El viaje de la Voyager

Este 2017 se van a cumplir 40 años del lanzamiento de las dos sondas Voyager, motivo por el cual presento la entrada de hoy. En ella hablaré de los objetivos de la misión, los detalles técnicos de las órbitas seguidas por ambos satélites, su localización actual y el futuro incierto del proyecto. Que aproveche.

El primer objetivo de las dos sondas Voyager fue el estudio de Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno, para después abandonar el Sistema Solar en una órbita hiperbólica para no regresar jamás. Con este motivo, el científico Carl Sagan fue encargado para mandar un "mensaje en una botella" mediante estas dos naves para posibles civilizaciones extraterrestres.

La sonda Voyager 2 fue lanzada el 20 de agosto de 1977. Dos semanas después, el 5 de septiembre de 1977 es lanzada la Voyager 1. El 5 de marzo de 1979, la Voyager 1 alcanza Júpiter, y aprovechando su tirón gravitatorio partirá en un viaje de un año y medio a Saturno, al que llega en noviembre de 1980. Por su parte, la Voyager 2 llega a Júpiter en julio del 79 y a Saturno en agosto del 81, 9 meses más tarde que la Voyager 1.

Los científicos encargados de la misión decidieron aprovechar a la Voyager 1 para el estudio de Titán (satélite de Saturno), por lo que se cancelaría su viaje a Urano y Neptuno. Este tirón gravitatorio hizo a la sonda entrar en una órbita hiperbólica en el sistema heliocéntrico habiendo superado la velocidad de escape, poniendo rumbo a los confines de nuestro Sistema Solar.

Por su parte, la Voyager 2 visitó Urano en 1986 y Neptuno en 1989, para después pasar a convertirse, al igual que su hermana, en una sonda interestelar. 

Localización actual de las Voyager

En agosto de 2006, la Voyager 1 superó la distancia de 100 UA del Sol, superando asimismo a las sondas Pioneer y conviertiéndose en el objeto fabricado por el ser humano más alejado de nosotros. En 2005 supera el frente de choque de terminación, para pasar a la heliofunda con rumbo a la heliopausa.

El 13 de septiembre de 2013, la sonda Voyager 1 alcanza el espacio interestelar (no en abandonar el Sistema Solar, que se extiende hasta la nube de Oort, a 2000 UA del Sol). Acualmente su velocidad parece estar decreciendo, hecho que causa controversia entre la comunidad científica y que ya se comentó en la entrada de Materia Oscura.

Según la página web de la misión, acualmente la Voyager 1 se encuentra a 137 UA del Sol, algo más de 20.000 millones de kilómetros, y la Voyager 2 a 113 UA, tardando la información que nos mandan más de 30 horas en llegarnos.

Futuro de la misión

 

Actualmente la misión es controlada por 10 científicos, corriendo el riesgo de ser abandonada. Los motores termonucleares de las sondas les permitirán funcionar hasta, como mínimo, 2025. Después de ese momento, sus operativos irán apagándose hasta convertirse en objetos inertes y fríos vagando por el espacio dirigiéndose hacia el centro de nuestra galaxia. Ambas sondas emiten señales con una potencia de 20 W y son detectadas por las enormes antenas de la Red de Espacio Profundo, como las de Robledo de Chavela (Madrid). Hay otra antena en EEUU y otra en Australia. Para hacernos una idea, estas antenas son capaces de detectar el equivalente a una bombilla de 20 W a una distancia de más de 20 mil millones de kilómetros...

Robledo de Chavela, Madrid, España.

Como ya comenté, las sondas transportan mensajes de la Tierra a posibles civilizaciones extraterrestres, como un mensaje en una botella. Contienen música, saludos en diversos idiomas, fotografías y un mapa indicando la posición de la Tierra en el Sistema Solar, y la de éste en la Vía Láctea "triangulando" con púlsares.

Órbitas seguidas por las sondas

 

A continuación entraré en detalle al estudio de la Física de los viajes, es decir, el cálculo ilustrativo de las órbitas y el efecto del tirón gravitatorio. Lo que aquí se explica no es lo que se realizó en realidad, pues la Voyager 1 fue acelerada en Júpiter y Saturno y se modificó la misión, y nosotros aquí solo estudiaremos el paso por Júpiter para entender cómo funciona el tirón gravitatorio.

