Efecto Doppler Relativista

Antes de comenzar, recomiendo leer la entrada anterior (Fórmulas del Efecto Doppler). Gracias al Efecto Doppler se pudo comprobar la Expansión del Universo. En la entrada de hoy combinaremos lo de las tres últimas entradas con la Teoría de la Relatividad Especial de Albert Einstein.

En la entrada anterior hemos considerado el espacio y el tiempo como dimensiones aisladas y absolutas. ¿Pero qué pasa cuando la aproximación entre fuente y observador se aproxima a la velocidad de la luz? Tal y como habíamos dicho en la serie sobre Relatividad Especial, el espacio y el tiempo dependen uno del otro y no son absolutos, sino que dos observadores que se muevan a distintas velocidades pueden medir tiempos y espacios diferentes, y todo ello porque la velocidad de la luz es constante para cualquier observador. A físicos como Albert Einstein o Hendrik Lorentz le debemos estas maravillas.

Recordemos que la Teoría de la Relatividad nace de la idea de que la luz viaja siempre a la misma velocidad en el vacío, tal y como demostró el experimento de Milchelson y Morley.

Supongamos que fabricamos un reloj que funciona con un fotón (partícula asociada a la luz) que rebota entre dos espejos. Cuando rebota, va haciendo tic-tac, como en el del vídeo inferior.

Enlace desde móviles

La distancia d entre los dos espejos es igual a c·t, es decir, la velocidad de la luz por el tiempo que tarda en llegar de un espejo a otro. Dicho de otro modo, el tiempo es igual al espacio entre la velocidad: t = d/c.

Ahora supongamos que introducimos ese reloj en una nave espacial que se mueve a velocidad v. Un astronauta dentro de la nave seguirá oyendo esos tic-tac con la misma frecuencia, ¿pero cómo verá eso una persona desde la Tierra?

Enlace desde móviles

El fotón visto para un astronauta dentro de la nave, sube y baja en línea recta. Pero visto desde fuera, realiza un movimiento en zig-zag, como muestra la imagen inferior. Mediante una serie de sencillas operaciones, deducimos que el tiempo que medía el observador en movimiento (t) es inferior al que mide el observador en reposo (t'):

Eso significa que el tiempo transcurre relativamente más lento para una persona que se mueva que para una en reposo. Si alguien viajase por el espacio a una velocidad de 260.000 km/s durante 50 años, al volver a la Tierra parecería que solo ha envejecido 25 años. A velocidades pequeñas (coches, meteoritos, misiles...), esa dilatación temporal es imperceptible. Necesitaríamos viajar más de 5 millones de años sin parar en coche para que nuestro reloj se atrase solo 1 segundo...antes se queda sin pila...

Una vez repasada la dilatación temporal, podemos comenzar con nuestros típicos ejercicios de imaginación:

Imaginemos que una nave espacial que se mueve hacia nosotros con una velocidad v emite pulsos luminosos a ritmo constante. A nosotros nos interesa calcular la longitud de onda de esos pulsos, entonces contamos el número de ellos que suceden en un tiempo t, y también calculamos cuánto espacio recorre la nave en ese tiempo. Si llamamos N al número de pulsos contados en un intervalo de tiempo t, la longitud de onda será:

A partir de la longitud de onda, hallamos la frecuencia:

Según la Relatividad Especial, la imagen inferior relaciona el periodo medido desde el sistema de referencia del observador (T) y el de la fuente (T'). 

Combinando las ecuaciones (I) y (II), obtenemos:

Racionalizando la expresión superior y simplificándola:

Tenemos que recordar que según el Principio de Relatividad, el movimiento es relativo. Imaginemos que viajamos en coche. Según este principio, es equivalente decir que el coche se mueve respecto a la carretera que decir que la carretera se mueve debajo de las ruedas del coche. Por tanto, no podemos saber si es la fuente la que se mueve o si somos nosotros, solo podremos decir que existe un movimiento.

Dependiendo si fuente y observador se alejan o acercan entre sí, aquí quedan las fórmulas para la frecuencia y la longitud de onda:

Si aumenta la frecuencia, disminuye la longitud de onda y viceversa, ya que c es constante para cualquier sistema de referencia. Otra forma de ver las ecuaciones superiores es considerar positiva la velocidad cuando es de aproximamiento y negativa cuando se alejan, teniendo solo que usar la primera.

