Deducción de la 1ª Ley de Kepler

En entradas anteriores hemos hablado de las Tres Leyes de Kepler, como puedes leer en Deducción de la Tercera Ley de Kepler y Deducción de la Segunda Ley de Kepler.

En la entrada de hoy vamos a deducir la Primera Ley de Kepler, que dice así: "Los planetas describen órbitas elípticas planas en torno al Sol, situado en uno de sus focos". Para ello tendremos que saber por qué son órbitas planas y por qué son elípticas.

Para demostrar que son planas vamos a partir de un concepto ya mencionado en la Deducción de la Segunda Ley de Kepler: el momento angular es constante en toda la órbita.

Al ser L (vector) constante, también lo serán r (vector) y el momento lineal (vector), r y p estarán siempre en el mismo plano, y por eso las órbitas son planas. Queda demostrar que la curva que describen los planetas es una elipse:

Imaginemos que se trata de una órbita desconocida, y que nuestro objetivo es hallar la ecuación de la misma:

A partir de esas definiciones vamos a intentar sacar la ecuación buscada.

Partiendo también de la definición de energía mecánica y despejando la velocidad normal:

Hacemos el siguiente cambio de variable:

Con lo que llegamos a la ecuación de una elipse en forma polar, cuya excentricidad depende de C y B, y estos a su vez de G, M, m, L y Em.

Una vez demostrada la Primera Ley de Kepler, hemos acabado con este conjunto de entradas sobre las Leyes de Kepler.

Un saludo! Hasta la próxima y FELIZ NAVIDAD!

Deducción de la Segunda Ley de Kepler

Hará cosa de medio año, en este blog deducimos la Tercera Ley de Kepler, o mejor dicho, la justificamos a partir de la Ley de la Gravitación Universal.

Hoy justificaremos la 2ª Ley de Kepler, que dice así: "Las áreas barridas por un radio vector con origen el Sol y destino un planeta, barren áreas iguales en tiempos iguales". Se verá mejor con una imagen:

Si el tiempo que tarda un planeta en ir desde P1 hasta P2 es el mismo que en ir desde P3 hasta P4, el área A1 será igual al área A2. Pero, ¿por qué ocurre esto?

Johannes Kepler se basó en los datos astronómicos de su coetáneo Tycho Brahe antes de que Isaac Newton estableciese su Ley de la Gravitación Universal. Nosotros vamos a partir de ahí, pero primero definamos algunos términos:

Perigeo: punto de la órbita más cercano al Sol (o al astro en torno al cual se orbite). En el caso de la Tierra, se llama Perihelio.

Apogeo: punto de la órbita mas alejado del Sol. En el caso de la Tierra se llama Afelio.

Velocidad Areolar: el área barrida por el radio vector por unidad de tiempo.

Demostración:

Primero vamos a demostrar esta ley en los casos particulares del apogeo y perigeo. Si consideramos un diferencial de tiempo (dt), el área barrida por el planeta se asemeja a un triángulo de base ds y de altura la distancia al Sol:

Calculemos el área de las zonas rojas (dA) como si fuesen triángulos:

En el caso del perigeo procederemos del mismo modo:

Ahora vamos a calcular el momento de fuerza de la fuerza gravitatoria del Sol al planeta con respecto al propio Sol. Por definición:

Entonces el momento será (modularmente):

El momento también puede escribirse de la siguiente forma:

Deducimos que el momento angular es constante (en dirección, sentido y módulo) a lo largo de toda la trayectoria. El momento angular se define como:

Como hemos dicho que el momento angular es constante, el momento angular en el apogeo será igual al del perigeo:

Finalmente llegamos a que la velocidad areolar en el perigeo es igual a la velocidad areolar en el apogeo:

Para cualquier otro punto de la órbita procedemos igual:

El área (dA):

Y como tanto L como m son constantes, la velocidad areolar también será constante y queda demostrada la Segunda Ley de Kepler.

Puedes leer también la demostración de la Primera Ley de Kepler.

Nos vemos en la próxima entrada!

Proyecto Ilustris

Recientemente, un grupo de astrofísicos de las universidades de Harvard, Princeton, Cambridge y el Instituto Tecnológico de Massachusetts, junto con la colaboración de superordenadores de varios países, han conseguido crear una ambiciosa simulación de los 13.800 millones de años de historia de nuestro Universo. 

El proyecto, finalizado el pasado octubre y presentado el 8 de mayo de 2014, cuenta con total fidelidad física. En la simulación se introdujeron las leyes físicas, y las imágenes y vídeos simulados coinciden sorprendentemente con la realidad. Esto nos ayudará a conocer mejor el Universo en el que vivimos.

El ordenador con el que estás leyendo ahora esta entrada tardaría 2000 años en realizar todos los cálculos del Proyecto Ilustris.

Aquí tenéis el vídeo con el que se presentó el proyecto:

Para visualizarlo desde un móvil, clic aquí.

Si deseas visitar la página oficial del proyecto, clic en este enlace: Ilustris Project.

Un saludo lectores,

nos vemos en unos días con una entrada de radiación ;)