El Teorema de la bola de pelo (Hairy ball theorem)

Cuando en el instituto (y en gran parte de la Universidad) hemos trabajado con vectores, siempre nos hemos limitado en su estudio a $\mathbb{R}^n$ como espacio vectorial. Fijémonos en el caso bidimensional para afianzar conceptos. Dotando a $\mathbb{R}^2$ de una estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales (mediante una operación de suma y otra de producto adecuadas), podemos tomar la base canónica en el plano con la cual podemos construir cualquier otro vector:

 

$\mathbb{R}^2$ como espacio vectorial siempre admite una base: todo vector de $\mathbb{R}^2$ puede escribirse como combinación lineal única de los elementos de la base. Por ejemplo, el vector $v$ (en verde) puede escribirse como $4e_x + 3 e_y$.

Podemos incluso ir más allá y no sólo considerar vectores en un punto, si no vectores en todos los puntos, es decir, campos vectoriales. En el caso plano sigue resultando cierto que existe una base global de campos vectoriales, y que por tanto todo campo vectorial puede escribirse como combinación lineal única de dichos vectores. Los coeficientes de la descomposición (en vulgo, las coordenadas) ya no son números reales, si no que son números reales punto a punto, es decir, funciones. Más adelante profundizaremos en las implicaciones que tiene esto.

En este caso, el campo vectorial $v$ define un vector en cada punto del plano. La base de campos vectoriales $e_x$ y $e_y$ está bien definida globalmente. La descomposición de $v$ en la base es única punto a punto. Es importante no confundir $\mathbb{R}^2$ como variedad con su espacio tangente, aunque sea algo a lo que estemos acostumbrados. Existe un isomorfismo entre ambos.

Pero el plano es un caso muy particular, poco interesante y una imagen nada realista de las superficies cotidianas que nos rodean. Es interesante, por tanto, estudiar otras variedades no planas, tales como esferas, toros y demás. No vamos a entrar en profundidad en las propiedades topológicas y geométricas de estos entes, pero daremos por supuesto que el plano y la (superficie de la) esfera no son en absoluto parecidos. Sin embargo, un huevo y una esfera se parecen un poco más. Matemáticamente esta relación se puede entender con ayuda de los isomorfismos topológicos (también llamados homeomorfismos). Diremos que dos espacios topológicos son homeomorfos, que a ojos de la topología viene a decir que son casi el mismo, si existe una biyección continua y con inversa continua entre ambos espacios. Entre una esfera y un huevo tal aplicación existe, pues podemos deformar uno en el otro (y viceversa) de forma continua. Entre el plano y la esfera no. Como digo, la topología sólo es capaz de distinguir las clases de equivalencia bajo homeomorfismos.

Un doctor en topología, cuando desayuna, tiene problemas como éste. A ojos de la topología, la taza y el dónut son equivalentes, pues existe un homeomorfismo entre ambos espacios topológicos.

Como digo, no entraremos en materia avanzada sobre geometría diferencial, pero hay una idea que tiene que quedar clara: sobre la esfera, o cualquier otra variedad no necesariamente bidimensional, también podemos construir vectores y campos de vectores. La idea es que punto a punto podemos construir un espacio vectorial denominado espacio tangente. 

Podemos visualizar el espacio tangente a la esfera en el punto $p$ vista desde $R^3$. Dicho espacio puede dotarse de una estructura de espacio vectorial, de modo que podemos construir vectores punto a punto sobre la esfera.

De igual modo a lo que hicimos en el plano, podemos tratar de construir campos vectoriales sobre la esfera. Formalmente, los campos vectoriales son secciones del fibrado tangente de la variedad. Pero sin entrar de momento en mucho detalle, los podemos imaginar visualmente.

El campo vectorial (en rojo) define un vector en cada punto de la esfera. Dicho vector vive en el espacio tangente a la esfera en dicho punto.

Pero ahora surge una diferencia radical con respecto al caso plano. En la esfera no podemos encontrar una base global de campos vectoriales. Dicho de otro modo, es imposible encontrar un campo vectorial sobre la esfera que no se anule en algún punto sobre la misma. Este resultado se conoce como el Teorema de la bola de pelo (Hairy ball theorem en inglés) y fue demostrado por Poincaré en 1885 para la 2-esfera. Más tarde se generalizó para dimensión arbitraria. Podéis encontrar una demostración al teorema en el siguiente enlace. En ella se asume la existencia de un campo vectorial sobre $S^2$ que no se anula en ningún punto y se llega a una contradicción. Emplea los conceptos de homotopía de curvas y de índice (winding number).

Como se observa, este campo de vectores se anula en los polos, motivo por el que se conoce este resultado como que "no es posible peinar una esfera".

Sin embargo, existen otras variedades no planas que sí se pueden peinar, como es el caso del toro. Cuando una variedad admita una base global de campos vectoriales, diremos que dicha variedad es paralelizable. Como veremos, cuando esto ocurre, el fibrado tangente es trivial.

Este campo de vectores sobre el toro no se anula en ningún punto. Existe por tanto una base global de campos vectoriales sobre el toro.

¿Qué está sucediendo aquí? ¿Por qué hay variedades que se pueden peinar y otras que no? Dicho de otro modo: ¿por qué hay variedades sobre las que existe una base global de campos vectoriales y otras sobre las que no? Para responder a estas preguntas necesitamos estudiar lo que es un espacio vectorial sobre un cuerpo y lo que es un módulo sobre un anillo.

Un poco de álgebra

Comencemos por la estructura más general con las que vamos a trabajar: el anillo. Un anillo $(R,+,\cdot)$ es un sistema algebraico formado por un conjunto $R$ (del inglés ring) y dos operaciones cerradas, generalmente llamadas suma ($+$) y producto ($\cdot$), que cumplen las siguientes propiedades para cualesquiera $a,b,c\in R$:

(C) Conmutatividad para la suma: $a+b=b+a$.

(A) Asociatividad para la suma: $a+(b+c)=(a+b)+c$.

(N) Elemento neutro para la suma: $\exists 0\in R: 0+a=a$.

(I) Elemento inverso para la suma: $\exists (-a)\in R: a+(-a) = 0$.

Por tanto, $(R,+)$ tiene estructura de grupo abeliano. Para el producto:

(A) Asociatividad para el producto: $a\cdot b= b\cdot a$.

(D) Propiedad distributiva suma/producto: $a\cdot (b+c) = a\cdot b+a\cdot c$.