Dicho esto, solo nos queda aclarar lo dicho en la entrada sobre la Expansión del Universo.  

Si una estrella se aleja de nosotros, según las ecuaciones superiores, su frecuencia debería disminuir. Por eso mismo se produce el corrimiento al rojo, porque el rojo es el color de menos frecuencia del espectro visible. 

Por el contrario, si una estrella se acerca, se produciría el corrimiento al azul debido al mismo efecto.

Para terminar, un "problema-chiste": Un físico iba pensando en sus ecuaciones sobre la Teoría de Supercuerdas mientras conducía, como cualquier mañana normal. De repente se da cuenta de que le persigue la policía por saltarse un semáforo en rojo, pero como es físico, intenta pensar una escusa rápida. Le dice al policía que no vio el semáforo rojo, sino verde, debido al efecto Doppler. De todos modos, el agente le puso una multa por exceso de velocidad...¿A qué velocidad iba nuestro amigo el físico? Intenta calcularla y deja la respuesta en los comentarios. (La longitud de onda del rojo es de 650 nm y la del verde es de 520 nm). Este problema y su solución están en la sección Ingenio.

Demostración desde la matriz de Lorentz

La ecuación de onda electromagnética, en la imagen inferior, es una invariante relativista.

Luego la fase del campo eléctrico también ha de serlo. Definimos el cuadrivector K como:

Por lo que, en la dirección del movimiento tenemos que:

Y en direcciones perpendiculares a la del movimiento:

Y aquí acaba esta serie de 4 entradas sobre el Efecto Doppler. Si te ha gustado, no olvides compartir y dejar comentarios. Nos "vemos" en la próxima.

Un saludo!

Paradoja de los Gemelos

Y finalmente llegamos al final de esta serie dedicada especialmente a Relatividad Especial. Si quieres leer el resto de entradas sobre este tema, te invito a que hagas clic en el siguiente enlace, donde están todas agrupadas: Serie de Relatividad Especial.

Hoy vamos a tratar la Paradoja de los Gemelos. Antes de todo, veamos en qué consiste:

"Dos hermanos gemelos deciden hacer un peculiar experimento: uno de ellos es astronauta, y se embarca en un viaje espacial a velocidades próximas a la de la luz. Para el que permaneció en la Tierra, el astronauta ha sido el que se ha movido, por tanto al regresar habrá envejecido menos que él (de acuerdo con la dilatación temporal que sufre a esas velocidades). Pero para el astronauta, el que se ha movido respecto a él ha sido el resto del Universo...por tanto al volver, el que menos habrá envejecido habrá sido el que permaneció aquí".

Aquí reside la paradoja, ya que lo que miden los dos no tiene sentido en el momento en el que se encuentran. Si analizamos a fondo el experimento, veremos qué gemelo tiene razón. ¿Te apuntas?

Antes de nada, recordemos que a grandes velocidades el tiempo se ralentiza, el espacio se contrae y la masa aumenta. Vamos a observar el experimento desde el punto de referencia del gemelo astronauta primero, y finalmente el otro gemelo. De este modo queremos saber qué ocurre exactamente y cuál de los dos envejece más. Vamos a añadir un matiz: tanto el astronauta como su hermano tienen una linterna con la que envían un destello cada segundo a su hermano.

El astronauta decide embarcarse en su travesía espacial de 10 años luz a 261.000 km/s (he escogido este valor para simplificar las cuentas al final). El astronauta no mide 10 años luz, sino que debido a la contracción espacial que experimenta, para él el trayecto es de 5 años luz. A la velocidad que lleva, debería tardar 11,5 años ida y vuelta en completar el trayecto. Sin embargo, para el que permanece en la Tierra no es así...

Aunque el hermano que se queda en la Tierra encienda y apague su linterna cada segundo, el astronauta no ve esos destellos cada segundo, porque cada segundo la luz tiene que recorrer una distancia de 261.000 km más (el espacio que recorre su nave en un segundo). Debido a esto, los destellos se ralentizan cada 1,87 segundos...y si aplicamos la fórmula de dilatación temporal...los destellos se producirán cada 3,74 segundos.

