Efecto Doppler Relativista

Antes de comenzar, recomiendo leer la entrada anterior (Fórmulas del Efecto Doppler). Gracias al Efecto Doppler se pudo comprobar la Expansión del Universo. En la entrada de hoy combinaremos lo de las tres últimas entradas con la Teoría de la Relatividad Especial de Albert Einstein.

En la entrada anterior hemos considerado el espacio y el tiempo como dimensiones aisladas y absolutas. ¿Pero qué pasa cuando la aproximación entre fuente y observador se aproxima a la velocidad de la luz? Tal y como habíamos dicho en la serie sobre Relatividad Especial, el espacio y el tiempo dependen uno del otro y no son absolutos, sino que dos observadores que se muevan a distintas velocidades pueden medir tiempos y espacios diferentes, y todo ello porque la velocidad de la luz es constante para cualquier observador. A físicos como Albert Einstein o Hendrik Lorentz le debemos estas maravillas.

Recordemos que la Teoría de la Relatividad nace de la idea de que la luz viaja siempre a la misma velocidad en el vacío, tal y como demostró el experimento de Milchelson y Morley.

Supongamos que fabricamos un reloj que funciona con un fotón (partícula asociada a la luz) que rebota entre dos espejos. Cuando rebota, va haciendo tic-tac, como en el del vídeo inferior.

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La distancia d entre los dos espejos es igual a c·t, es decir, la velocidad de la luz por el tiempo que tarda en llegar de un espejo a otro. Dicho de otro modo, el tiempo es igual al espacio entre la velocidad: t = d/c.

Ahora supongamos que introducimos ese reloj en una nave espacial que se mueve a velocidad v. Un astronauta dentro de la nave seguirá oyendo esos tic-tac con la misma frecuencia, ¿pero cómo verá eso una persona desde la Tierra?

Enlace desde móviles

El fotón visto para un astronauta dentro de la nave, sube y baja en línea recta. Pero visto desde fuera, realiza un movimiento en zig-zag, como muestra la imagen inferior. Mediante una serie de sencillas operaciones, deducimos que el tiempo que medía el observador en movimiento (t) es inferior al que mide el observador en reposo (t'):

Eso significa que el tiempo transcurre relativamente más lento para una persona que se mueva que para una en reposo. Si alguien viajase por el espacio a una velocidad de 260.000 km/s durante 50 años, al volver a la Tierra parecería que solo ha envejecido 25 años. A velocidades pequeñas (coches, meteoritos, misiles...), esa dilatación temporal es imperceptible. Necesitaríamos viajar más de 5 millones de años sin parar en coche para que nuestro reloj se atrase solo 1 segundo...antes se queda sin pila...

Una vez repasada la dilatación temporal, podemos comenzar con nuestros típicos ejercicios de imaginación:

Imaginemos que una nave espacial que se mueve hacia nosotros con una velocidad v emite pulsos luminosos a ritmo constante. A nosotros nos interesa calcular la longitud de onda de esos pulsos, entonces contamos el número de ellos que suceden en un tiempo t, y también calculamos cuánto espacio recorre la nave en ese tiempo. Si llamamos N al número de pulsos contados en un intervalo de tiempo t, la longitud de onda será:

A partir de la longitud de onda, hallamos la frecuencia:

Según la Relatividad Especial, la imagen inferior relaciona el periodo medido desde el sistema de referencia del observador (T) y el de la fuente (T'). 

Combinando las ecuaciones (I) y (II), obtenemos:

Racionalizando la expresión superior y simplificándola:

Tenemos que recordar que según el Principio de Relatividad, el movimiento es relativo. Imaginemos que viajamos en coche. Según este principio, es equivalente decir que el coche se mueve respecto a la carretera que decir que la carretera se mueve debajo de las ruedas del coche. Por tanto, no podemos saber si es la fuente la que se mueve o si somos nosotros, solo podremos decir que existe un movimiento.

Dependiendo si fuente y observador se alejan o acercan entre sí, aquí quedan las fórmulas para la frecuencia y la longitud de onda:

Si aumenta la frecuencia, disminuye la longitud de onda y viceversa, ya que c es constante para cualquier sistema de referencia. Otra forma de ver las ecuaciones superiores es considerar positiva la velocidad cuando es de aproximamiento y negativa cuando se alejan, teniendo solo que usar la primera.

Dicho esto, solo nos queda aclarar lo dicho en la entrada sobre la Expansión del Universo.  

Si una estrella se aleja de nosotros, según las ecuaciones superiores, su frecuencia debería disminuir. Por eso mismo se produce el corrimiento al rojo, porque el rojo es el color de menos frecuencia del espectro visible. 

Por el contrario, si una estrella se acerca, se produciría el corrimiento al azul debido al mismo efecto.

