con una ampolla de vidrio que contiene gases (como neón o argón) que al conectarse a la corriente se calientan y expanden. Dicha expansión cierra un circuito que hace que los filamentos del tubo (generalmente wolframio) se calienten al rojo vivo y comiencen a ionizar los gases del interior del tubo. Es en este momento cuando aparece ese color anaranjado en los extremos de los tubos antes de encenderse.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Al cerrarse el circuito del cebador, el gas se enfría, se contrae y se abre bruscamente el circuito. Es ahora cuando entra en juego la reactancia. De acuerdo con la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida (o fem) es igual a la variación del flujo magnético, sin olvidar un signo menos:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\text{fem}=-\displaystyle\frac{d\Phi_{B}}{dt}$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La reactancia no es más que un solenoide o inductancia por el que circula la corriente. Por la Ley de Ampère, dentro de dicho solenoide aparecerá un campo magnético $\vec{B}$. Al cerrarse bruscamente el circuito, habrá una gran variación de flujo, y por efecto de autoinducción se inducirá una elevada fuerza electromotriz (de miles de voltios) que terminará de ionizar los gases del tubo. Una vez ocurrido esto, se establece una corriente de electrones entre el cátodo y el ánodo del tubo sin necesidad de altos voltajes.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Debido a que en Europa la corriente alterna oscila con una frecuencia de 50 Hz, los fluorescentes "parpadean" 100 veces cada segundo. Para evitar estos efectos estreboscópicos hay varias opciones. Una de ellas es la incorporación de un alternador electrónico que aumente dicha frecuencia a 50.000 Hz, como en las modernas bombillas fluorescentes. Otras opciones pueden ser colocar varios tubos juntos con corrientes desfasadas, minimizándose este efecto.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El consumo de un tubo fluorescente, así como su rendimiento, es bastante bajo. En la imagen inferior podemos observar el espectro emitido por una lámpara fluorescente de vapor de mercurio.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSOZDQEEza3Pof6mP55I2d7xn03ZippOUGYVYi3hh0848e0HiFOR8vBlUQ-zFdLK3I9W6WPdMiempDMmpqyCfZO55nrWvE8P6RdTq2jBJoWi65xycdW-UdEXwWZTFizftOMTOT_K2i54o/s1600/Bajo+consumo.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="223" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSOZDQEEza3Pof6mP55I2d7xn03ZippOUGYVYi3hh0848e0HiFOR8vBlUQ-zFdLK3I9W6WPdMiempDMmpqyCfZO55nrWvE8P6RdTq2jBJoWi65xycdW-UdEXwWZTFizftOMTOT_K2i54o/s400/Bajo+consumo.png" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Como vemos, muy poca luz se desperdicia como infrarrojos, de modo que casi la totalidad de la potencia consumida se aprovecha para iluminación.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Asimismo, la potencia de los tubos es generalmente muy baja. Su pico de máximo consumo se alcanza al encender, pues es cuando más voltaje consume para ionizar el gas de mercurio. Es por eso por lo que se recomienda utilizar estas lámparas en lugares donde se necesite una fuente de luz permanente, es decir, que no se apaguen y se enciendan muchas veces. Esto también es porque la vida útil de las lámparas decrece cuantas más veces se enciendan.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Por último explicaremos por qué es necesario un condensador en este tipo de lámparas, para lo cual tendremos que introducir el concepto de potencia efectiva. Como sabemos, la corriente que llega a nuestras casas es alterna, es decir, oscilante. El motivo es simplemente las ventajas a la hora de transportarla. Por tanto, el voltaje que llega a nuestros enchufes (220 V en España) es oscilante. Entonces, ¿por qué un multímetro marca 220 V y no oscila? La respuesta es que lo que marca el multímetro no es el voltaje "instantáneo", sino el "eficaz", una especie de promedio. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La potencia que consumimos también se mide de esta forma promediada. Al manejar las ecuaciones se llega a que la potencia "activa" depende de un factor de potencia que va desde 0 hasta 1. Ese factor no es más que el coseno del desfase entre la intensidad y el voltaje. Como nos interesa que el factor de potencia esté lo más próximo a 1 posible, necesitamos conseguir una resonancia entre reactancia inductiva y capacitiva. Será más fácil si observamos matemáticamente el desfase $\phi$: </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\phi=\arctan\displaystyle\frac{L\omega-1/C\omega}{R}$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Para hacer que el factor de potencia sea 1, hay que hacer que $\phi$ sea cero, para lo cual hay que colocar un condensador de capacidad $C$ tal que a la frecuencia $\omega$ de la red eléctrica, compense la inductancia $L$ de la reactancia del fluorescente.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Espero que os haya gustado la breve entrada de hoy. Un saludo!</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-81328338167903821642016-05-01T10:17:00.001+02:002016-05-01T11:20:32.490+02:00El número $e$<div style="text-align: justify;">
A principios del siglo XVII el matemático John Napier introdujo los logaritmos en el Cálculo, y fue el primero en mencionar el número $e$. Posteriormente, Huygens se percató de la relación entre este número y el área bajo la curva $xy=1$. Años más tarde, Jacob Bernouilli encontró que el número $e$ es el límite de la sucesión inferior, que es actualmente su definición.</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Esta sucesión es muy importante en el cálculo del interés compuesto. Además, el número $e$ se define frecuentemente de las siguientes formas:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$e:=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n-1}\right)^n}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$e:=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$ </div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\int_1^e{\frac{dt}{t}}=1$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El número $e$ aparece en infinidad de sitios, como la geometría, los números complejos, la estadística, etc. En la entrada de hoy demostraremos que $e$ es un número trascendente e irracional.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://colegiovaldeserra.eu/FranciscoFlores/wp-content/uploads/2013/12/256874.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://colegiovaldeserra.eu/FranciscoFlores/wp-content/uploads/2013/12/256874.jpg" /></a></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<h3 style="text-align: justify;">
</h3>
<h3 style="text-align: justify;">
Irracionalidad</h3>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Un número irracional es aquel que no puede ser expresado de la forma $a/b$ con $a,b \in \mathbb{Z}$. Supongamos pues que $e$ es racional para después llegar a un absurdo.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Sea $e=\displaystyle\frac{a}{b}$ con $a,b \in \mathbb{Z}$. Se define el siguiente número:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$x=b!\left(e-\displaystyle\sum_{n=0}^b{\frac{1}{n!}}\right)=a(b-1)!-\displaystyle\sum_{n=0}^b{\frac{b!}{n!}}\in Z$ pues $n<b$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Finalmente probaremos que $0<x<1$:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Haciendo un desarrollo de Taylor de la función $e^x$ se puede llegar a que $e=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{b!}{n!}}$, de modo que considerando nuestra definición de $x$:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$x=\displaystyle\sum_{n=b+1}^{\infty}{\frac{1}{n!}}>0$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Observando que $\displaystyle\frac{b!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)\cdot...\cdot (b+1)}<\frac{1}{(b+1)^{n-b}}$ y definiendo $k=n-b$ se tiene que </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$x<\displaystyle\sum_{n=b+1}^{\infty}{\frac{1}{(b+1)^{n-b}}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{(b+1)^{k}}}=\displaystyle\frac{(b+1)^{-1}}{1-(b+1)^{-1}}=\displaystyle\frac{1}{b}\leq 1$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Por tanto queda probado que $0<x<1$, pero como se probó que $x\in\mathbb{Z}$ y no hay enteros en $(0,1)$ se llega a contradicción, luego la hipótesis de que $e$ es racional es falsa, y por tanto $e$ es un número irracional.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<h3 style="text-align: justify;">
Trascendencia</h3>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Un número trascendente es aquel que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros, es decir, si $\alpha$ es trascendente, entonces no existen $a_0,a_1,...,a_n\in\mathbb{Z}: p(\alpha)=a_0+a_1\alpha+...+a_n\alpha^n=0$. Por ejemplo, el número áureo $\phi$ es algebraico pues es solución de la ecuación $x^2-x-1=0$.<br />
<br />
