Energía gravitatoria

En Mecánica Clásica entendemos la energía como aquel ente capaz de realizar un trabajo. Si por ejemplo consideramos un campo de fuerzas conservativas, es decir que posean un potencial, podemos definir una energía potencial asociada a dicho campo, que se interpretaría como aquella cantidad de energía necesaria para desplazar una partícula hasta el infinito (o hasta tierra, es decir, donde el campo se anule).

Potencial gravitatorio creado por una distribución esférica de masa $M$.

Consideremos la gravitación Newtoniana, donde el campo de fuerzas viene definido por la Ley de la Gravitación Universal:

$$ \vec F = - G \frac{m_1 m_2}{r^3} \vec r$$

siendo $G$ la constante de la gravitación universal, $m_1$ y $m_2$ las masas de las partículas en interacción y $\vec r$ el vector que las une. El campo es conservativo, pues proviene del potencial gravitatorio 

$$ V = - G \frac{m_1 m_2}{r} $$

ya que $\vec F = -\nabla V$. La energía potencial se define como el potencial por unidad de masa. Si $M=m_1$ es la masa de la partícula que crea el campo y $m_2$ la que lo "siente", la energía potencial será 

$$E = - G \frac{M}{r}$$

La interpretación física es que el valor numérico de $E$ en $r=r_0$ es la energía necesaria para llevar la partícula de $r=r_0$ hasta el infinito, donde no hay influencia gravitatoria. En este sentido, hemos encontrado una expresión local para la energía gravitatoria. Sin embargo, vamos a ver cómo todo se vuelve más complicado cuando nos adentramos en las fauces de la Relatividad General.

Principio de Equivalencia

Recordemos que, según la Segunda Ley de Newton, la fuerza y la aceleración que experimenta un cuerpo de masa $m$ están relacionadas por 

$$\vec F= m \vec a$$

Por otro lado, hemos visto que la fuerza gravitatoria también depende de la masa $m$ de los cuerpos en interacción. La pregunta es, ¿son estas dos masas la misma? Esto es lo que se conoce como Principio de Equivalencia de Galileo.

En principio no tendría por qué. Fijémonos por ejemplo en la Ley de Coulomb, donde la fuerza electrostática depende de la carga $q$ de la partícula, no de la masa. De hecho, dos partículas de igual masa pero distinta carga acelerarán de forma diferente en presencia de un campo eléctrico. Esto es radicalmente distinto a lo que ocurre con el campo gravitatorio, en el que todos los cuerpos caen con la misma aceleración. ¿Qué tiene de especial la Gravitación?

A lo largo de la Historia ha habido multitud de experimentos para tratar de discernir si en efecto la masa gravitatoria (la de la Ley de la Gravitación Universal) es la misma que la masa inercial (la de la Segunda Ley de Newton). Uno de los más famosos fue el ideado por Lóránd von Eötvös, en el que aprovechó la rotación de la Tierra y la aceleración centrífuga correspondiente. En dicha experiencia y en sucesivas mejoras, se ha logrado probar que ambas masas son iguales con un error menor a $10^{-13}$ (en 1999). Actualmente la sonda espacial MicroSCOPE ha logrado llegar a cotas de $10^{-15}$, y se espera que el satélite STEP alcance hasta $10^{-18}$. Así pues, el Principio de Equivalencia de Galileo tiene una gran base experimental. Ahora bien, ¿qué conclusiones podemos obtener de él?

El Principio de Equivalencia de Galileo parece apuntar a que, de algún modo, un sistema de referencia acelerado es equivalente a uno inercial en presencia de un campo gravitatorio. Dado que el campo gravitatorio no es uniforme, esta equivalencia es sólo local. En este sentido, somos capaces de anular el efecto del campo gravitatorio dejándonos caer en él.

El ejemplo típico, atribuido a Einstein, es el del ascensor. Si consideramos un ascensor que asciende con velocidad uniforme y dejamos caer un objeto, éste impactará contra el suelo del ascensor por efecto de la gravedad. Si repetimos el experimento en el espacio (sin gravedad) pero con un ascensor que se mueva de forma acelerada, el resultado va a ser el mismo. Análogamente, la Física en un ascensor inercial en ausencia de gravedad es la misma (localmente) a la que experimentaríamos en un ascensor en caída libre en presencia de un campo gravitatorio. Si en esta situación soltásemos un objeto, éste caería con nosotros, y lo percibiríamos "suspendido" ante nuestros ojos, como un sistema inercial en Relatividad Especial.