Para terminar, un "problema-chiste": Un físico iba pensando en sus ecuaciones sobre la Teoría de Supercuerdas mientras conducía, como cualquier mañana normal. De repente se da cuenta de que le persigue la policía por saltarse un semáforo en rojo, pero como es físico, intenta pensar una escusa rápida. Le dice al policía que no vio el semáforo rojo, sino verde, debido al efecto Doppler. De todos modos, el agente le puso una multa por exceso de velocidad...¿A qué velocidad iba nuestro amigo el físico? Intenta calcularla y deja la respuesta en los comentarios. (La longitud de onda del rojo es de 650 nm y la del verde es de 520 nm). Este problema y su solución están en la sección Ingenio.

Demostración desde la matriz de Lorentz

La ecuación de onda electromagnética, en la imagen inferior, es una invariante relativista.

Luego la fase del campo eléctrico también ha de serlo. Definimos el cuadrivector K como:

Por lo que, en la dirección del movimiento tenemos que:

Y en direcciones perpendiculares a la del movimiento:

Y aquí acaba esta serie de 4 entradas sobre el Efecto Doppler. Si te ha gustado, no olvides compartir y dejar comentarios. Nos "vemos" en la próxima.

Un saludo!

Fórmulas del Efecto Doppler

En entradas anteriores (El Efecto Doppler y La Expansión del Universo) mencionamos una ecuación que nos permitía relacionar la frecuencia emitida (como el sonido "real" que sale de la sirena de una ambulancia) con la frecuencia percibida (sonido "distorsionado" que oímos). En la entrada de hoy vamos a intentar razonar por qué es así:

A. Observador en movimiento y fuente en reposo

El observador somos nosotros, los que percibimos, por ejemplo, un sonido. La fuente es el instrumento que emite ese sonido. Imaginemos un piano sonando y nosotros acercándonos hacia él. Las ondas que emite tienen una longitud de onda constante, pero al acercarnos, la frecuencia con la que nos llegan aumenta. Ahora intentaremos sacar una fórmula que relacione ambas frecuencias dependiendo de la velocidad con la que nos acerquemos (o alejemos):

Esta será la notación que usaremos en la entrada de hoy:

Como la longitud de onda no varía, igualaremos la longitud emitida con la percibida, y despejando obtendremos la ecuación encuadrada:

Cabe destacar que si el observador se aleja de la fuente, el signo "+" del numerador se transforma en un "-", por lo que la frecuencia al alejarnos de un sonido disminuirá y al acercarnos, aumentará.

B. Fuente en movimiento y observador en reposo

Si la fuente se aleja respecto a nosotros, cada pulso nos llega desde más lejos que el anterior, por lo que la longitud de onda aumentará de esta forma:

En el caso de que la fuente se acerque, la longitud de onda disminuiría, por tanto la frecuencia aumentaría y en el denominador de la fórmula encuadrada superior habría que poner un "-" en vez de un "+".

Fórmula General

Vamos a deducir una fórmula general en el caso de que tanto fuente como observador estén en movimiento.

Y como es lógico, combinándolas todas obtenemos la general:

El signo del numerador será "+" cuando el observador se acerque a la fuente, y "-" cuando se aleje. El signo del denominador será "-" cuando la fuente se acerque al observador y "+" cuando se aleje.

En la próxima entrada hablaremos sobre el Efecto Doppler Relativista. 

Hasta entonces! Y no os olvidéis de compartir y comentar ;)

El Efecto Doppler

Antes de nada, ¿alguna vez te has percatado de que cuando una ambulancia se aleja por la carretera suena distinto que cuando se acerca? Cuando viene hacia nosotros suena más agudo, y a medida que se aleja suena más grave. ¿Te has preguntado alguna vez por qué? En la entrada de hoy intentaré explicar ese efecto, el Efecto Doppler.

El nombre proviene del físico austríaco Christian Andreas Doppler, conocido por sus estudios sobre lo que vamos a explicar en esta entrada.

Si nos encontramos en una barca parada en el mar, podemos observar que las olas golpean nuestra embarcación por todos los lados. Imaginemos que cada segundo nos golpea una ola (frecuencia de 1 ola/segundo, técnicamente 1 Hz). Ahora comenzamos a remar. Observamos que en la dirección de nuestro movimiento, las olas no golpean con mayor frecuencia que las que vienen por detrás, que nos tienen que "perseguir".

Esto quiere decir que si nos acercamos a una fuente de ondas, la frecuencia aumenta, y si nos alejamos, disminuye.

Si lo que se mueve es la fuente, como en el caso de la sirena de una ambulancia, también se producirán cambios en la frecuencia. Si se acerca, cada pulso de onda se emitirá más cerca de nosotros y eso lo percibiremos como un aumento de la frecuencia. En cambio, si se aleja, las ondas se emiten cada vez desde más lejos y se traducirá en una disminución de la frecuencia.

Si la fuente se acerca, aumentará la frecuencia; y si la fuente se aleja, disminuirá.

Aumento de la frecuencia en la dirección de la fuente
y disminución de la misma al lado opuesto.

Mediante esta fórmula podemos conocer cómo varía la frecuencia que percibimos según nuestra velocidad y la de la fuente:

(si queréis la demostración, clic aquí)

Utilizando la ecuación anterior vamos a intentar realizar el siguiente problema:

Un violinista se desplaza en coche hacia nosotros con una velocidad constante de 120 km/h. Durante el trayecto toca con su violín la nota La (440 Hz). Averigua la nota que oiremos nosotros. La velocidad del sonido en el aire es de 343 m/s.

