Energía gravitatoria

En Mecánica Clásica entendemos la energía como aquel ente capaz de realizar un trabajo. Si por ejemplo consideramos un campo de fuerzas conservativas, es decir que posean un potencial, podemos definir una energía potencial asociada a dicho campo, que se interpretaría como aquella cantidad de energía necesaria para desplazar una partícula hasta el infinito (o hasta tierra, es decir, donde el campo se anule).

Potencial gravitatorio creado por una distribución esférica de masa $M$.

Consideremos la gravitación Newtoniana, donde el campo de fuerzas viene definido por la Ley de la Gravitación Universal:

$$ \vec F = - G \frac{m_1 m_2}{r^3} \vec r$$

siendo $G$ la constante de la gravitación universal, $m_1$ y $m_2$ las masas de las partículas en interacción y $\vec r$ el vector que las une. El campo es conservativo, pues proviene del potencial gravitatorio 

$$ V = - G \frac{m_1 m_2}{r} $$

ya que $\vec F = -\nabla V$. La energía potencial se define como el potencial por unidad de masa. Si $M=m_1$ es la masa de la partícula que crea el campo y $m_2$ la que lo "siente", la energía potencial será 

$$E = - G \frac{M}{r}$$

La interpretación física es que el valor numérico de $E$ en $r=r_0$ es la energía necesaria para llevar la partícula de $r=r_0$ hasta el infinito, donde no hay influencia gravitatoria. En este sentido, hemos encontrado una expresión local para la energía gravitatoria. Sin embargo, vamos a ver cómo todo se vuelve más complicado cuando nos adentramos en las fauces de la Relatividad General.

Principio de Equivalencia

Recordemos que, según la Segunda Ley de Newton, la fuerza y la aceleración que experimenta un cuerpo de masa $m$ están relacionadas por 

$$\vec F= m \vec a$$

Por otro lado, hemos visto que la fuerza gravitatoria también depende de la masa $m$ de los cuerpos en interacción. La pregunta es, ¿son estas dos masas la misma? Esto es lo que se conoce como Principio de Equivalencia de Galileo.

En principio no tendría por qué. Fijémonos por ejemplo en la Ley de Coulomb, donde la fuerza electrostática depende de la carga $q$ de la partícula, no de la masa. De hecho, dos partículas de igual masa pero distinta carga acelerarán de forma diferente en presencia de un campo eléctrico. Esto es radicalmente distinto a lo que ocurre con el campo gravitatorio, en el que todos los cuerpos caen con la misma aceleración. ¿Qué tiene de especial la Gravitación?

A lo largo de la Historia ha habido multitud de experimentos para tratar de discernir si en efecto la masa gravitatoria (la de la Ley de la Gravitación Universal) es la misma que la masa inercial (la de la Segunda Ley de Newton). Uno de los más famosos fue el ideado por Lóránd von Eötvös, en el que aprovechó la rotación de la Tierra y la aceleración centrífuga correspondiente. En dicha experiencia y en sucesivas mejoras, se ha logrado probar que ambas masas son iguales con un error menor a $10^{-13}$ (en 1999). Actualmente la sonda espacial MicroSCOPE ha logrado llegar a cotas de $10^{-15}$, y se espera que el satélite STEP alcance hasta $10^{-18}$. Así pues, el Principio de Equivalencia de Galileo tiene una gran base experimental. Ahora bien, ¿qué conclusiones podemos obtener de él?

El Principio de Equivalencia de Galileo parece apuntar a que, de algún modo, un sistema de referencia acelerado es equivalente a uno inercial en presencia de un campo gravitatorio. Dado que el campo gravitatorio no es uniforme, esta equivalencia es sólo local. En este sentido, somos capaces de anular el efecto del campo gravitatorio dejándonos caer en él.

El ejemplo típico, atribuido a Einstein, es el del ascensor. Si consideramos un ascensor que asciende con velocidad uniforme y dejamos caer un objeto, éste impactará contra el suelo del ascensor por efecto de la gravedad. Si repetimos el experimento en el espacio (sin gravedad) pero con un ascensor que se mueva de forma acelerada, el resultado va a ser el mismo. Análogamente, la Física en un ascensor inercial en ausencia de gravedad es la misma (localmente) a la que experimentaríamos en un ascensor en caída libre en presencia de un campo gravitatorio. Si en esta situación soltásemos un objeto, éste caería con nosotros, y lo percibiríamos "suspendido" ante nuestros ojos, como un sistema inercial en Relatividad Especial.

Einstein elevó el Principio de Equivalencia a la categoría de postulado para su Teoría de la Relatividad General. Dicho postulado reza:

Todas las leyes de la Física (salvo la gravitación) son las mismas, a escalas suficientemente locales, en un sistema en caída libre en presencia de un campo gravitatorio o en un sistema inercial en ausencia de gravedad.

Una versión alternativa es:

Todas las leyes de la Física (salvo la gravedad) son iguales, localmente, en un sistema inercial en presencia de un campo gravitatorio y en un sistema de referencia acelerado en ausencia de gravedad.

La principal consecuencia de este Postulado es que la gravedad ya no es una fuerza, si no que se trata de un efecto debido a la Geometría del espacio y del tiempo. Y una consecuencia secundaria es la imposibilidad de definir el concepto de energía local gravitatoria en Relatividad General. Veamos por qué.