Supongamos que existe un polinomio $p(x):=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ con coeficientes enteros y $e$ es una de sus raíces. Se definen las funciones $f(x)$ y $F(x)$ del siguiente modo:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$\phi (x):=\displaystyle\frac{x^{p-1}}{(p-1)!}\prod_{i=1}^m{(x-i)^p}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\Phi (x):=\displaystyle\sum_{i=0}^{mp+p-1}{\phi^{i)}(x)}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Donde $p$ es un número primo. De las definiciones superiores se sigue que $\Phi (x)-\Phi '(x)=\phi(x)$, pues $\phi^{mp+p)}(x)=0$. Entonces es claro que </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\frac{d}{dx}(e^{-x}\Phi (x))=-e^{-x}\Phi (x)+\Phi '(x)e^{-x}=-\phi (x)e^{-x}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Multiplicando por un coeficiente del polinomio $a_j$e integrando en $(0,j)$ la expresión anterior:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$a_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \ dx=a_j\left[e^{-x}\Phi (x)\right]_j^0=a_j\Phi (0)-a_je^{-j}\Phi (j)$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Y multiplicando por $e^j$ y sumando obtenemos:</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\sum_{j=0}^m e^ja_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \ dx=\displaystyle\sum_{j=0}^me^ja_j\Phi (0)-\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\Phi (j)=-\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ya que $\displaystyle\sum_{j=0}^me^ja_j\Phi (0)=0$ según definimos $p(x):=\displaystyle\sum_{j=0}^m{a_jx^j}$ con $a_j\in\mathbb{Z}$. Nuestro objetivo es mostrar que la igualdad inferior no es cierta para un primo $p$ arbitrario.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\sum_{j=0}^m e^ja_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \ dx=-\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En efecto, considerando el segundo término de la ecuación superior vemos que se trata de un entero no nulo no divisible por $p$, pues los términos no nulos del sumatorio son aquellos que se han derivado al menos $p$ veces ya que existe el factor $(x-j)^p$. En dichos casos, fijándonos en la definición de $\phi (x)$, $\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$ es múltiplo de $p$. Existe un caso en que $\phi^{i)}(j)$ no es múltiplo de $p$, cuando $j=0$ e $i=p-1$. En ese caso es evidente que el valor de la función es $\phi^{p-1)}(0)=(-1)^p\cdot ... \cdot (-m)^p$. Escogiendo un $p$ arbitrariamente grande (mayor que $m$) es claro que dicho producto no tiene a $p$ como factor primo, luego $\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$ es un numero entero no nulo y no divisible por $p$.<br />
<br />
Por otra parte, para valores positivos de $t$ tales que $t\leq m$ es claro que $\left|\phi (t)\right|\leq\displaystyle\frac{m^{mp+p-1}}{(p-1)!}$ y $0\leq\left|e^{-x}\phi (t)\right|\leq\left|\phi (t)\right|$ de modo que podemos realizar la siguiente acotación:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$0\leq\displaystyle\sum_{j=0}^ma_je^j\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \ dx\leq\sum_{j=0}^ma_je^j\int_0^j{\frac{m^{mp+p-1}}{(p-1)!}}=\displaystyle\sum_{j=0}^m{a_je^j\frac{jm^{mp+p-1}}{(p-1)!}}$</div>
<br />
Finalmente notamos que $\displaystyle\lim_{p\to\infty}\displaystyle\sum_{j=0}^m{a_je^j\frac{jm^{mp+p-1}}{(p-1)!}}=0$ por la fórmula de Stirling: $n!\sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}$. Por tanto existe algún número primo $p>0$ tal que <br />
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\sum_{j=0}^m e^ja_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \ dx\neq -\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Y habiendo llegado a una contradicción, es claro y evidente que $e$ es un número trascendente. Por tanto hemos concluido con la demostración de irracionalidad y trascendencia del número $e$. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: right;">
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif;">Quod erat demonstrandum.</span></div>
<div style="text-align: right;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit;">Por último mencionar que la demostración sobre la trascendencia es del matemático francés Charles Hermite.</span></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<h3 style="text-align: justify;">
</h3>
<h3 style="text-align: justify;">
Bibliografía</h3>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
-<a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e" target="_blank"> https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
-<a href="http://gaussianos.com/como-demostrar-que-el-numero-e-es-trascendente/" target="_blank"> http://gaussianos.com/como-demostrar-que-el-numero-e-es-trascendente/</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_de_la_irracionalidad_de_e">https://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_de_la_irracionalidad_de_e</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- <a href="http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil">http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil</a><br />
<br />
- <a href="http://forum.lawebdefisica.com/entries/557-La-irracionalidad-y-trascendencia-del-n%C3%BAmero-e" target="_blank">http://forum.lawebdefisica.com</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Puedes leer también la entrada de este mismo blog sobre la <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/2015/01/la-igualdad-de-euler.html" target="_blank"><b>igualdad de Euler.</b></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-86006252647290726562016-04-10T14:04:00.000+02:002016-04-25T05:16:29.812+02:00El problema de Basilea<div style="text-align: justify;">
A mediados del siglo XVII, Jakob Bernouilli popularizó un problema matemático: calcular la suma de los inversos de los cuadrados perfectos. En términos de la función $\zeta$ de Riemann, el problema era hallar $\zeta(2)$. Muchos fueron los que lo intentaron resolver, pero el primero de ellos fue el matemático Leonhard Euler en 1735.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$ </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="http://www.hotelbasilea.ch/res/cache/1431-w1300-1118-header.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="http://www.hotelbasilea.ch/res/cache/1431-w1300-1118-header.jpg" height="300" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Ciudad de Basilea</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En la entrada de hoy se mostrarán algunas de las demostraciones de la solución del problema de Basilea, entre ellas la de Euler.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<h3 style="text-align: justify;">
Demostración 1: Euler</h3>
<h3 style="text-align: justify;">
</h3>
<h3 style="text-align: justify;">
</h3>
<div style="text-align: justify;">
Haciendo un desarrollo en serie de Taylor se obtiene:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\sin x=x-\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\displaystyle\frac{x^5}{5!}-\displaystyle\frac{x^7}{7!}+...$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Y dividiendo entre $x$:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\frac{\sin x}{x}=1-\displaystyle\frac{x^2}{3!}+\displaystyle\frac{x^4}{5!}-\displaystyle\frac{x^6}{7!}+...$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ahora llega el punto más delicado de la demostración y el que le reprocharía Bernouilli: poner dicha suma como producto infinito de factores. Notando que las respectivas raíces del seno son los múltiplos enteros de $\pi$, Euler escribió:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\frac{\sin x}{x}=\left(1-\displaystyle\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\displaystyle\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\displaystyle\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\displaystyle\frac{x}{2\pi}\right)...=\left(1-\displaystyle\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\displaystyle\frac{x^2}{4\pi^2}\right)...$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ya que si $x=n\pi \Longrightarrow \displaystyle\frac{x}{n\pi}=1$ con $n=\pm 1, \pm 2,...$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Haciendo el producto de los infinitos términos, uno se da cuenta de que el coeficiente de $x^2$ es precisamente:</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$-\displaystyle\frac{1}{\pi^2}\zeta(2)$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Teniendo en cuenta que el polinomio de Taylor es único (Teorema de Taylor), es claro y evidente que el coeficiente en el desarrollo en serie tiene que ser equivalente al coeficiente obtenido en la ecuación superior. Por tanto igualándolos obtenemos finalmente el valor de la serie infinita:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<h3 style="text-align: justify;">
Demostración 2</h3>
<h3 style="text-align: justify;">
</h3>
<div style="text-align: justify;">
Esta segunda demostración se basa en el Criterio del Sándwich: trataremos de acotar $\zeta(2)$ entre dos valores que tiendan ambos al valor que buscamos. Para ello consideramos que por la fórmula de Moivre en el álgebra compleja:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\frac{\cos (nx)+i\sin (nx)}{(\sin x)^n}=(\cot x+i)^n=\displaystyle\sum_{j=0}^n{{n\choose j} i^j\cot^{n-j}{x}}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Sabiendo el valor de las diferentes potencias de la unidad imaginaria $i$ llegamos a:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\frac{i\sin (nx)}{(\sin x)^n}=i\left[{n\choose 1}\cot^{n-1}{x}-{n\choose 3}\cot^{n-3}{x}+...\right]$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Definiendo $n=2m+1$ con $m$ entero positivo y $x=r\pi/(2m+1)$ con $r=1,2,...,m$ vemos que:</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$0={2m+1 \choose 1}\cot^{2m}{x}-{2m+1 \choose 3}\cot^{2m-2}{x}+...+(-1)^m$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Al ser la cotangente biyectiva (one to one) en $[0,\pi/2]$, las distintas raíces $x=r\pi/(2m+1)$ son diferentes para cada valor de $r$. Esto nos sirve para definir el polinomio $p(t)$ de la siguiente guisa:</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$p(t):={2m+1 \choose 1}t^m-{2m+1 \choose 3}t^{m-1}+...+(-1)^m$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Puesto que $\tan x>x>\sin x$, es evidente pues que</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\csc^2 x>1/x^2>\cot^2 x \Longrightarrow \displaystyle\sum\csc^2 x\geq\zeta(2)\geq\displaystyle\sum\cot^2 x $</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La suma $\displaystyle\sum^m\cot^2 x$ equivale a la suma de las raíces de $p(t)$, que por álgebra elemental equivale al cociente entre el coeficiente de $t^{m-1}$ entre el de $t^m$ cambiado de signo. Entonces</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\sum^m\cot^2 x=\displaystyle\frac{{2m+1 \choose 3}}{{2m+1 \choose 1}}=\displaystyle\frac{(2m)(2m-1)}{6}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Y fijándonos en que $\csc^2 x=1+\cot^2 x$ entonces</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\sum^m\csc^2 x=\displaystyle\frac{{2m+1 \choose 3}}{{2m+1 \choose 1}}+m=\displaystyle\frac{(2m)(2m+2)}{6}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Y por el principio del sándwich, ya que $x=r\pi/(2m+1)$,</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\lim_{m\to\infty}\displaystyle\frac{(2m)(2m+2)}{6}\geq \displaystyle\sum_{r=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{(2m+1)^2}{\pi^2r^2}}\geq\displaystyle\lim_{m\to\infty}\displaystyle\frac{(2m)(2m-1)}{6}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Multiplicando todo por $\left(\displaystyle\frac{\pi}{2m+1}\right)^2$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\lim_{m\to\infty}\displaystyle\frac{(2m)(2m+2)}{6}\left(\displaystyle\frac{\pi}{2m+1}\right)^2\geq\zeta(2)\geq\displaystyle\lim_{m\to\infty}\displaystyle\frac{(2m)(2m-1)}{6}\left(\displaystyle\frac{\pi}{2m+1}\right)^2$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Y como a izquierda y derecha ambos límites son iguales y de valor $\pi^2/6$, se concluye que:</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<h3 style="text-align: justify;">