Aplicando la fórmula de la imagen superior, hallamos que esa frecuencia es de 487 Hz, lo que aproximadamente se corresponde con un Si (un tono superior al La).

En el siguiente vídeo se visualiza muy bien el contenido de esta entrada.

Ver vídeo desde un móvil

Para resumir: el Efecto Doppler es la variación de la frecuencia de una onda debido al movimiento relativo entre la fuente emisora y el observador.

Edwin Hubble utilizó este efecto para descubrir que el Universo se encuentra en expansión acelerada. ¿Cómo lo hizo? No te pierdas mi próxima entrada, que trata sobre eso.

Si quieres echar un vistazo a una demostración más formal de todo esto, clic aquí. 

Por último, si quieres saber más sobre el Efecto Doppler Relativista, clic aquí.

Tampoco te olvides de comentar y de compartir esta publicación, que es gratis.

Un saludo, ¡hasta la próxima!

Crear materia a partir de luz

Sí, parece raro afirmar que a partir de algo sin masa como es la luz, podamos crear materia...

Recordando lo dicho en mi última entrada, la energía y la masa son magnitudes muy relacionadas. La ecuación simplificada que utilizaremos para ejemplificar esta situación es:

En la ecuación superior, la E hace referencia a la energía, la m a la masa y la c a una constante que es la velocidad de la luz en el vacío (aprox. 300.000.000 m/s).

Para una 'pequeña' masa de 1 kg, equivaldría una energía de 90.000.000.000.000.000 Julios, es decir, que si lográsemos transformar un solo kilo de masa en energía podríamos mantener encendida una bombilla convencional de 50W durante 57 millones de años...imagínate la energía que produce el Sol transformando cada segundo 4 millones de toneladas de materia en energía mediante la fusión nuclear. 

Más increíble aún, con la masa de un grano de arroz transformada íntegramente en energía, podríamos hacer que un coche de 1000 kg que está parado acelere hasta unos supuestos 420.000 km/h (hipotéticamente, ya que violaría la Teoría de la Relatividad de Einstein), o que un camión cargado con mil coches acelerara hasta 1000 km/h...y sólo con un grano de arroz...

Otro ejemplo es una bomba atómica, mediante la cual con pequeñas masas se pueden crear energías devastadoras. Einstein nos dejó una ecuación, conocimiento, pero no la forma de transformar materia en energía o viceversa.

El ejemplo de la bombilla y el del grano de arroz son solamente ejemplos. Hoy en día no sabemos cómo transformar la masa en energía útil con esas finalidades.

A lo largo del siglo XX numerosos físicos han tenido ideas sobre cómo hacerlo, algunas de las cuales se reflejan en los siguientes diagramas de Feynman (representaciones simbólicas de interacciones cuánticas):

Las más conocidas son la aniquilación de Dirac (donde un electrón y su antipartícula, el positrón, se aniquilan formando energía) y el efecto fotoeléctrico (donde un haz de fotones "arranca" electrones en una placa metálica, base teórica de la energía fotoeléctrica).

Los físicos Breit y Wheeler encontraron teóricamente que realizando el proceso inverso a la aniquilación de Dirac, se podrían generar electrones y positrones a partir de fotones muy energéticos. Hasta la actualidad, la tecnología no ha sido suficiente para demostrar su teoría, pero el pasado mes se logró idear el escenario necesario para tal experimento. ¿En qué consiste?

Primero, mediante un acelerador de partículas (un importante candidato sería el CERN de Ginebra), se aceleraría a velocidades próximas a la de la luz a un haz de electrones, que se harían colisionar contra oro para generar fotones muy energéticos. Después, harían incidir un rayo láser de alta energía contra una cavidad de oro para obtener temperaturas semejantes a las del Sol. Al igual que un hierro incandescente cambia de color al calentarse, la cavidad de oro a tan alta temperatura emitirá fotones muy energéticos, que se harían colisionar con el grupo anterior y así generar pares de electrones/positrones. La cavidad de oro funcionaría como un cuerpo negro, que emite ondas electromagnéticas a una frecuencia relacionada con su temperatura.

En todo momento se cumple que la energía total permanece constante, porque según la fórmula E=mc2, la energía de esos fotones ahora equivale a la masa del electrón más la del positrón.

Puede que en pocos años pueda realizarse este experimento, junto con la creación de grandes colisionadores de fotones. También puede que sea un paso más hacia la fusión fría, una rama de la física y de la tecnología que solventaría los problemas mundiales de energía.

Un saludo, espero que haya sido interesante.
Gabriel.

