El viaje de la Voyager

Este 2017 se van a cumplir 40 años del lanzamiento de las dos sondas Voyager, motivo por el cual presento la entrada de hoy. En ella hablaré de los objetivos de la misión, los detalles técnicos de las órbitas seguidas por ambos satélites, su localización actual y el futuro incierto del proyecto. Que aproveche.

El primer objetivo de las dos sondas Voyager fue el estudio de Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno, para después abandonar el Sistema Solar en una órbita hiperbólica para no regresar jamás. Con este motivo, el científico Carl Sagan fue encargado para mandar un "mensaje en una botella" mediante estas dos naves para posibles civilizaciones extraterrestres.

La sonda Voyager 2 fue lanzada el 20 de agosto de 1977. Dos semanas después, el 5 de septiembre de 1977 es lanzada la Voyager 1. El 5 de marzo de 1979, la Voyager 1 alcanza Júpiter, y aprovechando su tirón gravitatorio partirá en un viaje de un año y medio a Saturno, al que llega en noviembre de 1980. Por su parte, la Voyager 2 llega a Júpiter en julio del 79 y a Saturno en agosto del 81, 9 meses más tarde que la Voyager 1.

Los científicos encargados de la misión decidieron aprovechar a la Voyager 1 para el estudio de Titán (satélite de Saturno), por lo que se cancelaría su viaje a Urano y Neptuno. Este tirón gravitatorio hizo a la sonda entrar en una órbita hiperbólica en el sistema heliocéntrico habiendo superado la velocidad de escape, poniendo rumbo a los confines de nuestro Sistema Solar.

Por su parte, la Voyager 2 visitó Urano en 1986 y Neptuno en 1989, para después pasar a convertirse, al igual que su hermana, en una sonda interestelar. 

Localización actual de las Voyager

En agosto de 2006, la Voyager 1 superó la distancia de 100 UA del Sol, superando asimismo a las sondas Pioneer y conviertiéndose en el objeto fabricado por el ser humano más alejado de nosotros. En 2005 supera el frente de choque de terminación, para pasar a la heliofunda con rumbo a la heliopausa.

El 13 de septiembre de 2013, la sonda Voyager 1 alcanza el espacio interestelar (no en abandonar el Sistema Solar, que se extiende hasta la nube de Oort, a 2000 UA del Sol). Acualmente su velocidad parece estar decreciendo, hecho que causa controversia entre la comunidad científica y que ya se comentó en la entrada de Materia Oscura.

Según la página web de la misión, acualmente la Voyager 1 se encuentra a 137 UA del Sol, algo más de 20.000 millones de kilómetros, y la Voyager 2 a 113 UA, tardando la información que nos mandan más de 30 horas en llegarnos.

Futuro de la misión

 

Actualmente la misión es controlada por 10 científicos, corriendo el riesgo de ser abandonada. Los motores termonucleares de las sondas les permitirán funcionar hasta, como mínimo, 2025. Después de ese momento, sus operativos irán apagándose hasta convertirse en objetos inertes y fríos vagando por el espacio dirigiéndose hacia el centro de nuestra galaxia. Ambas sondas emiten señales con una potencia de 20 W y son detectadas por las enormes antenas de la Red de Espacio Profundo, como las de Robledo de Chavela (Madrid). Hay otra antena en EEUU y otra en Australia. Para hacernos una idea, estas antenas son capaces de detectar el equivalente a una bombilla de 20 W a una distancia de más de 20 mil millones de kilómetros...

Robledo de Chavela, Madrid, España.

Como ya comenté, las sondas transportan mensajes de la Tierra a posibles civilizaciones extraterrestres, como un mensaje en una botella. Contienen música, saludos en diversos idiomas, fotografías y un mapa indicando la posición de la Tierra en el Sistema Solar, y la de éste en la Vía Láctea "triangulando" con púlsares.