Hemos dicho que para el astronauta, el tiempo de ida y vuelta son 11,5 años, entonces en ir emplearía la mitad, un total de 5,75 años. Como el tiempo en la Tierra transcurre 3,74 veces más lento, el tiempo que habrá medido el hermano de la Tierra será 5,75/3,74...es decir, 1,5 años.

Cuando el astronauta llega a su destino y se da la vuelta, el proceso se invierte. Cada segundo, la luz tiene que recorrer 261.000 km menos, lo que provoca que esos destellos los perciba cada 0,26 segundos teniendo en cuenta la dilatación temporal. Entonces, los 5,75 años de vuelta de la nave para nosotros son como 21,5 años, el resultado de dividir 5,75/0,26.

Astronauta: 5,75 + 5,75 = 11,5 años

Tierra: 1,5 + 21,5 = 23 años

Si hacemos cuentas, el astronauta ha vivido 11,5 años en total y nosotros en la Tierra hemos vivido 23 años, el doble, exactamente el mismo resultado que obtendríamos según la transformación de Lorentz.

Según la primera parte de este experimento, el que menos envejece es el astronauta.

Ahora vamos a centrarnos en el hermano que permanece en nuestro planeta. Al igual que antes, los destellos de su hermano le llegan cada 3,74 segundos. La distancia que recorre su gemelo son 10 años luz a un 87% de la velocidad de la luz, entonces la nave tarda 11,5 años "terrestres" en llegar al destino.

Cuando el astronauta llega al final de la travesía y se da la vuelta, en la Tierra vamos a seguir notando los destellos cada 3,74 segundos durante 10 años más, porque se encuentra a 10 años luz de nosotros. Eso quiere decir que pasamos un total de 21,5 años percibiendo los destellos, lo que para el astronauta serían 5,7 años.

Como el viaje de vuelta dura 11,5 años (10 años luz a 261.000 km/s), y 10 de esos años los percibimos cada 3,74 segundos, quedan 1,5 años. A partir de ese momento, desde la Tierra comenzamos a percibir los destellos aceleradamente, porque ya ha llegado el último que se emitió desde el punto más lejano a 10 años luz. Durante esos 1,5 años, los destellos se producen cada 0,26 segundos. Eso quiere decir que para el tripulante de la nave, ese año y medio equivale a 1,5/0,26 = 5,7 años.

Astronauta: 5,7 + 5,7 = 11,5 años

Tierra: 11,5 + 10 + 1,5 = 23 años

Si echamos cuentas, el astronauta ha vivido 11,5 años y en la Tierra han pasado 23 años. Exactamente el mismo resultado que en el caso anterior. Aquí queda resuelta la paradoja.

El gemelo que envejece menos es el astronauta.

En ambos casos se cumple que el que menos envejece es el astronauta, tal y como predicen las ecuaciones de Lorentz y Einstein.

No hemos tenido en cuenta la dilatación temporal producida por la gravedad, que también afectaría al experimento. El gemelo de la Tierra se encuentra en un sistema acelerado constante (la aceleración de la gravedad sería g = 8,81 m/s2), pero el astronauta también tendría que acelerar para lograr tales velocidades, por lo que los datos del experimento podrían variar teniendo en cuenta estas consideraciones.

Aquí llegamos al final de la serie dedicada a Relatividad Especial. Espero que os haya gustado, y como ya sabéis, aquí abajo podéis dejar comentarios.

¡Un abrazo científico!

Dilatación Temporal

En la entrada anterior comencé una serie dedicada a la Relatividad Especial. Puedes leerla aquí: Introducción. En ella expliqué los antecedentes de la teoría, centrándome en el experimento de Milchelson y Morley, en el que demostraron que la velocidad de la luz en el vacío, c, era constante. Esta afirmación la introdujo Einstein en sus postulados, de la que deduciremos fenómenos sorprendentes. Hoy nos centraremos en cómo cambia la percepción del tiempo para dos observadores que se mueven a velocidades distintas.

A quien mucho le debemos en el mundo de la física es a H. A. Lorentz. Lo que nos incumbe hoy son sus transformaciones, ecuaciones matemáticas que relacionan el espacio y el tiempo dependiendo de la velocidad. A partir de ellas, deducimos que el tiempo se relantiza a medida que nos movemos más y más rápido, según esta ecuación simplificada:

t' = t·ß, donde ß es un factor que disminuye con la velocidad, t es el tiempo que mide el observador que está en reposo y t' el tiempo que mide el observador en movimiento.