$E=mc^2$

Todo empezó hace 100 años, cuando Albert Einstein se topó con la ecuación más conocida de todas: 

Pero...esta ecuación no es ni la original ni está del todo completa...la ecuación original es la siguiente:

E es la energía, m la masa, c la velocidad de la luz en el vacío y p el momento lineal (masa por velocidad en el caso de partículas masivas, y constante de Planck entre longitud de onda en el caso de fotones). Por eso, la energía de una partícula que no se mueve (velocidad 0 y p=0), puede expresarse mediante la conocida fórmula:

En cambio, si una partícula no tiene masa (como en el caso de un fotón), su energía puede expresarse así: ¿no os recuerda algo a la Ley de Planck? ;)

A partir de la formulación original de la ecuación de Einstein podemos deducir tanto la energía de un cuerpo en reposo (E=mc2) como la energía de una partícula sin masa (E=hv).

Repasemos la forma que tiene la ecuación original...

¿No os recuerda al Teorema de Pitágoras?

¿Qué pasa si la velocidad tiende a cero?

¿Y si la masa tiende a 0?

De este modo, podemos calcular la energía de cuerpos estáticos con E=mc2, y la energía de fotones con E=hv. 

Si vamos más allá, vemos que una partícula con masa no puede alcanzar nunca la velocidad de la luz. ¿Por qué? Porque si tiene masa, existe un cateto del triángulo de arriba que es mc2, entonces E no puede ser igual del todo a pc. Del mismo modo, una partícula sin masa no puede moverse a una velocidad que no sea la de la luz.

En el siguiente vídeo se ilustra muy bien el contenido de esta entrada: Clic aquí desde móvil

Si queréis conocer la deducción de la fórmula E=mc2, clic aquí. Es necesario cierto conocimiento sobre física y cálculo diferencial...

Un saludo a todos,
hasta la próxima.

Paradoja de los Gemelos

Y finalmente llegamos al final de esta serie dedicada especialmente a Relatividad Especial. Si quieres leer el resto de entradas sobre este tema, te invito a que hagas clic en el siguiente enlace, donde están todas agrupadas: Serie de Relatividad Especial.

Hoy vamos a tratar la Paradoja de los Gemelos. Antes de todo, veamos en qué consiste:

"Dos hermanos gemelos deciden hacer un peculiar experimento: uno de ellos es astronauta, y se embarca en un viaje espacial a velocidades próximas a la de la luz. Para el que permaneció en la Tierra, el astronauta ha sido el que se ha movido, por tanto al regresar habrá envejecido menos que él (de acuerdo con la dilatación temporal que sufre a esas velocidades). Pero para el astronauta, el que se ha movido respecto a él ha sido el resto del Universo...por tanto al volver, el que menos habrá envejecido habrá sido el que permaneció aquí".

Aquí reside la paradoja, ya que lo que miden los dos no tiene sentido en el momento en el que se encuentran. Si analizamos a fondo el experimento, veremos qué gemelo tiene razón. ¿Te apuntas?

Antes de nada, recordemos que a grandes velocidades el tiempo se ralentiza, el espacio se contrae y la masa aumenta. Vamos a observar el experimento desde el punto de referencia del gemelo astronauta primero, y finalmente el otro gemelo. De este modo queremos saber qué ocurre exactamente y cuál de los dos envejece más. Vamos a añadir un matiz: tanto el astronauta como su hermano tienen una linterna con la que envían un destello cada segundo a su hermano.

El astronauta decide embarcarse en su travesía espacial de 10 años luz a 261.000 km/s (he escogido este valor para simplificar las cuentas al final). El astronauta no mide 10 años luz, sino que debido a la contracción espacial que experimenta, para él el trayecto es de 5 años luz. A la velocidad que lleva, debería tardar 11,5 años ida y vuelta en completar el trayecto. Sin embargo, para el que permanece en la Tierra no es así...

Aunque el hermano que se queda en la Tierra encienda y apague su linterna cada segundo, el astronauta no ve esos destellos cada segundo, porque cada segundo la luz tiene que recorrer una distancia de 261.000 km más (el espacio que recorre su nave en un segundo). Debido a esto, los destellos se ralentizan cada 1,87 segundos...y si aplicamos la fórmula de dilatación temporal...los destellos se producirán cada 3,74 segundos.

Hemos dicho que para el astronauta, el tiempo de ida y vuelta son 11,5 años, entonces en ir emplearía la mitad, un total de 5,75 años. Como el tiempo en la Tierra transcurre 3,74 veces más lento, el tiempo que habrá medido el hermano de la Tierra será 5,75/3,74...es decir, 1,5 años.

Cuando el astronauta llega a su destino y se da la vuelta, el proceso se invierte. Cada segundo, la luz tiene que recorrer 261.000 km menos, lo que provoca que esos destellos los perciba cada 0,26 segundos teniendo en cuenta la dilatación temporal. Entonces, los 5,75 años de vuelta de la nave para nosotros son como 21,5 años, el resultado de dividir 5,75/0,26.

Astronauta: 5,75 + 5,75 = 11,5 años

Tierra: 1,5 + 21,5 = 23 años

Si hacemos cuentas, el astronauta ha vivido 11,5 años en total y nosotros en la Tierra hemos vivido 23 años, el doble, exactamente el mismo resultado que obtendríamos según la transformación de Lorentz.

Según la primera parte de este experimento, el que menos envejece es el astronauta.