Órbitas seguidas por las sondas

 

A continuación entraré en detalle al estudio de la Física de los viajes, es decir, el cálculo ilustrativo de las órbitas y el efecto del tirón gravitatorio. Lo que aquí se explica no es lo que se realizó en realidad, pues la Voyager 1 fue acelerada en Júpiter y Saturno y se modificó la misión, y nosotros aquí solo estudiaremos el paso por Júpiter para entender cómo funciona el tirón gravitatorio.

Supongamos que queremos enviar una sonda de la Tierra (órbita circular pequeña) a Urano (órbita circular grande) en una órbita elíptica (en rojo). Dado que Urano se encuentra a 19,2 UA del Sol y la Tierra a 1 UA, la órbita en el sistema heliocéntrico vendrá dada por 

$$r(\theta)=\frac{1.92 \ UA}{1+0.9\cos\theta}$$

pues es la ecuación de una elipse con su excentricidad previamente calculada a partir de los semiejes de la órbita. El tiempo que tardará en llegar lo calcularemos mediante la Tercera Ley de Kepler: si $T$ es el periodo de la órbita y $\tau$ es un año,

$$t=\frac{T}{2}=\frac{\tau}{2}\left(\frac{a}{r_T}\right)^{3/2}\approx 16 \ años$$

Siendo $a$ el semieje mayor de la órbita y $r_T$ la distancia de la Tierra al Sol. Como la energía se conserva, puede verse que la velocidad en función de $r$ vendrá dada por

$$v^2=2GM_S\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2a}\right)$$

Para el perihelio, es decir $r=r_T$, esta velocidad es de 41 km/s. Si además le sumamos la velocidad de escape en la Tierra (11 km/s), necesitaríamos comunicarle una velocidad de 52 km/s a nuestra sonda, una verdadera barbaridad. Sin embargo, esta velocidad es respecto al sistema heliocéntrico. Como la Tierra en este sistema orbita a 30 km/s, solo necesitaríamos otorgarle 22 km/s a la sonda, y si lanzamos desde el ecuador aprovechando la rotación terrestre, la velocidad acaba reduciéndose a 21,5 km/s.

Ahora estudiemos el caso de la imagen superior. Pasaremos con la nave cerca de Júpiter para aprovechar su tirón gravitatorio, acelerar nuestra nave y desviar la trayectoria. Esto puede ser entendido como un choque elástico en el sistema de referencia de Júpiter. Denotaremos con $v$ al vector velocidad en el sistema heliocéntrico, $v^*$ en el sistema de Júpiter y $V_J$ a la velocidad de Júpiter en el sistema heliocéntrico. Con esta notación es evidente que 

$$v=V_J+v^*\Rightarrow v^*=v-V_J$$

Si calculamos la velocidad orbital de Júpiter obtenemos unos 13 km/s, y si calculamos la velocidad de nuestra sonda para $r=r_J$ resulta ser de 16 km/s. Para determinar $v^*$ necesitamos conocer el ángulo $\beta$, para lo cual emplearemos que el momento angular se conserva. Si $v_p$ es la velocidad en perihelio, es claro que

$$r_T v_p=r_Jv\cos\beta\Rightarrow\cos\beta=1/2\Rightarrow v^*= 14,7 \ km/s$$

Como el choque es elástico, esta velocidad se conserva en módulo (no así en dirección) en el sistema de Júpiter. Por tanto la velocidad final en el sistema heliocéntrico será

$$v_f=V_J+v^*_f$$

$v_f$ será máximo si conseguimos que $v^*_f$ salga tangente a la órbita de Júpiter. En ese caso es claro que $v_f=27.7 \ km/s$. El ángulo $\theta^*$ de dispersión en el sistema CM puede calcularse de forma sencilla dibujándose un diagrama con las velocidades antes y después del choque, y resulta ser de 110º. Este ángulo no deja de ser el que forma la velocidad de salida de la nave con la velocidad inicial en el sistema CM. 

