La Igualdad de Euler

Leonhard Euler fue un matemático y físico suizo que vivió en el siglo XVIII. Es considerado uno de los grandes genios de la historia de la Ciencia. A él le debemos la existencia del número que lleva su nombre, el número e. Si quisiésemos hablar de todo lo que hizo, esta entrada se haría interminable, por lo que hoy me centraré en la famosa Ecuación de Euler:

Vamos a intentar demostrar esta identidad de gran belleza a partir de las Series de Taylor y Maclaurin, que son representaciones de una función (como el seno, el coseno o una exponencial) a partir de la suma de infinitos términos. Por ejemplo: sen 45º se puede escribir como la suma de infinitos sumandos que converge hacia el valor concreto del sen 45º. Las series que necesitaremos son las siguientes:

También necesitaremos algo de números complejos. Recordemos que un número complejo z puede escribirse como z = a + bi, siendo i la unidad imaginaria (raiz cuadrada de -1). Podemos escribir lo siguiente:

Ahora intentemos escribirlo mediante las Series de Taylor:

Podemos observar que hay algunos términos que poseen la unidad imaginaria i, pero otros no. Vamos a llamar A a la suma de los términos que incluyen i, y B a la suma de los que no:

Siendo un poco observadores, podemos escribir lo siguiente:

Ahora vamos a igualar b al número pi:

Con lo que queda demostrada la Identidad de Euler, dotada de una belleza espectacular y de misterio. Relaciona los cinco números básicos de las Matemáticas de una forma asombrosamente básica.

No sabemos cuál es su significado, pero sabemos que es verdad: una verdad eterna y bella, por lo que muchos la consideran la igualdad más importante de las Matemáticas.

Podemos tomar logaritmo neperiano a ambos lados y observar cuánto vale el logaritmo neperiano de -1:

Si os ha gustado la entrada matemática de hoy, os invito a comentar y compartirla. 

Un saludo, nos vemos en la próxima!

Deducción de la 1ª Ley de Kepler

En entradas anteriores hemos hablado de las Tres Leyes de Kepler, como puedes leer en Deducción de la Tercera Ley de Kepler y Deducción de la Segunda Ley de Kepler.

En la entrada de hoy vamos a deducir la Primera Ley de Kepler, que dice así: "Los planetas describen órbitas elípticas planas en torno al Sol, situado en uno de sus focos". Para ello tendremos que saber por qué son órbitas planas y por qué son elípticas.

Para demostrar que son planas vamos a partir de un concepto ya mencionado en la Deducción de la Segunda Ley de Kepler: el momento angular es constante en toda la órbita.

Al ser L (vector) constante, también lo serán r (vector) y el momento lineal (vector), r y p estarán siempre en el mismo plano, y por eso las órbitas son planas. Queda demostrar que la curva que describen los planetas es una elipse:

Imaginemos que se trata de una órbita desconocida, y que nuestro objetivo es hallar la ecuación de la misma:

A partir de esas definiciones vamos a intentar sacar la ecuación buscada.

Partiendo también de la definición de energía mecánica y despejando la velocidad normal:

Hacemos el siguiente cambio de variable:

Con lo que llegamos a la ecuación de una elipse en forma polar, cuya excentricidad depende de C y B, y estos a su vez de G, M, m, L y Em.

Una vez demostrada la Primera Ley de Kepler, hemos acabado con este conjunto de entradas sobre las Leyes de Kepler.

Un saludo! Hasta la próxima y FELIZ NAVIDAD!

Cinemática y Gravitación

¿De qué depende el tiempo que tarda en caer un objeto en caída libre?

Como es lógico, de la altura. ¿Pero y la aceleración? ¿Es constante siempre? La respuesta es que no.

Esa aceleración se debe una fuerza de carácter gravitatorio, que a su vez depende de la distancia entre los cuerpos y sus masas (Ley de la Gravitación Universal). Como la fuerza aumenta conforme al objeto se acerque a la Tierra, también lo hará la aceleración para una masa m constante. Por esto, he decidido combinar las ecuaciones de cinemática con las de gravitación, para obtener unas nuevas que relacionen el tiempo de caída con la altura (teniendo en cuenta una aceleración variable). 

Esto quiere decir que la aceleración que sufre nuestro objeto depende de la altura, y nuestro objetivo será hallar la aceleración media entre el momento en el que está arriba del todo y el momento en el que toca el suelo. Recordemos las constantes con las que vamos a trabajar:

Si graficamos la aceleración en función de la altura, obtenemos una gráfica del siguiente tipo: (función potencial de exponente entero negativo par)

Cuando la altura vale 0, se obtiene el conocido valor de 9,8 m/s2 para la aceleración. A medida que la altura aumenta, este valor tiende a 0 en el infinito. Podemos observar que debajo de la función se forma un área:

Este área (A) corresponde geométricamente con la integral definida en el intervalo [0, h] de la función aceleración. Recordemos que la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, entonces la integral indefinida de la función aceleración (diferencial de tiempo) corresponde con la función velocidad, que depende del tiempo con una aceleración constante. Podemos decir entonces que el área A se corresponde con la aceleración multiplicada por el tiempo. Podemos hallar la aceleración media así:

Esta nueva función tiene aceleración constante, y el área (A) de debajo en el intervalo [0, h] es la misma. Por eso podemos decir que la aceleración media se corresponde con ese área dividida entre h. Viéndolo como si fuese un rectángulo, el área A sería igual a la base h por la altura am.

Vamos a comparar las ecuaciones obtenidas con las ecuaciones "normales" donde consideramos la aceleración, g, constante:

Graficando las dos ecuaciones del tiempo con respecto a la altura obtenemos lo siguiente:

La altura (h) está representada en el eje de abscisas en km, y el tiempo (t) está representado en el eje de ordenadas en segundos. La línea negra es la fórmula con aceleración constante, y la línea roja es la que hemos hallado, donde la aceleración es variable.

Podemos observar que a alturas "pequeñas" las dos funciones están casi superpuestas. A partir de 300 o 400 km ya se observan diferencias que se van acrecentando con el tiempo. Para que nos hagamos una idea, la altura desde donde se lanzó Felix Baumgartner está representada por la línea azul, es decir, la diferencia de tiempos no alcanzaba ni 1 segundo.

Si representamos la altura de un objeto en función del tiempo que tarda en caer según las dos fórmulas:

De nuevo, la línea roja será la que hemos hallado en esta entrada y la negra la que considera la aceleración constante. A alturas bajas, hasta los 300 km, la diferencia es insignificante. A partir de esa altura, es un factor a tener en cuenta. Una altura de 200 km representa tan solo el 3% del radio terrestre.

Finalizaré la entrada recordando las dos ecuaciones que hemos hallado hoy, la que relaciona la altura (h) con respecto al tiempo y la que relaciona el tiempo (t) con respecto a la altura desde la que se lanza un cuerpo en caída libre:

Nota: considero todos los tiempos, lógicamente, como positivos si no pongo el símbolo "+" delante de las raíces.

Estas ecuaciones se pueden aplicar en otros planetas, sustituyeno el radio y la masa por el que corresponda. Es necesario decir también que en estas ecuaciones omitimos por completo el rozamiento con el aire, que es un factor muy a tener en cuenta. Los tiempos que hallemos con estas fórmulas serán ligeramente superiores a los experimentales por este motivo. Posteriormente ampliaré las ecuaciones teniendo en cuenta esos datos.

Hasta dentro de unos días con otra entrada. Espero que os haya gustado esta, ya que le he dedicado bastante tiempo entre obtener las ecuaciones y preparar la entrada y las gráficas.

Un saludo!