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viernes, 6 de septiembre de 2019

Energía gravitatoria

En Mecánica Clásica entendemos la energía como aquel ente capaz de realizar un trabajo. Si por ejemplo consideramos un campo de fuerzas conservativas, es decir que posean un potencial, podemos definir una energía potencial asociada a dicho campo, que se interpretaría como aquella cantidad de energía necesaria para desplazar una partícula hasta el infinito (o hasta tierra, es decir, donde el campo se anule).

Potencial gravitatorio creado por una distribución esférica de masa $M$.

Consideremos la gravitación Newtoniana, donde el campo de fuerzas viene definido por la Ley de la Gravitación Universal:

$$ \vec F = - G \frac{m_1 m_2}{r^3} \vec r$$

siendo $G$ la constante de la gravitación universal, $m_1$ y $m_2$ las masas de las partículas en interacción y $\vec r$ el vector que las une. El campo es conservativo, pues proviene del potencial gravitatorio 

$$ V = - G \frac{m_1 m_2}{r} $$

ya que $\vec F = -\nabla V$. La energía potencial se define como el potencial por unidad de masa. Si $M=m_1$ es la masa de la partícula que crea el campo y $m_2$ la que lo "siente", la energía potencial será 

$$E = - G \frac{M}{r}$$

La interpretación física es que el valor numérico de $E$ en $r=r_0$ es la energía necesaria para llevar la partícula de $r=r_0$ hasta el infinito, donde no hay influencia gravitatoria. En este sentido, hemos encontrado una expresión local para la energía gravitatoria. Sin embargo, vamos a ver cómo todo se vuelve más complicado cuando nos adentramos en las fauces de la Relatividad General.



Principio de Equivalencia


Recordemos que, según la Segunda Ley de Newton, la fuerza y la aceleración que experimenta un cuerpo de masa $m$ están relacionadas por 

$$\vec F= m \vec a$$

Por otro lado, hemos visto que la fuerza gravitatoria también depende de la masa $m$ de los cuerpos en interacción. La pregunta es, ¿son estas dos masas la misma? Esto es lo que se conoce como Principio de Equivalencia de Galileo.

En principio no tendría por qué. Fijémonos por ejemplo en la Ley de Coulomb, donde la fuerza electrostática depende de la carga $q$ de la partícula, no de la masa. De hecho, dos partículas de igual masa pero distinta carga acelerarán de forma diferente en presencia de un campo eléctrico. Esto es radicalmente distinto a lo que ocurre con el campo gravitatorio, en el que todos los cuerpos caen con la misma aceleración. ¿Qué tiene de especial la Gravitación?

A lo largo de la Historia ha habido multitud de experimentos para tratar de discernir si en efecto la masa gravitatoria (la de la Ley de la Gravitación Universal) es la misma que la masa inercial (la de la Segunda Ley de Newton). Uno de los más famosos fue el ideado por Lóránd von Eötvös, en el que aprovechó la rotación de la Tierra y la aceleración centrífuga correspondiente. En dicha experiencia y en sucesivas mejoras, se ha logrado probar que ambas masas son iguales con un error menor a $10^{-13}$ (en 1999). Actualmente la sonda espacial MicroSCOPE ha logrado llegar a cotas de $10^{-15}$, y se espera que el satélite STEP alcance hasta $10^{-18}$. Así pues, el Principio de Equivalencia de Galileo tiene una gran base experimental. Ahora bien, ¿qué conclusiones podemos obtener de él?

El Principio de Equivalencia de Galileo parece apuntar a que, de algún modo, un sistema de referencia acelerado es equivalente a uno inercial en presencia de un campo gravitatorio. Dado que el campo gravitatorio no es uniforme, esta equivalencia es sólo local. En este sentido, somos capaces de anular el efecto del campo gravitatorio dejándonos caer en él.

El ejemplo típico, atribuido a Einstein, es el del ascensor. Si consideramos un ascensor que asciende con velocidad uniforme y dejamos caer un objeto, éste impactará contra el suelo del ascensor por efecto de la gravedad. Si repetimos el experimento en el espacio (sin gravedad) pero con un ascensor que se mueva de forma acelerada, el resultado va a ser el mismo. Análogamente, la Física en un ascensor inercial en ausencia de gravedad es la misma (localmente) a la que experimentaríamos en un ascensor en caída libre en presencia de un campo gravitatorio. Si en esta situación soltásemos un objeto, éste caería con nosotros, y lo percibiríamos "suspendido" ante nuestros ojos, como un sistema inercial en Relatividad Especial.