Por otra parte, calculándonos el ángulo de dispersión en función del parámetro de impacto $b$, obtenemos que 

$$\tan\left(\theta^*/2\right)=\frac{GM_J}{b{v^*}^2}$$

De donde se obtiene que $b\approx 400.000 \ km$, unas 5 veces su radio. De esta forma nos aseguramos la no colisión física. Cálculándonos la nueva órbita en el sistema de Júpiter conocida la energía y la excentricidad de la curva tendríamos 

$$r(\theta)=\frac{4,3R_J}{1+1,22\cos\theta}$$

Por último tenemos que transformar esta ecuación al sistema heliocéntrico. Para ello necesitaremos simplemente el nuevo momento angular y energía de la sonda. Puede verse que $L=mv_fr_J$ y $E=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{GM_Sm}{r_J}$ o $r_J=\frac{v_f^2r_J^2}{GM_S(1+\epsilon)}$, ecuaciones que se obtienen al resolver el problema de los dos cuerpos y que no deduciremos hoy aquí. De esta guisa es inmediato llegar a que

$$r(\theta)=\frac{23.6 \ UA}{1+3,54\cos\theta}$$

en el sistema heliocéntrico. Es evidentemente una órbita hiperbólica pues $\epsilon>1$ y $E>0$. Calculando la energía podemos deducir que la velocidad a distancias donde la atracción solar es despreciable es del orden de 20 km/s. Si tenemos en cuenta que la velocidad real de la Voyager 1 es actualmente de 17 km/s, nuestras aproximaciones y suposiciones no son tan malas a fin de cuentas.

En realidad, el parámetro de impacto fue mayor para poder interceptar a Saturno en su órbita, por lo que la velocidad de salida no fue tan grande. Después, la Voyager 1 volvió a acelerarse en Saturno, repitiendo el mismo procedimiento que hemos hecho con Júpiter, pero teniendo en cuenta que la velocidad orbital de Saturno es menor.

Trayecto seguido por las Voyager

En esencia, en este tipo de maniobras, se trata de "frenar un poco" a un planeta muy masivo como Júpiter y aprovechar esa energía para acelerar enormemente una sonda de masa despreciable. Podemos hacer un balance de energías en el sistema heliocéntrico para ver que efectivamente esto es así:

$$\Delta E_{nave}=\frac{1}{2}m\left(v_f^2-v_0^2\right)=-\Delta E_J=-\frac{1}{2}\left(v_0^2-v_f^2\right)=2\cdot 10^{11} \ J$$

Este aumento de energía de la nave nos permite saber cuánto disminuye la velocidad de Júpiter, resultando ésta ser del orden de 10 nm/s. Podemos entonces decir que Júpiter no se frena en absoluto, pues 10 nm/s frente a sus 13 km/s es prácticamente cero.

Espero que hayáis disfrutado con esta entrada. No os olvidéis de compartirla.

Un saludo!

Deducción de la Segunda Ley de Kepler

Hará cosa de medio año, en este blog deducimos la Tercera Ley de Kepler, o mejor dicho, la justificamos a partir de la Ley de la Gravitación Universal.

Hoy justificaremos la 2ª Ley de Kepler, que dice así: "Las áreas barridas por un radio vector con origen el Sol y destino un planeta, barren áreas iguales en tiempos iguales". Se verá mejor con una imagen:

Si el tiempo que tarda un planeta en ir desde P1 hasta P2 es el mismo que en ir desde P3 hasta P4, el área A1 será igual al área A2. Pero, ¿por qué ocurre esto?

Johannes Kepler se basó en los datos astronómicos de su coetáneo Tycho Brahe antes de que Isaac Newton estableciese su Ley de la Gravitación Universal. Nosotros vamos a partir de ahí, pero primero definamos algunos términos:

Perigeo: punto de la órbita más cercano al Sol (o al astro en torno al cual se orbite). En el caso de la Tierra, se llama Perihelio.

Apogeo: punto de la órbita mas alejado del Sol. En el caso de la Tierra se llama Afelio.