Energía local gravitatoria

Recordemos que el Principio de Equivalencia nos lleva a abandonar toda esperanza de poder "medir el campo gravitatorio", al igual que Dante al descender al Inferno:

" Lasciate ogni speranza, voi ch'entrate "

Inferno, La Divina Commedia, Dante Alighieri

Esto es debido a que el valor del campo (la métrica) toma valores diferentes en sistemas de referencia distintos. Por ejemplo, un observador en caída libre (coordenadas gaussinas), observa localmente la métrica de Minkowski, es decir, no siente la gravedad. En el límite newtoniano, la energía asociada al campo viene dada por el laplaciano del potencial gravitatorio, de modo que en Relatividad General esperaríamos que ésta dependiese de la métrica $g$ y sus primeras derivadas. Pero por el Principio de Equivalencia, la energía tomaría valores distintos en diferentes sistemas coordenados. Este es el motivo por el cual no se puede definir un tensor local de energía gravitatoria.

Sin embargo, sí que es posible construir un pseudo-tensor local, como por ejemplo el de Landau-Lifshitz. Este objeto no es tensorial, pues se anula en unos sistemas y no en otros, por lo que capta la esencia fundamental del Principio de Equivalencia. Además, a partir de él se pueden construir unas cantidades (masa ADM o momento ADM, en honor a Arnowitt-Deser-Misner, sus descubridores) conservados cuya interpretación es una medida global de la energía gravitatoria. La base matemática para introducir las formas de Landau-Lifshitz es bastante complicada, por lo que definiremos la masa ADM desde otra vía.

Desde los años 60 del siglo pasado se sabe que la formulación hamiltoniana de la Relatividad General (GR) es equivalente a la planteada por Albert Einstein en su teoría. A grandes rasgos, el Hamiltoniano es suma de dos términos: la ligadura hamiltoniana y la ligadura vectorial. Este formalismo canónico se sustenta en una descomposición 3+1 de la GR. Sin embargo, para normalizar el valor de la acción en GR es necesario añadir ciertos términos de frontera al hamiltoniano. Pues bien, precisamente uno de esos términos es la energía ADM:

$$E = \frac{1}{2}\int n^k(\partial_i h_{ik}-\partial_k h_{jj}) dS$$

donde la integral se realiza en la esfera del infinito, cuyo vector normal es $n$ y $h$ denota la métrica asintóticamente plana. Esta energía ADM obtenida desde el formalismo canónico es la misma que se encuentra a través del pseudo-tensor de Landau-Lifshitz.

El ejemplo clásico no trivial es la energía ADM para la métrica de Schwarzschild en coordenadas isotrópicas. Un sencillo cálculo nos permite comprobar que dicha energía es igual a la masa fuente del campo gravitatorio. De esta forma podemos interpretar la energía ADM como una medida global de la energía de campo gravitatorio en Relatividad General. Si añadimos dicha energía como término de frontera al hamiltoniano, el valor numérico de éste resulta ser la energía ADM, recuperando así la noción de que el hamiltoniano es la energía del sistema.

Conclusiones

 

Según hemos visto, el Principio de Equivalencia nos obliga a abandonar la idea de poder medir el campo gravitatorio, y con ello a ser capaces de definir una medida local de energía gravitatoria. Sin embargo, sí que se puede definir una medida global de energía, asociada a la totalidad del campo. Dicha energía (ADM) se puede obtener desde una vía puramente geométrica (a partir de las formas de Landau-Lifshitz) o desde un planteamiento hamiltoniano de la Relatividad General.

Referencias

 

- R. Arnowitt, S. Deser, C. W. Misner, "Gravitation: An introduction to current research. The dynamics of General Relativity". John Wiley, Sons Inc., New York, London (1962).

- R. M. Wald, "General Relativity", The University of Chicago Press, Chicago and London, (1984).

- Y. Choquet-Bruhat, "General Relativity and the Einstein Equations". Oxford Mathematical Monographs, (2009).

 

La materia oscura

La materia oscura es uno de los conceptos que más veces le rondan por la cabeza a los físicos desde mediados del siglo pasado. Veamos qué es este concepto.

Debido a una epidemia de peste, un joven llamado Isaac Newton abandonó temporalmente sus estudios en Cambridge y se retiró a Woolsthorpe, donde entre 1665 y 1667 dedujo las leyes de la mecánica newtoniana, el cálculo diferencial y la Ley de la Gravitación Universal:

$\vec{F}=-G\displaystyle\frac{Mm}{r^3}\vec{r}$

De este modo fue capaz de aunar en una sola ecuación cielo y tierra, ya que la fuerza que hacía caer una manzana de un árbol era la misma que la que mantenía a la Luna en órbita circular.

Ya en tiempos de Galileo se conocía que la aceleración de la gravedad era aproximadamente $g_0=9,8 m/s^2$. Por la segunda ley de Newton, tendríamos que $g_0R_T^2=GM_T$. Como el radio de la Tierra era ya conocido, Newton sabía ya el valor de $G\cdot M$. Igualando la aceleración de la gravedad terrestre sobre la Luna a la fuerza centrípeta, y conocido el radio orbital lunar, Newton predijo con total exactitud el periodo de traslación de la Luna alrededor de nuestro planeta. De este maravilloso modo, especialmente una vez determinado el valor de $G$ por Cavendish en 1798, se podrá determinar la masa de cualquier cuerpo midiendo la velocidad de un cuerpo que orbite en torno a él por la formulita:

$v=\sqrt{\displaystyle\frac{GM}{r}}$

En los años setenta del siglo pasado, se intentó hacer lo mismo con las galaxias, es decir, determinar sus masas a partir de las velocidades de las estrellas que las componen. Como es muy complicado medir la velocidad de las estrellas alrededor de las galaxias, se utiliza el efecto Doppler y el corrimiento al rojo de los espectros emitidos por las estrellas para deteminar sus velocidades.