Ahora vamos a centrarnos en el hermano que permanece en nuestro planeta. Al igual que antes, los destellos de su hermano le llegan cada 3,74 segundos. La distancia que recorre su gemelo son 10 años luz a un 87% de la velocidad de la luz, entonces la nave tarda 11,5 años "terrestres" en llegar al destino.

Cuando el astronauta llega al final de la travesía y se da la vuelta, en la Tierra vamos a seguir notando los destellos cada 3,74 segundos durante 10 años más, porque se encuentra a 10 años luz de nosotros. Eso quiere decir que pasamos un total de 21,5 años percibiendo los destellos, lo que para el astronauta serían 5,7 años.

Como el viaje de vuelta dura 11,5 años (10 años luz a 261.000 km/s), y 10 de esos años los percibimos cada 3,74 segundos, quedan 1,5 años. A partir de ese momento, desde la Tierra comenzamos a percibir los destellos aceleradamente, porque ya ha llegado el último que se emitió desde el punto más lejano a 10 años luz. Durante esos 1,5 años, los destellos se producen cada 0,26 segundos. Eso quiere decir que para el tripulante de la nave, ese año y medio equivale a 1,5/0,26 = 5,7 años.

Astronauta: 5,7 + 5,7 = 11,5 años

Tierra: 11,5 + 10 + 1,5 = 23 años

Si echamos cuentas, el astronauta ha vivido 11,5 años y en la Tierra han pasado 23 años. Exactamente el mismo resultado que en el caso anterior. Aquí queda resuelta la paradoja.

El gemelo que envejece menos es el astronauta.

En ambos casos se cumple que el que menos envejece es el astronauta, tal y como predicen las ecuaciones de Lorentz y Einstein.

No hemos tenido en cuenta la dilatación temporal producida por la gravedad, que también afectaría al experimento. El gemelo de la Tierra se encuentra en un sistema acelerado constante (la aceleración de la gravedad sería g = 8,81 m/s2), pero el astronauta también tendría que acelerar para lograr tales velocidades, por lo que los datos del experimento podrían variar teniendo en cuenta estas consideraciones.

Aquí llegamos al final de la serie dedicada a Relatividad Especial. Espero que os haya gustado, y como ya sabéis, aquí abajo podéis dejar comentarios.

¡Un abrazo científico!

Serie de Relatividad Especial

Aquí están, por orden de publicación, todas las entradas dedicadas a Relatividad Especial. Clic sobre ellas para leerlas.

Introducción 

Dilatación temporal

Contracción espacial

Aumento de masa

Paradoja de los gemelos

Efecto Doppler Relativista

Espero que hayáis disfrutado leyendo esta serie tanto como yo escribiéndola, y que hayáis sentido la satisfacción de haber entendido un poco más sobre algo que a primera vista no es muy intuitivo, pero que después de todo se puede llegar a entender. Un saludo muy fuerte. Si queréis alguna serie sobre otra teoría o que hable sobre otro tema, hacédmelo saber en los comentarios y me informaré para escribirla.

Un saludo.

Aumento de masa

Sí amigo, has leído bien...la masa aumenta...

En entradas anteriores hemos visto cómo se dilata el tiempo (léelo aquí) y como se contrae el espacio (léelo aquí). Al igual que estas magnitudes, la masa no es una constante universal para cualquier sistema de referencia. Dicho bien, lo que ocurre es que el momento lineal de una partícula con masa a grandes velocidades, es proporcional al inverso del factor ß que habíamos visto en entradas anteriores, es decir, que el aumento del momento dependiendo de la velocidad no es una recta, si no que se curva tendiendo a infinito cuando la velocidad iguala a la de la luz. Para la mecánica newtoniana esto no era así, y la masa era constante. De este modo definíamos momento lineal o cantidad de movimiento como el producto de la masa por la velocidad. En los choques elásticos, el momento se conservaba.

Vamos a hacer un experimento mental para entender por qué aumenta la masa:

Juan y María se mueven por el espacio en sentido contrario y de forma paralela, a una velocidad constante y próxima a la de la luz, tal como vemos en la imagen inferior.

Como son movimientos a velocidad constante, cada uno estará parado "para él mismo", y verá solo moverse al otro. Es como cuando vamos en coche y pasa al lado nuestro otro vehículo en dirección contraria. En un momento dado, ambos lanzan hacia el otro una pelota, de tal modo que la velocidad de la bola medida por el que la lanza es la misma que la velocidad de la otra medida por el otro. Es decir, Juan lanza hacia María la pelota a 10 m/s (por ejemplo), y María se la lanza a Juan a la misma velocidad. Si observamos el experimento como si María fuese la observadora en reposo y el que se moviese fuera Juan (consideramos que la velocidad de Juan hacia María es un 87% de la de la luz), dado que el tiempo de Juan (y su bola) transcurre para María de forma más lenta, la velocidad horizontal de la bola que lanza Juan es menor. Si la bola llevase un reloj, para Juan el tiempo de su bola transcurriría "normal", pero para María ese tiempo iría más lento. Si Juan lanza la bola a 10 m/s, para María esa bola recorre 10 m cada 2 segundos, o lo que es lo mismo, 5 m/s (teniendo en cuenta la dilatación temporal).