Velocidad Areolar: el área barrida por el radio vector por unidad de tiempo.

Demostración:

Primero vamos a demostrar esta ley en los casos particulares del apogeo y perigeo. Si consideramos un diferencial de tiempo (dt), el área barrida por el planeta se asemeja a un triángulo de base ds y de altura la distancia al Sol:

Calculemos el área de las zonas rojas (dA) como si fuesen triángulos:

En el caso del perigeo procederemos del mismo modo:

Ahora vamos a calcular el momento de fuerza de la fuerza gravitatoria del Sol al planeta con respecto al propio Sol. Por definición:

Entonces el momento será (modularmente):

El momento también puede escribirse de la siguiente forma:

Deducimos que el momento angular es constante (en dirección, sentido y módulo) a lo largo de toda la trayectoria. El momento angular se define como:

Como hemos dicho que el momento angular es constante, el momento angular en el apogeo será igual al del perigeo:

Finalmente llegamos a que la velocidad areolar en el perigeo es igual a la velocidad areolar en el apogeo:

Para cualquier otro punto de la órbita procedemos igual:

El área (dA):

Y como tanto L como m son constantes, la velocidad areolar también será constante y queda demostrada la Segunda Ley de Kepler.

Puedes leer también la demostración de la Primera Ley de Kepler.

Nos vemos en la próxima entrada!

Deducción de la Tercera Ley de Kepler

A comienzos del siglo XVII, Johannes Kepler elaboró tres leyes que se cumplían en todos los planetas del Sistema Solar. Para ello se valió de los datos cedidos por su amigo el astrónomo Brahe y sus grandes dotes matemáticas. Las tres leyes son las siguientes:

1. Las órbitas de los planetas son planas y elípticas, con el Sol en uno de sus focos.

2. El vector posición que une el Sol con cada planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, debido al principio de conservación del momento angular.

3. Hay una relación de proporcionalidad entre el cuadrado del periodo de traslación y el cubo de la distancia media de cada planeta al Sol.

Nos vamos a centrar en la tercera ley y a intentar deducirla:

La fuerza de atracción del Sol debe ser igual a la fuerza centrífuga, para mantener a cada planeta en un órbita estable. Vamos a deducir la tercera ley de Kepler a partir de esta afirmación.

Igualando fuerza gravitatoria a fuerza centrífuga:

Recordemos la Tercera Ley de Kepler:

Por semejanza a la fórmula anterior, hallamos k en unidades del SI:

Esa constante (en segundos al cuadrado/metros cúbicos) es común a todos los cuerpos que orbiten en torno a otro. Para calcularla solo tenemos que despejar las constantes. G es la constante de la gravitación universal y Ms es la masa del Sol (en este caso).

Vamos a intentar hallar la constante de la gravitación universal según la fórmula que hemos obtenido, para observar que es correcta:

Y efectivamente, funciona.

En la entrada sobre ¿Cómo descubrieron Neptuno? puedes ver una aplicación práctica de lo comentado en la entrada de hoy.

Si quieres leer la demostración de la Segunda Ley de Kepler, clic aquí.

Si quieres echar un vistazo a la primera ley de Kepler, clic aquí.

Nos vemos en la siguiente entrada. 

Un saludo muy fuerte.

¿Cómo descubrieron Neptuno?

Una vez que sir Isaac Newton encontró su famosa Ley de la Gravitación Universal, se pensaba que todo en el universo se comportaría de forma predecible y que tantos los planetas como todos los astros seguían trayectorias lógicas y que se deducían a partir de las leyes de Kepler y Newton.

El Universo se contemplaba como una enorme máquina de relojería, y tenían la visión de Dios como un implacable matemático diseñador de tal obra. Nacería así el determinismo científico, teoría filosófica que básicamente niega la existencia de la libertad. Se pensaba que todo en el Universo era entendible según esas leyes que ya se poseían, y por tanto la conducta humana era también predecible, pero mucho más compleja.

