¿Cómo se producen las mareas?

Para concluir esta triada de entradas relacionadas con las mareas, hoy hablaré de la explicación física de las propias mareas. Las otras dos publicaciones son El Efecto Marea y los Corales y la duración del día.

La relación entre las aceleraciones de dos sistemas, uno inercial y el otro no inercial, se halla así:

Ahora esquematicemos el sistema Tierra-Luna:

Sea una masa m localizada en la superficie terrestre. Por simplicidad, consideremos que la Tierra no gira sobre su eje y que la hidrosfera recubre toda la superficie del planeta. La masa solo está afectada gravitacionalmente por la Tierra y la Luna, de momento. La segunda ley de Newton sobre esta masa desde el sistema centro de masas nos permite escribir:

 Donde E es el empuje hidrostático y el vector a se refiere al sistema centro de masas.

Como consideramos la masa estática desde el sistema Tierra (despreciamos efecto Coriolis), así como que exista vector rotación ni su primera derivada temporal, en la ecuación deducida de (1) solo nos queda:

Donde el vector radio estrella es el que va desde el CM del sistema Tierra-Luna al centro de la Tierra. Como decíamos, por Newton podíamos escribir:

Siendo el vector F el que compensa a E para que la masa m esté en reposo. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y el centro de masas del sistema es:

 Y aplicando la Ley de la Gravitación de Newton podemos hallar la velocidad angular tal que:

Podemos decir, finalmente, que la fuerza F es:

Si nos fijamos, el primer término es simplemente la atracción terrestre. Teniendo solo en cuenta este primer término, no se producirían las mareas, por lo que el segundo y el tercer miembro de la ecuación son los generadores de mareas. De este modo llamamos f a la fuerza generadora de mareas de forma que:

Un esquema ilustrativo sobre nuestro planeta podría ser el siguiente:

Ahora procedamos a calcular cuál es el tiempo que transcurre entre dos mareas. Aparentemente puede parecer que son 12h, es decir, dos pleamares y dos bajamares diarias, pero mientras gira la Tierra sobre su eje, la Luna ha recorrido un pequeño ángulo de su órbita, variando la posición del centro de masas.

En la figura superior, las mareas altas se producen en la línea que une los centros de la Tierra y la Luna. En un instante inicial, nos encontramos en el punto A'. Queremos hallar el tiempo que transcurre hasta que nos encontremos en A. Como, desde la Tierra, el CM gira a la misma velocidad angular que la Luna, nuestra posición angular respecto al centro de la Tierra y la posición del punto A son, respectivamente,

Resolviendo el sistema obtenemos que el periodo T de las mareas es:

Podemos ver en la siguiente página una Tabla con las mareas de Gran Canaria. Como observamos, hay pequeás variaciones de minutos por las aproximaciones y simplificaciones hechas, además de por no tener en cuenta el liger efecto del Sol.

Para concluir la entrada, os dejo un vídeo ilustrativo que resume un poco todo.

Un saludo!

El efecto marea

Como ya mencionamos hace cierto tiempo en la entrada sobre la relación entre los corales y la duración del día terrestre, el período de rotación terrestre está aumentando, es decir, la Tierra se está frenando. Debido a ello, la Luna se aleja de la Tierra. ¿Pero por qué sucede todo esto? La respuesta la encontramos en el llamado "Efecto Marea", que trataremos de analizar en la entrada de hoy.

Partimos de que el momento angular del sistema Tierra-Luna se conserva. Trataremos a la Luna como una masa puntual y despreciaremos el momento de inercia de la Tierra respecto de su eje sobre el de la Luna alrededor de la Tierra. Consideraremos, por simplicidad, que el centro de masas del sistema coincide con el centro de la Tierra.

Las llamadas fuerzas de marea generan un torque que tiende a igualar la velocidad angular de rotación terrestre con la translación de la Luna en torno a nuestro planeta, de modo que en ese momento nuestro satélite se encontrará, aparentemente, en la misma posición en el firmamento.

La conservación del momento angular nos permite escribir que

Calculando el momento de inercia lunar y terrestre, encontramos que el de la Luna es tres órdenes de magnitud superior al de la Tierra, por lo que podemos decir que

En el momento en que los períodos se igualen, se cumplirá la ecuación

que aparece tras igualar la aceleración gravitatoria a la centrípeta.