Supongamos que queremos enviar una sonda de la Tierra (órbita circular pequeña) a Urano (órbita circular grande) en una órbita elíptica (en rojo). Dado que Urano se encuentra a 19,2 UA del Sol y la Tierra a 1 UA, la órbita en el sistema heliocéntrico vendrá dada por 

$$r(\theta)=\frac{1.92 \ UA}{1+0.9\cos\theta}$$

pues es la ecuación de una elipse con su excentricidad previamente calculada a partir de los semiejes de la órbita. El tiempo que tardará en llegar lo calcularemos mediante la Tercera Ley de Kepler: si $T$ es el periodo de la órbita y $\tau$ es un año,

$$t=\frac{T}{2}=\frac{\tau}{2}\left(\frac{a}{r_T}\right)^{3/2}\approx 16 \ años$$

Siendo $a$ el semieje mayor de la órbita y $r_T$ la distancia de la Tierra al Sol. Como la energía se conserva, puede verse que la velocidad en función de $r$ vendrá dada por

$$v^2=2GM_S\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2a}\right)$$

Para el perihelio, es decir $r=r_T$, esta velocidad es de 41 km/s. Si además le sumamos la velocidad de escape en la Tierra (11 km/s), necesitaríamos comunicarle una velocidad de 52 km/s a nuestra sonda, una verdadera barbaridad. Sin embargo, esta velocidad es respecto al sistema heliocéntrico. Como la Tierra en este sistema orbita a 30 km/s, solo necesitaríamos otorgarle 22 km/s a la sonda, y si lanzamos desde el ecuador aprovechando la rotación terrestre, la velocidad acaba reduciéndose a 21,5 km/s.

Ahora estudiemos el caso de la imagen superior. Pasaremos con la nave cerca de Júpiter para aprovechar su tirón gravitatorio, acelerar nuestra nave y desviar la trayectoria. Esto puede ser entendido como un choque elástico en el sistema de referencia de Júpiter. Denotaremos con $v$ al vector velocidad en el sistema heliocéntrico, $v^*$ en el sistema de Júpiter y $V_J$ a la velocidad de Júpiter en el sistema heliocéntrico. Con esta notación es evidente que 

$$v=V_J+v^*\Rightarrow v^*=v-V_J$$

Si calculamos la velocidad orbital de Júpiter obtenemos unos 13 km/s, y si calculamos la velocidad de nuestra sonda para $r=r_J$ resulta ser de 16 km/s. Para determinar $v^*$ necesitamos conocer el ángulo $\beta$, para lo cual emplearemos que el momento angular se conserva. Si $v_p$ es la velocidad en perihelio, es claro que

$$r_T v_p=r_Jv\cos\beta\Rightarrow\cos\beta=1/2\Rightarrow v^*= 14,7 \ km/s$$

Como el choque es elástico, esta velocidad se conserva en módulo (no así en dirección) en el sistema de Júpiter. Por tanto la velocidad final en el sistema heliocéntrico será

$$v_f=V_J+v^*_f$$

$v_f$ será máximo si conseguimos que $v^*_f$ salga tangente a la órbita de Júpiter. En ese caso es claro que $v_f=27.7 \ km/s$. El ángulo $\theta^*$ de dispersión en el sistema CM puede calcularse de forma sencilla dibujándose un diagrama con las velocidades antes y después del choque, y resulta ser de 110º. Este ángulo no deja de ser el que forma la velocidad de salida de la nave con la velocidad inicial en el sistema CM. 

Por otra parte, calculándonos el ángulo de dispersión en función del parámetro de impacto $b$, obtenemos que 

$$\tan\left(\theta^*/2\right)=\frac{GM_J}{b{v^*}^2}$$

De donde se obtiene que $b\approx 400.000 \ km$, unas 5 veces su radio. De esta forma nos aseguramos la no colisión física. Cálculándonos la nueva órbita en el sistema de Júpiter conocida la energía y la excentricidad de la curva tendríamos 

$$r(\theta)=\frac{4,3R_J}{1+1,22\cos\theta}$$

Por último tenemos que transformar esta ecuación al sistema heliocéntrico. Para ello necesitaremos simplemente el nuevo momento angular y energía de la sonda. Puede verse que $L=mv_fr_J$ y $E=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{GM_Sm}{r_J}$ o $r_J=\frac{v_f^2r_J^2}{GM_S(1+\epsilon)}$, ecuaciones que se obtienen al resolver el problema de los dos cuerpos y que no deduciremos hoy aquí. De esta guisa es inmediato llegar a que

$$r(\theta)=\frac{23.6 \ UA}{1+3,54\cos\theta}$$

en el sistema heliocéntrico. Es evidentemente una órbita hiperbólica pues $\epsilon>1$ y $E>0$. Calculando la energía podemos deducir que la velocidad a distancias donde la atracción solar es despreciable es del orden de 20 km/s. Si tenemos en cuenta que la velocidad real de la Voyager 1 es actualmente de 17 km/s, nuestras aproximaciones y suposiciones no son tan malas a fin de cuentas.