Einstein elevó el Principio de Equivalencia a la categoría de postulado para su Teoría de la Relatividad General. Dicho postulado reza:

Todas las leyes de la Física (salvo la gravitación) son las mismas, a escalas suficientemente locales, en un sistema en caída libre en presencia de un campo gravitatorio o en un sistema inercial en ausencia de gravedad.

Una versión alternativa es:

Todas las leyes de la Física (salvo la gravedad) son iguales, localmente, en un sistema inercial en presencia de un campo gravitatorio y en un sistema de referencia acelerado en ausencia de gravedad.

La principal consecuencia de este Postulado es que la gravedad ya no es una fuerza, si no que se trata de un efecto debido a la Geometría del espacio y del tiempo. Y una consecuencia secundaria es la imposibilidad de definir el concepto de energía local gravitatoria en Relatividad General. Veamos por qué.

Energía local gravitatoria

Recordemos que el Principio de Equivalencia nos lleva a abandonar toda esperanza de poder "medir el campo gravitatorio", al igual que Dante al descender al Inferno:

" Lasciate ogni speranza, voi ch'entrate "

Inferno, La Divina Commedia, Dante Alighieri

Esto es debido a que el valor del campo (la métrica) toma valores diferentes en sistemas de referencia distintos. Por ejemplo, un observador en caída libre (coordenadas gaussinas), observa localmente la métrica de Minkowski, es decir, no siente la gravedad. En el límite newtoniano, la energía asociada al campo viene dada por el laplaciano del potencial gravitatorio, de modo que en Relatividad General esperaríamos que ésta dependiese de la métrica $g$ y sus primeras derivadas. Pero por el Principio de Equivalencia, la energía tomaría valores distintos en diferentes sistemas coordenados. Este es el motivo por el cual no se puede definir un tensor local de energía gravitatoria.

Sin embargo, sí que es posible construir un pseudo-tensor local, como por ejemplo el de Landau-Lifshitz. Este objeto no es tensorial, pues se anula en unos sistemas y no en otros, por lo que capta la esencia fundamental del Principio de Equivalencia. Además, a partir de él se pueden construir unas cantidades (masa ADM o momento ADM, en honor a Arnowitt-Deser-Misner, sus descubridores) conservados cuya interpretación es una medida global de la energía gravitatoria. La base matemática para introducir las formas de Landau-Lifshitz es bastante complicada, por lo que definiremos la masa ADM desde otra vía.

Desde los años 60 del siglo pasado se sabe que la formulación hamiltoniana de la Relatividad General (GR) es equivalente a la planteada por Albert Einstein en su teoría. A grandes rasgos, el Hamiltoniano es suma de dos términos: la ligadura hamiltoniana y la ligadura vectorial. Este formalismo canónico se sustenta en una descomposición 3+1 de la GR. Sin embargo, para normalizar el valor de la acción en GR es necesario añadir ciertos términos de frontera al hamiltoniano. Pues bien, precisamente uno de esos términos es la energía ADM:

$$E = \frac{1}{2}\int n^k(\partial_i h_{ik}-\partial_k h_{jj}) dS$$

donde la integral se realiza en la esfera del infinito, cuyo vector normal es $n$ y $h$ denota la métrica asintóticamente plana. Esta energía ADM obtenida desde el formalismo canónico es la misma que se encuentra a través del pseudo-tensor de Landau-Lifshitz.

El ejemplo clásico no trivial es la energía ADM para la métrica de Schwarzschild en coordenadas isotrópicas. Un sencillo cálculo nos permite comprobar que dicha energía es igual a la masa fuente del campo gravitatorio. De esta forma podemos interpretar la energía ADM como una medida global de la energía de campo gravitatorio en Relatividad General. Si añadimos dicha energía como término de frontera al hamiltoniano, el valor numérico de éste resulta ser la energía ADM, recuperando así la noción de que el hamiltoniano es la energía del sistema.

Conclusiones

 

Según hemos visto, el Principio de Equivalencia nos obliga a abandonar la idea de poder medir el campo gravitatorio, y con ello a ser capaces de definir una medida local de energía gravitatoria. Sin embargo, sí que se puede definir una medida global de energía, asociada a la totalidad del campo. Dicha energía (ADM) se puede obtener desde una vía puramente geométrica (a partir de las formas de Landau-Lifshitz) o desde un planteamiento hamiltoniano de la Relatividad General.