A esto se dedicaron los científicos Vera Rubin y Kent Ford, midiendo datos de más de sesenta galaxias cuando se dieron cuenta de algo. En efecto, es previsible que cuando más lejos se encuentre una estrella del centro de la galaxia, más despacio debería moverse. Pero lo que realmente ocurría era que todas las estrellas parecían moverse a la misma velocidad. En el gráfico superior, se esperaba que ocurriese algo como (A) pero lo que realmente ocurría era (B). Las soluciones eran simples: o la Ley de Newton no era válida en esos casos...o existía una extraña materia que aumentaba enormemente la masa total de la galaxia: la materia oscura.

Sin meternos en muchos berenjenales, algunos físicos defendían teorías tipo MOND, acrónimo en inglés de Modified Newtonian Dynamics. Defendían incluso que $G$ no era una constante, sino que $G=G(r)$, es decir, que $G$ aumentaba cuando las distancias entre los astros eran grandes, y de ese modo no era necesario postular la existencia de materia oscura. 

En 1915, Einstein presentó su Teoría de la Relatividad General, con lo que pudo comprobar aquellos "huecos" en los que la teoría de Newton no era muy precisa. Un claro ejemplo es la precesión del perihelio de Mercurio. Con ésta, podemos hacer la siguiente corrección a la Ley de la Gravitación Universal:

$F=G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}-\displaystyle\frac{4}{c^2}\cdot \displaystyle\frac{G^2M^2m}{r^3}+...$

Pero aún así no conseguimos solucionar el problema que nos atañe. La solución está en otro fenómeno derivado del genio de Einstein: las lentes gravitacionales.

La masa, según la Teoría de la Relatividad, curva el espacio-tiempo. Esa curvatura es capaz de desviar rayos luminosos. El efecto de una lente gravitacional es la curvatura de los rayos de luz que provienen desde detrás de la lente. El ángulo de desviación es proporcional a la masa de la "lente gravitacional", de modo que disponemos de un método alternativo para conocer las masas de galaxias o cúmulos galácticos. Lo sorprendente es que esta masa resulta ser la misma que la calculada por la Ley de Newton, es decir, tiene que existir esa materia oscura para "rellenar esa masa que nos falta".

Cúmulo "bala" estudiado como choque entre galaxias

En realidad, la mayoría de científicos rechazan las teorías MOND gracias al estudio de choques entre galaxias. En estos choques, las nubes de gas (helio e hidrógeno principalmente) se retrasan respecto de la galaxia, pero esta sigue comportándose como una lente gravitacional, a pesar de que la mayor parte de la masa ordinaria de una galaxia se debe a la nube de gas. Esto es prueba clara de la existencia de materia oscura, de una naturaleza distinta a la de la materia ordinaria.

Gracias a un estudio exhaustivo sobre la radiación de fondo de microondas, es posible deducir la existencia de materia oscura y su proporción respecto a la materia ordinaria. A partir del mapa de la imagen inferior y del análisis de las diferencias en la densidad o temperatura de las ondas recibidas, hemos podido deducir que la densidad de materia en el Universo es un 32% de la densidad crítica, de la cual un 5% es materia ordinaria y un 27% materia oscura. Actualmente se cree que el universo es plano, es decir, que su densidad es igual a la densidad crítica, de modo que el 68% que falta corresponde a "algo" diferente: a energía oscura. Es notable mencionar que los datos teóricos obtenidos del análisis del fondo de micrrondas concuerdan a la perfección con las medidas sobre la cantidad de materia en el universo.

Fondo cósmico de micrrondas. Satélite Planck.

La pregunta ahora es: ¿de qué está hecha la materia oscura? O mejor dicho, ¿de qué no está hecha?

Debe estar formada por alguna partícula que aún no hayamos detectado, y debería interaccionar muy poco o nulamente con el resto de la materia. No puede estar formada por protones, neutrones ni electrones: de lo contrario los cálculos de la nucleosíntesis primitiva no coincidirían con los observados. Tampoco puede estar formada por partículas con carga, y debe ser muy estable, al menos su vida debería ser superior a la edad del universo. Por último, tampoco puede interaccionar mucho consigo misma y ha de ser fría, para que de este modo se agrupe de la manera en que lo hace.

Estudios realizados con supercomputadoras ofrecen mapas de materia oscura muy semejantes a los medidos experimentalmente si aceptamos como hipótesis las características antes citadas sobre la materia oscura.

Un candidato a materia oscura fue el neutrino. Debido a su baja interacción con la materia, resulta un buen partido para ser lo que llamamos "materia oscura", pero no cumple la condición de ser frío, pues tiene unas velocidades muy próximas a la de la luz. Además, deberían tener más masa para constituir el 27% de la materia del universo.

Mapa de materia oscura en el universo

La mayor parte de la comunidad científica considera el modelo estándar de la física de partículas como inacabado: es necesaria una nueva Física que explique muchas de las cosas que el modelo estándar deja a medias, entre ellas las partículas básicas constituyentes de la materia oscura. Hablaríamos entonces de partículas exóticas (WIMPs) como el neutralino (partícula super-simétrica del neutrino), los axiones...Entraríamos ya en teorías más nuevas como la Supersimetría, la Teoría de Supercuerdas y demás.