En realidad, el parámetro de impacto fue mayor para poder interceptar a Saturno en su órbita, por lo que la velocidad de salida no fue tan grande. Después, la Voyager 1 volvió a acelerarse en Saturno, repitiendo el mismo procedimiento que hemos hecho con Júpiter, pero teniendo en cuenta que la velocidad orbital de Saturno es menor.

Trayecto seguido por las Voyager

En esencia, en este tipo de maniobras, se trata de "frenar un poco" a un planeta muy masivo como Júpiter y aprovechar esa energía para acelerar enormemente una sonda de masa despreciable. Podemos hacer un balance de energías en el sistema heliocéntrico para ver que efectivamente esto es así:

$$\Delta E_{nave}=\frac{1}{2}m\left(v_f^2-v_0^2\right)=-\Delta E_J=-\frac{1}{2}\left(v_0^2-v_f^2\right)=2\cdot 10^{11} \ J$$

Este aumento de energía de la nave nos permite saber cuánto disminuye la velocidad de Júpiter, resultando ésta ser del orden de 10 nm/s. Podemos entonces decir que Júpiter no se frena en absoluto, pues 10 nm/s frente a sus 13 km/s es prácticamente cero.

Espero que hayáis disfrutado con esta entrada. No os olvidéis de compartirla.

Un saludo!

Esa tan temida...Entropía

Este es uno de los conceptos a los que los alumnos de Física nos tenemos que enfrentar casi a diario. Es muy famosa la ecuación que nos dice que la entropía siempre aumenta en un sistema aislado, pero ¿qué es realmente la entropía?

Muchos la definen como el "grado de desorden" de un sistema. Los sistemas más desordenados tendrán una entropía mayor que los más ordenados. Pero sigo pensando que esta definición es demasiado confusa. Sin embargo, una de las maneras más ingeniosas en que me han explicado el concepto es: "la entropía es el tamaño del pen drive en el que está metido toda la información que nos falta por saber de un sistema". Simplemente genial. Vamos con ello:

Supóngase que tenemos cuatro bolitas y cuatro agujeros con distinto número de huecos como se muestra en las imágenes inferiores. Comencemos con un solo hueco:

Es evidente que en este caso las bolitas solo se pueden colocar de una sola forma. Dicho de otra manera, las combinaciones totales posibles son $\Omega=1$. 

Es bien sabido que a los físicos les gusta tomar logaritmos en todos los sitios, así que yo digo que la entropía $S$ de un sistema se calcula como $S=k\log\Omega$. En el caso de la imagen superior sale que $S=0$ puesto que $\log 1=0$. De momento nos olvidaremos de las unidades y de la constante $k$.

Veamos un ejemplo con varios huecos, en este caso tres:

 

Aunque también pueden colocarse las bolitas de más formas, como esta:

Y podemos encontrar hasta 81 combinaciones en total. En este caso $\Omega=81$ y por tanto la entropía será distinta de cero. Calculándola, $S=k\log\Omega=6\cdot 10^{-23}$, que equivale a un número muy muy muy diminuto, tan pequeño como comparar un átomo con la distancia entre el Sol y la estrella más cercana.

Ahora imaginemos que hacemos de nuevo el experimento de las bolitas en los agujeros pero no podemos ver cómo están colocadas. Solo nos dicen el número de huecos que hay. Si hay un solo hueco, sabemos que la única posición posible es que cada una esté en un hueco. Lo sabemos todo, el pen drive de lo que no sabemos está vacío.

Con dos huecos ya hay más opciones, ya no lo sabemos todo. El pen drive de las cosas que no sabemos ya tendrá algo de información. 

Con veinte huecos, hay muchísimas opciones, más de tres mil millones. Necesitaremos un pen drive mucho mayor. Con 100 huecos hay un número inimaginable de posibilidades. Y con $6,023\cdot 10^{23}$, ni te cuento.