Demostración 3</h3>
<h3 style="text-align: justify;">
</h3>
<div style="text-align: justify;">
Fijándonos en que $\zeta(2)$ puede escribirse como suma de los inversos de los cuadrados de números pares más los impares, se llega a que:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^2}} + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{(2n)^2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^2}}+\displaystyle\frac{1}{4}\zeta(2)$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
De modo que </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\zeta(2)=\displaystyle\frac{4}{3}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^2}}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Por otro lado</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\frac{1}{2n+1}=\displaystyle\int_0^1{x^{2n}} dx=\displaystyle\int_0^1{y^{2n}} dy$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Luego evidentemente</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\zeta(2)=\displaystyle\frac{4}{3}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\int_0^1{x^{2n}} dx\displaystyle\int_0^1{y^{2n}} dy}=\displaystyle\frac{4}{3}\displaystyle\int_0^1\int_0^1{\sum_{n=0}^{\infty}{(xy)^{2n}}}dx dy$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Donde</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{(xy)^{2n}}=\displaystyle\frac{1}{1-x^2y^2}$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ya que $xy<1$. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Por tanto el problema se ha reducido a calcular una integral doble que no resolveremos entera aquí, solo una parte:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\int_0^1\int_0^1{\displaystyle\frac{1}{1-(xy)^2}dx \ dy}=\displaystyle\int_0^1{\displaystyle\frac{\sinh^{-1} x}{x}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{8}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
según <a href="https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+atanh%28x%29%2Fx" target="_blank"><b>Wolfram Alpha</b></a>, y por tanto es evidente que:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<h3 style="text-align: justify;">
Demostración 4</h3>
<h3 style="text-align: justify;">
</h3>
<h3 style="text-align: justify;">
</h3>
<div style="text-align: justify;">
En este caso nos basaremos en la relación entre las funciones $\zeta(s)$ y $\Gamma(s)$. Considerando la integral $I(t,x)$ y haciendo el cambio $x\to x/t$ vemos que:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$I(x,t)=\displaystyle\int_0^{\infty}{x^se^{-tx} \ dx}=\displaystyle\int_0^{\infty}{\displaystyle\frac{x^s}{t^s}e^{-x}t^{-1} \ dx}=\displaystyle\frac{\Gamma(s+1)}{t^{s+1}}$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Luego</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\displaystyle\frac{\Gamma(s)}{t^s}= \displaystyle\int_0^{\infty}{x^{s-1}e^{-tx} \ dx}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Haciendo el cambio $t\to n\in \mathbb{N}$ y sumando hasta infinito en ambos miembros:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\Gamma(s)\zeta(s)=\displaystyle\int_0^{\infty}{x^{s-1}\displaystyle\sum{\left(e^{-x}\right)^n} \ dx}\Longrightarrow\Gamma(s)\zeta(s)=\displaystyle\int_0^{\infty}{\displaystyle\frac{x^{s-1}}{e^x-1}} \ dx$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En nuestro caso buscamos $s=2$. Sabiendo que $\Gamma(2)=1$, el problema se reduce a calcular la integral:</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\zeta(2)=\displaystyle\frac{1}{\Gamma(2)}\displaystyle\int_0^{\infty}{\displaystyle\frac{x \ dx}{e^x-1}}$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Que se puede calcular y arroja el esperado valor de $\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Si os interesa, en la bibliografía hay otras 14 maneras de calcular $\zeta(2)$.</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Para valores impares de $s$, no se sabe demasiado de la función $\zeta(s)$. Esta función es básica en la Teoría de Números y se encuentra muy íntimamente relacionada con los números primos, con la función $\mu$ de Möbius, la función $\phi$ de Euler y otras funciones multiplicativas. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Para valores pares de $s$, Euler fue capaz de encontrar una fórmula cerrada para $\zeta(s)$. Denotando $s=2k$ con $k\in \mathbb{Z}$ y $B_{2k}$ a los <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Bernoulli" target="_blank"><b>números de Bernouilli</b></a>, </div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\zeta(2k)=\displaystyle\frac{(-1)^{k-1}(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2(2k)!}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
De donde $\zeta(2)=\pi^2/6$, $\zeta(4)=\pi^4/90$, etc.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Finalmente quiero concluir esta entrada con una célebre cita de Gauss:<b> "La Matemática es la Reina de las Ciencias, y la Teoría de Números es la Reina de la Matemática".</b><br />
<br /></div>
<h3 style="text-align: justify;">
</h3>
<h3 style="text-align: justify;">
Bibliografía</h3>
<h3 style="text-align: justify;">
</h3>
<div style="text-align: justify;">
- <a href="http://fermatslasttheorem.blogspot.com.es/2006/08/26.html" target="_blank">Fermat Last Theorem</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Basilea" target="_blank">Wikipedia</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
-<a href="https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/dyakubov/VC_II_2009/R_Granero_Belinchon_2009_El_Problema_de_Basilea.pdf" target="_blank"> La gaceta de la RSME</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
-<a href="http://gaussianos.com/el-problema-de-basilea-ii/" target="_blank"> Gaussianos</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- <a href="http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&task=view&id=3341&Itemid=33&showall=1" target="_blank">Divulgamat2</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
-<a href="http://web.archive.org/web/20130319111707/http://www.southernct.edu/~sandifer/Ed/History/Preprints/Talks/NYU%20Basel%20Problem%20Paper.PDF" target="_blank"> Euler’s Solution of the Basel Problem</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- <a href="http://web.archive.org/web/20060925091355/http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf" target="_blank">14 proofs of the evaluation of $\zeta(2)$</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-41349502080176785582016-04-03T16:17:00.000+02:002016-04-07T14:21:31.051+02:00La materia oscura<div style="text-align: justify;">
La <b>materia oscura</b> es uno de los conceptos que más veces le rondan por la cabeza a los físicos desde mediados del siglo pasado. Veamos qué es este concepto.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Debido a una epidemia de peste, un joven llamado <b>Isaac Newton</b> abandonó temporalmente sus estudios en Cambridge y se retiró a Woolsthorpe, donde entre 1665 y 1667 dedujo las leyes de la mecánica newtoniana, el cálculo diferencial y la <b>Ley de la Gravitación Universal</b>:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\vec{F}=-G\displaystyle\frac{Mm}{r^3}\vec{r}$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
De este modo fue capaz de aunar en una sola ecuación cielo y tierra, ya que la fuerza que hacía caer una manzana de un árbol era la misma que la que mantenía a la Luna en órbita circular.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ya en tiempos de <b>Galileo</b> se conocía que la aceleración de la gravedad era aproximadamente $g_0=9,8 m/s^2$. Por la segunda ley de Newton, tendríamos que $g_0R_T^2=GM_T$. Como el radio de la Tierra era ya conocido, Newton sabía ya el valor de $G\cdot M$. Igualando la aceleración de la gravedad terrestre sobre la Luna a la fuerza centrípeta, y conocido el radio orbital lunar, Newton predijo con total exactitud el periodo de traslación de la Luna alrededor de nuestro planeta. De este maravilloso modo, especialmente una vez determinado el valor de $G$ por <b>Cavendish</b> en 1798, se podrá determinar la masa de cualquier cuerpo midiendo la velocidad de un cuerpo que orbite en torno a él por la formulita:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$v=\sqrt{\displaystyle\frac{GM}{r}}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En los años setenta del siglo pasado, se intentó hacer lo mismo con las galaxias, es decir, determinar sus masas a partir de las velocidades de las estrellas que las componen. Como es muy complicado medir la velocidad de las estrellas alrededor de las galaxias, se utiliza el <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/2014/08/efecto-doppler-relativista.html" target="_blank"><b>efecto Doppler</b></a> y el <b>corrimiento al rojo</b> de los espectros emitidos por las estrellas para deteminar sus velocidades.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhijcbPj-PH_v5ZDupVhorL9yjbkDhkcJwze5BAwh63GbZ940rt8nf9Ssf9y04zNhiuutrzZmR7N87IVni6fumjCjsWtbB_cJkZawhq1O2SzoAIPNWXwM1l9Puh89W0rUGFDEwrhFYN8P0/s1600/GalacticRotation2.svg.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhijcbPj-PH_v5ZDupVhorL9yjbkDhkcJwze5BAwh63GbZ940rt8nf9Ssf9y04zNhiuutrzZmR7N87IVni6fumjCjsWtbB_cJkZawhq1O2SzoAIPNWXwM1l9Puh89W0rUGFDEwrhFYN8P0/s1600/GalacticRotation2.svg.png" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