Actualmente hay decenas de experimentos que se están llevando a cabo en todo el mundo que tratan de descubrir alguna de las partículas candidatas a materia oscura, como por ejemplo el experimento ANAIS en el Pirineo aragonés. Pese a todos los esfuerzos empleados, aún no existen evidencias claras del descubrimiento de esta exótica y misteriosa materia.

Cien años de...Relatividad General

 

BIOGRAFÍA

Aunque el título parezca una novela de Gabriel García Márquez, de quien realmente vamos a hablar en la entrada de hoy es de Albert Einstein. 

Nuestra historia no comienza en Macondo, como la de Gabo, sino en la ciudad alemana de Ulm, un 14 de marzo de 1879. Sin duda aquel fue un "Buendía". En tan "premonitoria" fecha nació el pequeño Albert, hijo de Hermann Einstein y de Pauline Koch, de ascendencia judía. 

En 1894, la familia Einstein se traslada a Milán, mientras el joven Albert permanece en Munich continuando sus estudios. En 1896 comenzó a estudiar en la Eidgenossische Technische Hochschule de Zúrich, donde fue alumno del matemático Minkowski, quién más tarde otorgaría el formalismo matemático a las teorías de su alumno.

En 1902, se incorpora a la Oficina de Patentes de Berna, y al año siguiente se casa con Milerva Maric, con quien tendrá tres hijos.

1905 es considerado como el Annus mirabilis de Einstein, por ser su época de producción científica más fructífera. Publicó un gran número de artículos acerca del movimiento browniano, de la naturaleza corpuscular de la luz, de la equivalencia masa-energía y Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento (que está colgado en la sección Archivos de esta página). Aquí surgiría la idea sobre la Teoría de la Relatividad Especial, a la que año y medio atrás dediqué una serie de entradas que puedes leer aquí.

Entre 1910 y 1914, comienzan los problemas matrimoniales entre Milerva y Einstein, que acabarán separándose. En este momento, Einstein comenzará una aventura amorosa con su prima Elsa Löwenthal. Probablemente, el año en que más fama y prestigio científico obtendría, así como grandes dolores de cabeza, fue 1915. En este año, tres frentes se abrieron en torno a él: la Primera Guerra Mundial, el divorcio con Milerva y la "batalla" para completar las ecuaciones de la Relatividad General.  

Fue gracias a un viejo amigo suyo, Marcel Grossmann, quien introdujo a Einstein en el estudio de las superficies no euclídeas en el verano de 1912, que tanta importancia irían a tener en la Teoría que presentaría Einstein tres años más tarde. Fue en esa época cuando Einstein se percató de que C.F. Gauss y su pupilo B. Riemann tenían la llave que necesitaba para completar sus ecuaciones. El matemático lituano Minkowski y antiguo profesor de Albert, tendría suma importancia en este periodo geometrizando la gravedad.

David Hilbert

Entran en escena otros matemáticos como Hilbert (de quien seguro que habrás oido hablar por su Hotel Infinito). David Hilbert, paisano espacial de Kant (aunque obviamente no temporal), comenzó con el estudio y corrección de las ecuaciones de campo de Einstein en 1912, lo que no sentó nada bien al pobre Albert al no haberlo citado en sus conferencias. Se inició así una rivalidad entre el innegable talante matemático de Hilbert y el inigualable instinto físico de Einstein.

El 14 de Noviembre de 1915, Hilbert anunció que había dado con las ecuaciones de campo gravitatorio. En este momento, Einstein trató de ponerse manos a la obra concluyendo su teoría. Cuando descubrió que sus ecuaciones predecían la irregularidad en la órbita de Mercurio y que en campos gravitatorios de baja intensidad sus ecuaciones se reducían a las de Newton, Einstein sufrió una taquicardia. El 25 de noviembre de 1915, hoy hace exactamente cien años, Einstein presentó sus ecuaciones definitivas de campo ante la academia de Berlín, adelantándose a las de Hilbert (marzo de 1916). Señoras y señores, estamos ante un día histórico.

Las asperezas entre Hilbert y Einstein se limaron a partir de entonces, gracias a que Hilbert no reclamó la autoría de las ecuaciones de Einstein.

El 29 de mayo de 1919, Arthur Eddington realizó una expedición científica a la costa de Guinea para contemplar un eclipse total de Sol. Ese día se demostró experimentalmente que la Teoría de la Relatividad General de Albert Einstein era acertada, al predecir la curvatura de un rayo de luz al pasar cerca del Sol.

Arthur Eddington

En 1922, Albert Einstein recibiría el Premio Nobel de Física por su contribución al Efecto Fotoeléctrico. En 1933 se exilia a Estados Unidos donde comienza a trabajar en Princeton, donde coincidirá con otros ilustres como Gödel o von Neumann. 

Fue una persona pacifista, contrario a todo acto de violencia, como pudo comprobarse con su rechazo a la Segunda Guerra Mundial. En boca del propio Einstein, "no sé con qué armas se luchará en la Tercera Guerra Mundial, pero sí sé con cuáles lo harán en la Cuarta Guerra Mundial: palos y piedras". 

En 1952 rechazó el convertirse en presidente del Estado de Israel, y en 1955 muere en Princeton por problemas cardiacos, sin haber logrado su objetivo de unificar todas las fuerzas de la naturaleza en una sola.

 

 

TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL

Pese a todas las ecuaciones planteadas entre 1905 y 1915 en semajante bullicio intelectual, solo las de Einstein consiguieron tal caracter "general". Pero bien, ¿qué es lo que describen tan brillantes ecuaciones?