Si quieres la dmostración de esta fórmula de manera sencilla, clic aquí.

A velocidades cotidianas (andar, correr, un coche, un avión o incluso una nave espacial), ß vale 1 o muy próximo a 1, conque el tiempo para una persona en reposo y otra dentro, por ejemplo, de un coche, es el mismo. Pero a medida que nos aproximamos a c, ß cada vez vale menos, tendiendo a 0. De aquí se deduce, por ejemplo, que mientras para una persona en la Tierra pasan 10 años, para una persona que hipotéticamente se moviese a un 87% de la velocidad de la luz, pasarían 5 años. Obviamente, esto es una forma de viajar en el tiempo hacia el futuro, más rápido de lo que lo estamos haciendo ahora, segundo a segundo. Para el viajero, el experimento de moverse tan rápido supondría un viaje en el tiempo hacia el futuro.

Pero, ¿cómo podemos entender esto fuera de las matemáticas?

Imagina que tenemos dos relojes formados cada uno por dos espejos uno enfrente del otro, tal y como muestra la imagen superior. Entre ellos hay un fotón que se mueve a la velocidad de la luz, rebotando de uno a otro. Cada vez que rebota, suena un "tic" que nos permite medir el tiempo. 

Si movemos uno de los dos relojes de izquierda a derecha, como en la figura superior, el fotón tardará más en alcanzar el espejo, porque como hemos dicho, no se puede superar la velocidad de la luz. El tiempo que tarde en rebotar dependerá de la velocidad a la que se mueva el reloj, ya que c es constante. Un reloj en reposo y otro en movimiento marcan tiempos diferentes. Lo entenderemos mejor en el siguiente vídeo:

Documental completo aquí.

Ahora traduciremos esto a lo que ocurriría en nuestro cuerpo o en cualquier objeto a esas velocidades: las interacciones electromagnéticas entre nuestros átomos, al igual que gran variedad de fenómenos, suceden a la velocidad de la luz. A grandes velocidades, estos procesos se ralentizarían tal y como hemos visto en el vídeo, lo que supondría esa dilatación temporal.

Si por algún casual pudiésemos viajar a la velocidad de la luz, algo imposible como veremos en entradas sucesivas, el fotón de nuestro reloj nunca alcanzaría el otro espejo porque se alejaría de él a su misma velocidad. De este modo, cualquier persona parada que nos observase nos vería congelados en el tiempo, al igual que para nosotros, él sería el que estaría "congelado".

La dilatación del tiempo se ha medido y demostrado experimentalmente. Se ha comprobado el retraso que sufren algunos relojes atómicos durante un viaje en avión respecto a otros que han permanecido quietos. La diferencia temporal es de pocos nanosegundos debido a la escasa velocidad de un avión en escalas relativistas.

Otro ejemplo es la desintegración de muones relativistas. Un muón es una partícula subatómica de la familia de los leptones, al igual que el electrón, con una carga negativa pero más masa que el electrón. Se desintegra en dos microsegundos, produciéndose un electrón y dos neutrinos. En grandes aceleradores de partículas como el LHC, donde consiguen acelerar muones a velocidades próximas a c, se ha comprobado que la vida media de estas partículas aumenta. Este fenómeno se puede explicar mediante la dilatación temporal que sufren a esas velocidades.

Otro dato sobre los muones: podemos detectar muones que nos llegan de capas altas de la atmósfera, pero con esa vida media no deberían recorrer ni un kilómetro...la única explicación razonable es esa dilatación temporal que sufren a esa enorme velocidad, que les aumenta la vida media y consiguen recorrer más espacio (que a su vez se contrae, como ya veremos).

Ahora bien, Antonio y Juan son dos gemelos. A la edad de 20 años, Antonio se embarca a bordo de una travesía espacial a un 95% de la velocidad de la luz. Medido en años terrestres, el viaje dura 60 años. Para Juan, su hermano en la nave viaja tan rápido que el tiempo deberá transcurrir para él más lento. De este modo, al volver, Antonio regresaría con 39 años mientras que Juan tendría 80. Pero para Antonio, que se encuentra en reposo en su nave, el que parece que se aleja de él es Juan, y al reencontrarse el anciano debería ser él y no su hermano, al contrario que antes. Solo uno tiene razón, ¿pero cuál?