Visto desde el sistema de referencia de Juan, ocurre lo mismo...son experimentos simétricos: Juan se nota a sí mismo quieto, y María es la que se mueve. Juan lanza la bola a 10 m/s y ve aproximarse la de María a 5 m/s.

Volvamos al sistema de referencia de María. Ella ha lanzado su pelota a 10 m/s contra la de Juan a 5 m/s. Dado que en ese choque se conserva el momento lineal (p = m·v) y como cada bola vuelve a las manos de su dueño después del choque (por lo que los momentos de cada bola son iguales) y además su velocidad horizontal es diferente (siendo la pelota de Juan más lenta), su masa debe ser mayor para conservar la igualdad.

Como Juan se mueve a un 87% de la velocidad de la luz con respecto a María, el tiempo de Juan visto desde el sistema de referencia de María transcurriría dos veces más lento: cada dos segundos de vida de María equivaldría a un segundo en la vida de Juan. Debido a esto, el sistema de Juan (él, su reloj, su bola...) van más lento. Como al lanzar la bola horizontalmente va mas lento (menos velocidad) para chocar y acabar desplazándose lo mismo que la de María, debe tener dos veces más masa.

Podemos imaginar que choca una bola de bolos con una canica. Si van igual de rápido, al chocar, la canica retrocederá más. Esto se debe a que la de bolos es más pesada, y su momento p es mayor. En nuestro experimento retroceden ambas igual, y como una de ellas se mueve la mitad de rápido...para equilibrar la ecuación su masa deberá ser el doble. En la imagen inferior podemos ver la conservación del momento teniendo en cuenta solo las velocidades verticales.

Es decir, que si una persona de 80 Kg se pone a correr, su masa a esa velocidad aumentaría hasta los 80,00000000000001 Kg.

La ecuación que relaciona la masa en reposo (mo) con la masa (m) a una velocidad v es:

Si la velocidad v tiende a c, la masa m tiende a infinito...y como la fuerza necesaria para mover esa masa infinita también sería igual a infinito, la energía sería lógicamente INFINITA.

Por consiguiente, para conseguir que una partícula con masa alcance la velocidad de la luz, es necesario un aporte infinito de energía, por eso una partícula con masa no puede sobrepasar ni alcanzar c. Una partícula con masa nunca podrá alcanzar la velocidad de la luz para ningún sistema de referencia, y la luz no puede reducir su velocidad para ningún otro.

En el siguiente video podremos ver otro modo de entender por qué no es posible superar la velocidad de la luz, además de otras nociones curiosas que os recomiendo ver sobre Relatividad:

Para ver el vídeo desde un móvil, clic aquí.

Como la hipotenusa de un triángulo rectángulo es siempre mayor (o igual) que cualquiera de los catetos, la máxima velocidad permitida para una partícula es la velocidad de la luz, siempre que la partícula no tenga masa, como el fotón. Si tuviese masa, nunca podrá alcanzar la velocidad de la luz.

Este aumento de masa se puede observar en aceleradores de partículas: las colisiones entre dos protones generan muchos tipos de partículas. Si sumamos las masas de esas partículas, observamos que se supera las masas de los dos protones. Si tenemos en cuenta el aumento de la masa a las velocidades a las que chocan, los resultados cuadran.

En desintegraciones de núcleos pesados, la masa de los productos es menor a la del núcleo del que proceden. Teniendo en cuenta la energía emitida y la relación que hay entre esa energía y la masa (la famosa ecuación E = mc2), los resultados vuelven a cuadrar.

Esta serie de Relatividad Especial va llegando a su fin...en la siguiente entrada trataré la famosa "Paradoja de los Gemelos".

¡Un saludo!

Contracción Espacial

Al igual que vimos en la entrada anterior, las grandes velocidades deforman también el espacio. En La Dilatación Temporal pudimos ver cómo el tiempo se iba ralentizando a medida que nuestra velocidad, con respecto a un observador en reposo, se aproximaba a c. Siempre que nos referimos a Relatividad Especial, debemos tener en cuenta que tratamos con velocidades constantes, es decir, ausencia de aceleración. No hay ningún experimento físico que podamos realizar para determinar si nos movemos a velocidad constante o si estamos parados. Este era otro postulado de Einstein. Debido a esto, siempre que hablamos de velocidad, tenemos que referirnos respecto a qué. Y todo porque todo es relativo, excepto la velocidad de la luz.

Volviendo al tema que hoy nos concierne, vamos a ver por qué la longitud se contrae:

Supongamos que María tiene un láser con el que apunta a un espejo. Como María sabe cuál es la velocidad de la luz, y además tiene un cronómetro muy preciso, puede calcular la distancia entre ella y el espejo. Ahora imaginemos que Juan se mueve hacia María en la misma dirección que la recta que une a María y al espejo, a una velocidad muy próxima a la de la luz. Él también puede medir la distancia entre María y el espejo, porque posee un cronómetro...pero debemos recordar que en su cronómetro, debido a la velocidad, el tiempo transcurre más lento que en el de María. Te recomiendo leer la entrada anterior para refrescar tu memoria (puedes leerla aquí). Como la velocidad de la luz es la misma para todo observador, y dado que va a cronometrar más tiempo que María, el espacio necesariamente debe de ser menor.