Si el anillo cuenta con un elemento neutro para el producto (N), que denotaremos mediante el símbolo $1\in R$, diremos que el anillo es unitario. Esto quiere decir que $\exists 1\in R:1\cdot a = a$. Si la operación de producto es conmutativa (C), es decir que $a\cdot b = b\cdot a$, se dice que el anillo es conmutativo. Finalmente, un anillo de división es un anillo unitario en el que todo elemento distinto de $0\in R$ posee un elemento inverso para el producto (I), es decir, $\forall a\neq 0 \exists a^{-1}\in R: a\cdot a^{-1} = 1$.

Para no perdernos en definiciones demasiado abstractas veamos un ejemplo concreto. Y es que un anillo es una estructura bastante natural en nuestro día a día. Por ejemplo, el conjunto de los enteros con las operaciones usuales de suma y de producto es un anillo conmutativo unitario. En efecto, la única propiedad que falla es la existencia de elemento inverso para el producto, ya que por ejemplo, el número 2, no tiene inverso en $\mathbb{Z}$. Para lo que sigue, es interesante comentar que el conjunto de funciones $C^{\infty}$ sobre la variedad $M$, que denotaremos por $C^{\infty}(M)$, es un anillo, pues existen funciones no nulas sobre la variedad que sí que pueden anularse en algunos puntos. En dichos puntos, por tanto, no está definida la función inversa (para el producto).

La siguiente estructura que necesitamos definir es la de cuerpo. Para ello podemos emplear la anterior definición de anillo, pues un cuerpo no es más que un anillo de división conmutativo, satisfaciendo las propiedades CANI (para la suma) y CANI D (para el producto). El conjunto de los reales con las operaciones usuales de suma y producto tiene estructura de cuerpo. En este caso, el número 2 sí que tiene inverso en $\mathbb{R}$, el 1/2.

Resumen de las propiedades de los anillos y del cuerpo.

A partir de un anillo y de un cuerpo se pueden definir unas nuevas estructuras denominadas módulo y espacio vectorial, respectivamente. Comencemos esta vez por el segundo, el espacio vectorial. 

Sea $K$ un cuerpo (del alemán, körper). Un $K$-espacio vectorial $(V,+,\cdot)$ es un conjunto $V$ equipado con unas operaciones cerradas de suma y de producto (no confundir con las del cuerpo) que satisfacen las siguientes propiedades para todos $a,b,c\in V$ y para todos $\alpha,\beta\in K$:

(C) Conmutatividad para la suma de vectores: $a+b=b+a$.

(A) Asociatividad de la suma: $(a+b)+c=a+(b+c)$.

(N) Elemento neutro en la suma: $\exists 0\in V: 0+a = a$.

(I) Elemento inverso para la suma: $\exists (-a)\in V: a+(-a)=0$.

(A) Asociatividad para el producto: $\alpha\cdot (\beta\cdot a) = (\alpha\cdot \beta)\cdot a$.

(D) Propiedad distributiva para el producto: $(\alpha+\beta)a=\alpha\cdot a+\alpha\cdot a$.

(D) Propiedad distributiva para la suma: $\alpha\cdot (a+b) = \alpha\cdot a+\alpha\cdot b$.

(U) Elemento neutro para el producto: $\exists 1\in K: 1\cdot a=a$.

Del mismo modo podemos definir el concepto de módulo. Sea $R$ un anillo. Diremos que $(M,+,\cdot)$ es un $R$-módulo si las operaciones de suma y de producto satisfacen CANI ADDU. Por tanto, un $R$-módulo es un campo vectorial definido sobre un anillo en vez de sobre un cuerpo.

Un ejemplo de campo vectorial (sobre el cuerpo de los reales) lo encontramos, como bien sabemos, en el plano real. Es quizá más interesante el ejemplo relativo al módulo. Como mencionamos anteriormente, podemos definir sobre cada punto de una variedad $M$ el denominado espacio tangente sobre $p\in M$, que se denota por $T_p M$. Si construimos la unión disjunta de todos los espacios tangentes a todos los puntos de la variedad, encontramos el fibrado tangente (tangent bundle) $TM$. En este caso, el fibrado consta de la terna $(TM,M,\pi)$, donde $\pi: E\to M$ es una proyección, es decir, que dado $X\in TM$, $\pi(X)=p$ siendo $p$ el punto de la variedad tal que $X\in T_pM$. En este contexto, un campo vectorial sobre $M$ es una sección del fibrado, es decir, una aplicación $\sigma: M\to TM$ tal que $\pi \circ \sigma = Id_M$. Al conjunto de campos vectoriales sobre $M$ lo llamaremos $\Gamma (TM)$. Pues bien, dado que $C^{\infty}(M)$ resultaba ser un anillo, $\Gamma (TM)$ es un $C^{\infty}(M)$-módulo. Por tanto, no es un espacio vectorial.

La cuestión ahora es que existe un teorema que garantiza que todo módulo sobre un anillo divisor admite una base. En particular, por tanto, todo espacio vectorial admite una base. Sin embargo, como ya hemos señalado, $C^{\infty}(M)$ no es un anillo divisor, y por tanto $\Gamma (TM)$ no siempre admitirá una base. Para probar este resultado necesitamos adentrarnos un poco en los axiomas de la Teoría de Conjuntos, pero antes de ello dejadme añadir que las variedades que admiten una base global de campos vectoriales (que como digo, no son todas) se denominan paralelizables. En ellas sucede que el fibrado tangente es trivial, es decir, que puede ser descompuesto en el producto cartesiano $TM \cong M\times \mathbb{R}^n$, siendo $n$ la dimensión de $M$. La idea es que si la variedad es paralelizable, la base global establece un isomorfismo natural entre $TM$ y $M\times \mathbb{R}^n$.

Para el caso del círculo se verifica que $TS^1\cong S^1\times \mathbb{R}$, es decir, que el fibrado tangente al círculo es isomorfo al cilindro. Sin embargo, como hemos visto, $TS^2$ no es isomorfo a $S^2\times \mathbb{R}^2$. Existe un resultado general que dice que $TS^n\cong S^n\times\mathbb{R}^n$ si y solo si $n$ es impar. Por tanto sí que es posible peinar esferas de dimensión impar.

Un poco de Teoría de Conjuntos

 

La Teoría de Conjuntos es el pilar fundamental sobre el cual se sustenta las Matemáticas modernas, y su campo de estudio son unos entes que se denominan... conjuntos. Fue desarrollada por G. Cantor y perfeccionada y sometida a un sistema axiomático por Russell, Zermelo, Fraenkel, entre otros. El sistema axiomático que detallaremos a continuación es el sistema de Zermelo-Fraenkel (ZFC) más el axioma de elección (axiom of Choice). El motivo de separar el axioma de elección del resto de axiomas es porque es independiente de ellos, y de hecho es posible formular una teoría de conjuntos sin necesidad de él. Sin embargo, existen varios resultados fundamentales en matemáticas que precisan del axioma de elección para ser ciertos. Uno de ellos, como no podía ser de otra manera, es la demostración de que todo módulo sobre un anillo divisor admite una base.