La entropía es, por tanto, el tamaño del pen drive en el que está toda la información que desconocemos. Ahora es fácil ver aquello del desorden, pues a mayor entropía, mayores posibilidades. Las bolitas están más descolocadas con veinte huecos que con uno.

Originalmente el concepto físico de la entropía se deriva del Segundo Principio de la Termodinámica. Se define como sigue:

$dS=\displaystyle\frac{\delta Q}{T}$

Y es una función de estado. Además solo puede calcularse para procesos reversibles. Realizando la integral correspondiente en el caso de un gas ideal a presión constante en el que cambia el volumen, obtenemos que:

$\Delta S=nR\log\displaystyle\frac{V_1}{V_2}$

Ahora supongamos que, de repente, todas las moléculas de un gas ideal se encuentran hacinadas en un volumen $V_2<V_1$, siendo $V_1$ el volumen del recipiente en que está el gas. La probabilidad de que la molécula 1 esté ahí es $\Omega=V_2/V_1$. La probabilidad de que estén la 1 y la 2 es $\Omega=(V_2/V_1)^2$. La probabilidad de que estén las $N$ moléculas será $\Omega=(V_2/V_1)^N$. Tomando logaritmos:

$\log\Omega=N\log{\displaystyle\frac{V_2}{V_1}}$

Recordando que de la Termodinámica se tiene que $\Delta S=nR\log\frac{V_1}{V_2}$ y ordenando un poquito ambas ecuaciones, es claro que:

$\Delta S=k\log\Omega$

Ya que $k=\displaystyle\frac{R}{N_A}$.

Por tanto hemos visto cómo a partir de la definición termodinámica de la entropía como $dS=\displaystyle\frac{\delta Q}{T}$ hemos llegado a la definición de "desorden" que tanto se escucha: $\Delta S=k\log\Omega$.

Pues bien, el Segundo Principio de la Termodinámica nos dice que en un sistema aislado, la entropía (o desorden) del sistema siempre aumenta. Matemáticamente, $\displaystyle\frac{dS}{dT}\geq 0$. ¿Es esto siempre cierto? Sí y no. 

Supongamos un gas como en el ejemplo de antes. La variación de entropía a presión constante podría calcularse como $\Delta S=nR\log\frac{V_1}{V_2}$. El valor que vamos a obtener va a ser cero, porque el volumen siempre va a ser el mismo...¿o no? Imaginemos que en un instante dado todas las moléculas se encuentran en una de las dos mitades del recipiente. En este caso, puesto que $V_1>V_2$, ¡LA ENTROPÍA DISMINUYE! ¿Por tanto el Segundo Principio es falso y todo es una gran mentira? 

Quieto parado amigo. Un gas normal tiene del orden de $10^{23}$ moléculas. Como vimos al principio de la entrada, podemos calcular la probabilidad de que las moléculas estén en una posición o en otra. Como cuantos más huecos en el ejemplo de las bolitas las posibilidades eran cada vez mayores, con tantas moléculas las posibilidades son casi infinitas. Esto quiere decir que para que la entropía disminuyese realmente, deberían de pasar miles de billones de años. 

Hemos de recordar que la Termodinámica es una descripción macroscópica de la realidad. Es evidente que con tres partículas la entropía sí que disminuiría en el tiempo, pero es que con tres partículas no hablamos de Termodinámica, sino de Mecánica Cuántica. En el ámbito de aplicación del Segundo Principio de la Termodinámica, con millones y millones y millones de partículas, éste siempre se cumple. Por tanto podemos concluir con esta frase de Homer:

Quizá pueda resultar interesante un fragmento de la obra "La última pregunta" de Isaac Asimov donde habla de la disminución de la entropía en el Universo. Si la lees, te dejará sin palabras. Puedes encontrarla en mi sección Archivos.

Muchas gracias y compartan!

¿Cómo se producen las mareas?

Para concluir esta triada de entradas relacionadas con las mareas, hoy hablaré de la explicación física de las propias mareas. Las otras dos publicaciones son El Efecto Marea y los Corales y la duración del día.

