¿Cómo se producen las mareas?

Para concluir esta triada de entradas relacionadas con las mareas, hoy hablaré de la explicación física de las propias mareas. Las otras dos publicaciones son El Efecto Marea y los Corales y la duración del día.

La relación entre las aceleraciones de dos sistemas, uno inercial y el otro no inercial, se halla así:

Ahora esquematicemos el sistema Tierra-Luna:

Sea una masa m localizada en la superficie terrestre. Por simplicidad, consideremos que la Tierra no gira sobre su eje y que la hidrosfera recubre toda la superficie del planeta. La masa solo está afectada gravitacionalmente por la Tierra y la Luna, de momento. La segunda ley de Newton sobre esta masa desde el sistema centro de masas nos permite escribir:

 Donde E es el empuje hidrostático y el vector a se refiere al sistema centro de masas.

Como consideramos la masa estática desde el sistema Tierra (despreciamos efecto Coriolis), así como que exista vector rotación ni su primera derivada temporal, en la ecuación deducida de (1) solo nos queda:

Donde el vector radio estrella es el que va desde el CM del sistema Tierra-Luna al centro de la Tierra. Como decíamos, por Newton podíamos escribir:

Siendo el vector F el que compensa a E para que la masa m esté en reposo. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y el centro de masas del sistema es:

 Y aplicando la Ley de la Gravitación de Newton podemos hallar la velocidad angular tal que:

Podemos decir, finalmente, que la fuerza F es:

Si nos fijamos, el primer término es simplemente la atracción terrestre. Teniendo solo en cuenta este primer término, no se producirían las mareas, por lo que el segundo y el tercer miembro de la ecuación son los generadores de mareas. De este modo llamamos f a la fuerza generadora de mareas de forma que:

Un esquema ilustrativo sobre nuestro planeta podría ser el siguiente:

Ahora procedamos a calcular cuál es el tiempo que transcurre entre dos mareas. Aparentemente puede parecer que son 12h, es decir, dos pleamares y dos bajamares diarias, pero mientras gira la Tierra sobre su eje, la Luna ha recorrido un pequeño ángulo de su órbita, variando la posición del centro de masas.

En la figura superior, las mareas altas se producen en la línea que une los centros de la Tierra y la Luna. En un instante inicial, nos encontramos en el punto A'. Queremos hallar el tiempo que transcurre hasta que nos encontremos en A. Como, desde la Tierra, el CM gira a la misma velocidad angular que la Luna, nuestra posición angular respecto al centro de la Tierra y la posición del punto A son, respectivamente,

Resolviendo el sistema obtenemos que el periodo T de las mareas es:

Podemos ver en la siguiente página una Tabla con las mareas de Gran Canaria. Como observamos, hay pequeás variaciones de minutos por las aproximaciones y simplificaciones hechas, además de por no tener en cuenta el liger efecto del Sol.

Para concluir la entrada, os dejo un vídeo ilustrativo que resume un poco todo.

Un saludo!

El efecto marea

Como ya mencionamos hace cierto tiempo en la entrada sobre la relación entre los corales y la duración del día terrestre, el período de rotación terrestre está aumentando, es decir, la Tierra se está frenando. Debido a ello, la Luna se aleja de la Tierra. ¿Pero por qué sucede todo esto? La respuesta la encontramos en el llamado "Efecto Marea", que trataremos de analizar en la entrada de hoy.

Partimos de que el momento angular del sistema Tierra-Luna se conserva. Trataremos a la Luna como una masa puntual y despreciaremos el momento de inercia de la Tierra respecto de su eje sobre el de la Luna alrededor de la Tierra. Consideraremos, por simplicidad, que el centro de masas del sistema coincide con el centro de la Tierra.

Las llamadas fuerzas de marea generan un torque que tiende a igualar la velocidad angular de rotación terrestre con la translación de la Luna en torno a nuestro planeta, de modo que en ese momento nuestro satélite se encontrará, aparentemente, en la misma posición en el firmamento.