Si Juan se aproximase a María a una velocidad v = 0,87c, y para María el tiempo que tarda el rayo de luz en alcanzar el objeto es t = 1s, para Juan ese tiempo aumentaría hasta 2s. Como consecuente, y para cumplir la igualdad de c = e/t, la distancia entre María y el espejo (teniendo en cuenta que la luz tiene que ir y volver) sería de 150.000 km. Como Juan mide el doble de tiempo, es lógico pensar que la distancia debe de ser la mitad, precisamente 75.000 km.

Otro modo de verlo es como una consecuencia directa de la dilatación temporal. En la expresión c = e/t (donde c es la velocidad de la luz, y por tanto constante, e es el espacio recorrido por una onda lumínica, y t es el tiempo empleado) podemos ver que si aumentamos el tiempo (dilatación temporal), es necesario que disminuyamos el espacio recorrido (contracción espacial)...y todo esto gracias a que sabemos la constancia de c.

Ahora, igual que hicimos con la dilatación temporal, vamos a intentar deducir la fórmula de la contracción espacial:

Supongamos que nos encontramos en una habitación como la de la imagen inferior, sin ventanas y sin saber si nos movemos a velocidad constante o si estamos parados. En un instante t'1, desde una de las paredes se emite una onda en dirección a la otra pared a la velocidad de la luz, c. Esta onda se recibe en la pared de enfrente en el instante t'2.

Para calcular la longitud de esa habitación, L', multiplicamos el tiempo que emplea la onda en llegar por su velocidad, tal y como hacemos en la imagen inferior.

Ahora supongamos que nos encontramos fuera de la habitación, que además es transparente y podemos ver en su interior. Ahora sabemos que se mueve con una velocidad constante v. En la posición x1 (instante t1) se emite la misma onda que antes, que choca con la otra pared en el punto x2 (instante t2):

El espacio recorrido por esa onda, tal y como vemos en la imagen, será:

Pero resulta que ese espacio es también la velocidad a la que se mueve la onda multiplicada por el tiempo que emplea, dicho de otro modo:

Y ese espacio, finalmente, es igual al incremento de longitud en el eje x:

Igualando las expresiones anteriores tenemos que:

Despejamos L:

Recordamos el factor ß y las transformaciones de Lorentz para longitud y tiempo:

Sustituimos en la fórmula que habíamos obtenido el tiempo y el espacio teniendo en cuenta las transformaciones de la imagen superior:

Teniendo en cuenta que el incremento de x' es igual a L'

Obtenemos la fórmula que relaciona el espacio medido por un observador en reposo L' con el medido por un observador en movimiento relativo L.

Como ß tiende a 0, cuando nos aproximamos a la velocidad de la luz, las longitudes tienden a achatarse. Para un fotón (partícula constituyente de la luz y que se mueve a c), el Universo no tiene ninguna dimensión, ni espacial (porque su factor ß = 0, y por consiguiente las longitudes son nulas), ni temporal (por lo mismo). Un fotón está congelado en el tiempo, y si pudiese pensar, no notaría que tardase tiempo alguno en recorrer el espacio, porque este no tendría volumen.

Si te ha gustado, comenta y comparte. Nos vemos la próxima semana con "El aumento de la masa".

Dilatación Temporal

En la entrada anterior comencé una serie dedicada a la Relatividad Especial. Puedes leerla aquí: Introducción. En ella expliqué los antecedentes de la teoría, centrándome en el experimento de Milchelson y Morley, en el que demostraron que la velocidad de la luz en el vacío, c, era constante. Esta afirmación la introdujo Einstein en sus postulados, de la que deduciremos fenómenos sorprendentes. Hoy nos centraremos en cómo cambia la percepción del tiempo para dos observadores que se mueven a velocidades distintas.

A quien mucho le debemos en el mundo de la física es a H. A. Lorentz. Lo que nos incumbe hoy son sus transformaciones, ecuaciones matemáticas que relacionan el espacio y el tiempo dependiendo de la velocidad. A partir de ellas, deducimos que el tiempo se relantiza a medida que nos movemos más y más rápido, según esta ecuación simplificada:

t' = t·ß, donde ß es un factor que disminuye con la velocidad, t es el tiempo que mide el observador que está en reposo y t' el tiempo que mide el observador en movimiento.

Si quieres la dmostración de esta fórmula de manera sencilla, clic aquí.

A velocidades cotidianas (andar, correr, un coche, un avión o incluso una nave espacial), ß vale 1 o muy próximo a 1, conque el tiempo para una persona en reposo y otra dentro, por ejemplo, de un coche, es el mismo. Pero a medida que nos aproximamos a c, ß cada vez vale menos, tendiendo a 0. De aquí se deduce, por ejemplo, que mientras para una persona en la Tierra pasan 10 años, para una persona que hipotéticamente se moviese a un 87% de la velocidad de la luz, pasarían 5 años. Obviamente, esto es una forma de viajar en el tiempo hacia el futuro, más rápido de lo que lo estamos haciendo ahora, segundo a segundo. Para el viajero, el experimento de moverse tan rápido supondría un viaje en el tiempo hacia el futuro.