Referencias

 

- R. Arnowitt, S. Deser, C. W. Misner, "Gravitation: An introduction to current research. The dynamics of General Relativity". John Wiley, Sons Inc., New York, London (1962).

- R. M. Wald, "General Relativity", The University of Chicago Press, Chicago and London, (1984).

- Y. Choquet-Bruhat, "General Relativity and the Einstein Equations". Oxford Mathematical Monographs, (2009).

 

Deducción de la Segunda Ley de Kepler

Hará cosa de medio año, en este blog deducimos la Tercera Ley de Kepler, o mejor dicho, la justificamos a partir de la Ley de la Gravitación Universal.

Hoy justificaremos la 2ª Ley de Kepler, que dice así: "Las áreas barridas por un radio vector con origen el Sol y destino un planeta, barren áreas iguales en tiempos iguales". Se verá mejor con una imagen:

Si el tiempo que tarda un planeta en ir desde P1 hasta P2 es el mismo que en ir desde P3 hasta P4, el área A1 será igual al área A2. Pero, ¿por qué ocurre esto?

Johannes Kepler se basó en los datos astronómicos de su coetáneo Tycho Brahe antes de que Isaac Newton estableciese su Ley de la Gravitación Universal. Nosotros vamos a partir de ahí, pero primero definamos algunos términos:

Perigeo: punto de la órbita más cercano al Sol (o al astro en torno al cual se orbite). En el caso de la Tierra, se llama Perihelio.

Apogeo: punto de la órbita mas alejado del Sol. En el caso de la Tierra se llama Afelio.

Velocidad Areolar: el área barrida por el radio vector por unidad de tiempo.

Demostración:

Primero vamos a demostrar esta ley en los casos particulares del apogeo y perigeo. Si consideramos un diferencial de tiempo (dt), el área barrida por el planeta se asemeja a un triángulo de base ds y de altura la distancia al Sol:

Calculemos el área de las zonas rojas (dA) como si fuesen triángulos:

En el caso del perigeo procederemos del mismo modo:

Ahora vamos a calcular el momento de fuerza de la fuerza gravitatoria del Sol al planeta con respecto al propio Sol. Por definición:

Entonces el momento será (modularmente):

El momento también puede escribirse de la siguiente forma:

Deducimos que el momento angular es constante (en dirección, sentido y módulo) a lo largo de toda la trayectoria. El momento angular se define como:

Como hemos dicho que el momento angular es constante, el momento angular en el apogeo será igual al del perigeo:

Finalmente llegamos a que la velocidad areolar en el perigeo es igual a la velocidad areolar en el apogeo:

Para cualquier otro punto de la órbita procedemos igual:

El área (dA):

Y como tanto L como m son constantes, la velocidad areolar también será constante y queda demostrada la Segunda Ley de Kepler.

Puedes leer también la demostración de la Primera Ley de Kepler.

Nos vemos en la próxima entrada!

Aumento de masa

Sí amigo, has leído bien...la masa aumenta...

En entradas anteriores hemos visto cómo se dilata el tiempo (léelo aquí) y como se contrae el espacio (léelo aquí). Al igual que estas magnitudes, la masa no es una constante universal para cualquier sistema de referencia. Dicho bien, lo que ocurre es que el momento lineal de una partícula con masa a grandes velocidades, es proporcional al inverso del factor ß que habíamos visto en entradas anteriores, es decir, que el aumento del momento dependiendo de la velocidad no es una recta, si no que se curva tendiendo a infinito cuando la velocidad iguala a la de la luz. Para la mecánica newtoniana esto no era así, y la masa era constante. De este modo definíamos momento lineal o cantidad de movimiento como el producto de la masa por la velocidad. En los choques elásticos, el momento se conservaba.

Vamos a hacer un experimento mental para entender por qué aumenta la masa:

Juan y María se mueven por el espacio en sentido contrario y de forma paralela, a una velocidad constante y próxima a la de la luz, tal como vemos en la imagen inferior.