Teniendo en cuenta el momento angular del sistema, es fácil ver que

lo que implica que la distancia final entre la Tierra y la Luna es 1,4 veces la actual.

Asimismo, la velocidad angular final del sistema vendrá dada por

que se corresponde con un período de unos 46 días actuales.

¿Cuánto se separa la Luna de la Tierra cada año?

Para ello tendremos que hacer un esquema ilustrativo de las fuerzas de marea que actúan sobre la Tierra. En la entrada de hoy despreciaremos la interacción con el Sol. Podríamos considerar el sistema Tierra-Luna de la forma:

Ahora calcularemos las fuerzas que ejerce la Luna sobre cada una de los dos masas. Llamaremos F1 a la fuerza sobre la masa más próxima y F2 a la más lejana. Utilizando la Ley de la Gravitación de Newton y el Teorema del coseno, llegamos a que:

Y por consiguiente, el torque generado por el par de fuerzas sobre la Luna será:

Pero como esto es un blog de Física y a los físicos no les gustan fórmulas tan grandes y feas, vamos a embellecerla un poco. Para ello tenemos en cuenta que D >> r, y tras una serie de cálculos y aproximaciones, llegamos a:

Que es infinítamente más sencilla, totalmente válida y más bonita. Para obtenerla hemos empleado el Teorema del seno además de las simplificaciones anteriormente mencionadas.

Sabemos también que el torque no es más que la primera derivada temporal del momento angular, y aproximando la órbita lunar a una circunferencia:

Introduciendo (1) en (2):

Y finalmente integrando:

Lo que, según la tasa actual de separación, implica que la Luna y la Tierra se alejan 3,4 cm cada año. Esa tasa se va frenando hasta el punto en que, cuando la variación de momento angular de la Luna se anule, sea cero. En ese instante desaparecerán las fuerzas de marea y la Tierra rotará a la misma velocidad a la que la Luna orbita nuestro planeta. Ambos periodos serán de 46 días.

Finalmente, hay que tener en cuenta que la energía del sistema se pierde debido a la viscosidad del agua en forma de calor. Una buena aproximación es que un 10% de la energía de subida del nivel del mar en una marea se disipa. Sabiendo aprovechar esta pérdida, podríamos producir en un año el equivalente a 10 mil millones de barriles de petróleo, la tercera parte de la energía consumida anualmente a nivel planetario. Yo creo que es una buena excusa para invertir en este tipo de energías.

Si quieres avanzar más y saber cómo se producen las mareas, haz clic aquí.

¡Un saludo y hasta la próxima!

Los corales y la duración del día terrestre

Existen formas indirectas, como el depósito de sedimentos de un glaciar o las estrías de algunos corales, que nos permiten saber que hace millones de años el día duraba menos que en la actualidad. Hoy nos vamos a centrar en cómo podemos saber, a partir de un coral, que la rotación terrestre se está ralentizando y por qué.

Fósil de Calceola sandalina donde se pueden apreciar estrías de
crecimiento. 

Este coral es un fósil guía del Devónico medio, una etapa del Paleozoico que transcurre entre hace 395 y 385 millones de años.

Cada día, este coral desarrollaba una fina estría debido a las mareas. Las estrías se agrupan en franjas más grandes que corresponden al mes lunar, y estas a su vez se agrupan anualmente. En la especie de coral de la imagen, se han observado unas 400 estrías diarias por cada franja anual, es decir, el año en la época en que vivió el graciar duraba 400 días.

No será necesario considerar el aumento de la duración del periodo de rotación de la Tierra alrededor del Sol. En función de su potencia de radiación, de su masa y de la distancia Tierra-Sol se puede determinar que hace 400 millones de años el "año" era 27 minutos más corto. Como esos "27 minutos" son 13 órdenes de magnitud inferiores a los 400 millones de años, podemos despreciarlos. 

A partir del Principio de conservación del momento angular en el sistema Tierra-Luna (ya que la fuerza gravitatoria no produce momento respecto a la Tierra) y aproximando la órbita de la Luna alrededor de la Tierra como circular, podemos demostrar que una disminución en la velocidad angular de rotación de la Tierra sobre su eje conlleva una disminución (no proporcional) en la velocidad angular de traslación de la Luna en torno a nuestro planeta. Eso significa que la distancia entre ambos astros aumenta con el tiempo, para que se conserve el momento angular.

Podemos expresar la distancia entre la Tierra y la Luna en función de algunos parámetros que hemos utilizado a lo largo de esta entrada.