Los axiomas ZFC tratan de definir la idea de conjunto y de pertenencia ($\in$), además de las relaciones fundamentales entre ambos objetos. Sin entrar en mucha profundidad, los axiomas son los siguientes:

1. Axioma de $\in$. $x\in y$ es una proposición si y solo si $x$ e $y$ son conjuntos. Este axioma nos permite evitar paradojas como la de Russell. Vamos a verlo. 

Supongamos que existe un conjunto $U$ que contiene a todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Formalmente,

$\exists U:\forall z: (z\in U \Leftrightarrow z\notin z)$

Cabe preguntarse ahora si $U$ es un conjunto. Para ello estudiemos la proposición $U\in U$. Si ésta es cierta, entonces $U\notin U$, mas si ésta es falsa, entonces $U\notin U$ lo cual implica que $U\in U$. Por tanto, $U$ no es un conjunto, evitando así la paradoja de Russell.

2. Axioma del vacío. Existe un conjunto sin elementos: $\exists x: \forall y:y\notin x$. Es posible probar que este conjunto es único, por lo que recibe un nombre espacial: el conjunto vacío $\emptyset$.

3. Axioma de pares. Sean $x$ e $y$ dos conjuntos. Entonces existe un conjunto que contiene como elementos a $x$ e $y$.

$\forall x,y \ \exists m: \forall u:(u\in m\Leftrightarrow u=x \vee u=y)$

 

En particular, esto garantiza que si $x$ es un conjunto, existe el conjunto $\{x\}:= \{x,x\}$.

4. Axioma de la unión. Sea $x$ un conjunto. Existe un conjunto $\bigcup x$ cuyos elementos son los elementos de los elementos de $x$.

Sean $a,b$ conjuntos. Entonces existen los conjuntos $\{a\},\{b\}$ por el axioma de pares, y por tanto el conjunto $\{\{a\},\{b\}\}$. Entonces el axioma de unión garantiza que existe el conjunto $\{a,b\}$.

5. Axioma de reemplazo. Sea $R$ una relación tal que $\forall x \ \exists ! y: R(x,y)$ y $m$ un conjunto. Entonces la imagen de $m$ bajo $R$ es un conjunto. La imagen consiste en todos los $y$ tales que existe un $x\in m$ tal que $R(x,y)$. El axioma de remplazo implica el principle of restricted comprehension:

Sea $P$ un predicado de una variable y $m$ un conjunto. Entonces los $y\in m$ tales que $P(y)$ constituyen un conjunto. Éste se denota por 

$\{y\in m | P(y)\}$

6. Axioma del conjunto potencia. Sea $m$ un conjunto. Entonces existe el conjunto potencia, denotado por $\mathcal{P}(m)$, formado por todos los subconjuntos de $m$.

7. Axioma del infinito. Existe un conjunto que contiene al vacío, y para cada uno de sus elementos $y$ contiene el elemento $\{y\}$. Uno de esos conjuntos podría ser el formado por los elementos $\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{\emptyset\}\}, ...$ Si ahora denotamos $0\equiv \emptyset$, $1\equiv \{\emptyset\}$, $2\equiv \{\{\emptyset\}\}$ y así sucesivamente, nos encontramos ante el conjunto de los números naturales, cuya existencia está garantizada por este axioma.

8. Axioma de regularidad. Todo conjunto no vacío $x$ contiene un elemento $y$ que no contiene elementos en común con $x$. En particular, ningún conjunto se puede contener a sí mismo.

Con estos ocho axiomas tenemos el sistema axiomático ZF. Como adelantamos, existe un noveno axioma independiente de los demás: el axioma de elección.

9. Axioma de elección. Sea $x$ un conjunto cuyos elementos no son vacíos y son mutuamente disjuntos. Entonces existe un conjunto $y$ que contiene exactamente un elemento de cada elemento de $x$. 

El axioma de elección es equivalente al Lema de Zorn: 

 

"Un conjunto parcialmente ordenado $P$ tal que todos sus subconjuntos totalmente ordenados poseen una cota superior en $P$ contiene un elemento maximal"

Antes de explicar el contenido de este lema, es necesario añadir que Zermelo trató de probarlo a partir del resto de axiomas, pero los Teoremas de Incompletitud de Gödel implican que el lema de Zorn no es demostrable a partir de los axiomas ZF. Por tanto se incorporó como noveno axioma. A continuación vamos a explicar el contenido del lema, cuya demostración a partir del axioma de elección podéis encontrar en el siguiente enlace.

1. Un conjunto $(P,\le)$ es parcialmente ordenado si, para todos $a,b,c\in P$ se satisfacen las siguientes propiedades:

- Reflexividad: $a\le a$.

- Antisimetría: $(a\le b \wedge b\le a) \Rightarrow a=b$.

- Transitividad: $(a\le b \wedge b\le c) \Rightarrow a\le c$.

2. Un conjunto $(T,\le)$ es totalmente ordenado si, para todos $a,b,c\in P$ se satisfacen las propiedades de:

 

- Antisimetría: $(a\le b \wedge b\le a) \Rightarrow a=b$.

- Transitividad: $(a\le b \wedge b\le c) \Rightarrow a\le c$.

- Totalidad: $a\le b$ o $b\le a$.

La diferencia entre ambas definiciones radica, por tanto, en la reflexividad (que no es requerida para un conjunto totalmente ordenado, pero sí por el parcialmente ordenado) y la totalidad.

3. Cota superior: $u\in P$ es una cota superior de un subconjunto $T\subseteq P$ si para todo $t\in T: t\le u$.

4. Elemento maximal: $m$ es un elemento maximal de $P$ si no existe $x\in P$ tal que $m\le x$.

Muy bien, llega el momento de enunciar y demostrar el resultado clave de esta entrada, y es que todo módulo sobre un anillo de división admite una base. Recordemos que dado un $R$-módulo $V$, una base $B$ (en el sentido de Hamel) es un subconjunto $B\subseteq V$ tal que

 

(i) Todo subconjunto finito $\{b_1,...,b_N\}\subseteq B$ es linealmente independiente, es decir que $\lambda^i b_i = 0 \Rightarrow \lambda^i = 0 \ \forall i=1,...,N$.

 

(ii) Para todo $v\in V$ existen $v^1,...,v^M\in R$ y $b_1,...,b_M\in B$ tales que $v=v^ib_i$ (empleamos el convenio de sumación de Einstein).