A esto se dedicaron los científicos <b>Vera Rubin</b> y <b>Kent Ford</b>, midiendo datos de más de sesenta galaxias cuando se dieron cuenta de algo. En efecto, es previsible que cuando más lejos se encuentre una estrella del centro de la galaxia, más despacio debería moverse. Pero lo que realmente ocurría era que todas las estrellas parecían moverse a la misma velocidad. En el gráfico superior, se esperaba que ocurriese algo como (A) pero lo que realmente ocurría era (B). Las soluciones eran simples: o la Ley de Newton no era válida en esos casos...o existía una extraña materia que aumentaba enormemente la masa total de la galaxia: <b>la materia oscura</b>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Sin meternos en muchos berenjenales, algunos físicos defendían teorías tipo MOND, acrónimo en inglés de <b>Modified Newtonian Dynamics</b>. Defendían incluso que $G$ no era una constante, sino que $G=G(r)$, es decir, que $G$ aumentaba cuando las distancias entre los astros eran grandes, y de ese modo no era necesario postular la existencia de materia oscura. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En 1915, Einstein presentó su <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/2015/11/cien-anos-derelatividad-general.html" target="_blank"><b>Teoría de la Relatividad General</b></a>, con lo que pudo comprobar aquellos "huecos" en los que la teoría de Newton no era muy precisa. Un claro ejemplo es la <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/2014/05/como-descubrieron-neptuno.html" target="_blank"><b>precesión del perihelio de Mercurio</b></a>. Con ésta, podemos hacer la siguiente corrección a la Ley de la Gravitación Universal:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$F=G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}-\displaystyle\frac{4}{c^2}\cdot \displaystyle\frac{G^2M^2m}{r^3}+...$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Pero aún así no conseguimos solucionar el problema que nos atañe. La solución está en otro fenómeno derivado del genio de Einstein: las <b>lentes gravitacionales.</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La masa, según la Teoría de la Relatividad, curva el espacio-tiempo. Esa curvatura es capaz de desviar rayos luminosos. El efecto de una lente gravitacional es la curvatura de los rayos de luz que provienen desde detrás de la lente. El ángulo de desviación es proporcional a la masa de la "lente gravitacional", de modo que disponemos de un método alternativo para conocer las masas de galaxias o cúmulos galácticos. Lo sorprendente es que esta masa <b>resulta ser la misma</b> que la calculada por la Ley de Newton, es decir, tiene que existir esa materia oscura para "rellenar esa masa que nos falta".</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjnzzXHptrwoycCEMcwuuCXi4LrySjvVMOzr0-jpEt0LORsz3rsjS-qG8RY2u4_c7T4ne_BQaQyTf3KsRj5a3EtfIOM8aJ4BaAcRhyphenhyphenYA0w3zMx3fXcML-N54xJn3UAUeN6EZVQcNQwyVxE/s1600/bulletcluster_comp_f2048.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="231" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjnzzXHptrwoycCEMcwuuCXi4LrySjvVMOzr0-jpEt0LORsz3rsjS-qG8RY2u4_c7T4ne_BQaQyTf3KsRj5a3EtfIOM8aJ4BaAcRhyphenhyphenYA0w3zMx3fXcML-N54xJn3UAUeN6EZVQcNQwyVxE/s320/bulletcluster_comp_f2048.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Cúmulo "bala" estudiado como choque entre galaxias</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En realidad, la mayoría de científicos rechazan las teorías MOND gracias al estudio de <b>choques entre galaxias</b>. En estos choques, las nubes de gas (helio e hidrógeno principalmente) se retrasan respecto de la galaxia, pero esta sigue comportándose como una lente gravitacional, a pesar de que la mayor parte de la masa ordinaria de una galaxia se debe a la nube de gas. Esto es prueba clara de la existencia de materia oscura, de una naturaleza distinta a la de la materia ordinaria.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Gracias a un estudio exhaustivo sobre la <b>radiación de fondo de microondas</b>, es posible deducir la existencia de materia oscura y su proporción respecto a la materia ordinaria. A partir del mapa de la imagen inferior y del análisis de las diferencias en la densidad o temperatura de las ondas recibidas, hemos podido deducir que la densidad de materia en el Universo es un 32% de la densidad crítica, de la cual un 5% es materia ordinaria y un 27% materia oscura. Actualmente se cree que el universo es <b>plano</b>, es decir, que su densidad es igual a la densidad crítica, de modo que el 68% que falta corresponde a "algo" diferente: a energía oscura. Es notable mencionar que los datos teóricos obtenidos del análisis del
fondo de micrrondas concuerdan a la perfección con las medidas sobre la
cantidad de materia en el universo.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHQTKt-Aa4tbGmOtqmCGMCRm_-LcuROOmU80Ka47SryMOK90QUL2q09rn-pzqT27SK1o_TMYEWYy9y6sPNHLUB0L6u4hEi16jT6czN3jEVkE1QwFIkA6lX01IoRztMrR6uWX2njMwgu34/s1600/cmbr_planck_960.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHQTKt-Aa4tbGmOtqmCGMCRm_-LcuROOmU80Ka47SryMOK90QUL2q09rn-pzqT27SK1o_TMYEWYy9y6sPNHLUB0L6u4hEi16jT6czN3jEVkE1QwFIkA6lX01IoRztMrR6uWX2njMwgu34/s400/cmbr_planck_960.jpg" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fondo cósmico de micrrondas. Satélite Planck.</td></tr>
</tbody></table>
<br />
La pregunta ahora es: ¿de qué está hecha la materia oscura? O mejor dicho, <b>¿de qué no está hecha?</b><br />
<br />
Debe estar formada por alguna partícula que aún no hayamos detectado, y debería <b>interaccionar muy poco</b> o nulamente con el resto de la materia. No puede estar formada por protones, neutrones ni electrones: de lo contrario los cálculos de la nucleosíntesis primitiva no coincidirían con los observados. Tampoco puede estar formada por <b>partículas con carga</b>, y debe ser <b>muy estable</b>, al menos su vida debería ser superior a la edad del universo. Por último, tampoco puede interaccionar mucho consigo misma y <b>ha de ser fría</b>, para que de este modo se agrupe de la manera en que lo hace.<br />
<br />
Estudios realizados con supercomputadoras ofrecen mapas de materia oscura muy semejantes a los medidos experimentalmente si aceptamos como hipótesis las características antes citadas sobre la materia oscura.<br />
<br />
Un candidato a materia oscura fue el <b>neutrino</b>. Debido a su baja interacción con la materia, resulta un buen partido para ser lo que llamamos "materia oscura", pero no cumple la condición de ser frío, pues tiene unas velocidades muy próximas a la de la luz. Además, deberían tener más masa para constituir el 27% de la materia del universo.<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFJyr4XADRXePsh5tdWEvLHkpFhYgeMO-ThTrOUopCG-xocR4gZKSk9niV0QvC0KDXlC8k29oxaWXnBzMPhyphenhyphenD5hiQ9xfpamUJ7Zd_E6q9ohHCYGzLkWQxwmYAfQfwAEMnmeYpmsD22NIE/s1600/c5a4a03d394d4c1ab368f6ba7b6cad0f.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="261" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFJyr4XADRXePsh5tdWEvLHkpFhYgeMO-ThTrOUopCG-xocR4gZKSk9niV0QvC0KDXlC8k29oxaWXnBzMPhyphenhyphenD5hiQ9xfpamUJ7Zd_E6q9ohHCYGzLkWQxwmYAfQfwAEMnmeYpmsD22NIE/s400/c5a4a03d394d4c1ab368f6ba7b6cad0f.jpg" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Mapa de materia oscura en el universo</td></tr>
</tbody></table>
<br />
La mayor parte de la comunidad científica considera el <b>modelo estándar de la física de partículas</b> como inacabado: es necesaria <b>una nueva Física</b> que explique muchas de las cosas que el modelo estándar deja a medias, entre ellas las partículas básicas constituyentes de la materia oscura. Hablaríamos entonces de partículas exóticas (WIMPs) como el neutralino (partícula super-simétrica del neutrino), los axiones...Entraríamos ya en teorías más nuevas como la Supersimetría, la Teoría de Supercuerdas y demás.<br />
<br />
Actualmente hay decenas de experimentos que se están llevando a cabo en todo el mundo que tratan de descubrir alguna de las partículas candidatas a materia oscura, como por ejemplo el experimento ANAIS en el Pirineo aragonés. Pese a todos los esfuerzos empleados, aún no existen evidencias claras del descubrimiento de esta exótica y misteriosa materia.<br />
<br />
<br />
<br /></div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-69602232377646627512016-03-27T18:03:00.000+02:002016-03-27T18:07:03.493+02:00Los móviles perpetuos<div style="text-align: justify;">
Un <b>móvil perpetuo</b> es un dispositivo que puede funcionar eternamente a partir de un impulso inicial y que, hipotéticamente, nunca se pararía. Podemos encontrar en Youtube infinidad de ejemplos que parecen funcionar, al menos hasta que se acaba el vídeo. ¿Pero realmente son éstos posibles? Y si realmente fuesen posibles, ¿sería posible extraer de ellos energía para tener una fuente inagotable? Parece ser que no...</div>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Perpetuum1.png/220px-Perpetuum1.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Perpetuum1.png/220px-Perpetuum1.png" /> </a></td><td style="text-align: center;"><br /></td><td style="text-align: center;"><br /></td><td style="text-align: center;"><br /></td><td style="text-align: center;"><br /></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Ejemplo de móvil perpetuo: rueda sobrebalanceada</td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td></tr>