Como son movimientos a velocidad constante, cada uno estará parado "para él mismo", y verá solo moverse al otro. Es como cuando vamos en coche y pasa al lado nuestro otro vehículo en dirección contraria. En un momento dado, ambos lanzan hacia el otro una pelota, de tal modo que la velocidad de la bola medida por el que la lanza es la misma que la velocidad de la otra medida por el otro. Es decir, Juan lanza hacia María la pelota a 10 m/s (por ejemplo), y María se la lanza a Juan a la misma velocidad. Si observamos el experimento como si María fuese la observadora en reposo y el que se moviese fuera Juan (consideramos que la velocidad de Juan hacia María es un 87% de la de la luz), dado que el tiempo de Juan (y su bola) transcurre para María de forma más lenta, la velocidad horizontal de la bola que lanza Juan es menor. Si la bola llevase un reloj, para Juan el tiempo de su bola transcurriría "normal", pero para María ese tiempo iría más lento. Si Juan lanza la bola a 10 m/s, para María esa bola recorre 10 m cada 2 segundos, o lo que es lo mismo, 5 m/s (teniendo en cuenta la dilatación temporal).

Visto desde el sistema de referencia de Juan, ocurre lo mismo...son experimentos simétricos: Juan se nota a sí mismo quieto, y María es la que se mueve. Juan lanza la bola a 10 m/s y ve aproximarse la de María a 5 m/s.

Volvamos al sistema de referencia de María. Ella ha lanzado su pelota a 10 m/s contra la de Juan a 5 m/s. Dado que en ese choque se conserva el momento lineal (p = m·v) y como cada bola vuelve a las manos de su dueño después del choque (por lo que los momentos de cada bola son iguales) y además su velocidad horizontal es diferente (siendo la pelota de Juan más lenta), su masa debe ser mayor para conservar la igualdad.

Como Juan se mueve a un 87% de la velocidad de la luz con respecto a María, el tiempo de Juan visto desde el sistema de referencia de María transcurriría dos veces más lento: cada dos segundos de vida de María equivaldría a un segundo en la vida de Juan. Debido a esto, el sistema de Juan (él, su reloj, su bola...) van más lento. Como al lanzar la bola horizontalmente va mas lento (menos velocidad) para chocar y acabar desplazándose lo mismo que la de María, debe tener dos veces más masa.

Podemos imaginar que choca una bola de bolos con una canica. Si van igual de rápido, al chocar, la canica retrocederá más. Esto se debe a que la de bolos es más pesada, y su momento p es mayor. En nuestro experimento retroceden ambas igual, y como una de ellas se mueve la mitad de rápido...para equilibrar la ecuación su masa deberá ser el doble. En la imagen inferior podemos ver la conservación del momento teniendo en cuenta solo las velocidades verticales.

Es decir, que si una persona de 80 Kg se pone a correr, su masa a esa velocidad aumentaría hasta los 80,00000000000001 Kg.

La ecuación que relaciona la masa en reposo (mo) con la masa (m) a una velocidad v es:

Si la velocidad v tiende a c, la masa m tiende a infinito...y como la fuerza necesaria para mover esa masa infinita también sería igual a infinito, la energía sería lógicamente INFINITA.

Por consiguiente, para conseguir que una partícula con masa alcance la velocidad de la luz, es necesario un aporte infinito de energía, por eso una partícula con masa no puede sobrepasar ni alcanzar c. Una partícula con masa nunca podrá alcanzar la velocidad de la luz para ningún sistema de referencia, y la luz no puede reducir su velocidad para ningún otro.

En el siguiente video podremos ver otro modo de entender por qué no es posible superar la velocidad de la luz, además de otras nociones curiosas que os recomiendo ver sobre Relatividad:

Para ver el vídeo desde un móvil, clic aquí.

Como la hipotenusa de un triángulo rectángulo es siempre mayor (o igual) que cualquiera de los catetos, la máxima velocidad permitida para una partícula es la velocidad de la luz, siempre que la partícula no tenga masa, como el fotón. Si tuviese masa, nunca podrá alcanzar la velocidad de la luz.

Este aumento de masa se puede observar en aceleradores de partículas: las colisiones entre dos protones generan muchos tipos de partículas. Si sumamos las masas de esas partículas, observamos que se supera las masas de los dos protones. Si tenemos en cuenta el aumento de la masa a las velocidades a las que chocan, los resultados cuadran.