Luego gracias al número de estrías del coral, podemos saber que el día era más corto hace 400 millones de años, y que la distancia a la Luna era menor.


Hasta la próxima, que probablemente sea ya en verano debido a la PAU.

Un saludo!

Péndulo de Foucault

Hoy en día, gracias a la existencia de satélites, podemos comprobar que la Tierra se mueve. Pero, ¿cómo demostró esto León Foucault hace más de 150 años?

Primero debemos recordar la Ley de la Inercia de Newton, publicada en su famoso libro Principia Mathematica, que es además el libro donde nace la física moderna. Esta ley dice que todo cuerpo conservará su estado de reposo o de movimiento rectilineo uniforme a no ser que actúe una fuerza (o varias cuya resultante no sea nula) sobre él. Esto indica que un cuerpo sobre el que no actue una fuerza no va a variar su movimiento. Una pelota que se mueva en línea recta no variará su movimiento si no hay fuerzas que actúen sobre ella.

En un péndulo "ideal", la energía mecánica se conserva. La energía cinética (relacionada con la velocidad) más la potencial (relacionada con la altura) en cualquier punto siempre será la misma y, si no tenemos en cuenta el rozamiento, sobre él no actuará más fuerzas que la gravedad. Entonces el péndulo siempre se moverá en línea recta si no aplicamos fuerzas sobre él. 

El experimento que realizó Foucault a mediados del siglo XIX fue colgar una bola de cañón de la cúpula de una catedral a modo de péndulo. En la parte de abajo colocó una aguja para que el péndulo dejase marcada su trayectoria en el suelo, tal que así:

Bola de cañón con aguja abajo para dejar la marca de su trayectoria

Después de varias horas de oscilación del péndulo, el resultado del experimento fue el siguiente:

Resultado del experimento de Foucault

Bajo el péndulo se apreciaban marcas como las del dibujo. Si el movimiento del péndulo es rectilineo, pero aparentemente "va girando", quiere decir que "el suelo se mueve bajo el péndulo". Dicho de otro modo, la Tierra se mueve. 

Debido a la rotación terrestre, y dado que el péndulo no cambia de dirección nunca, observamos que la trayectoria del péndulo parece ir rotando, cuando lo único que rota es nuestro planeta. La explicación técnica a este efecto la encontramos en el efecto Coriolis, una fuerza originada debido a la rotación terrestre que es la causante del giro de los huracanes. Puedes leerla aquí.

Puedes realizar un símil de este experimento en casa, colocando una cartulina en el suelo y colgando del techo una cuerda atada a algo esférico (no demasiado ligero) y a una mina de lápiz. Mientras dure el efecto de la oscilación, ve moviendo la cartulina como si fuese nuestro planeta rotando sobre sí mismo. También puedes esperar a que ocurra de forma natural, pero necesitas paciencia...

Evidentemente este aparente movimiento no será igual en todos los puntos del planeta. Mientras que en los polos el péndulo tarda 24 horas en completar una vuelta (lo que tarda la Tierra en dar una vuelta sobre sí misma), a medida que nos acerquemos al ecuador tardará más. En el ecuador, dado que el plano de oscilación es perpendicular al eje de rotación, el péndulo oscilará en la misma linea siempre. La fórmula que relaciona el periodo (tiempo en volver a un mismo plano de oscilación) y la latitud a la que se encuentre el péndulo, es la siguiente: 

T=24/sen ß  siendo ß el ángulo de la latitud donde se encuentre el péndulo.

A partir de la fórmula deducimos que en los polos (latitud 90º, sen 90º = 1) el periodo es de un día, mientras que en el ecuador no existe periodo dado que no varía el plano de oscilación. En Salamanca, una ciudad de España con una latitud de 40º 58', el tiempo que tarda el péndulo en completar una vuelta es de 36 horas y 36 minutos. 

Las siguiente fotografías y el vídeo pertenecen al péndulo de la Facultad de Físicas de la Universidad de esta ciudad, Salamanca:

Al igual que en la mayoría de facultades de Ciencias, este péndulo lo hallamos en miles de museos por todo el mundo, dada su gran relevancia. 

Gracias por haber leído esta entrada. Compartidla a quién penséis que le pueda interesar.

Nos vemos en la próxima.

¡UN SALUDO! 