</tbody></table>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.librosmaravillosos.com/perpetuum/imagenes/mope02_008.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://www.librosmaravillosos.com/perpetuum/imagenes/mope02_008.jpg" height="320" width="275" /></a></div>
<br />
Existen varios tipos de móviles perpetuos, entre los que encontramos los de primera y segunda especie:<br />
<br />
<b>Móvil perpetuo de primera especie:</b> es aquel que es capaz de producir trabajo (ej. levantar un peso) sin recibir energía exterior.<br />
<br />
<b>Móvil perpetuo de segunda especie:</b> son aquellos que o bien pueden convertir todo el calor que reciben en trabajo (ej. un motor de coche con rendimiento 100%) o bien son capaces de transferir calor de un foco frío a otro más caliente sin necesitar energía (ej. un frigorífico ideal).<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
La imaginación humana y la pretensión de conseguir este tipo de motores han llevado al desarrollo de los Principios de la Termodinámica, en particular del primero y del segundo. ¿Qué dicen estos principios?</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El <b>Primer Principio de la Termodinámica</b>, entre otras cosas, nos habla del principio de <b>conservación de la energía</b>. Existe un teorema en Física Teórica, el <a href="http://www.ecured.cu/index.php/Teorema_de_Noether" target="_blank"><b>Teorema de Noether</b></a>, que nos habla de que para cada invarianza en las leyes de la Física, existe un principio de conservación de una determinada magnitud. Por ejemplo, del hecho de que las leyes de la Física son las mismas aquí que en Andrómeda (<b>invarianza de traslación</b>), se deduce que el momento lineal en ausencia de fuerzas externas se conserva. Otro ejemplo, el que tiene que ver con el asunto que nos incumbe, es la <b>invarianza temporal</b>. Puesto que las leyes de la física no cambian de un día para otro, se deduce que <b>la energía de un sistema aislado se conserva</b>. Es por esto por lo que el móvil perpetuo de primera especie <b>contradice</b> el Primer Principío de la Termodinámica.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Matemáticamente, el primer principio viene a decir que $dU=\delta W+\delta Q$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El <b>Segundo Principio de la Termodinámica</b> afirma que la <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/2016/02/esa-tan-temidaentropia.html" target="_blank"><b>entropía</b></a> de un sistema aislado siempre aumenta en el tiempo. Esto viene a decir que <b>no es posible</b> que un motor funcionando cíclicamente sea capaz de convertir todo el calor que absorbe en trabajo. Tambien impide que, en ausencia de trabajo, se pueda transferir cíclicamente calor de un foco frío a otro caliente. Estos son los enunciados de <b>Kelvin-Planck</b> y <b>Clausius</b> respectivamente, y se puede demostrar que son equivalentes. De ellos se deduce que una magnitud física llamada entropía siempre aumente en el universo. Pues bien, el móvil perpetuo de segunda especie <b>contradice el <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/2016/02/esa-tan-temidaentropia.html" target="_blank">Segundo Principio</a></b>, y por tanto es inviable.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Matemáticamente, el Segundo Principio se traduce en que $\displaystyle\frac{dS}{dt}\geq 0$.<br />
<br />
Más que leyes de la Termodinámica, son imposibilidades de la Termodinámica. Recordemos a Homer Simpson en esta entrañable escena:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/Rpc2i6tMX2k/0.jpg" frameborder="0" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/Rpc2i6tMX2k?feature=player_embedded" width="320"></iframe></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Como vemos, ha sido muy importante esta inquietud técnica de energía infinita para el desarrollo de toda esta rama de la Física. Es necesario decir que estos principios derivan de la experiencia, pues las invarianzas derivan de ella. Actualmente <b>no ha logrado encontrarse</b> un dispositivo que entre en contradicción con ambos Principios.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
No puede, por tanto, construirse un coche cuyo rendimiento sea del 100%, es decir, que todo el calor de la combustión de la gasolina se convierta en velocidad y potencia del motor. ¿Eso quiere decir que es posible construir un motor de coche que tenga un rendimiento del 99%? <b>Tampoco</b>. Veamos por qué:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En el siglo XIX, el ingeniero francés <b>Nicolás Carnot</b> postuló que los motores con mayor rendimiento eran los que funcionaban entre ciclos <i>reversibles</i> (<b>motores de Carnot</b>), esto es, que el motor pudiese funcionar a la inversa. De hecho, la existencia de un motor con más rendimiento que un motor de Carnot contradice el Segundo Principio. ¿Y cuál es el rendimiento de un motor ideal de Carnot?</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El rendimiento de un motor de Carnot depende de la temperatura de la siguiente forma:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\eta=1-\displaystyle\frac{T_1}{T_2}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Como vemos, el máximo rendimiento posible de cualquier motor depende de la temperatura a la que funcione. En el caso de un coche, suponiendo que la temperatura de la explosión es de 1600 ºC y en el exterior hace una temperatura de 17 ºC, el máximo rendimiento alcanzable <b>no supera el 85%</b>. En la realidad, puesto que no existen motores tan perfectos, el rendimiento máximo jamás alcanzado es en torno al 50%. A esto hay que añadir el calor que se disipa, la rodadura con el suelo, etc. Os dejo un vídeo explicativo sobre un motor de Carnot:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/s3N_QJVucF8/0.jpg" frameborder="0" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/s3N_QJVucF8?feature=player_embedded" width="320"></iframe></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El la sección <b><a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/p/archivos.html" target="_blank">Archivos</a></b> de este blog hay un libro que trata sobre los móviles perpetuos que quizá te pueda interesar.<br />
<br />
Finalmente, aquí os dejo un resumen de la <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_las_m%C3%A1quinas_de_movimiento_perpetuo" target="_blank"><b>Historia de los móviles perpetuos</b></a>. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Un saludo y hasta la próxima!</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-23924252150320540742016-03-21T13:11:00.000+01:002016-03-21T13:11:01.788+01:00Solución alternativa al reto #3Esta solución la manda Elthoon desde Perú.Recordemos que podemos ver el enunciado del reto en el siguiente enlace:<b> <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/2016/03/reto-matematico-3.html" target="_blank">Reto #3</a>. </b>La solución es la siguiente:<br />
<br />
<div dir="ltr" style="text-align: justify;">
1. Se traza el segmento CB. Al hacer esto notamos que el ángulo ACB es 90º y por consiguiente el ángulo BCE también es 90º.</div>
<div dir="ltr" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div dir="ltr" style="text-align: justify;">
2. Luego, como el punto O es el punto medio del arco AB
entonces los arcos AO y OB miden cada uno 90º. De esto se sique que por
propiedad el ángulo ACO mide la mitad de lo que mide el arco AO,
entonces ACO = 45º, por consiguiente el ángulo DCE mide también 45º.</div>
<div dir="ltr" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div dir="ltr" style="text-align: justify;">
3. Fijémonos en el cuadrilátero BCED. Notamos que los
ángulos C y D miden 90º, de esto se sigue que el cuadrilátero es
circunscriptible es decir que los vértices del cuadrilátero están sobre
una circunferencia. Para aprovechar este hecho, trazemos el segmento
BE; es fácil notar que éste segmento es diámetro de dicha
circunferencia. Ahora, como el ángulo DCE =45º , el arco de la
circunferencia frente a él mide 90º, pero este arco está al frente
también del ángulo DBE y por tanto el ángulo DBE =45º. </div>
<div dir="ltr" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div dir="ltr" style="text-align: justify;">
4. Es claro que el triángulo BDE es recto y los ángulos DBE
y BED miden 45º , por lo tanto los lados BD y DE tienen la misma
medida.</div>
<div dir="ltr" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVjhR3DeeHgexOEGqWfnzRDnTl3mpahN8wVJe4wmFrbdxKOxBjTV-qo68zs39T1kCF3tu0LpoU58qFUajzLGj1WrIPGtfNhn9K1p4qgUc_s2pxPJAkaXzXOKLAYw3OKgNpXfU_ZN8wypQ/s1600/20160314_133222.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVjhR3DeeHgexOEGqWfnzRDnTl3mpahN8wVJe4wmFrbdxKOxBjTV-qo68zs39T1kCF3tu0LpoU58qFUajzLGj1WrIPGtfNhn9K1p4qgUc_s2pxPJAkaXzXOKLAYw3OKgNpXfU_ZN8wypQ/s400/20160314_133222.jpg" width="400" /> </a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
De nuevo agradecemos a Elthoon por habernos mandado tan ingeniosa respuesta. Un saludo!</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
</div>
<div dir="ltr" style="text-align: justify;">
<br /></div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-45961197555764072292016-03-21T13:06:00.000+01:002016-03-21T13:06:32.648+01:00Solución al reto #3<div style="text-align: justify;">
Sea $AB$ el diámetro de una circunferencia. Sea $O$ el punto medio del
arco comprendido entre $A$ y $B$. Elegimos al azar un punto del arco