En desintegraciones de núcleos pesados, la masa de los productos es menor a la del núcleo del que proceden. Teniendo en cuenta la energía emitida y la relación que hay entre esa energía y la masa (la famosa ecuación E = mc2), los resultados vuelven a cuadrar.

Esta serie de Relatividad Especial va llegando a su fin...en la siguiente entrada trataré la famosa "Paradoja de los Gemelos".

¡Un saludo!

Radiación de Cherenkov

¿Por qué se suele decir que lo radiactivo brilla? Descúbrelo:

Sabemos que ninguna partícula masiva puede alcanzar, y menos superar, la velocidad de la luz en el vacío. Mientras un cuerpo se mueve a velocidades relativamente pequeñas, podemos calcular su energía mediante la mecánica Newtoniana. Pero técnicamente, cuando una partícula o un cuerpo con masa en reposo m se desplaza con una velocidad v, su masa m' se obtendría de la fórmula m'=m/ß, siendo ß un factor numérico que aumenta en función de la proxímidad a la velocidad de la luz. La masa de una persona de 75 kg en reposo es de 75 kg, pero al caminar, los efectos de la relatividad hacen que esa persona pese 75,00000000001458 Kg. ¡Y LUEGO DICEN QUE CORRER ADELGAZA...!

A bajas velocidades esto no se percibe, pero a medida que nos aproximamos a c (velocidad de la luz en el vacío), su masa tiende a infinito y con ello la fuerza necesaria para acelerarla más y más. Para conseguir mover esa partícula a la velocidad de la luz, necesitaríamos energía infinita. A grandes velocidades necesitaríamos usar la mecánica de Einstein.

Para saber más sobre esto, visita la serie de relatividad especial y la entrada E=mc2.

Ahora bien, en una entrada de hace unos días (donde hablé sobre ¿por qué el cielo es azul?) expliqué lo que era la refracción y el índice de refracción de la luz en medios transparentes. Si te interesa, échale un vistazo dando clic aquí. Básicamente, la luz cambia de velocidad al pasar de unos medios trnsparentes a otros, debido a las propiedades electromagnéticas de ese medio que frenan a los fotones constituyentes de la luz. Por ejemplo, al pasar del aire al agua, un rayo de luz reduce su velocidad refractándose, como ocurre en el arcoiris o al introducir un lapicero en un vaso con agua. 

Imaginemos que tenemos una partícula que se desplaza a una velocidad de 250.000 km/s en el agua, mientras que la luz en el agua se desplaza a 225.000 km/s. Esta hipotética partícula se movería más rápido que la luz, pero solo en ese medio. En ningún momento se contradicen las leyes de Einstein, que impiden que la partícula alcance la velocidad de la luz en el vacío. La partícula no supera c, aunque en ese medio en concreto supere en velocidad a los fotones (debido, como ya dije, a la naturaleza electrostática de los átomos de ese medio).

¿Has oído hablar alguna vez de aviones supersónicos?

Avión supersónico superando la 'Barrera del Sonido'

Cuando un avión de este estilo se desplaza, crea una zona de aire a mayor presión delante suyo (debido a que lo "comprime") y una zona de baja presión tras de sí. Así se generan "ondas de presión". Cuando el avión supera la velocidad del sonido, esas ondas no tienen tiempo de alejarse antes de que la siguiente se produzca, produciéndose una onda de mayor intensidad (típico estruendo al oir a un avión superar la barrera del sonido). Conoce más en el Efecto Doppler.

Algo semejante ocurre con las ondas electromagnéticas. Veamos exactamente qué:

Supongamos que un electrón (carga negativa) se desplaza por un medio no conductor, como el agua destilada, a 250.000 km/s. la luz en ese medio lo hace a 225.000 km/s. Una carga eléctrica en movimiento  (en este caso el electrón) genera un campo magnético, debido a su propio movimiento y al movimiento de los electrones de las cortezas atómicas por repulsión. La partícula "constituyente" del campo magnético es el fotón. Como el fotón en ese medio se desplaza más lentamente que el electrón, ocurre igual que con el sonido (en este caso el avión sería el electrón). 

Dado que los fotones no tienen tiempo de alejarse antes de que se acumulen fotones nuevos, se crean ondas que podemos detectar. Para ello, como he dicho, debe de ocurrir en un medio no conductor. 