 

Ahora sí, la demostración se organizará en cinco pasos:

(a) Sea $V$ un módulo sobre un anillo divisor $D$. Sea $S$ un sistema generador de $V$, es decir, que para todo $v\in V$ existan $e_1,...,e_N\in S$ y $v^1,...,v^N\in D$ tales que $v=v^a e_a$. Ciertamente $S$ existe, pues en el peor de los casos podemos tomar $S$ como el módulo entero. Nótese también que $S$ no constituye una base de $V$.

(b) Definimos un conjunto parcialmente ordenado, $(P,\le)$ mediante el conjunto

$P:=\{U\in \mathcal{P}(S) | U \ \text{es linealmente independiente}\}$

y la relación $\le\ \equiv\ \subseteq$. Entendemos que un conjunto es linealmente independiente si todo subconjunto finito de éste lo es. Ciertamente, por el axioma de reemplazo y el del conjunto potencia, $P$ es un conjunto y evidentemente la relación $\subseteq$ es parcial.

(c) Sea $T$ cualquier subconjunto totalmente ordenado de $P$. Entonces la unión $\bigcup T$ es una cota superior de $T$. Por el lema de Zorn, $P$ tiene entonces un elemento maximal $B$, que por construcción es el subconjunto de $S$ linealmente independiente más grande.

(d) El siguiente paso es probar que $B$ genera $S$. Sea $v\in S$. Dado que $B$ es maximal, $B\cup \{v\}$ es linealmente dependiente, por lo que existen $e_1,...,e_N\in B$ y $a^1,...,a^N\in D$, además de un $a\in D$, tales que $a^ie_i + av = 0$ donde $a\neq 0$ y no todos los $a^i$ son nulos. Es evidente que $a\neq 0$ porque $B$ es linealmente independiente. Como $D$ es divisor, existe $a^{-1}\in D$ tal que $a\cdot a^{-1}=1$. Por tanto $v=-a^{-1} a^i e_i$, lo cual prueba que $B$ genera $S$.

(e) Por último, dado que por hipótesis $V=span_D(S)$ y acabamos de ver que $S=span_D(B)$, entonces $V=span_D(B)$. Como $B$ es linealmente independiente y además genera $V$, $B$ es una base de $V$.

 

Como queríamos demostrar, todo módulo sobre un anillo de división admite una base. Nótese que el axioma de elección (escrito equivalentemente en términos del Lema de Zorn) ha jugado un papel determinante en esta demostración, así como el hecho de que $D$ sea un anillo de división.

Finalmente, el hecho de que el conjunto de funciones infinitamente diferenciables sobre la variedad, $C^{\infty}(M)$, no sea un anillo de división implica que no está garantizado que siempre exista una base global de campos vectoriales sobre una variedad. Si esto ocurre, como en el toro, la variedad es paralelizable y su fibrado tangente es trivial. Si no, como en las esferas de dimensión par, no es posible encontrar un campo vectorial que no se anule en algún punto. Y éste es el motivo por el cual no es posible peinar una esfera.

Conclusiones

 

En esta entrada hemos entendido de forma visual que existen superficies (o en general, variedades) que admiten un campo vectorial que no se anule en ningún punto y otras que no. Nos hemos referido a ellas como "que se pueden (o no) peinar". El hecho de que no esté garantizada la exisencia de una base global de campos vectoriales se debe a que el conjunto de campos sobre una variedad no tiene estructura de espacio vectorial, si no que es un módulo sobre un anillo no divisor. Con un poco de álgebra y algunas nociones sobre teoría de conjuntos, hemos demostrado por qué no está garantizada la existencia de dicha base.

Referencias

- Teorema de la bola de pelo

- Fibrado y fibrado tangente

- Variedad paralelizable

- Lema de Zorn

- Axiomas de la teoría de conjuntos

- Curso de Geometría Diferencial de Frederic Schuller

- Lectures on geometrical anatomy of theoretical physics de Frederic Schuller

- Cuerpo, anillo y módulo.

Deducción de la Segunda Ley de Kepler

Hará cosa de medio año, en este blog deducimos la Tercera Ley de Kepler, o mejor dicho, la justificamos a partir de la Ley de la Gravitación Universal.

Hoy justificaremos la 2ª Ley de Kepler, que dice así: "Las áreas barridas por un radio vector con origen el Sol y destino un planeta, barren áreas iguales en tiempos iguales". Se verá mejor con una imagen:

Si el tiempo que tarda un planeta en ir desde P1 hasta P2 es el mismo que en ir desde P3 hasta P4, el área A1 será igual al área A2. Pero, ¿por qué ocurre esto?

Johannes Kepler se basó en los datos astronómicos de su coetáneo Tycho Brahe antes de que Isaac Newton estableciese su Ley de la Gravitación Universal. Nosotros vamos a partir de ahí, pero primero definamos algunos términos:

Perigeo: punto de la órbita más cercano al Sol (o al astro en torno al cual se orbite). En el caso de la Tierra, se llama Perihelio.

Apogeo: punto de la órbita mas alejado del Sol. En el caso de la Tierra se llama Afelio.

Velocidad Areolar: el área barrida por el radio vector por unidad de tiempo.

Demostración:

Primero vamos a demostrar esta ley en los casos particulares del apogeo y perigeo. Si consideramos un diferencial de tiempo (dt), el área barrida por el planeta se asemeja a un triángulo de base ds y de altura la distancia al Sol:

Calculemos el área de las zonas rojas (dA) como si fuesen triángulos:

En el caso del perigeo procederemos del mismo modo:

Ahora vamos a calcular el momento de fuerza de la fuerza gravitatoria del Sol al planeta con respecto al propio Sol. Por definición:

Entonces el momento será (modularmente):

El momento también puede escribirse de la siguiente forma:

Deducimos que el momento angular es constante (en dirección, sentido y módulo) a lo largo de toda la trayectoria. El momento angular se define como:

Como hemos dicho que el momento angular es constante, el momento angular en el apogeo será igual al del perigeo:

Finalmente llegamos a que la velocidad areolar en el perigeo es igual a la velocidad areolar en el apogeo:

Para cualquier otro punto de la órbita procedemos igual:

El área (dA):

Y como tanto L como m son constantes, la velocidad areolar también será constante y queda demostrada la Segunda Ley de Kepler.

Puedes leer también la demostración de la Primera Ley de Kepler.

Nos vemos en la próxima entrada!

Resolviendo la paradoja de Aquiles y la tortuga

Zenón de Elea fue un filósofo griego muy conocido por plantear numerosas paradojas relacionadas con el movimiento. De entre todas ellas, la más famosa puede que sea la de Aquiles y la tortuga. 