Cuentan que un día Einstein dialogaba con un carpintero que había caído de un andamio que le dijo: "fue como flotar en el aire". Esa idea tan simple condujo a Einstein hacia una teoría: la Relatividad General. Albert pensó que una persona flotando en el espacio sentiría lo mismo que otra en caida libre, es decir, que si vendásemos los ojos a ambas, no serían capaces de distinguir ambas sensaciones. Asimismo, no es posible distinguir entre estar en reposo sobre la Tierra o estar en un ascensor espacial que acelere con una aceleración g. Esto se conoce como el principio de equivalencia.

Einstein se dio cuenta de que la fuerza gravitatoria descrita por Newton dependía de la distancia, pero años atrás demostró que aquélla era relativa según la velocidad del observador. Algo semejante ocurría con el tiempo: no se encontraba explícitamente en la famosa ecuación de Newton, lo cual violaba el postulado básico de la Relatividad (ninguna partícula con masa puede moverse a una velocidad mayor que la de la luz en el vacío). Esto implicaba que necesitaba encontrar una teoría sobre la gravedad relativista.

Fue el matemático lituano Hermann Minkowski quien despejó el camino para que las ideas de Einstein pudiesen ser expresadas un lenguaje matemático más formal. A partir del "espacio" y del "tiempo", creó el "espacio-tiempo". Ahora el tiempo es una coordenada más, matemáticamente equivalente a "anchura", "altura" y "profundidad". De este modo, el espacio-tiempo adquiere un sentido puramente geométrico.

Analogía 4D - 3D

Las trayectorias de los objetos por un espacio de dimensión 3 pasan a convertirse en movimientos en 4 dimensiones denominados geodésicas. Se pueden encontrar imágenes de este tipo para ilustrar esto mismo:

 

La forma de estas trayectorias depende de la masa, es decir, la masa distorsiona el espaciotiempo. Suele ponerse el ejemplo de la bola de bolos sobre una sábana y una canica dando vueltas alrededor. La masa determina la curvatura del espacio-tiempo y ésta determina las trayectorias de los cuerpos. Esta relación viene descrita en la famosa ecuación de Einstein, el mayor logro de la mente humana para algunos.

En palabras de Wheeler, "el espacio le dice a la materia cómo debe moverse, y la materia le dice al espacio cómo debe curvarse".

CONSECUENCIAS

Es obvio que esta teoría es uno de los más magníficos constructos de la mente humana, tanto por su belleza como por sus posteriores repercusiones. Poco a poco se fue introduciendo en el resto de ramas de la Física. Quizá no hizo muy buenas migas con la Mecánica Cuántica, pero esa es otra historia.

También tuvo sus consecuencias negativas, aunque siempre por fallos humanos, no de la teoría. Con esto me refiero a las bombas atómicas de Hiroshima y Nagasaki en 1945, que nos demuestran el impacto que tuvo la ralatividad en la Física Nuclear. Absolutamente todos los efectos que predice la relatividad han sido medidos en el laboratorio: la contracción temporal, la curvatura de la luz por la presencia de un cuerpo masivo y demás. 

Actualmente, la gravedad no puede ser descrita de la misma forma que las otras tres fuerzas fundamentales. Por ello mismo se intenta comaginar las cuatro en una sola fuerza, para lo cual los físicos recurren a dimensiones más altas. Es interesante un libro de Michio Kaku titulado Hiperespacio, que puedes adquirir para ebook en mi sección Archivos. 

A Einstein y a su magnífica teoría, junto a la Mecánica Cuántica, le debemos todo el avance tecnológico del siglo XX. Sin estas teorías, no estarías leyendo este blog, al menos digitalmente. Tampoco exisiría casi ningún dispositivo electrónico, y mucho menos ordenadores, tablets, smartphones...

Otra magnífica prueba de la Relatividad General es el GPS. Para determinar la posición de tu coche, tu dispositivo GPS se "pone en hora" con cuatro satélites a la vez. De este modo, cada satélite puede determinar la distancia a la que se encuentra el dispositivo, construyendo una esfera con todos los puntos posibles en los que puede localizarse. La intersección de las respectivas cuatro esferas de cada satélite es, en efecto, un punto: tu posción. 

La sincronización entre los satélites y el GPS es vital. Teniendo en cuenta que el tiempo no transcurre a la misma velocidad para el satélite que para nosotros (por efectos gravitatorios y por la velocidad), es necesario incluir en la programación de los GPS las ecuaciones de Einstein, o si no un viaje de París a Moscú puede acabar en Roma, y no especialmente porque todos los caminos lleven a ella.

LECTURAS Y VIDEOS RECOMENDADOS

Recomiendo echar un vistazo a un famoso documental de Brian Greene que puedes ver haciendo clic aquí. Además, puedes encontrar dos de sus libros en formato digital en el siguiente enlace: Archivos. 

Muchos autores de divulgación como Michio Kaku o Stephen Hawking explican muy bien la Teoría de la Relatividad en sus libros, los cuales puedes encontrar en los Archivos de este blog. 

Finalmente, dejo enlaces a varios documentales sobre el tema:

Un saludo y feliz día de la Relatividad General!

Efecto Compton

Uno de los conceptos que más tiempo lleva dando vueltas en la cabeza del ser humano es la luz. A lo largo de la historia, físicos de todo el mundo han ido escribiendo obras sobre la naturaleza de la luz. Diferentes experimentos como el de la doble rendija (Thomas Young, 1801) demostraron que la luz se comportaba como una onda. Incluso Maxwell demostró que la luz era una onda electromagnética.