entre $O$ y $B$, que será el punto $C$. Sea $D$ la intersección de la
recta $\overline{OC}$ con $\overline{AB}$ y sea finalmente $E$ el punto
de corte entre la recta $\overline{AC}$ con la recta perpendicular a
$\overline{AB}$ que pasa por $D$. Demostrar que los segmentos $BD$ y
$DE$ tienen la misma longitud.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglJPUaAXzZ-DYUGTrTZrMcOthc7aaGqiElUJhjGNz3hjGlG8R6w3X4cAVw2Yd2t3xa2Sh7LAZRQgq4hlyvIXbcdbO_QYdN4PV-ogZt_A3YarX_BdzWgBoT_scW4_qPpTRp2kNjORBDW8w/s1600/PROBLEMA.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="296" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglJPUaAXzZ-DYUGTrTZrMcOthc7aaGqiElUJhjGNz3hjGlG8R6w3X4cAVw2Yd2t3xa2Sh7LAZRQgq4hlyvIXbcdbO_QYdN4PV-ogZt_A3YarX_BdzWgBoT_scW4_qPpTRp2kNjORBDW8w/s400/PROBLEMA.JPG" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Sea $R$ el radio de la circunferencia y sea $C=(b,\delta)$ donde definimos $\delta^2 =R^2-b^2$. Es claro que $A=(-R,0)$ y $B=(R,0)$. La recta $\overline{OC}\equiv\frac{R-\delta}{b}x-R$ es la que pasa por $O$ y por $C$, y la recta $\overline{AC}\equiv -\frac{\delta}{b+r}(x+R)$ es la que pasa por $A$ y $C$. De este modo podemos obtener las coordenadas de $D=(\frac{bR}{R-\delta})$ y de $E=(\frac{bR}{R-\delta},-\frac{\delta R(b+R-\delta)}{(b+R)(R-\delta)})$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
De esta manera, la distancia $BD=\frac{bR-R^2+\delta R}{R-\delta}$ y $DE=\frac{\delta R(b+R-\delta)}{(b+R)(R-\delta)}$. Al igualar:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\frac{bR-R^2+\delta R}{R-\delta}=\frac{\delta R(b+R-\delta)}{(b+R)(R-\delta)}$</div>
<div style="text-align: center;">
$\frac{\delta(b+R-\delta}{b+R}=b+R-\delta$ </div>
<div style="text-align: center;">
$b\delta+R\delta-\delta^2=b^2-Rb+b\delta+Rb-R^2+R\delta$</div>
<div style="text-align: center;">
$R^2=\delta^2+b^2$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Lo cual es cierto puesto que lo definimos así, de modo que $\overline{BD}=\overline{DE}$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-26324048140799386102016-03-21T13:01:00.002+01:002016-03-21T13:01:39.810+01:00Solución al reto #4<div style="text-align: justify;">
Una barra de longitud $L$ reposa como se observa en la imagen sobre un
hoyo de radio $R$. Se pide calcular el ángulo $\theta$ sabiendo que la
relación entre $L$ y $R$ es $L=4R$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRBIa4alj1gqTKmPWcTzLhVWFxtju_obEqgyUIH6T7dlDQtawXZFiVBlhy9fwe7M1zb4gfO7goNpwEqhO8TOGzWsUkBnAA_1UaWI5tHrS2mukOqJ1mIsZSlcWKDpWegCbinyac3dY0RMY/s1600/problema4.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="237" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRBIa4alj1gqTKmPWcTzLhVWFxtju_obEqgyUIH6T7dlDQtawXZFiVBlhy9fwe7M1zb4gfO7goNpwEqhO8TOGzWsUkBnAA_1UaWI5tHrS2mukOqJ1mIsZSlcWKDpWegCbinyac3dY0RMY/s320/problema4.JPG" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Como condiciones de equilibrio (suma de fuerzas y de momentos igual a cero) obtenemos las siguientes expresiones:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$R_1\sin{\theta}=R_2\cos{2\theta}$ $(I)$</div>
<div style="text-align: justify;">
$R_1\cos{\theta}+R_2\sin{2\theta}=mg$ $(II)$</div>
<div style="text-align: justify;">
$LR_2\sin{\theta}=(4R\cos{\theta}-L)R_1$ $(III)$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Se puede demostrar por relaciones de triángulos que el ángulo que forma la reacción $\vec{R_2}$ con la barra es $\theta$, por tanto aplicando el teorema del seno en el triángulo sombreado obtenemos que la porción de la barra localizada en el hueco es:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$H=2R\cos{\theta}$ $(IV)$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
De la ecuación $(I)$ y $(III)$ obtenemos la siguiente igualdad:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$\frac{\cos{2\theta}}{\sin{\theta}}=\frac{\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}}{\sin{\theta}}=\frac{L\sin{\theta}}{4R\cos{\theta}-L}$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Tras un poco de álgebra llegamos a la ecuación:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$4R\cos^2\theta-4R\sin^2\theta-Lcos\theta=0$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Y usando que $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ llegamos a que:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$8R\cos^2\theta-L\cos\theta-4R=0$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Que al resolver es $\cos\theta=-1/2$ al ser $L=4R$. El ángulo resultante es $\theta=60º$ (medido convenientemente).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-45082956190429561602016-03-21T13:01:00.000+01:002016-03-21T13:01:21.135+01:00Reto de Física #4<div style="text-align: justify;">
En el reto de hoy, presentamos un problema de Física muy bonito. El problema es el siguiente:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Una barra de longitud $L$ reposa como se observa en la imagen sobre un hoyo de radio $R$. Se pide calcular el ángulo $\theta$ sabiendo que la relación entre $L$ y $R$ es $L=4R$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghiFj0dx5VvN-suB9UHimZ7gIbp40ZmamGVH9pbQWvb4fYP_0jQHYl-b0sksQKKTbLpIClzOSNNWFprhOmP905uDjDF0HUkb005yMM18BHpQl6GgDPN7Uj4xxEpmLOHQfkWipLMRq3liU/s1600/problema4.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="296" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghiFj0dx5VvN-suB9UHimZ7gIbp40ZmamGVH9pbQWvb4fYP_0jQHYl-b0sksQKKTbLpIClzOSNNWFprhOmP905uDjDF0HUkb005yMM18BHpQl6GgDPN7Uj4xxEpmLOHQfkWipLMRq3liU/s400/problema4.JPG" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Recuerda que puedes ver el resto de retos con sus soluciones en esta página: <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/p/retos.html" target="_blank"><b>Todos los Retos.</b></a><br />
<br />
<br />
</div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-12258126464646783032016-03-12T21:29:00.000+01:002016-03-12T21:29:02.243+01:00Reto matemático #3<div style="text-align: justify;">
En este tercer reto, optamos por plantear un problema de matemáticas.
Si averiguas la solución, mándala por correo electrónico a <b>gasape21@gmail.com</b>, y si es ingeniosa y elegante la publicaremos. Para este problema nos hemos basado en la Olimpiada Matemática Española (fase de Salamanca). Ahí va:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Sea $AB$ el diámetro de una circunferencia. Sea $O$ el punto medio del arco comprendido entre $A$ y $B$. Elegimos al azar un punto del arco entre $O$ y $B$, que será el punto $C$. Sea $D$ la intersección de la recta $\overline{OC}$ con $\overline{AB}$ y sea finalmente $E$ el punto de corte entre la recta $\overline{AC}$ con la recta perpendicular a $\overline{AB}$ que pasa por $D$. Demostrar que los segmentos $BD$ y $DE$ tienen la misma longitud.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_P9Fb2Eu5gu3KI4qPnpsrfF9Xh9OKjo3KVaxIH48ySkLlG_5J4spoCPej7stGQFghPctm7JA0Xv0gedBQu0NTTS4IeyA_iBkctRXGMXhD3q6F1Y6jumh1J_JO9pyIyi8mhRy-VUPG6Ag/s1600/PROBLEMA.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="296" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_P9Fb2Eu5gu3KI4qPnpsrfF9Xh9OKjo3KVaxIH48ySkLlG_5J4spoCPej7stGQFghPctm7JA0Xv0gedBQu0NTTS4IeyA_iBkctRXGMXhD3q6F1Y6jumh1J_JO9pyIyi8mhRy-VUPG6Ag/s400/PROBLEMA.JPG" width="400" /></a></div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Recuerda que puedes ver el resto de retos con sus soluciones en esta página: <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/p/retos.html" target="_blank"><b>Todos los Retos.</b></a><br />
<br />
<br />
</div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-48751852617137161402016-03-12T21:24:00.000+01:002016-03-12T21:27:38.118+01:00Solución al Reto #2<div style="text-align: justify;">
Si no has leído en qué consiste el Reto #2 te animo a leerlo clicando aquí: <b><a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/2016/02/reto-de-matematicas-2.html" target="_blank">Reto #2</a>.</b> Si ya lo has leído e intentado, o simplemente si tienes curiosidad, he aquí la solución al mismo:</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Sea
$r$ una recta que corta al eje OY en el punto $B=(0,b)$ con $b>0$ y
que pasa por el punto $A=(5,0)$. Sea $C$ el punto del eje OY que se
sitúa 2 unidades por encima de $B$ y sea $P$ el punto de corte entre $r$
y una recta que pasa por $C$ y forma un ángulo de $-\pi/4$ con la
$x=0$. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Hacemos
girar a $r$ alrededor del punto $A$ de modo que el ángulo que se halla
en el vértice $A$ pasa de $0$ a $\pi/2$. Calcula la ecuación del lugar
geométrico de $P$. ¿Qué tipo de curva se obtiene?<br />
<br />
<br />
Primero hallaremos la ecuación de $r$, que es trivial y de la forma $r\equiv y=-\frac{b}{5}x+b$. Después hallamos la ecuación de $s\equiv -x+b+2$.<br />
<br />
Resolvemos el sistema formado por $r$ y $s$ para obtener las coordenadas de el punto $P$ en función de $x$:<br />
<br />
$-\frac{b}{5}x+b=-x+b+2\Rightarrow \frac{5-b}{5}x=2\Rightarrow b=-\frac{10}{x}+5$.<br />
<br />
Por lo tanto la ecuación de la curva obtenida es $y=-x-\frac{10}{x}+5$, que se corresponde con una hipérbole. Su representación gráfica vendría a ser:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnqx5zOV1cx-zv2pwo09rYbtrsoqwEvNpuBWruH7LChgpxEKIojM9X0yzpNwbrS_Gj4cJPT4aB8Vcnoj8YcPJFDiheOSXpcJN-OPcummodEi4ZHSxnrkTwDK72ef2yHd3y5yHNBqoI2dc/s1600/grafica23.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="476" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnqx5zOV1cx-zv2pwo09rYbtrsoqwEvNpuBWruH7LChgpxEKIojM9X0yzpNwbrS_Gj4cJPT4aB8Vcnoj8YcPJFDiheOSXpcJN-OPcummodEi4ZHSxnrkTwDK72ef2yHd3y5yHNBqoI2dc/s640/grafica23.jpg" width="640" /></a></div>
<br />
Y la parte que nos concierne es la situada en el primer cuadrante.<br />
<br /></div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-92193328795270964412016-02-17T23:04:00.001+01:002016-02-17T23:04:41.423+01:00Reto de Matemáticas #2<div style="text-align: justify;">
