Deducción de la Tercera Ley de Kepler

A comienzos del siglo XVII, Johannes Kepler elaboró tres leyes que se cumplían en todos los planetas del Sistema Solar. Para ello se valió de los datos cedidos por su amigo el astrónomo Brahe y sus grandes dotes matemáticas. Las tres leyes son las siguientes:

1. Las órbitas de los planetas son planas y elípticas, con el Sol en uno de sus focos.

2. El vector posición que une el Sol con cada planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, debido al principio de conservación del momento angular.

3. Hay una relación de proporcionalidad entre el cuadrado del periodo de traslación y el cubo de la distancia media de cada planeta al Sol.

Nos vamos a centrar en la tercera ley y a intentar deducirla:

La fuerza de atracción del Sol debe ser igual a la fuerza centrífuga, para mantener a cada planeta en un órbita estable. Vamos a deducir la tercera ley de Kepler a partir de esta afirmación.

Igualando fuerza gravitatoria a fuerza centrífuga:

Recordemos la Tercera Ley de Kepler:

Por semejanza a la fórmula anterior, hallamos k en unidades del SI:

Esa constante (en segundos al cuadrado/metros cúbicos) es común a todos los cuerpos que orbiten en torno a otro. Para calcularla solo tenemos que despejar las constantes. G es la constante de la gravitación universal y Ms es la masa del Sol (en este caso).

Vamos a intentar hallar la constante de la gravitación universal según la fórmula que hemos obtenido, para observar que es correcta:

Y efectivamente, funciona.

En la entrada sobre ¿Cómo descubrieron Neptuno? puedes ver una aplicación práctica de lo comentado en la entrada de hoy.

Si quieres leer la demostración de la Segunda Ley de Kepler, clic aquí.

Si quieres echar un vistazo a la primera ley de Kepler, clic aquí.

Nos vemos en la siguiente entrada. 

Un saludo muy fuerte.

Los puntos de Lagrange

Los puntos de Lagrange, descubiertos por Joseph-Louis Lagrange en el siglo XVIII, son lugares entre dos cuerpos masivos donde un tercer cuerpo de masa despreciable está en estabilidad gravitacional. En la práctica, son lugares del espacio donde podemos colocar satélites o sondas ya que las fuerzas gravitacionales en ese punto se anulan, lo que le otorga gran estabilidad a ese tercer cuerpo. En el sistema de rotación Tierra-Sol, como en general, existen 5. Veámoslos:

Puntos de Lagrange.

L1

En este punto, la atracción gravitatoria del Sol es compensada por la atracción terrestre. Se calcula facilmente igualando las dos fuerzas gravitatorias opuestas:

Atracción Gravitatoria del Sol = Atracción Gravitatoria de la Tierra

Distancia Tierra-Sol = 150.000.000 Km

A partir de esos datos y conociendo las masas de los dos cuerpos, halamos que L1 se encuentra a 1.500.000 km de la superficie terrestre. Orbita a la misma velocidad angular que la Tierra, conque aparentemente está fijo. La fuerza de la gravedad que lo atrae hacia el Sol se anula con la que lo atrae hacia nosotros.

Aquí encontramos los satélites SOHO y ACE, entre otros.

L2

Este punto se encuentra en dirección opuesta al anterior, detrás de la Tierra. Describe su órbita a la misma velocidad angular que la Tierra, pero con un radio mayor. Si no fuese por la atracción terrestre que contrarrestra a esa fuerza centrífuga, los satélites allí alojados saldrían disparados. Se encuentran aparentemente estáticos desde el punto de vista de un observador en la Tierra.

Aquí encontramos al famoso WMAP, satélite que estudia el fondo de microondas cósmico.

L3

L3 se encuentra a una distancia parecida a la Tierra del Sol, pero en sentido opuesto. Gira en torno al centro de gravedad entre la tierra el Sol (que no es exactamente el propio Sol, si no un punto cercano a la superficie solar que es el centro de masas entre la Tierra y el Sol), y por tanto está un poco más cerca del Sol que la Tierra.

En la práctica es un lugar muy inestable, porque Venus pasa relativamente cerca suyo cada 20 meses aproximadamente. No es práctico la colocación de sondas allí. 

L4 y L5

Estos dos últimos puntos, los más estables, se encuentran orbitando en torno al baricentro de las masas de los dos cuerpos grandes. Forman un triángulo equilátero con ángulos de 60º con respecto a ellos. En el caso del resto de los puntos, cualquier mínima desviación puede ser catastrófica. Sin embargo, L4 y L5 son matemáticamente y físicamente más estables. Si te interesa la demostración matemática donde se deducen estos puntos, clic aquí. Colocar un satélite en L1, L2 o L3 es como colocar una canica encima de una bola de billar, son necesarios continuos reajustes para perfeccionar su órbita. En cambio, en L4 y L5, es como colocar la canica en un cenicero: mucho más estable.