Pero a principios del siglo XX, la hipótesis corpuscular recobró importancia gracias al efecto fotoeléctrico y al efecto Compton. En la entrada de hoy trataremos éste último.

Arthur H. Compton utilizó el concepto de fotón para explicar la dispersión de los rayos X en 1923. De acuerdo con la teoría ondulatoria, cuando un haz de una determinada frecuencia alcanza un electrón, éste comenzará a vibrar y emitirá nuevas ondas de la misma frecuencia. Pero experimentalmente se demostraba que la frecuencia de las nuevas ondas era menor.

Compton escribiendo la ecuación que lleva su nombre

Compton partió de la expresión relativista de la energía de un fotón de momento p y de la Ley de Planck:

Ahora consideremos el choque entre un fotón y un electrón como se muestra en la figura inferior:

Teniendo en cuenta la conservación del momento lineal en dicho choque, así como de la conservación de la energía.

El 1 denota al rayo incidente, la e al electrón y el 2 al rayo dispersado

Sustituyendo la expresión (1) en (2), podemos obtener la Ecuación de Compton de forma trivial:

De la ecuación resultante se deduce que el fotón dispersado tiene mayor longitud de onda debido a la energía que ha perdido en el choque. Esto demuestra que la luz se comporta como una partícula cuando interacciona con los electrones, es decir, como un cuanto o fotón.

Velocidad de escape y agujeros negros

Prueba a lanzar algo hacia arriba. Seguramente ascienda unos metros y despúes vuelva a caer. Cuanto más fuerte lo tires, más tiempo tarda en caer, ¿no? ¿Nunca te has preguntado a qué velocidad lo tienes que lanzar para que no caiga jamás? Si es así, ¡continua leyendo esta entrada!

De lo que vamos a hablar es de la velocidad de escape: la velocidad mínima que debe de tener un objeto para escapar de la atracción gravitatoria de otro. ¿Cómo podemos calcularla?

Si lanzamos un objeto hacia arriba desde la Tierra, se irá frenando poco a poco hasta que se frene y caiga. Para que el objeto no caiga nunca, su velocidad deberá ser tal que solo llegue a frenarse cuando se encuentre a una distancia infinita de nuestro planeta (supongamos que no influyesen en el objeto otros astros, aunque no es así).

Por tanto, en el infinito, su velocidad tiene que ser 0, por lo que su energía cinética (relacionada con la velocidad) también será 0. ¿Cuánto valdrá su energía potencial?

Dado que consideramos que el objeto se encuentra a una distancia infinita, su energía potencial será 0, al igual que su energía cinética.

Como la gravedad es una fuerza conservativa, la energía mecánica del objeto lanzado (la suma de la cinética y la potencial) es constante, y vale 0. Por lo tanto, se deduce que ambas energías son iguales. Igualandolas obtenemos:

En este caso, R es el radio de la Tierra, G es la constante de la gravitación universal y Mt es la masa de la Tierra. Sustituyendo, nos da que la velocidad de escape de un objeto (no importa su masa) desde la superficie de la Tierra es de unos 11 Km/s.

Por tanto, si consigues lanzar algo hacia arriba a esa velocidad (o mayor), despídete de él...

Los lectores más avispados os preguntaréis qué pasa en un agujero negro. Un agujero negro es un "objeto" que crea un campo gravitatorio tan potente que ni la luz puede escapar de él. Quiere decir que posee una velocidad de escape superior a la de la luz. Igualando la fórmula obtenida anteriormente a la velocidad de la luz:

Hemos obtenido una fórmula en la que R es el radio mínimo de un agujero negro de masa M. Este "radio mínimo" se conoce como radio de Schwarzschild. En el caso de la Tierra, R vale 0,88 cm. ¿Qué significa esto? Significa que si redujésemos todo el planeta Tierra a un tamaño menor al de una canica, su densidad sería tal que se convertiría en un agujero negro, ya que su velocidad de escape sería igual o superior a la de la luz, y como sabemos que nada puede superar esa velocidad, nada* puede escapar de un agujero negro.

A partir de lo hasta aquí obtenido, podemos deducir que la densidad de un agujero negro viene dada por:

Por tanto, la densidad depende del radio: a mayor radio, menor densidad. Un agujero negro de radio 500.000 veces mayor al de la Vía Láctea podría tener una densidad inferior a la del agua.

Esto tiene que ver mucho con la Teoría General de la Relatividad, que dice que el tiempo va ralentizándose a medida que la intensidad del campo gravitatorio aumenta. Cuando esta intensidad equivale a la de un agujero negro, el tiempo se detiene (para un observador situado fuera del agujero negro).

Gracias por haber leído esta entrada. No os olvidéis de votar mi blog en la categoría de Ciencia en los Premios Bitácoras. Votar es muy fácil. Si no sabes cómo, clic aquí.

Hasta la próxima!

*Sin tener en cuenta la supuesta Radiación de Hawking.

Efecto Doppler Relativista

Antes de comenzar, recomiendo leer la entrada anterior (Fórmulas del Efecto Doppler). Gracias al Efecto Doppler se pudo comprobar la Expansión del Universo. En la entrada de hoy combinaremos lo de las tres últimas entradas con la Teoría de la Relatividad Especial de Albert Einstein.

En la entrada anterior hemos considerado el espacio y el tiempo como dimensiones aisladas y absolutas. ¿Pero qué pasa cuando la aproximación entre fuente y observador se aproxima a la velocidad de la luz? Tal y como habíamos dicho en la serie sobre Relatividad Especial, el espacio y el tiempo dependen uno del otro y no son absolutos, sino que dos observadores que se muevan a distintas velocidades pueden medir tiempos y espacios diferentes, y todo ello porque la velocidad de la luz es constante para cualquier observador. A físicos como Albert Einstein o Hendrik Lorentz le debemos estas maravillas.