En este segundo reto, optamos por plantear un problema de matemáticas. Si averiguas la solución, mándala por correo electrónico a <b>gasape21@gmail.com</b>, y si es ingeniosa y elegante la publicaremos. Ahí va:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Sea $r$ una recta que corta al eje OY en el punto $B=(0,b)$ con $b>0$ y que pasa por el punto $A=(5,0)$. Sea $C$ el punto del eje OY que se sitúa 2 unidades por encima de $B$ y sea $P$ el punto de corte entre $r$ y una recta que pasa por $C$ y forma un ángulo de $-\pi/4$ con la recta $x=0$. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Hacemos girar a $r$ alrededor del punto $A$ de modo que el ángulo que se halla en el vértice $A$ pasa de $0$ a $\pi/2$. Calcula la ecuación del lugar geométrico de $P$. ¿Qué tipo de curva se obtiene?</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhO6_-w4oru5gs67TM3RQGmEwef3bNXW7O78SyCpQb0xyYIuQWK3Q7WcC7aNsff5qCGauvCYx5Bli2lNCmZ2rXIv-5-xpol3Gs1VNapjazkECimuavP-TwDFg9wuYgj5N2H2L7tcJuJ6nc/s1600/math.bmp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="296" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhO6_-w4oru5gs67TM3RQGmEwef3bNXW7O78SyCpQb0xyYIuQWK3Q7WcC7aNsff5qCGauvCYx5Bli2lNCmZ2rXIv-5-xpol3Gs1VNapjazkECimuavP-TwDFg9wuYgj5N2H2L7tcJuJ6nc/s320/math.bmp" width="320" /> </a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Recuerda que puedes ver el resto de retos con sus soluciones en esta página: <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/p/retos.html" target="_blank"><b>Todos los Retos.</b></a><br />
<br />
<br />
</div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-74088557804883235452016-02-14T23:57:00.003+01:002016-02-14T23:57:57.411+01:00Solución al Reto #1<div style="text-align: justify;">
Si aún no sabéis cuál es el Reto #1, clic aquí: <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/2016/02/reto-de-fisica-1.html" target="_blank"><b>Reto #1</b></a>. Si ya lo conoces, he aquí su solución:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Una espira cuadrada de lado $b$, masa $m$ y resistencia eléctrica $R$
es empujada con una velocidad inicial $v_0$ hacia una zona en la que
existe un campo magnético $\vec{B}$ como se observa en la figura. ¿Cuál
ha de ser la velocidad $v_0$, como mínimo, para que el carrito atraviese
completamente la zona sombreada?</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Nota: Puede serte útil la regla de la cadena. $\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{dv}{dx}\cdot\displaystyle\frac{dx}{dt}=v\cdot\displaystyle\frac{dv}{dx}$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Tenemos que darnos cuenta de que al entrar el carrito en el campo magnético, comenzará a frenarse debido a que la corriente que se induce en la espira propiciará una fuerza de Lorentz en el sentido opuesto al de la velocidad. Esta fuerza desaparecerá una vez el carrito haya penetrado completamente en el campo, pues en ese caso $d\Phi/dt=0$, donde $\Phi$ denota el flujo magnético. La fuerza que se opone al movimiento será $F=bBI$, donde $I$ denota la intensidad que circula por la espira.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Es claro por la Ley de Ohm que $I=V/R=\displaystyle\frac{1}{R}\displaystyle\frac{d\Phi}{dt}$, y por consiguiente $F=\displaystyle\frac{bB}{R}\displaystyle\frac{d\Phi}{dt}$ $(I)$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Asimismo el flujo en función del tiempo será $\Phi=Bbv(x)t$, y la variación de flujo, por consiguiente, será $\displaystyle\frac{d\Phi}{dt}=Bbv$. Nótese que $v\neq v(t)$. Introduciendo este maravilloso resultado en $(I)$:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$F=\displaystyle\frac{B^2b^2}{R}v$, y por la Segunda Ley de Newton, $m\displaystyle\frac{dv}{dt}=-\displaystyle\frac{B^2b^2}{R}v$ al no existir más fuerzas implicadas. Adviértase el signo negativo, puesto que el carrito se frena.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Por la regla de la cadena se tiene finalmente que:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$m\displaystyle\frac{dv}{dt}=mv\displaystyle\frac{dv}{dx}=-\displaystyle\frac{B^2b^2}{R}v\Rightarrow\displaystyle\int_{v_0}^{0}{dv}=-\displaystyle\frac{B^2b^2}{mR}\displaystyle\int_{0}^{b}{dx}\Rightarrow v_0=\displaystyle\frac{B^2b^3}{mR}$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-19061501000960725022016-02-11T18:01:00.004+01:002016-02-11T18:36:26.608+01:00Última hora: detección de ondas gravitacionales<div style="text-align: justify;">
Hoy, día 11 de febrero de 2016, el equipo <a href="http://www.ligo.org/" target="_blank"><b>LIGO</b></a> con la colaboración de VIRGO ha anunciado hace unos minutos por rueda de prensa la detección de ondas gravitacionales procedentes de la fusión de dos agujeros negros. La enrome energía liberada fue detectada el pasado 14 de septiembre, confirmando definitivamente la valided de la <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/2015/11/cien-anos-derelatividad-general.html" target="_blank"><b>Teoría de la Relatividad General de Albert Einstein.</b></a><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhY92IpaRB_72cTpvO5TFafTMWvgYN9XZaUqIlAD8sIETV8s2sIXXaSJQbL1zWe5OOqowVRB1d6JB9CHCJ1YKsHKTngikhcMjT0Kg8fOYtkTGX4J17F80-PfW3OAI01TVZlpUV6YsxMkBw/s1600/_59999523_59999522.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhY92IpaRB_72cTpvO5TFafTMWvgYN9XZaUqIlAD8sIETV8s2sIXXaSJQbL1zWe5OOqowVRB1d6JB9CHCJ1YKsHKTngikhcMjT0Kg8fOYtkTGX4J17F80-PfW3OAI01TVZlpUV6YsxMkBw/s1600/_59999523_59999522.jpg" /></a></div>
<br />
En la imagen inferior podemos ver el método que utilizan para detectarlas: el detector consta de dos brazos de varios kilómetros de largo recorridos por un haz láser. Al pasar una onda gravitacional, los brazos se contraen o extienden de modo que podemos detectarla debido a interferencias en dicho láser. Está mucho mejor explicado en el artículo que he subido a la sección <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/p/archivos.html" target="_blank"><b>Archivos</b></a>, justo debajo de donde pone artículos.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglV1oAZS-ZzUtrNPEbFsUP0EP5SUg6DU3604b65QZt8hSXdSgTbhWCFXeS4foRXrbNUUk4ef8dFK_j28st99IjZE92iSIC2BqSWqnMx3RCpHd-JM3uvhitPxPXBFgov1-pz7tL6DLdpMM/s1600/IFO.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="388" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglV1oAZS-ZzUtrNPEbFsUP0EP5SUg6DU3604b65QZt8hSXdSgTbhWCFXeS4foRXrbNUUk4ef8dFK_j28st99IjZE92iSIC2BqSWqnMx3RCpHd-JM3uvhitPxPXBFgov1-pz7tL6DLdpMM/s640/IFO.jpg" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Método de detección usado en LIGO</td></tr>
</tbody></table>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Os dejo aquí el artículo presentado hoy, así como la explicación del proceso: <b><a href="http://ep00.epimg.net/descargables/2016/02/11/94bab78f943550c56e1cd0bdff90004d.pdf" target="_blank">Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger.</a></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZLcPcCZ2AX_OjME0tCvcnknUaaw9-fvFWybJOhadynvfHd_kV68bmvjCBJNwIRTH2jptwzg9Jw6guYHXU30PHLqbXyp3gwSch-P5nzD18ucJ5NvFgBhfGTTw4RVtO2lc7Ui9FfgVykCA/s1600/images.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZLcPcCZ2AX_OjME0tCvcnknUaaw9-fvFWybJOhadynvfHd_kV68bmvjCBJNwIRTH2jptwzg9Jw6guYHXU30PHLqbXyp3gwSch-P5nzD18ucJ5NvFgBhfGTTw4RVtO2lc7Ui9FfgVykCA/s1600/images.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">LIGO</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
El paper de la rueda de prensa lo podéis encontar en la sección <b><a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/p/archivos.html" target="_blank">Archivos. </a></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Mi más sincera enhorabuena a todo aquel que se dedique a la Física. El día de hoy pasará a la historia.<b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><br /></b>
<b><br /></b>
<b><br /></b>
<b><br /></b>
<b><br /></b>
<b></b><br />
Podemos esperar descubrimientos semejantes en las próximas décadas gracias a los detectores que se están construyendo en países como la India. Hoy es el comienzo de una nueva Astrofísica.<br />
<b><br /></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Un gran saludo!!!</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><br /></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><br /></b>
</div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-33933801370043067932016-02-10T21:29:00.000+01:002016-02-14T23:58:49.914+01:00Reto de Física #1<div style="text-align: justify;">
Comienzo una serie de entradas en las que expondré un problema de Física o de Matemáticas para su resolución. La respuesta más elegante o más ingeniosa será publicada junto al nombre de la persona que la resuelva. Para ello, manden un correo electrónico con la respuesta a <b>gasape21@gmail.com</b>. Suerte!</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El primer problema que quiero plantear es el siguiente:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Una espira cuadrada de lado $b$, masa $m$ y resistencia eléctrica $R$ es empujada con una velocidad inicial $v_0$ hacia una zona en la que existe un campo magnético $\vec{B}$ como se observa en la figura. ¿Cuál ha de ser la velocidad $v_0$, como mínimo, para que el carrito atraviese completamente la zona sombreada? Se desprecia todo tipo de rozamiento.<br />
<br />
Nota: Puede serte útil la regla de la cadena. $\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{dv}{dx}\cdot\displaystyle\frac{dx}{dt}=v\cdot\displaystyle\frac{dv}{dx}$<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh6epEeg3X1mRicDszzm7P30PEbtj0xYSEljlT8OtRDlyzk7S4CvySCWoIIoE5nbUal0964n6d36hnqv32u296nAl2628cqfamEKt5-1neNVDbFyu0GtEYKbuNqD0igvjH2IMfn9UKccoA/s1600/carrito.bmp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh6epEeg3X1mRicDszzm7P30PEbtj0xYSEljlT8OtRDlyzk7S4CvySCWoIIoE5nbUal0964n6d36hnqv32u296nAl2628cqfamEKt5-1neNVDbFyu0GtEYKbuNqD0igvjH2IMfn9UKccoA/s1600/carrito.bmp" /></a></div>