Aquiles decide echar una carrera a una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.

Todos sabemos que Aquiles ganará de sobra la carrera, igual que pensaba Zenón. Zenón planteó 40 paradojas de este estilo, debatiendo sobre el espacio, el tiempo y el movimiento. Proponía estos ejercicios mentales para reducir al absurdo las teorías de que la suma de infinitos números tenga que dar infinito. 

Si la suma de infinitos sumandos siempre fuese igual a infinito, Aquiles nunca ganará la carrera, pero esto matemáticamente y físicamente no es así. 

Supongamos que la velocidad de la tortuga es de 1 m/s, la velocidad de Aquiles es de 10 m/s y la ventaja inicial es de 100 m. En solo 10 segundos, Aquiles habrá alcanzado el punto desde el que sale la tortuga, y esta habrá avanzado 10 metros más. Esos 10 metros los recorre Aquiles en 1 segundo, pero la tortuga habrá avanzado 0,1 metros más...y así sucesivamente. Lo que plantea la paradoja es que 10 + 1 + 0,1 + ... da como resultado infinito, pero eso es incorrecto.

Cada vez, Aquiles tarda 10 veces menos en recorrer el trozo que lo separa de la tortuga. Esta fórmula nos puede ayudar a conocer todos los tiempos empleados (progresión geométrica decreciente):

Sucesión de tiempos empleados
expresada en segundos

Aplicando una fórmula que no vamos a demostrar ahora (fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente), podemos hallar la suma de esos tiempos. La demostración se realizaría restando a la suma de todos los términos, la suma multiplicada por la razón, pero por comodidad no lo vamos a hacer.

Como vemos en la imagen superior, la suma de 10 + 1 + 0,1...da como resultado 11,1 segundos. Aunque haya infinitos sumandos, el resultado es finito. Esto demuestra que Aquiles alcanza a la tortuga y lógicamente gana la carrera.

Podemos resolverlo también utilizando las leyes del movimiento, ya que conocemos las velocidades de ambos corredores la diferencia de posiciones. Igualando las posiciones conseguimos despejar el tiempo transcurrido en cruzarse.

Por lo tanto, una suma de infinitos términos decrecientes puede dar un resultado finito, como en este caso.

Un saludo, nos vemos en la próxima. No os olvidéis de compartir esta entrada!

Efecto Doppler Relativista

Antes de comenzar, recomiendo leer la entrada anterior (Fórmulas del Efecto Doppler). Gracias al Efecto Doppler se pudo comprobar la Expansión del Universo. En la entrada de hoy combinaremos lo de las tres últimas entradas con la Teoría de la Relatividad Especial de Albert Einstein.

En la entrada anterior hemos considerado el espacio y el tiempo como dimensiones aisladas y absolutas. ¿Pero qué pasa cuando la aproximación entre fuente y observador se aproxima a la velocidad de la luz? Tal y como habíamos dicho en la serie sobre Relatividad Especial, el espacio y el tiempo dependen uno del otro y no son absolutos, sino que dos observadores que se muevan a distintas velocidades pueden medir tiempos y espacios diferentes, y todo ello porque la velocidad de la luz es constante para cualquier observador. A físicos como Albert Einstein o Hendrik Lorentz le debemos estas maravillas.

Recordemos que la Teoría de la Relatividad nace de la idea de que la luz viaja siempre a la misma velocidad en el vacío, tal y como demostró el experimento de Milchelson y Morley.

Supongamos que fabricamos un reloj que funciona con un fotón (partícula asociada a la luz) que rebota entre dos espejos. Cuando rebota, va haciendo tic-tac, como en el del vídeo inferior.

Enlace desde móviles

La distancia d entre los dos espejos es igual a c·t, es decir, la velocidad de la luz por el tiempo que tarda en llegar de un espejo a otro. Dicho de otro modo, el tiempo es igual al espacio entre la velocidad: t = d/c.

Ahora supongamos que introducimos ese reloj en una nave espacial que se mueve a velocidad v. Un astronauta dentro de la nave seguirá oyendo esos tic-tac con la misma frecuencia, ¿pero cómo verá eso una persona desde la Tierra?

Enlace desde móviles

El fotón visto para un astronauta dentro de la nave, sube y baja en línea recta. Pero visto desde fuera, realiza un movimiento en zig-zag, como muestra la imagen inferior. Mediante una serie de sencillas operaciones, deducimos que el tiempo que medía el observador en movimiento (t) es inferior al que mide el observador en reposo (t'):

Eso significa que el tiempo transcurre relativamente más lento para una persona que se mueva que para una en reposo. Si alguien viajase por el espacio a una velocidad de 260.000 km/s durante 50 años, al volver a la Tierra parecería que solo ha envejecido 25 años. A velocidades pequeñas (coches, meteoritos, misiles...), esa dilatación temporal es imperceptible. Necesitaríamos viajar más de 5 millones de años sin parar en coche para que nuestro reloj se atrase solo 1 segundo...antes se queda sin pila...

Una vez repasada la dilatación temporal, podemos comenzar con nuestros típicos ejercicios de imaginación:

Imaginemos que una nave espacial que se mueve hacia nosotros con una velocidad v emite pulsos luminosos a ritmo constante. A nosotros nos interesa calcular la longitud de onda de esos pulsos, entonces contamos el número de ellos que suceden en un tiempo t, y también calculamos cuánto espacio recorre la nave en ese tiempo. Si llamamos N al número de pulsos contados en un intervalo de tiempo t, la longitud de onda será:

A partir de la longitud de onda, hallamos la frecuencia:

Según la Relatividad Especial, la imagen inferior relaciona el periodo medido desde el sistema de referencia del observador (T) y el de la fuente (T'). 

Combinando las ecuaciones (I) y (II), obtenemos:

Racionalizando la expresión superior y simplificándola:

Tenemos que recordar que según el Principio de Relatividad, el movimiento es relativo. Imaginemos que viajamos en coche. Según este principio, es equivalente decir que el coche se mueve respecto a la carretera que decir que la carretera se mueve debajo de las ruedas del coche. Por tanto, no podemos saber si es la fuente la que se mueve o si somos nosotros, solo podremos decir que existe un movimiento.

Dependiendo si fuente y observador se alejan o acercan entre sí, aquí quedan las fórmulas para la frecuencia y la longitud de onda:

Si aumenta la frecuencia, disminuye la longitud de onda y viceversa, ya que c es constante para cualquier sistema de referencia. Otra forma de ver las ecuaciones superiores es considerar positiva la velocidad cuando es de aproximamiento y negativa cuando se alejan, teniendo solo que usar la primera.

Dicho esto, solo nos queda aclarar lo dicho en la entrada sobre la Expansión del Universo.  