Puntos de Lagrange entre la Tierra y el Sol

Un saludo, espero que os haya gustado esta entrada. Compartidla y dejad en los comentarios de qué queréis que hable la semana que viene.

Nos vemos en la próxima, saludos!

Efecto Coriolis

Apuesto a que alguna vez has oído aquello de que los huracanes giran en un sentido en el Hemisferio Norte, y en sentido contrario en el Sur. ¿A qué se debe? La respuesta la hallaremos gracias a Gaspard Coriolis, ingeniero y matemático francés del siglo XIX, que describió el llamado EFECTO CORIOLIS.

Como vemos en la imagen, dependiendo de en qué hemisferio te encuentres, los vientos girarán de una u otra manera. Vamos a intentar explicar esto:

Primero tenemos que saber que la Tierra gira sobre sí misma, con una velocidad de unos 1600 km/h en el ecuador y reduciéndose a medida que aumentamos la latitud. De este modo, al cabo de 24 horas, consigue dar una vuelta completa. La velocidad en el ecuador es mayor que cerca de los polos, porque recorre un ángulo igual en el mismo tiempo, pero con un radio mayor.

Si un avión quiere ir en línea recta desde un punto hacia otro, está claro que debido a la rotación, el suelo se estará moviendo debajo suyo, como vemos en esta imagen:

Debido a la rotación terrestre, el avión que intente ir en línea recta (línea negra), acaba curvándose hacia la derecha porque el suelo "se mueve bajo sus pies". La línea azul es el movimiento del avión para un obsrvador desde el espacio, y la línea roja es la curva que una persona desde la superficie terrestre observaría. En esta otra animación, podemos ver que realices el movimiento que realices en cualquier parte del Hemisferio Norte, la desviación siempre será "hacia la derecha" de tu destino:

Mientras tanto, en el Hemisferio Sur ocurre al contrario: todos los movimientos son desviados "hacia la izquierda", debido a que es lo mismo que mirar las animaciones anteriores boca abajo girando en sentido contrario. 

Hasta aquí ya tenemos que los cuerpos que no estén en la superficie terrestre y se desplacen, tales como corrientes marinas, aire, aviones...quedarán desviados hacia la derecha si están en el Norte y hacia la izquierda si están en el Sur. Este efecto se está frenando, ya que cada vez la Tierra gira más despacio (debido al efecto marea producido por la Luna). La inercia del avión ha de considerarse como una fuerza que frena al Efecto Coriolis, pero no lo anula. Observando esta trayectoria REAL de un avión, observamos el enorme efecto que la rotación terrestre ejerce sobre él, tanto que si no fuese por la precisión de los controladores aéreos, acabarían a cientos de kilómetros de su destino:

La línea negra en este caso no es la menor distancia entre Madrid y Nueva York, debido al Efecto Coriolis.

El efecto se intensifica a grandes distancias.

Esto mismo ocurre en los huracanes: se producen por una enorme diferencia de presión entre su centro, "el ojo del huracán", y su zona circundante. La zona central es menos densa, por lo que el aire intentará desplazarse hacia ella. En el Hemisferio Norte se curvan hacia la derecha, formando una espiral con giro antihorario; mientras que en el Sur se curvan hacia la izquierda, formando un giro horario:

La línea roja (Norte) se desvía hacia la derecha, mientras que la verde (Sur) lo hace hacia la izquierda.

Mucha gente piensa que el agua en los lavabos gira como los huracanes: en un sentido en cada Hemisferio. Esto no se puede explicar por el Efecto Coriolis, ya que este solo tiene efecto en largas trayectorias, porque es un efecto relativamente débil, y solo visible en movimientos lentos o de más de 5 kilómetros. En numerosas películas atribuyen el desvío de proyectiles militares, tales como balas, a este efecto. Tampoco es correcto por su poca distancia de acción.

Esta fuerza es usada, por ejemplo, a la hora de hacer despegar un trasbordador espacial. Se lanzan desde una latitud muy pequeña (cercanos al ecuador) para aprovechar al máximo esta fuerza debido a que allí la fuerza centrífuga en la superficie es mayor (ya que describen el mismo ángulo que en cualquier otro punto, pero con un radio mayor, lo que aumenta la velocidad lineal). Además salen dirigidos ligeramente hacia el este, para aprovechar el giro terrestre e impulsarse. ¿Por qué te crees que la zona de despegue de la NASA es Cabo Cañaveral, al sur de EEUU? Todo tiene su porqué...

Espero que os haya resultado de interés la entrada de hoy, dejadme comentarios con vuestras impresiones sobre este tema del que tan poco se sabe, al menos científicamente. Comentad sobre qué temas queréis que hable en adelante...

Un saludo!

Hasta la próxima!