<br />
<br />
Recuerda que puedes ver el resto de retos con sus soluciones en esta página: <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/p/retos.html" target="_blank"><b>Todos los Retos.</b></a><br />
<br />
Clic aquí para ver la <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/2016/02/solucion-al-reto-1.html" target="_blank"><b>solución.</b></a><br />
<br />
<br /></div>
Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-648695867724623428.post-68945589864851359512016-02-07T11:34:00.000+01:002016-02-07T12:07:38.620+01:00Esa tan temida...Entropía<div style="text-align: justify;">
Este es uno de los conceptos a los que los alumnos de Física nos tenemos que enfrentar casi a diario. Es muy famosa la ecuación que nos dice que la entropía siempre aumenta en un sistema aislado, pero ¿qué es realmente la <b>entropía</b>?</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Muchos la definen como el "grado de <b>desorden</b>" de un sistema. Los sistemas más desordenados tendrán una entropía mayor que los más ordenados. Pero sigo pensando que esta definición es demasiado confusa. Sin embargo, una de las maneras más ingeniosas en que me han explicado el concepto es: "<b>la entropía es el tamaño del pen drive en el que está metido toda la información que nos falta por saber de un sistema</b>". Simplemente genial. Vamos con ello:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Supóngase que tenemos cuatro bolitas y cuatro agujeros con distinto número de huecos como se muestra en las imágenes inferiores. Comencemos con un solo hueco:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoTTNscSfmC_J_zytcuEWBEOdj7uF9Ed18_LgZyFPsFYLs4RBX3KduOQiCe3EDSqP9FwzHUkHgv8hJtMjPMTZm44mYsGbeZQ6ee5VTfAt6q1eL-ukwjosyHzWeANP7s6PYcQ3GIfE8LXo/s1600/entropia1.bmp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="201" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoTTNscSfmC_J_zytcuEWBEOdj7uF9Ed18_LgZyFPsFYLs4RBX3KduOQiCe3EDSqP9FwzHUkHgv8hJtMjPMTZm44mYsGbeZQ6ee5VTfAt6q1eL-ukwjosyHzWeANP7s6PYcQ3GIfE8LXo/s320/entropia1.bmp" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Es evidente que en este caso las bolitas solo se pueden colocar de una sola forma. Dicho de otra manera, las combinaciones totales posibles son $\Omega=1$. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Es bien sabido que a los físicos les gusta tomar logaritmos en todos los sitios, así que yo digo que la entropía $S$ de un sistema se calcula como $S=k\log\Omega$. En el caso de la imagen superior sale que $S=0$ puesto que $\log 1=0$. De momento nos olvidaremos de las unidades y de la constante $k$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Veamos un ejemplo con varios huecos, en este caso tres:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikGBFdOyfJounO_7g8htM4NyJtxFXQFfama1jKsGYLYopdFoFHVUvjSpbEew8D76ZwG4D2CPGhOPZVMDnFk6o_kH35h0Y8OQsiP8ghQYoAsG2Mdyqtgnzs2vsdg_5URMIw9LSp2-0XU3I/s1600/entropia2.bmp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="201" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikGBFdOyfJounO_7g8htM4NyJtxFXQFfama1jKsGYLYopdFoFHVUvjSpbEew8D76ZwG4D2CPGhOPZVMDnFk6o_kH35h0Y8OQsiP8ghQYoAsG2Mdyqtgnzs2vsdg_5URMIw9LSp2-0XU3I/s320/entropia2.bmp" width="320" /></a> </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Aunque también pueden colocarse las bolitas de más formas, como esta:</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzpXmOwKf0F_sChkmr_WdjSKvUieTaPeO0hyphenhyphenGW-PR1sNcIc4q-ChcoYecQwmMU3MHgyE4-8bMG3gMxzvHr5jB3bwW45oyySWV4kCCF9u-yZQCrbNfupf9rhRTp4hEEJnpHQupKkvnz0G8/s1600/entropia3.bmp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="201" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzpXmOwKf0F_sChkmr_WdjSKvUieTaPeO0hyphenhyphenGW-PR1sNcIc4q-ChcoYecQwmMU3MHgyE4-8bMG3gMxzvHr5jB3bwW45oyySWV4kCCF9u-yZQCrbNfupf9rhRTp4hEEJnpHQupKkvnz0G8/s320/entropia3.bmp" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Y podemos encontrar hasta 81 combinaciones en total. En este caso $\Omega=81$ y por tanto la entropía será distinta de cero. Calculándola, $S=k\log\Omega=6\cdot 10^{-23}$, que equivale a un número muy muy muy diminuto, tan pequeño como comparar un átomo con la distancia entre el Sol y la estrella más cercana.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ahora imaginemos que hacemos de nuevo el experimento de las bolitas en los agujeros pero <b>no podemos ver cómo están colocadas</b>. Solo nos dicen el número de huecos que hay. Si hay un solo hueco, sabemos que la única posición posible es que cada una esté en un hueco. Lo sabemos todo, el pen drive de lo que no sabemos está vacío.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Con dos huecos ya hay más opciones, ya no lo sabemos todo. El pen drive de las cosas que no sabemos ya tendrá algo de información. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Con veinte huecos, hay muchísimas opciones, más de tres mil millones. Necesitaremos un pen drive mucho mayor. Con 100 huecos hay un número inimaginable de posibilidades. Y con $6,023\cdot 10^{23}$, ni te cuento.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La entropía es, por tanto, el <b>tamaño del pen drive en el que está toda la información que desconocemos</b>. Ahora es fácil ver aquello del desorden, pues a mayor entropía, mayores posibilidades. Las bolitas están más descolocadas con veinte huecos que con uno.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Originalmente el concepto físico de la entropía se deriva del <b>Segundo Principio de la Termodinámica</b>. Se define como sigue:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$dS=\displaystyle\frac{\delta Q}{T}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Y es una función de estado. Además solo puede calcularse para procesos reversibles. Realizando la integral correspondiente en el caso de un gas ideal a presión constante en el que cambia el volumen, obtenemos que:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\Delta S=nR\log\displaystyle\frac{V_1}{V_2}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ahora supongamos que, de repente, todas las moléculas de un gas ideal se encuentran hacinadas en un volumen $V_2<V_1$, siendo $V_1$ el volumen del recipiente en que está el gas. La probabilidad de que la molécula 1 esté ahí es $\Omega=V_2/V_1$. La probabilidad de que estén la 1 y la 2 es $\Omega=(V_2/V_1)^2$. La probabilidad de que estén las $N$ moléculas será $\Omega=(V_2/V_1)^N$. Tomando logaritmos:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\log\Omega=N\log{\displaystyle\frac{V_2}{V_1}}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Recordando que de la Termodinámica se tiene que $\Delta S=nR\log\frac{V_1}{V_2}$ y ordenando un poquito ambas ecuaciones, es claro que:</div>
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$\Delta S=k\log\Omega$</div>
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Ya que $k=\displaystyle\frac{R}{N_A}$.</div>
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Por tanto hemos visto cómo a partir de la definición termodinámica de la entropía como $dS=\displaystyle\frac{\delta Q}{T}$ hemos llegado a la definición de "desorden" que tanto se escucha: $\Delta S=k\log\Omega$.</div>
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Pues bien, el Segundo Principio de la Termodinámica nos dice que en un sistema aislado, la entropía (o desorden) del sistema <b>siempre aumenta</b>. Matemáticamente, $\displaystyle\frac{dS}{dT}\geq 0$. ¿Es esto siempre cierto? Sí y no. </div>
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Supongamos un gas como en el ejemplo de antes. La variación de entropía a presión constante podría calcularse como $\Delta S=nR\log\frac{V_1}{V_2}$. El valor que vamos a obtener va a ser cero, porque <b>el volumen siempre va a ser el mismo...</b>¿o no? Imaginemos que en un instante dado todas las moléculas se encuentran en una de las dos mitades del recipiente. En este caso, puesto que $V_1>V_2$, <b>¡LA ENTROPÍA DISMINUYE!</b> ¿Por tanto el Segundo Principio es falso y todo es una gran mentira? </div>
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Quieto parado amigo. Un gas normal tiene del orden de $10^{23}$ moléculas. Como vimos al principio de la entrada, podemos calcular la probabilidad de que las moléculas estén en una posición o en otra. Como cuantos más huecos en el ejemplo de las bolitas las posibilidades eran cada vez mayores, con tantas moléculas las posibilidades son <b>casi infinitas</b>. Esto quiere decir que para que la entropía disminuyese realmente, deberían de pasar <b>miles de billones de años.</b> </div>
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Hemos de recordar que la Termodinámica es una descripción macroscópica de la realidad. Es evidente que con tres partículas la entropía sí que disminuiría en el tiempo, pero es que con tres partículas no hablamos de Termodinámica, sino de Mecánica Cuántica. En el ámbito de aplicación del Segundo Principio de la Termodinámica, con millones y millones y millones de partículas, éste siempre se cumple. Por tanto podemos concluir con esta frase de Homer:</div>
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Quizá pueda resultar interesante un fragmento de la obra <b>"La última pregunta"</b> de <b>Isaac Asimov</b> donde habla de la disminución de la entropía en el Universo. Si la lees, te dejará sin palabras. Puedes encontrarla en mi sección <a href="http://cienciacomonunca.blogspot.com.es/p/archivos.html" target="_blank"><b>Archivos.</b></a></div>
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Muchas gracias y compartan!</div>
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Gabriel Sánchez Pérezhttp://www.blogger.com/profile/18080453476088420352noreply@blogger.com3