Si una estrella se aleja de nosotros, según las ecuaciones superiores, su frecuencia debería disminuir. Por eso mismo se produce el corrimiento al rojo, porque el rojo es el color de menos frecuencia del espectro visible. 

Por el contrario, si una estrella se acerca, se produciría el corrimiento al azul debido al mismo efecto.

Para terminar, un "problema-chiste": Un físico iba pensando en sus ecuaciones sobre la Teoría de Supercuerdas mientras conducía, como cualquier mañana normal. De repente se da cuenta de que le persigue la policía por saltarse un semáforo en rojo, pero como es físico, intenta pensar una escusa rápida. Le dice al policía que no vio el semáforo rojo, sino verde, debido al efecto Doppler. De todos modos, el agente le puso una multa por exceso de velocidad...¿A qué velocidad iba nuestro amigo el físico? Intenta calcularla y deja la respuesta en los comentarios. (La longitud de onda del rojo es de 650 nm y la del verde es de 520 nm). Este problema y su solución están en la sección Ingenio.

Demostración desde la matriz de Lorentz

La ecuación de onda electromagnética, en la imagen inferior, es una invariante relativista.

Luego la fase del campo eléctrico también ha de serlo. Definimos el cuadrivector K como:

Por lo que, en la dirección del movimiento tenemos que:

Y en direcciones perpendiculares a la del movimiento:

Y aquí acaba esta serie de 4 entradas sobre el Efecto Doppler. Si te ha gustado, no olvides compartir y dejar comentarios. Nos "vemos" en la próxima.

Un saludo!

Fórmulas del Efecto Doppler

En entradas anteriores (El Efecto Doppler y La Expansión del Universo) mencionamos una ecuación que nos permitía relacionar la frecuencia emitida (como el sonido "real" que sale de la sirena de una ambulancia) con la frecuencia percibida (sonido "distorsionado" que oímos). En la entrada de hoy vamos a intentar razonar por qué es así:

A. Observador en movimiento y fuente en reposo

El observador somos nosotros, los que percibimos, por ejemplo, un sonido. La fuente es el instrumento que emite ese sonido. Imaginemos un piano sonando y nosotros acercándonos hacia él. Las ondas que emite tienen una longitud de onda constante, pero al acercarnos, la frecuencia con la que nos llegan aumenta. Ahora intentaremos sacar una fórmula que relacione ambas frecuencias dependiendo de la velocidad con la que nos acerquemos (o alejemos):

Esta será la notación que usaremos en la entrada de hoy:

Como la longitud de onda no varía, igualaremos la longitud emitida con la percibida, y despejando obtendremos la ecuación encuadrada:

Cabe destacar que si el observador se aleja de la fuente, el signo "+" del numerador se transforma en un "-", por lo que la frecuencia al alejarnos de un sonido disminuirá y al acercarnos, aumentará.

B. Fuente en movimiento y observador en reposo

Si la fuente se aleja respecto a nosotros, cada pulso nos llega desde más lejos que el anterior, por lo que la longitud de onda aumentará de esta forma:

En el caso de que la fuente se acerque, la longitud de onda disminuiría, por tanto la frecuencia aumentaría y en el denominador de la fórmula encuadrada superior habría que poner un "-" en vez de un "+".

Fórmula General

Vamos a deducir una fórmula general en el caso de que tanto fuente como observador estén en movimiento.

Y como es lógico, combinándolas todas obtenemos la general:

El signo del numerador será "+" cuando el observador se acerque a la fuente, y "-" cuando se aleje. El signo del denominador será "-" cuando la fuente se acerque al observador y "+" cuando se aleje.

En la próxima entrada hablaremos sobre el Efecto Doppler Relativista. 

Hasta entonces! Y no os olvidéis de compartir y comentar ;)

¿Cómo descubrieron Neptuno?

Una vez que sir Isaac Newton encontró su famosa Ley de la Gravitación Universal, se pensaba que todo en el universo se comportaría de forma predecible y que tantos los planetas como todos los astros seguían trayectorias lógicas y que se deducían a partir de las leyes de Kepler y Newton.

El Universo se contemplaba como una enorme máquina de relojería, y tenían la visión de Dios como un implacable matemático diseñador de tal obra. Nacería así el determinismo científico, teoría filosófica que básicamente niega la existencia de la libertad. Se pensaba que todo en el Universo era entendible según esas leyes que ya se poseían, y por tanto la conducta humana era también predecible, pero mucho más compleja.

Pierre Simon Laplace postularía su tesis del Demonio de Laplace, un hipotético demonio capaz de conocer la posición y momento de todas las partículas del universo. Así, podría calcular sus posiciones y momentos en cualquier otro momento. 

Conociendo las distancias interplanetarias y las masas de cada planeta, podríamos calcular la velocidad de traslación de cada astro de nuestro Sistema Solar simplemente igualando la fuerza centrífuga (hacia fuera) de cada planeta debido al movimiento elíptico que describen con la atracción del Sol. Por ejemplo, si yo describo una rotonda en coche, para que el vehículo no vuelque en la curva, la fuerza de rozamiento del suelo debe ser igual a la fuerza centrífuga. Lo mismo ocurre con los planetas.

La fuerza centrífuga, para que la Tierra no salga despedida, es igual a la atracción gravitatoria del Sol

Efectivamente, la fuerza centrífuga tiene un valor muy parecido al de la atracción gravitatoria. Recordemos que la órbita es una elipse, no una circunferencia.

Aplicando esta definición planeta por planeta, comprobaron que la Ley de la Gravitación de Newton se ajustaba perfectamente a las predicciones, excepto en Urano. La órbita de Urano presentaba ciertas perturbaciones, y comenzó una desconfianza en la teoría de Newton, que parecía estar fallando.

En la década de 1840, John Couch Adams y Urbain le Verrier tuvieron la siguiente idea: puede que exista un cuerpo, más allá de la órbita de Urano, que por interacción gravitatoria desvíe la trayectoria de este último. De ser así, podríamos encontrarnos frente al octavo planeta del Sistema Solar.

Urbain le Verrier

Manos a la obra. De manera independiente trabajaron intentando hallar la masa, posición, tamaño y distancia de ese hipotético planeta. En 1846 concluyeron sus cálculos, prediciendo las coordenadas donde se encontraría la noche del 23 de septiembre de 1846. Efectivamente, ese día fue observado Neptuno, el primer planeta que anteriormente se había descubierto matemáticamente.