Efecto Coriolis

Apuesto a que alguna vez has oído aquello de que los huracanes giran en un sentido en el Hemisferio Norte, y en sentido contrario en el Sur. ¿A qué se debe? La respuesta la hallaremos gracias a Gaspard Coriolis, ingeniero y matemático francés del siglo XIX, que describió el llamado EFECTO CORIOLIS.

Como vemos en la imagen, dependiendo de en qué hemisferio te encuentres, los vientos girarán de una u otra manera. Vamos a intentar explicar esto:

Primero tenemos que saber que la Tierra gira sobre sí misma, con una velocidad de unos 1600 km/h en el ecuador y reduciéndose a medida que aumentamos la latitud. De este modo, al cabo de 24 horas, consigue dar una vuelta completa. La velocidad en el ecuador es mayor que cerca de los polos, porque recorre un ángulo igual en el mismo tiempo, pero con un radio mayor.

Si un avión quiere ir en línea recta desde un punto hacia otro, está claro que debido a la rotación, el suelo se estará moviendo debajo suyo, como vemos en esta imagen:

Debido a la rotación terrestre, el avión que intente ir en línea recta (línea negra), acaba curvándose hacia la derecha porque el suelo "se mueve bajo sus pies". La línea azul es el movimiento del avión para un obsrvador desde el espacio, y la línea roja es la curva que una persona desde la superficie terrestre observaría. En esta otra animación, podemos ver que realices el movimiento que realices en cualquier parte del Hemisferio Norte, la desviación siempre será "hacia la derecha" de tu destino:

Mientras tanto, en el Hemisferio Sur ocurre al contrario: todos los movimientos son desviados "hacia la izquierda", debido a que es lo mismo que mirar las animaciones anteriores boca abajo girando en sentido contrario. 

Hasta aquí ya tenemos que los cuerpos que no estén en la superficie terrestre y se desplacen, tales como corrientes marinas, aire, aviones...quedarán desviados hacia la derecha si están en el Norte y hacia la izquierda si están en el Sur. Este efecto se está frenando, ya que cada vez la Tierra gira más despacio (debido al efecto marea producido por la Luna). La inercia del avión ha de considerarse como una fuerza que frena al Efecto Coriolis, pero no lo anula. Observando esta trayectoria REAL de un avión, observamos el enorme efecto que la rotación terrestre ejerce sobre él, tanto que si no fuese por la precisión de los controladores aéreos, acabarían a cientos de kilómetros de su destino:

La línea negra en este caso no es la menor distancia entre Madrid y Nueva York, debido al Efecto Coriolis.

El efecto se intensifica a grandes distancias.

Esto mismo ocurre en los huracanes: se producen por una enorme diferencia de presión entre su centro, "el ojo del huracán", y su zona circundante. La zona central es menos densa, por lo que el aire intentará desplazarse hacia ella. En el Hemisferio Norte se curvan hacia la derecha, formando una espiral con giro antihorario; mientras que en el Sur se curvan hacia la izquierda, formando un giro horario:

La línea roja (Norte) se desvía hacia la derecha, mientras que la verde (Sur) lo hace hacia la izquierda.

Mucha gente piensa que el agua en los lavabos gira como los huracanes: en un sentido en cada Hemisferio. Esto no se puede explicar por el Efecto Coriolis, ya que este solo tiene efecto en largas trayectorias, porque es un efecto relativamente débil, y solo visible en movimientos lentos o de más de 5 kilómetros. En numerosas películas atribuyen el desvío de proyectiles militares, tales como balas, a este efecto. Tampoco es correcto por su poca distancia de acción.

Esta fuerza es usada, por ejemplo, a la hora de hacer despegar un trasbordador espacial. Se lanzan desde una latitud muy pequeña (cercanos al ecuador) para aprovechar al máximo esta fuerza debido a que allí la fuerza centrífuga en la superficie es mayor (ya que describen el mismo ángulo que en cualquier otro punto, pero con un radio mayor, lo que aumenta la velocidad lineal). Además salen dirigidos ligeramente hacia el este, para aprovechar el giro terrestre e impulsarse. ¿Por qué te crees que la zona de despegue de la NASA es Cabo Cañaveral, al sur de EEUU? Todo tiene su porqué...

Espero que os haya resultado de interés la entrada de hoy, dejadme comentarios con vuestras impresiones sobre este tema del que tan poco se sabe, al menos científicamente. Comentad sobre qué temas queréis que hable en adelante...

Un saludo!

Hasta la próxima!