Einstein elevó el Principio de Equivalencia a la categoría de postulado para su Teoría de la Relatividad General. Dicho postulado reza:

Todas las leyes de la Física (salvo la gravitación) son las mismas, a escalas suficientemente locales, en un sistema en caída libre en presencia de un campo gravitatorio o en un sistema inercial en ausencia de gravedad.

Una versión alternativa es:

Todas las leyes de la Física (salvo la gravedad) son iguales, localmente, en un sistema inercial en presencia de un campo gravitatorio y en un sistema de referencia acelerado en ausencia de gravedad.

La principal consecuencia de este Postulado es que la gravedad ya no es una fuerza, si no que se trata de un efecto debido a la Geometría del espacio y del tiempo. Y una consecuencia secundaria es la imposibilidad de definir el concepto de energía local gravitatoria en Relatividad General. Veamos por qué.


Energía local gravitatoria


Recordemos que el Principio de Equivalencia nos lleva a abandonar toda esperanza de poder "medir el campo gravitatorio", al igual que Dante al descender al Inferno:

" Lasciate ogni speranza, voi ch'entrate "

Inferno, La Divina Commedia, Dante Alighieri

Esto es debido a que el valor del campo (la métrica) toma valores diferentes en sistemas de referencia distintos. Por ejemplo, un observador en caída libre (coordenadas gaussinas), observa localmente la métrica de Minkowski, es decir, no siente la gravedad. En el límite newtoniano, la energía asociada al campo viene dada por el laplaciano del potencial gravitatorio, de modo que en Relatividad General esperaríamos que ésta dependiese de la métrica $g$ y sus primeras derivadas. Pero por el Principio de Equivalencia, la energía tomaría valores distintos en diferentes sistemas coordenados. Este es el motivo por el cual no se puede definir un tensor local de energía gravitatoria.

Sin embargo, sí que es posible construir un pseudo-tensor local, como por ejemplo el de Landau-Lifshitz. Este objeto no es tensorial, pues se anula en unos sistemas y no en otros, por lo que capta la esencia fundamental del Principio de Equivalencia. Además, a partir de él se pueden construir unas cantidades (masa ADM o momento ADM, en honor a Arnowitt-Deser-Misner, sus descubridores) conservados cuya interpretación es una medida global de la energía gravitatoria. La base matemática para introducir las formas de Landau-Lifshitz es bastante complicada, por lo que definiremos la masa ADM desde otra vía.

Desde los años 60 del siglo pasado se sabe que la formulación hamiltoniana de la Relatividad General (GR) es equivalente a la planteada por Albert Einstein en su teoría. A grandes rasgos, el Hamiltoniano es suma de dos términos: la ligadura hamiltoniana y la ligadura vectorial. Este formalismo canónico se sustenta en una descomposición 3+1 de la GR. Sin embargo, para normalizar el valor de la acción en GR es necesario añadir ciertos términos de frontera al hamiltoniano. Pues bien, precisamente uno de esos términos es la energía ADM:

$$E = \frac{1}{2}\int n^k(\partial_i h_{ik}-\partial_k h_{jj}) dS$$

donde la integral se realiza en la esfera del infinito, cuyo vector normal es $n$ y $h$ denota la métrica asintóticamente plana. Esta energía ADM obtenida desde el formalismo canónico es la misma que se encuentra a través del pseudo-tensor de Landau-Lifshitz.

El ejemplo clásico no trivial es la energía ADM para la métrica de Schwarzschild en coordenadas isotrópicas. Un sencillo cálculo nos permite comprobar que dicha energía es igual a la masa fuente del campo gravitatorio. De esta forma podemos interpretar la energía ADM como una medida global de la energía de campo gravitatorio en Relatividad General. Si añadimos dicha energía como término de frontera al hamiltoniano, el valor numérico de éste resulta ser la energía ADM, recuperando así la noción de que el hamiltoniano es la energía del sistema.


Conclusiones

 

Según hemos visto, el Principio de Equivalencia nos obliga a abandonar la idea de poder medir el campo gravitatorio, y con ello a ser capaces de definir una medida local de energía gravitatoria. Sin embargo, sí que se puede definir una medida global de energía, asociada a la totalidad del campo. Dicha energía (ADM) se puede obtener desde una vía puramente geométrica (a partir de las formas de Landau-Lifshitz) o desde un planteamiento hamiltoniano de la Relatividad General.


Referencias

 

- R. Arnowitt, S. Deser, C. W. Misner, "Gravitation: An introduction to current research. The dynamics of General Relativity". John Wiley, Sons Inc., New York, London (1962).

- R. M. Wald, "General Relativity", The University of Chicago Press, Chicago and London, (1984).

- Y. Choquet-Bruhat, "General Relativity and the Einstein Equations". Oxford Mathematical Monographs, (2009).