Neptuno

Pero aquí no acaba la cosa: Urano no era el único planeta que presentaba anomalías en su órbita. También era conocido el caso de la desviación del perihelio de Mercurio. Se atribuía a una mala medida, pero le Verrier volvió a plantear el mismo argumento que aplicó en el caso de Urano. Pensó que alomejor podría existir un planeta entre el Sol y Mercurio, al que bautizó como Vulcano, que desviase también su órbita. En este caso, se equivocó. La órbita de Mercurio, efectivamente, no encajaba dentro de la Teoría de Newton. Tuvo que ser en 1915 cuando Einstein encontrase la solución.

Debido a la enorme masa solar y el campo gravitatorio que genera, es necesario tener en cuenta los factores relativistas de la Teoría de la Relatividad General de Einstein, ya que la de Newton no es válida en esos casos. Uno de los hitos de la teoría de Einstein fue esa, explicar las anomalías de la órbita de Mercurio (entre multitud de fenómenos que predicen sus ecuaciones). También fue demostrada experimentalmente durante el famoso eclipse de 1919, donde se comprobó que la luz de estrellas situadas detrás del Sol se curvaba al pasar cerca suyo. La luz, aunque no tenga masa, posee un momento lineal asociado a su frecuencia, por lo que también deforma el espacio-tiempo y puede ser desviada.

Y así es como se descubrió un planeta gracias a la valiosísima herramienta que son las matemáticas. Hoy en día se descubren planetas de esta manera, al igual que los agujeros negros se encuentran observando cómo se comporta la materia a su alrededor. Otro método de detectar planetas es estudiar los cambios de brillo de estrellas cuando el planeta pasa por delante.

Visita la entrada Deducción de la Tercera Ley de Kepler.

Espero que os haya gustado esta entrada. Compartidla y comentar.
Un saludo,
Gabriel.

Paradoja de los Gemelos

Y finalmente llegamos al final de esta serie dedicada especialmente a Relatividad Especial. Si quieres leer el resto de entradas sobre este tema, te invito a que hagas clic en el siguiente enlace, donde están todas agrupadas: Serie de Relatividad Especial.

Hoy vamos a tratar la Paradoja de los Gemelos. Antes de todo, veamos en qué consiste:

"Dos hermanos gemelos deciden hacer un peculiar experimento: uno de ellos es astronauta, y se embarca en un viaje espacial a velocidades próximas a la de la luz. Para el que permaneció en la Tierra, el astronauta ha sido el que se ha movido, por tanto al regresar habrá envejecido menos que él (de acuerdo con la dilatación temporal que sufre a esas velocidades). Pero para el astronauta, el que se ha movido respecto a él ha sido el resto del Universo...por tanto al volver, el que menos habrá envejecido habrá sido el que permaneció aquí".

Aquí reside la paradoja, ya que lo que miden los dos no tiene sentido en el momento en el que se encuentran. Si analizamos a fondo el experimento, veremos qué gemelo tiene razón. ¿Te apuntas?

Antes de nada, recordemos que a grandes velocidades el tiempo se ralentiza, el espacio se contrae y la masa aumenta. Vamos a observar el experimento desde el punto de referencia del gemelo astronauta primero, y finalmente el otro gemelo. De este modo queremos saber qué ocurre exactamente y cuál de los dos envejece más. Vamos a añadir un matiz: tanto el astronauta como su hermano tienen una linterna con la que envían un destello cada segundo a su hermano.

El astronauta decide embarcarse en su travesía espacial de 10 años luz a 261.000 km/s (he escogido este valor para simplificar las cuentas al final). El astronauta no mide 10 años luz, sino que debido a la contracción espacial que experimenta, para él el trayecto es de 5 años luz. A la velocidad que lleva, debería tardar 11,5 años ida y vuelta en completar el trayecto. Sin embargo, para el que permanece en la Tierra no es así...

Aunque el hermano que se queda en la Tierra encienda y apague su linterna cada segundo, el astronauta no ve esos destellos cada segundo, porque cada segundo la luz tiene que recorrer una distancia de 261.000 km más (el espacio que recorre su nave en un segundo). Debido a esto, los destellos se ralentizan cada 1,87 segundos...y si aplicamos la fórmula de dilatación temporal...los destellos se producirán cada 3,74 segundos.

Hemos dicho que para el astronauta, el tiempo de ida y vuelta son 11,5 años, entonces en ir emplearía la mitad, un total de 5,75 años. Como el tiempo en la Tierra transcurre 3,74 veces más lento, el tiempo que habrá medido el hermano de la Tierra será 5,75/3,74...es decir, 1,5 años.

Cuando el astronauta llega a su destino y se da la vuelta, el proceso se invierte. Cada segundo, la luz tiene que recorrer 261.000 km menos, lo que provoca que esos destellos los perciba cada 0,26 segundos teniendo en cuenta la dilatación temporal. Entonces, los 5,75 años de vuelta de la nave para nosotros son como 21,5 años, el resultado de dividir 5,75/0,26.

Astronauta: 5,75 + 5,75 = 11,5 años

Tierra: 1,5 + 21,5 = 23 años

Si hacemos cuentas, el astronauta ha vivido 11,5 años en total y nosotros en la Tierra hemos vivido 23 años, el doble, exactamente el mismo resultado que obtendríamos según la transformación de Lorentz.

Según la primera parte de este experimento, el que menos envejece es el astronauta.

Ahora vamos a centrarnos en el hermano que permanece en nuestro planeta. Al igual que antes, los destellos de su hermano le llegan cada 3,74 segundos. La distancia que recorre su gemelo son 10 años luz a un 87% de la velocidad de la luz, entonces la nave tarda 11,5 años "terrestres" en llegar al destino.

Cuando el astronauta llega al final de la travesía y se da la vuelta, en la Tierra vamos a seguir notando los destellos cada 3,74 segundos durante 10 años más, porque se encuentra a 10 años luz de nosotros. Eso quiere decir que pasamos un total de 21,5 años percibiendo los destellos, lo que para el astronauta serían 5,7 años.

Como el viaje de vuelta dura 11,5 años (10 años luz a 261.000 km/s), y 10 de esos años los percibimos cada 3,74 segundos, quedan 1,5 años. A partir de ese momento, desde la Tierra comenzamos a percibir los destellos aceleradamente, porque ya ha llegado el último que se emitió desde el punto más lejano a 10 años luz. Durante esos 1,5 años, los destellos se producen cada 0,26 segundos. Eso quiere decir que para el tripulante de la nave, ese año y medio equivale a 1,5/0,26 = 5,7 años.

Astronauta: 5,7 + 5,7 = 11,5 años

Tierra: 11,5 + 10 + 1,5 = 23 años

Si echamos cuentas, el astronauta ha vivido 11,5 años y en la Tierra han pasado 23 años. Exactamente el mismo resultado que en el caso anterior. Aquí queda resuelta la paradoja.