Recordemos que la Teoría de la Relatividad nace de la idea de que la luz viaja siempre a la misma velocidad en el vacío, tal y como demostró el experimento de Milchelson y Morley.

Supongamos que fabricamos un reloj que funciona con un fotón (partícula asociada a la luz) que rebota entre dos espejos. Cuando rebota, va haciendo tic-tac, como en el del vídeo inferior.

Enlace desde móviles

La distancia d entre los dos espejos es igual a c·t, es decir, la velocidad de la luz por el tiempo que tarda en llegar de un espejo a otro. Dicho de otro modo, el tiempo es igual al espacio entre la velocidad: t = d/c.

Ahora supongamos que introducimos ese reloj en una nave espacial que se mueve a velocidad v. Un astronauta dentro de la nave seguirá oyendo esos tic-tac con la misma frecuencia, ¿pero cómo verá eso una persona desde la Tierra?

Enlace desde móviles

El fotón visto para un astronauta dentro de la nave, sube y baja en línea recta. Pero visto desde fuera, realiza un movimiento en zig-zag, como muestra la imagen inferior. Mediante una serie de sencillas operaciones, deducimos que el tiempo que medía el observador en movimiento (t) es inferior al que mide el observador en reposo (t'):

Eso significa que el tiempo transcurre relativamente más lento para una persona que se mueva que para una en reposo. Si alguien viajase por el espacio a una velocidad de 260.000 km/s durante 50 años, al volver a la Tierra parecería que solo ha envejecido 25 años. A velocidades pequeñas (coches, meteoritos, misiles...), esa dilatación temporal es imperceptible. Necesitaríamos viajar más de 5 millones de años sin parar en coche para que nuestro reloj se atrase solo 1 segundo...antes se queda sin pila...

Una vez repasada la dilatación temporal, podemos comenzar con nuestros típicos ejercicios de imaginación:

Imaginemos que una nave espacial que se mueve hacia nosotros con una velocidad v emite pulsos luminosos a ritmo constante. A nosotros nos interesa calcular la longitud de onda de esos pulsos, entonces contamos el número de ellos que suceden en un tiempo t, y también calculamos cuánto espacio recorre la nave en ese tiempo. Si llamamos N al número de pulsos contados en un intervalo de tiempo t, la longitud de onda será:

A partir de la longitud de onda, hallamos la frecuencia:

Según la Relatividad Especial, la imagen inferior relaciona el periodo medido desde el sistema de referencia del observador (T) y el de la fuente (T'). 

Combinando las ecuaciones (I) y (II), obtenemos:

Racionalizando la expresión superior y simplificándola:

Tenemos que recordar que según el Principio de Relatividad, el movimiento es relativo. Imaginemos que viajamos en coche. Según este principio, es equivalente decir que el coche se mueve respecto a la carretera que decir que la carretera se mueve debajo de las ruedas del coche. Por tanto, no podemos saber si es la fuente la que se mueve o si somos nosotros, solo podremos decir que existe un movimiento.

Dependiendo si fuente y observador se alejan o acercan entre sí, aquí quedan las fórmulas para la frecuencia y la longitud de onda:

Si aumenta la frecuencia, disminuye la longitud de onda y viceversa, ya que c es constante para cualquier sistema de referencia. Otra forma de ver las ecuaciones superiores es considerar positiva la velocidad cuando es de aproximamiento y negativa cuando se alejan, teniendo solo que usar la primera.

Dicho esto, solo nos queda aclarar lo dicho en la entrada sobre la Expansión del Universo.  

Si una estrella se aleja de nosotros, según las ecuaciones superiores, su frecuencia debería disminuir. Por eso mismo se produce el corrimiento al rojo, porque el rojo es el color de menos frecuencia del espectro visible. 

Por el contrario, si una estrella se acerca, se produciría el corrimiento al azul debido al mismo efecto.

Para terminar, un "problema-chiste": Un físico iba pensando en sus ecuaciones sobre la Teoría de Supercuerdas mientras conducía, como cualquier mañana normal. De repente se da cuenta de que le persigue la policía por saltarse un semáforo en rojo, pero como es físico, intenta pensar una escusa rápida. Le dice al policía que no vio el semáforo rojo, sino verde, debido al efecto Doppler. De todos modos, el agente le puso una multa por exceso de velocidad...¿A qué velocidad iba nuestro amigo el físico? Intenta calcularla y deja la respuesta en los comentarios. (La longitud de onda del rojo es de 650 nm y la del verde es de 520 nm). Este problema y su solución están en la sección Ingenio.

Demostración desde la matriz de Lorentz

La ecuación de onda electromagnética, en la imagen inferior, es una invariante relativista.

Luego la fase del campo eléctrico también ha de serlo. Definimos el cuadrivector K como:

Por lo que, en la dirección del movimiento tenemos que:

Y en direcciones perpendiculares a la del movimiento:

Y aquí acaba esta serie de 4 entradas sobre el Efecto Doppler. Si te ha gustado, no olvides compartir y dejar comentarios. Nos "vemos" en la próxima.

Un saludo!