La conservación del momento angular nos permite escribir que

Calculando el momento de inercia lunar y terrestre, encontramos que el de la Luna es tres órdenes de magnitud superior al de la Tierra, por lo que podemos decir que

En el momento en que los períodos se igualen, se cumplirá la ecuación

que aparece tras igualar la aceleración gravitatoria a la centrípeta.

Teniendo en cuenta el momento angular del sistema, es fácil ver que

lo que implica que la distancia final entre la Tierra y la Luna es 1,4 veces la actual.

Asimismo, la velocidad angular final del sistema vendrá dada por

que se corresponde con un período de unos 46 días actuales.

¿Cuánto se separa la Luna de la Tierra cada año?

Para ello tendremos que hacer un esquema ilustrativo de las fuerzas de marea que actúan sobre la Tierra. En la entrada de hoy despreciaremos la interacción con el Sol. Podríamos considerar el sistema Tierra-Luna de la forma:

Ahora calcularemos las fuerzas que ejerce la Luna sobre cada una de los dos masas. Llamaremos F1 a la fuerza sobre la masa más próxima y F2 a la más lejana. Utilizando la Ley de la Gravitación de Newton y el Teorema del coseno, llegamos a que:

Y por consiguiente, el torque generado por el par de fuerzas sobre la Luna será:

Pero como esto es un blog de Física y a los físicos no les gustan fórmulas tan grandes y feas, vamos a embellecerla un poco. Para ello tenemos en cuenta que D >> r, y tras una serie de cálculos y aproximaciones, llegamos a:

Que es infinítamente más sencilla, totalmente válida y más bonita. Para obtenerla hemos empleado el Teorema del seno además de las simplificaciones anteriormente mencionadas.

Sabemos también que el torque no es más que la primera derivada temporal del momento angular, y aproximando la órbita lunar a una circunferencia:

Introduciendo (1) en (2):

Y finalmente integrando:

Lo que, según la tasa actual de separación, implica que la Luna y la Tierra se alejan 3,4 cm cada año. Esa tasa se va frenando hasta el punto en que, cuando la variación de momento angular de la Luna se anule, sea cero. En ese instante desaparecerán las fuerzas de marea y la Tierra rotará a la misma velocidad a la que la Luna orbita nuestro planeta. Ambos periodos serán de 46 días.

Finalmente, hay que tener en cuenta que la energía del sistema se pierde debido a la viscosidad del agua en forma de calor. Una buena aproximación es que un 10% de la energía de subida del nivel del mar en una marea se disipa. Sabiendo aprovechar esta pérdida, podríamos producir en un año el equivalente a 10 mil millones de barriles de petróleo, la tercera parte de la energía consumida anualmente a nivel planetario. Yo creo que es una buena excusa para invertir en este tipo de energías.

Si quieres avanzar más y saber cómo se producen las mareas, haz clic aquí.

¡Un saludo y hasta la próxima!

Los corales y la duración del día terrestre

Existen formas indirectas, como el depósito de sedimentos de un glaciar o las estrías de algunos corales, que nos permiten saber que hace millones de años el día duraba menos que en la actualidad. Hoy nos vamos a centrar en cómo podemos saber, a partir de un coral, que la rotación terrestre se está ralentizando y por qué.

Fósil de Calceola sandalina donde se pueden apreciar estrías de
crecimiento. 

Este coral es un fósil guía del Devónico medio, una etapa del Paleozoico que transcurre entre hace 395 y 385 millones de años.

Cada día, este coral desarrollaba una fina estría debido a las mareas. Las estrías se agrupan en franjas más grandes que corresponden al mes lunar, y estas a su vez se agrupan anualmente. En la especie de coral de la imagen, se han observado unas 400 estrías diarias por cada franja anual, es decir, el año en la época en que vivió el graciar duraba 400 días.

No será necesario considerar el aumento de la duración del periodo de rotación de la Tierra alrededor del Sol. En función de su potencia de radiación, de su masa y de la distancia Tierra-Sol se puede determinar que hace 400 millones de años el "año" era 27 minutos más corto. Como esos "27 minutos" son 13 órdenes de magnitud inferiores a los 400 millones de años, podemos despreciarlos. 