Pero, ¿cómo podemos entender esto fuera de las matemáticas?

Imagina que tenemos dos relojes formados cada uno por dos espejos uno enfrente del otro, tal y como muestra la imagen superior. Entre ellos hay un fotón que se mueve a la velocidad de la luz, rebotando de uno a otro. Cada vez que rebota, suena un "tic" que nos permite medir el tiempo. 

Si movemos uno de los dos relojes de izquierda a derecha, como en la figura superior, el fotón tardará más en alcanzar el espejo, porque como hemos dicho, no se puede superar la velocidad de la luz. El tiempo que tarde en rebotar dependerá de la velocidad a la que se mueva el reloj, ya que c es constante. Un reloj en reposo y otro en movimiento marcan tiempos diferentes. Lo entenderemos mejor en el siguiente vídeo:

Documental completo aquí.

Ahora traduciremos esto a lo que ocurriría en nuestro cuerpo o en cualquier objeto a esas velocidades: las interacciones electromagnéticas entre nuestros átomos, al igual que gran variedad de fenómenos, suceden a la velocidad de la luz. A grandes velocidades, estos procesos se ralentizarían tal y como hemos visto en el vídeo, lo que supondría esa dilatación temporal.

Si por algún casual pudiésemos viajar a la velocidad de la luz, algo imposible como veremos en entradas sucesivas, el fotón de nuestro reloj nunca alcanzaría el otro espejo porque se alejaría de él a su misma velocidad. De este modo, cualquier persona parada que nos observase nos vería congelados en el tiempo, al igual que para nosotros, él sería el que estaría "congelado".

La dilatación del tiempo se ha medido y demostrado experimentalmente. Se ha comprobado el retraso que sufren algunos relojes atómicos durante un viaje en avión respecto a otros que han permanecido quietos. La diferencia temporal es de pocos nanosegundos debido a la escasa velocidad de un avión en escalas relativistas.

Otro ejemplo es la desintegración de muones relativistas. Un muón es una partícula subatómica de la familia de los leptones, al igual que el electrón, con una carga negativa pero más masa que el electrón. Se desintegra en dos microsegundos, produciéndose un electrón y dos neutrinos. En grandes aceleradores de partículas como el LHC, donde consiguen acelerar muones a velocidades próximas a c, se ha comprobado que la vida media de estas partículas aumenta. Este fenómeno se puede explicar mediante la dilatación temporal que sufren a esas velocidades.

Otro dato sobre los muones: podemos detectar muones que nos llegan de capas altas de la atmósfera, pero con esa vida media no deberían recorrer ni un kilómetro...la única explicación razonable es esa dilatación temporal que sufren a esa enorme velocidad, que les aumenta la vida media y consiguen recorrer más espacio (que a su vez se contrae, como ya veremos).

Ahora bien, Antonio y Juan son dos gemelos. A la edad de 20 años, Antonio se embarca a bordo de una travesía espacial a un 95% de la velocidad de la luz. Medido en años terrestres, el viaje dura 60 años. Para Juan, su hermano en la nave viaja tan rápido que el tiempo deberá transcurrir para él más lento. De este modo, al volver, Antonio regresaría con 39 años mientras que Juan tendría 80. Pero para Antonio, que se encuentra en reposo en su nave, el que parece que se aleja de él es Juan, y al reencontrarse el anciano debería ser él y no su hermano, al contrario que antes. Solo uno tiene razón, ¿pero cuál?

Esta es la famosa paradoja de los gemelos, que dentro de dos entradas analizaremos y resolveremos, para ver quién de los dos tiene razón.

Y hasta aquí la entrada de hoy. Si te interesa la deducción matemática de la fórmula de la dilatación temporal, te animo a que sigas leyendo. En la próxima entrada trataré la contracción del espacio.

Las matemáticas de la dilatación temporal

Partiremos de las transformaciones de Lorentz tomándolas como verdaderas, de donde deduciremos la fórmula antes mencionada de la dilatación temporal.

Esta es la transformación de Lorentz que relaciona el tiempo en movimiento t' con el tiempo en reposo t.

El factor ß se calcula así: (c es la velocidad de la luz en el vacío y v es la velocidad del cuerpo en movimiento, que es constante)

Sustituímos ß en la ecuación de Lorentz:

El cuerpo en el eje cartesiano se desplaza a velocidad constante v:

Relación entre velocidad, espacio y tiempo: 

Sustituimos x en la ecuación de Lorentz y despejamos:

Hasta aquí hemos deducido la dilatación temporal t' = t·ß

En la imagen inferior deducimos que "en cada segundo, medido desde el sistema en reposo, el tiempo se retrasa (1-ß) segundos"

Espero que hayáis disfrutado con esta entrada, ya que yo lo he hecho escribiéndola. Dejad sugerencias y comentarios, y nos vemos en unos días con "La contracción del espacio".