Fórmulas del Efecto Doppler

En entradas anteriores (El Efecto Doppler y La Expansión del Universo) mencionamos una ecuación que nos permitía relacionar la frecuencia emitida (como el sonido "real" que sale de la sirena de una ambulancia) con la frecuencia percibida (sonido "distorsionado" que oímos). En la entrada de hoy vamos a intentar razonar por qué es así:

A. Observador en movimiento y fuente en reposo

El observador somos nosotros, los que percibimos, por ejemplo, un sonido. La fuente es el instrumento que emite ese sonido. Imaginemos un piano sonando y nosotros acercándonos hacia él. Las ondas que emite tienen una longitud de onda constante, pero al acercarnos, la frecuencia con la que nos llegan aumenta. Ahora intentaremos sacar una fórmula que relacione ambas frecuencias dependiendo de la velocidad con la que nos acerquemos (o alejemos):

Esta será la notación que usaremos en la entrada de hoy:

Como la longitud de onda no varía, igualaremos la longitud emitida con la percibida, y despejando obtendremos la ecuación encuadrada:

Cabe destacar que si el observador se aleja de la fuente, el signo "+" del numerador se transforma en un "-", por lo que la frecuencia al alejarnos de un sonido disminuirá y al acercarnos, aumentará.

B. Fuente en movimiento y observador en reposo

Si la fuente se aleja respecto a nosotros, cada pulso nos llega desde más lejos que el anterior, por lo que la longitud de onda aumentará de esta forma:

En el caso de que la fuente se acerque, la longitud de onda disminuiría, por tanto la frecuencia aumentaría y en el denominador de la fórmula encuadrada superior habría que poner un "-" en vez de un "+".

Fórmula General

Vamos a deducir una fórmula general en el caso de que tanto fuente como observador estén en movimiento.

Y como es lógico, combinándolas todas obtenemos la general:

El signo del numerador será "+" cuando el observador se acerque a la fuente, y "-" cuando se aleje. El signo del denominador será "-" cuando la fuente se acerque al observador y "+" cuando se aleje.

En la próxima entrada hablaremos sobre el Efecto Doppler Relativista. 

Hasta entonces! Y no os olvidéis de compartir y comentar ;)

Crear materia a partir de luz

Sí, parece raro afirmar que a partir de algo sin masa como es la luz, podamos crear materia...

Recordando lo dicho en mi última entrada, la energía y la masa son magnitudes muy relacionadas. La ecuación simplificada que utilizaremos para ejemplificar esta situación es:

En la ecuación superior, la E hace referencia a la energía, la m a la masa y la c a una constante que es la velocidad de la luz en el vacío (aprox. 300.000.000 m/s).

Para una 'pequeña' masa de 1 kg, equivaldría una energía de 90.000.000.000.000.000 Julios, es decir, que si lográsemos transformar un solo kilo de masa en energía podríamos mantener encendida una bombilla convencional de 50W durante 57 millones de años...imagínate la energía que produce el Sol transformando cada segundo 4 millones de toneladas de materia en energía mediante la fusión nuclear. 

Más increíble aún, con la masa de un grano de arroz transformada íntegramente en energía, podríamos hacer que un coche de 1000 kg que está parado acelere hasta unos supuestos 420.000 km/h (hipotéticamente, ya que violaría la Teoría de la Relatividad de Einstein), o que un camión cargado con mil coches acelerara hasta 1000 km/h...y sólo con un grano de arroz...

Otro ejemplo es una bomba atómica, mediante la cual con pequeñas masas se pueden crear energías devastadoras. Einstein nos dejó una ecuación, conocimiento, pero no la forma de transformar materia en energía o viceversa.

El ejemplo de la bombilla y el del grano de arroz son solamente ejemplos. Hoy en día no sabemos cómo transformar la masa en energía útil con esas finalidades.

A lo largo del siglo XX numerosos físicos han tenido ideas sobre cómo hacerlo, algunas de las cuales se reflejan en los siguientes diagramas de Feynman (representaciones simbólicas de interacciones cuánticas):

Las más conocidas son la aniquilación de Dirac (donde un electrón y su antipartícula, el positrón, se aniquilan formando energía) y el efecto fotoeléctrico (donde un haz de fotones "arranca" electrones en una placa metálica, base teórica de la energía fotoeléctrica).

Los físicos Breit y Wheeler encontraron teóricamente que realizando el proceso inverso a la aniquilación de Dirac, se podrían generar electrones y positrones a partir de fotones muy energéticos. Hasta la actualidad, la tecnología no ha sido suficiente para demostrar su teoría, pero el pasado mes se logró idear el escenario necesario para tal experimento. ¿En qué consiste?

Primero, mediante un acelerador de partículas (un importante candidato sería el CERN de Ginebra), se aceleraría a velocidades próximas a la de la luz a un haz de electrones, que se harían colisionar contra oro para generar fotones muy energéticos. Después, harían incidir un rayo láser de alta energía contra una cavidad de oro para obtener temperaturas semejantes a las del Sol. Al igual que un hierro incandescente cambia de color al calentarse, la cavidad de oro a tan alta temperatura emitirá fotones muy energéticos, que se harían colisionar con el grupo anterior y así generar pares de electrones/positrones. La cavidad de oro funcionaría como un cuerpo negro, que emite ondas electromagnéticas a una frecuencia relacionada con su temperatura.

En todo momento se cumple que la energía total permanece constante, porque según la fórmula E=mc2, la energía de esos fotones ahora equivale a la masa del electrón más la del positrón.

Puede que en pocos años pueda realizarse este experimento, junto con la creación de grandes colisionadores de fotones. También puede que sea un paso más hacia la fusión fría, una rama de la física y de la tecnología que solventaría los problemas mundiales de energía.

Un saludo, espero que haya sido interesante.
Gabriel.