A partir del Principio de conservación del momento angular en el sistema Tierra-Luna (ya que la fuerza gravitatoria no produce momento respecto a la Tierra) y aproximando la órbita de la Luna alrededor de la Tierra como circular, podemos demostrar que una disminución en la velocidad angular de rotación de la Tierra sobre su eje conlleva una disminución (no proporcional) en la velocidad angular de traslación de la Luna en torno a nuestro planeta. Eso significa que la distancia entre ambos astros aumenta con el tiempo, para que se conserve el momento angular.

Podemos expresar la distancia entre la Tierra y la Luna en función de algunos parámetros que hemos utilizado a lo largo de esta entrada.

Luego gracias al número de estrías del coral, podemos saber que el día era más corto hace 400 millones de años, y que la distancia a la Luna era menor.


Hasta la próxima, que probablemente sea ya en verano debido a la PAU.

Un saludo!

Eclipses Lunares

Como muchos ya sabrán, y más si aman el mundo de la astronomía, durante los próximos meses sucederán 4 eclipses lunares, lo que se conoce como tétrada. Aprovechando la ocasión, he decidido escribir una entrada sobre los eclipses lunares.

¿Cuándo y cómo se produce un eclipse lunar?

Un eclipse de Luna se produce cuando el Sol, la Tierra y la Luna se alinean en ese orden. Para que ocurra, nuestro satélite debe estar en fase de Luna Llena. Debido al mayor tamaño de la Tierra con respecto de la Luna, nuestro planeta "hace sombra" a nuestro satélite, bloqueando los rayos solares y produciéndose el eclipse, como vemos en esta imagen:

Esquema de un eclipse lunar

Según observamos en la imagen, se crean dos zonas de sombra: la zona de "penumbra", donde solo llegan algunos rayos solares; y la zona de "umbra", donde la oscuridad es total ya que la Tierra bloquea la luz solar. Dependiendo de la zona en la que se encuentre la Luna durante el eclipse, clasificamos estos de tres maneras:

• Eclipse Penumbral, en el que la Luna atraviesa la zona de penumbra.
• Eclipse Parcial, en el que nuestro satélite pasa por las dos zonas.
• Eclipse Total, en el que la Luna se encuentra en su totalidad en la zona de umbra.

Así, desde la superficie de la Tierra, podemos ver dos zonas: La zona más roja de la imagen coincide con el lugar donde podemos observar la umbra, y por tanto el eclipse es total. La zona menos roja corresponde con la penumbra, donde el eclipse es parcial o penumbral, y la zona no teñida de rojo son los puntos donde el eclipse no es observable. En la imagen superior, el eclipse total es visible desde el océano Pacífico y la zona oeste del continente americano. En los límites del eclipse (en este caso China, Francia...) podríamos ver la Luna poniéndose por el horizonte mientras sale el Sol por el lado contrario.

Así evoluciona la Luna durante un eclipse:

El momento en el que la luna se encuentra en tonos rojizos corresponde cuando atraviesa la zona de umbra, y cuando la luna adquiere tonos grises significa que se encuentra en la zona penumbral. 

Desde la Tierra, la zona de umbra y penumbra ocupan un lugar en el espacio semejante al de la siguiente imagen:

Si durante un eclipse la Luna se encuentra en la umbra, el eclipse es total y la luna se tiñe de rojo. Si se encuentra en la Penumbra, el eclipse es parcial o penumbral y se tiñe de gris.

Ahora que ya tenemos una mayor noción sobre los eclipses de Luna, pasaremos a entender por qué la Luna se colorea de rojo durante un eclipse.

¿Por qué durante el eclipse vemos la Luna roja?

La razón, una vez más, se debe a la refracción de la luz. En varias entradas he explicado la refracción, como en La radiación de Cherenkov o en ¿Por qué el cielo es azul?

La luz cambia de velocidad al pasar de unos medios transparentes a otros. Como consecuencia de ese cambio de velocidad, se produce una curvatura de los rayos luminosos, tal como vemos en la imagen inferior:

Ese grado de curvatura aumenta con la frecuencia. Vemos que los rayos más desviados (azul, violeta...) son aquellos con frecuencias más altas. Como c=λv, siendo c la velocidad de la luz en el vacío, λ la longitud de onda y v la frecuencia, a mayor frecuencia la longitud de onda es menor. De esta manera obtenemos que la luz que menos se curva es la que tiene mayor longitud de onda.