Pierre Simon Laplace postularía su tesis del Demonio de Laplace, un hipotético demonio capaz de conocer la posición y momento de todas las partículas del universo. Así, podría calcular sus posiciones y momentos en cualquier otro momento. 

Conociendo las distancias interplanetarias y las masas de cada planeta, podríamos calcular la velocidad de traslación de cada astro de nuestro Sistema Solar simplemente igualando la fuerza centrífuga (hacia fuera) de cada planeta debido al movimiento elíptico que describen con la atracción del Sol. Por ejemplo, si yo describo una rotonda en coche, para que el vehículo no vuelque en la curva, la fuerza de rozamiento del suelo debe ser igual a la fuerza centrífuga. Lo mismo ocurre con los planetas.

La fuerza centrífuga, para que la Tierra no salga despedida, es igual a la atracción gravitatoria del Sol

Efectivamente, la fuerza centrífuga tiene un valor muy parecido al de la atracción gravitatoria. Recordemos que la órbita es una elipse, no una circunferencia.

Aplicando esta definición planeta por planeta, comprobaron que la Ley de la Gravitación de Newton se ajustaba perfectamente a las predicciones, excepto en Urano. La órbita de Urano presentaba ciertas perturbaciones, y comenzó una desconfianza en la teoría de Newton, que parecía estar fallando.

En la década de 1840, John Couch Adams y Urbain le Verrier tuvieron la siguiente idea: puede que exista un cuerpo, más allá de la órbita de Urano, que por interacción gravitatoria desvíe la trayectoria de este último. De ser así, podríamos encontrarnos frente al octavo planeta del Sistema Solar.

Urbain le Verrier

Manos a la obra. De manera independiente trabajaron intentando hallar la masa, posición, tamaño y distancia de ese hipotético planeta. En 1846 concluyeron sus cálculos, prediciendo las coordenadas donde se encontraría la noche del 23 de septiembre de 1846. Efectivamente, ese día fue observado Neptuno, el primer planeta que anteriormente se había descubierto matemáticamente.

Neptuno

Pero aquí no acaba la cosa: Urano no era el único planeta que presentaba anomalías en su órbita. También era conocido el caso de la desviación del perihelio de Mercurio. Se atribuía a una mala medida, pero le Verrier volvió a plantear el mismo argumento que aplicó en el caso de Urano. Pensó que alomejor podría existir un planeta entre el Sol y Mercurio, al que bautizó como Vulcano, que desviase también su órbita. En este caso, se equivocó. La órbita de Mercurio, efectivamente, no encajaba dentro de la Teoría de Newton. Tuvo que ser en 1915 cuando Einstein encontrase la solución.

Debido a la enorme masa solar y el campo gravitatorio que genera, es necesario tener en cuenta los factores relativistas de la Teoría de la Relatividad General de Einstein, ya que la de Newton no es válida en esos casos. Uno de los hitos de la teoría de Einstein fue esa, explicar las anomalías de la órbita de Mercurio (entre multitud de fenómenos que predicen sus ecuaciones). También fue demostrada experimentalmente durante el famoso eclipse de 1919, donde se comprobó que la luz de estrellas situadas detrás del Sol se curvaba al pasar cerca suyo. La luz, aunque no tenga masa, posee un momento lineal asociado a su frecuencia, por lo que también deforma el espacio-tiempo y puede ser desviada.

Y así es como se descubrió un planeta gracias a la valiosísima herramienta que son las matemáticas. Hoy en día se descubren planetas de esta manera, al igual que los agujeros negros se encuentran observando cómo se comporta la materia a su alrededor. Otro método de detectar planetas es estudiar los cambios de brillo de estrellas cuando el planeta pasa por delante.

Visita la entrada Deducción de la Tercera Ley de Kepler.

Espero que os haya gustado esta entrada. Compartidla y comentar.
Un saludo,
Gabriel.