El gemelo que envejece menos es el astronauta.

En ambos casos se cumple que el que menos envejece es el astronauta, tal y como predicen las ecuaciones de Lorentz y Einstein.

No hemos tenido en cuenta la dilatación temporal producida por la gravedad, que también afectaría al experimento. El gemelo de la Tierra se encuentra en un sistema acelerado constante (la aceleración de la gravedad sería g = 8,81 m/s2), pero el astronauta también tendría que acelerar para lograr tales velocidades, por lo que los datos del experimento podrían variar teniendo en cuenta estas consideraciones.

Aquí llegamos al final de la serie dedicada a Relatividad Especial. Espero que os haya gustado, y como ya sabéis, aquí abajo podéis dejar comentarios.

¡Un abrazo científico!

Aumento de masa

Sí amigo, has leído bien...la masa aumenta...

En entradas anteriores hemos visto cómo se dilata el tiempo (léelo aquí) y como se contrae el espacio (léelo aquí). Al igual que estas magnitudes, la masa no es una constante universal para cualquier sistema de referencia. Dicho bien, lo que ocurre es que el momento lineal de una partícula con masa a grandes velocidades, es proporcional al inverso del factor ß que habíamos visto en entradas anteriores, es decir, que el aumento del momento dependiendo de la velocidad no es una recta, si no que se curva tendiendo a infinito cuando la velocidad iguala a la de la luz. Para la mecánica newtoniana esto no era así, y la masa era constante. De este modo definíamos momento lineal o cantidad de movimiento como el producto de la masa por la velocidad. En los choques elásticos, el momento se conservaba.

Vamos a hacer un experimento mental para entender por qué aumenta la masa:

Juan y María se mueven por el espacio en sentido contrario y de forma paralela, a una velocidad constante y próxima a la de la luz, tal como vemos en la imagen inferior.

Como son movimientos a velocidad constante, cada uno estará parado "para él mismo", y verá solo moverse al otro. Es como cuando vamos en coche y pasa al lado nuestro otro vehículo en dirección contraria. En un momento dado, ambos lanzan hacia el otro una pelota, de tal modo que la velocidad de la bola medida por el que la lanza es la misma que la velocidad de la otra medida por el otro. Es decir, Juan lanza hacia María la pelota a 10 m/s (por ejemplo), y María se la lanza a Juan a la misma velocidad. Si observamos el experimento como si María fuese la observadora en reposo y el que se moviese fuera Juan (consideramos que la velocidad de Juan hacia María es un 87% de la de la luz), dado que el tiempo de Juan (y su bola) transcurre para María de forma más lenta, la velocidad horizontal de la bola que lanza Juan es menor. Si la bola llevase un reloj, para Juan el tiempo de su bola transcurriría "normal", pero para María ese tiempo iría más lento. Si Juan lanza la bola a 10 m/s, para María esa bola recorre 10 m cada 2 segundos, o lo que es lo mismo, 5 m/s (teniendo en cuenta la dilatación temporal).

Visto desde el sistema de referencia de Juan, ocurre lo mismo...son experimentos simétricos: Juan se nota a sí mismo quieto, y María es la que se mueve. Juan lanza la bola a 10 m/s y ve aproximarse la de María a 5 m/s.

Volvamos al sistema de referencia de María. Ella ha lanzado su pelota a 10 m/s contra la de Juan a 5 m/s. Dado que en ese choque se conserva el momento lineal (p = m·v) y como cada bola vuelve a las manos de su dueño después del choque (por lo que los momentos de cada bola son iguales) y además su velocidad horizontal es diferente (siendo la pelota de Juan más lenta), su masa debe ser mayor para conservar la igualdad.

Como Juan se mueve a un 87% de la velocidad de la luz con respecto a María, el tiempo de Juan visto desde el sistema de referencia de María transcurriría dos veces más lento: cada dos segundos de vida de María equivaldría a un segundo en la vida de Juan. Debido a esto, el sistema de Juan (él, su reloj, su bola...) van más lento. Como al lanzar la bola horizontalmente va mas lento (menos velocidad) para chocar y acabar desplazándose lo mismo que la de María, debe tener dos veces más masa.

Podemos imaginar que choca una bola de bolos con una canica. Si van igual de rápido, al chocar, la canica retrocederá más. Esto se debe a que la de bolos es más pesada, y su momento p es mayor. En nuestro experimento retroceden ambas igual, y como una de ellas se mueve la mitad de rápido...para equilibrar la ecuación su masa deberá ser el doble. En la imagen inferior podemos ver la conservación del momento teniendo en cuenta solo las velocidades verticales.

Es decir, que si una persona de 80 Kg se pone a correr, su masa a esa velocidad aumentaría hasta los 80,00000000000001 Kg.

La ecuación que relaciona la masa en reposo (mo) con la masa (m) a una velocidad v es:

Si la velocidad v tiende a c, la masa m tiende a infinito...y como la fuerza necesaria para mover esa masa infinita también sería igual a infinito, la energía sería lógicamente INFINITA.

Por consiguiente, para conseguir que una partícula con masa alcance la velocidad de la luz, es necesario un aporte infinito de energía, por eso una partícula con masa no puede sobrepasar ni alcanzar c. Una partícula con masa nunca podrá alcanzar la velocidad de la luz para ningún sistema de referencia, y la luz no puede reducir su velocidad para ningún otro.

En el siguiente video podremos ver otro modo de entender por qué no es posible superar la velocidad de la luz, además de otras nociones curiosas que os recomiendo ver sobre Relatividad:

Para ver el vídeo desde un móvil, clic aquí.

Como la hipotenusa de un triángulo rectángulo es siempre mayor (o igual) que cualquiera de los catetos, la máxima velocidad permitida para una partícula es la velocidad de la luz, siempre que la partícula no tenga masa, como el fotón. Si tuviese masa, nunca podrá alcanzar la velocidad de la luz.

Este aumento de masa se puede observar en aceleradores de partículas: las colisiones entre dos protones generan muchos tipos de partículas. Si sumamos las masas de esas partículas, observamos que se supera las masas de los dos protones. Si tenemos en cuenta el aumento de la masa a las velocidades a las que chocan, los resultados cuadran.

En desintegraciones de núcleos pesados, la masa de los productos es menor a la del núcleo del que proceden. Teniendo en cuenta la energía emitida y la relación que hay entre esa energía y la masa (la famosa ecuación E = mc2), los resultados vuelven a cuadrar.

Esta serie de Relatividad Especial va llegando a su fin...en la siguiente entrada trataré la famosa "Paradoja de los Gemelos".

¡Un saludo!