La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todas las longitudes de onda, pero en otros medios transparentes esto no es así. Los colores con una longitud grande (rojo) reducen menos la velocidad que los que poseen longitudes más pequeñas (azul). Entonces el índice de refracción del color azul es mayor que el índice de refracción de la luz roja. De este modo, el azul se desviará más que el rojo al pasar de un medio a otro, como veíamos en la imagen de arriba.

Los rayos solares se refractan al pasar por la atmósfera. Como podemos ver en la imagen, los rayos rojos se curvan menos que los azules (y que el resto). De este modo, durante un eclipse lunar, la única luz que puede llegar a la Luna es la roja, que se refleja y nosotros observamos.

Esta es la explicación de por qué durante los eclipses lunares vemos la luna de color rojizo.

El próximo eclipse Lunar tendrá lugar el 15 de abril de 2014, a las 7:48 UTC. El siguiente el 8 de octubre de 2014 a las 10:54 UTC. Ambos son eclipses totales, que podrás ver online y en directo gracias al Proyecto Europeo Gloria, liderado por un astrónomo del Instituto Astrofísico de Canarias. El enlace a la página es el siguiente: http://live.gloria-project.eu/. También podrás verlo desde aquí: Eclipse en Vivo

Para unite a una videoconferencia en directo desde California, clic aquí: Hangouts Lunar Eclipse Live.

Para ver el eclipse desde la página de la NASA: Watch the Total Lunar Eclipse

Espero que hayan disfrutado leyendo esta entrada, y que disfruten más aún con los eclipses que nos aguardan. Un saludo y hasta la próxima!

Los puntos de Lagrange

Los puntos de Lagrange, descubiertos por Joseph-Louis Lagrange en el siglo XVIII, son lugares entre dos cuerpos masivos donde un tercer cuerpo de masa despreciable está en estabilidad gravitacional. En la práctica, son lugares del espacio donde podemos colocar satélites o sondas ya que las fuerzas gravitacionales en ese punto se anulan, lo que le otorga gran estabilidad a ese tercer cuerpo. En el sistema de rotación Tierra-Sol, como en general, existen 5. Veámoslos:

Puntos de Lagrange.

L1

En este punto, la atracción gravitatoria del Sol es compensada por la atracción terrestre. Se calcula facilmente igualando las dos fuerzas gravitatorias opuestas:

Atracción Gravitatoria del Sol = Atracción Gravitatoria de la Tierra

Distancia Tierra-Sol = 150.000.000 Km

A partir de esos datos y conociendo las masas de los dos cuerpos, halamos que L1 se encuentra a 1.500.000 km de la superficie terrestre. Orbita a la misma velocidad angular que la Tierra, conque aparentemente está fijo. La fuerza de la gravedad que lo atrae hacia el Sol se anula con la que lo atrae hacia nosotros.

Aquí encontramos los satélites SOHO y ACE, entre otros.

L2

Este punto se encuentra en dirección opuesta al anterior, detrás de la Tierra. Describe su órbita a la misma velocidad angular que la Tierra, pero con un radio mayor. Si no fuese por la atracción terrestre que contrarrestra a esa fuerza centrífuga, los satélites allí alojados saldrían disparados. Se encuentran aparentemente estáticos desde el punto de vista de un observador en la Tierra.

Aquí encontramos al famoso WMAP, satélite que estudia el fondo de microondas cósmico.

L3

L3 se encuentra a una distancia parecida a la Tierra del Sol, pero en sentido opuesto. Gira en torno al centro de gravedad entre la tierra el Sol (que no es exactamente el propio Sol, si no un punto cercano a la superficie solar que es el centro de masas entre la Tierra y el Sol), y por tanto está un poco más cerca del Sol que la Tierra.

En la práctica es un lugar muy inestable, porque Venus pasa relativamente cerca suyo cada 20 meses aproximadamente. No es práctico la colocación de sondas allí. 