Esta radiación de Cherenkov suele ser ultravioleta, aunque si es suficientemente fuerte podemos percibirla con la longitud de onda del azul. Pero, ¿para qué sirve todo esto?

Esta radiación tiene múltiples usos prácticos, como la detección de astropartículas cargadas provenientes del espacio, la detección de partículas subatómicas en colisionadores de partículas o incluso medir la radiación en las centrales nucleares como en la imagen inferior:

Brillo azulado debido a la radiación de Cherenkov

La intensidad de esa radiación está relacionada con los procesos de fisión nuclear: a más rendimiento, más "brilla". Ese brillo no es propio de los elementos radiactivos como solemos oír, si no de la radiación de Cherenkov.

Ahora que sabes un poco más, comenta y comparte esta entrada.
Un saludo! Hasta otra amigos!

El CERN y el Bosón de Higgs

La Organización Europea para la Investigación Nuclear fue fundada en 1954. Las siglas provienen de su nombre en francés. Se creó con la finalidad de la investigación científica conjunta entre miles de científicos de todo el mundo. Primeramente tenía el objetivo de unir a la Comunidad Científica Europea después de la II Guerra Mundial, pero tuvo un mayor alcance, y hoy en día es el centro de investigación más importante del mundo.

Allí se inventó el Internet, y han sido muchos los que han conseguido un Nobel de física trabajando allí. Los últimos fueron Petter Higgs y François Englert, galardonados por la teorización del Campo de Higgs, descubierto en el propio CERN hace menos de un año. En este vídeo podemos ver el momento en el que el Director del CERN anuncia el descubrimiento de la partícula: Descubrimiento del Bosón de Higgs.

Han pasado 50 años desde que Higgs y Englert la teorizaran, hasta que esta partícula fue descubierta. Por ello, a los padres del Bosón de Higgs les fue otorgado el Premio Nobel de Física el pasado 8 de octubre de 2013. 

En los años sesenta se produjo la unificación de la fuerza electromagnética con la nuclear débil, a lo que se llamó Fuerza Electrodébil. Para que la teoría tuviese sentido matemático, era necesaria la existencia de un campo que dotara de masa al resto de las partículas: el Campo de Higgs. 

Gracias a él, explicamos por qué algunas partículas tienen masa y otras no. En el siguiente vídeo proporcionado por el CPAN (Centro Nacional de Partículas, Astropartículas y Nuclear), podemos ver y entender en poco más de 5 minutos todo esto: Hágase la Masa

Ahora bien, ¿qué hacen exactamente en el CERN?

Allí tienen, entre otras cosas, el acelerador de partículas más grande del planeta, varios tubos de 27 kilómetros de longitud enterrados bajo tierra. Además, es el lugar más frío y vacío de todo el Sistema Solar. Su acelerador más importante, el LHC (Large Hadrons Collider o Gran Colisionador de Hadrones), se encarga de acelerar protones a velocidades cercanas a la luz, para hacerlos chocar y obtener multitud de partículas útiles para conocer los inicios de nuestro Universo. En este último vídeo que os dejo, podéis ver el funcionamiento simplificado del LHC: Recorrido de Partículas

El LHC comenzó a funcionar sin pausa en 2009, con un incremento de la intensidad de las colisiones que llegó a finales de 2012 a su máxima potencia, a 7 TeV (1 eV es la energía adquirida, en este caso de un protón, al aplicarle una diferencia de potencial de 1 voltio. 7 TeV equivalen a 7 millones de eV). Con esa energía y a esas velocidades, la masa del protón se multiplica 7 millones de veces. después de unas reformas, en 2015 el LHC podrá funcionar al doble de su capacidad. 1 eV = 6,24 x 10E18

Muchos pensaban que al activar esta enorme máquina podría acabarse el mundo al formarse agujeros negros en miniatura. Stephen Hawking demostró que un agujero negro emitía una radiación inversamente proporcional a su superficie. Por este motivo no hay que temer a los agujeros negros que se puedan formar en miniatura, no vivirán el suficiente tiempo ni para poder ser detectados.

Hoy en día podemos decir que el LHC es la máquina más grande y perfecta creada por la civilización Humana, que apuesta por el conocimiento sobre lo que nos rodea.

Y no solo existen aceleradores circulares, sino también aceleradores de partículas lineales.

Un saludo, espero que os haya gustado esta entrada. 

¡Nos vemos la semana que viene!