La relación entre las aceleraciones de dos sistemas, uno inercial y el otro no inercial, se halla así:

Ahora esquematicemos el sistema Tierra-Luna:

Sea una masa m localizada en la superficie terrestre. Por simplicidad, consideremos que la Tierra no gira sobre su eje y que la hidrosfera recubre toda la superficie del planeta. La masa solo está afectada gravitacionalmente por la Tierra y la Luna, de momento. La segunda ley de Newton sobre esta masa desde el sistema centro de masas nos permite escribir:

 Donde E es el empuje hidrostático y el vector a se refiere al sistema centro de masas.

Como consideramos la masa estática desde el sistema Tierra (despreciamos efecto Coriolis), así como que exista vector rotación ni su primera derivada temporal, en la ecuación deducida de (1) solo nos queda:

Donde el vector radio estrella es el que va desde el CM del sistema Tierra-Luna al centro de la Tierra. Como decíamos, por Newton podíamos escribir:

Siendo el vector F el que compensa a E para que la masa m esté en reposo. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y el centro de masas del sistema es:

 Y aplicando la Ley de la Gravitación de Newton podemos hallar la velocidad angular tal que:

Podemos decir, finalmente, que la fuerza F es:

Si nos fijamos, el primer término es simplemente la atracción terrestre. Teniendo solo en cuenta este primer término, no se producirían las mareas, por lo que el segundo y el tercer miembro de la ecuación son los generadores de mareas. De este modo llamamos f a la fuerza generadora de mareas de forma que:

Un esquema ilustrativo sobre nuestro planeta podría ser el siguiente:

Ahora procedamos a calcular cuál es el tiempo que transcurre entre dos mareas. Aparentemente puede parecer que son 12h, es decir, dos pleamares y dos bajamares diarias, pero mientras gira la Tierra sobre su eje, la Luna ha recorrido un pequeño ángulo de su órbita, variando la posición del centro de masas.

En la figura superior, las mareas altas se producen en la línea que une los centros de la Tierra y la Luna. En un instante inicial, nos encontramos en el punto A'. Queremos hallar el tiempo que transcurre hasta que nos encontremos en A. Como, desde la Tierra, el CM gira a la misma velocidad angular que la Luna, nuestra posición angular respecto al centro de la Tierra y la posición del punto A son, respectivamente,

Resolviendo el sistema obtenemos que el periodo T de las mareas es:

Podemos ver en la siguiente página una Tabla con las mareas de Gran Canaria. Como observamos, hay pequeás variaciones de minutos por las aproximaciones y simplificaciones hechas, además de por no tener en cuenta el liger efecto del Sol.

Para concluir la entrada, os dejo un vídeo ilustrativo que resume un poco todo.

Un saludo!

Deducción de la Tercera Ley de Kepler

A comienzos del siglo XVII, Johannes Kepler elaboró tres leyes que se cumplían en todos los planetas del Sistema Solar. Para ello se valió de los datos cedidos por su amigo el astrónomo Brahe y sus grandes dotes matemáticas. Las tres leyes son las siguientes:

1. Las órbitas de los planetas son planas y elípticas, con el Sol en uno de sus focos.

2. El vector posición que une el Sol con cada planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, debido al principio de conservación del momento angular.

3. Hay una relación de proporcionalidad entre el cuadrado del periodo de traslación y el cubo de la distancia media de cada planeta al Sol.

Nos vamos a centrar en la tercera ley y a intentar deducirla:

La fuerza de atracción del Sol debe ser igual a la fuerza centrífuga, para mantener a cada planeta en un órbita estable. Vamos a deducir la tercera ley de Kepler a partir de esta afirmación.

Igualando fuerza gravitatoria a fuerza centrífuga:

Recordemos la Tercera Ley de Kepler:

Por semejanza a la fórmula anterior, hallamos k en unidades del SI:

Esa constante (en segundos al cuadrado/metros cúbicos) es común a todos los cuerpos que orbiten en torno a otro. Para calcularla solo tenemos que despejar las constantes. G es la constante de la gravitación universal y Ms es la masa del Sol (en este caso).

Vamos a intentar hallar la constante de la gravitación universal según la fórmula que hemos obtenido, para observar que es correcta:

Y efectivamente, funciona.

En la entrada sobre ¿Cómo descubrieron Neptuno? puedes ver una aplicación práctica de lo comentado en la entrada de hoy.

Si quieres leer la demostración de la Segunda Ley de Kepler, clic aquí.

Si quieres echar un vistazo a la primera ley de Kepler, clic aquí.

Nos vemos en la siguiente entrada. 

Un saludo muy fuerte.