L4 y L5

Estos dos últimos puntos, los más estables, se encuentran orbitando en torno al baricentro de las masas de los dos cuerpos grandes. Forman un triángulo equilátero con ángulos de 60º con respecto a ellos. En el caso del resto de los puntos, cualquier mínima desviación puede ser catastrófica. Sin embargo, L4 y L5 son matemáticamente y físicamente más estables. Si te interesa la demostración matemática donde se deducen estos puntos, clic aquí. Colocar un satélite en L1, L2 o L3 es como colocar una canica encima de una bola de billar, son necesarios continuos reajustes para perfeccionar su órbita. En cambio, en L4 y L5, es como colocar la canica en un cenicero: mucho más estable.

Puntos de Lagrange entre la Tierra y el Sol

Un saludo, espero que os haya gustado esta entrada. Compartidla y dejad en los comentarios de qué queréis que hable la semana que viene.

Nos vemos en la próxima, saludos!

¡La Luna a 40 pasos!

¿Cuántas veces tenemos que doblar un folio para llegar a la Luna? La respuesta resultará increíble: 42.

Veremos ahora el porqué:

Un taco de 500 folios tiene un grosor de 5 cm aproximadamente. Si dividimos el grosor entre el número de folios, obtenemos que cada folio tiene un grosor de tan solo 0,1 mm.

Si doblamos por la mitad el folio, su grosor será el doble (0,2 mm); la segunda vez ya será 0,4 mm; la siguiente, 0,8 mm...y así sucesivamente, duplicándose el grosor en cada doblez:

Folio original: 0,1 mm

1ª Doblez: 0,1 · 2 mm

2ª Doblez: 0,1 · 2 · 2 mm

3ª Doblez: 0,1 · 2 · 2 · 2 mm

Así, cada vez que doblamos, multiplicamos por dos el grosor. En la doblez 10, el grosor será 2^10 veces mayor. Si observamos la siguiente tabla y su correspondiente gráfica, observamos cómo crece el grosor con respecto al número de veces que doblamos el folio:

Tabla de valores

Gráfica de la función

Nos encontramos ante un crecimiento exponencial. Aunque al principio el grosor aumente poco, a mediada que seguimos doblando aumenta muchísimo. Cuando lo doblamos x veces, su grosor será 2^x veces mayor.

La distancia media entre la Tierra y la Luna es de 384.400 Km. Ahora intentaremos expresar todo esto de forma matemática, sin olvidar de indicar todo en las mismas unidades. Igualaremos el grosor de la doblez nº X a la distancia entre la Tierra y la Luna, para así despejar la X y saber cuántas veces hay que doblar el papel.

Aplico el Cambio de Base para poder realizar la operación con mi calculadora.

Es decir, doblando un folio tan solo 42 veces...¡PODEMOS LLEGAR A LA LUNA!

Matemáticamente esto queda muy bonito, pero físicamente dudo que puedas llegar a doblar el folio más de 7 u 8 veces. Si se pudiese hacer, la superficie del folio sería muy inferior, exactamente 2^42 veces más pequeña. Es como si tuviésemos una superficie cuadrada de 1200 átomos de lado (unos pocos nanómetros cuadrados)...algo que a simple vista es imposible contemplar.

Aplicando los mismos pasos, y conociendo la distancia al Sol (149.600.000 Km) tenemos que el número de veces que necesitamos doblar un folio es aproximadamente 50 (50,4 exactamente).

¡Para llegar al Sol, solo tendríamos que doblar el folio 8 veces más!

Y más sorprendente aún, mediante el mismo procedimiento solo tendríamos que doblar un folio 81 veces para llegar al centro de la Galaxia...y solamente dos veces más para llegar de punta a punta de ella...¡INCREÍBLE!

Intentad doblar un folio 42 veces y dejáis en los comentarios qué tal vuestro paseo lunar. Dejad también en los comentarios temas para mi siguiente entrada que intentaré publicar este fin de semana. Tengo pensado preparar algo chulo sobre Relatividad, pero lo dejaré para dentro de una o dos semanas, así que proponed ideas.

Un Saludo Científicos,

HASTA OTRA!