Esta es la famosa paradoja de los gemelos, que dentro de dos entradas analizaremos y resolveremos, para ver quién de los dos tiene razón.

Y hasta aquí la entrada de hoy. Si te interesa la deducción matemática de la fórmula de la dilatación temporal, te animo a que sigas leyendo. En la próxima entrada trataré la contracción del espacio.

Las matemáticas de la dilatación temporal

Partiremos de las transformaciones de Lorentz tomándolas como verdaderas, de donde deduciremos la fórmula antes mencionada de la dilatación temporal.

Esta es la transformación de Lorentz que relaciona el tiempo en movimiento t' con el tiempo en reposo t.

El factor ß se calcula así: (c es la velocidad de la luz en el vacío y v es la velocidad del cuerpo en movimiento, que es constante)

Sustituímos ß en la ecuación de Lorentz:

El cuerpo en el eje cartesiano se desplaza a velocidad constante v:

Relación entre velocidad, espacio y tiempo: 

Sustituimos x en la ecuación de Lorentz y despejamos:

Hasta aquí hemos deducido la dilatación temporal t' = t·ß

En la imagen inferior deducimos que "en cada segundo, medido desde el sistema en reposo, el tiempo se retrasa (1-ß) segundos"

Espero que hayáis disfrutado con esta entrada, ya que yo lo he hecho escribiéndola. Dejad sugerencias y comentarios, y nos vemos en unos días con "La contracción del espacio".

Relatividad: Introducción

Te encuentras en el espacio, y sabes que te mueves pero no sabes ni hacia dónde ni a qué velocidad. Pero tienes una linterna y un aparato que mide la velocidad de la luz. Como sabes, la velocidad de la luz en el vacío (de ahora en adelante, c) es de 300.000 km/s. Si quieres saber cómo de rápido te mueves, puedes hacer lo siguiente: imagina que tu velocidad es de 100.000 km/s, pero tú no lo sabes. Entonces apuntas con la linterna hacia delante y mides que la luz viaja a 400.000 km/s, y hacia atrás a 200.000 km/s.

Eso intentaron hacer los físicos Milchelson y Morley en el año 1887: medir la velocidad de la luz en diferentes direcciones sobre la superficie terrestre para saber a qué velocidad y hacia dónde se movía la Tierra. Para su sorpresa, siempre que medían la velocidad obtenían el mismo valor: 300.000 km/s. Una de dos, o la Tierra estaba quieta (algo que ya se sabía que no era cierto), o que c era constante.

Morley (izquierda) y Milchelson (derecha)

Años más tarde, Albert Einstein presentó su famosa Teoría de la Relatividad. Uno de los dos postulados clave en su teoría fue: la luz siempre se propaga en el vacío con una velocidad constante c que es independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor y del estado de movimiento del observador. 

Ese postulado es uno de los más importantes en física teórica, aunque a primera vista no parezca gran cosa. El darnos cuenta de que la velocidad de la luz sea una constante ha hecho avanzar nuestro conocimiento de manera exponencial. Sin él, no tendríamos la tecnología que tenemos hoy en día, y el mundo tal y como lo conocemos sería muy diferente.

A partir de la invariabilidad de c, y mediante una serie de experimentos mentales para entender razonamientos tan ilógicos, hemos conseguido demostrar cosas increíbles. Una de ellas es que ni el espacio ni el tiempo son absolutos, sino que juntos forman el espacio-tiempo, cuya curvatura viene dada, entre otras cosas como el campo gravitatorio, por nuestra velocidad.

¿Te puedes creer que si viajásemos por el espacio a velocidades muy cercanas a la de la luz, y luego regresásemos a casa, nuestros seres queridos habrían envejecido muchos años o incluso habrían muerto? ¿Y si te digo que las longitudes se contraen a grandes velocidades? ¿O que una bola de 1 kg puede llegar a pesar miles de toneladas por el simple hecho de moverse muy rápido?

En las próximas entradas intentaré hablar de las consecuencias más interesantes de la Teoría de la Relatividad de Einstein, tales como la dilatación temporal, la contracción espacial o el aumento de la masa. También expondré una serie de paradojas, ilógicas aparentemente, pero consecuencias necesarias de los sencillos postulados de Einstein. Al final de esta serie, espero que tanto vosotros como yo hayamos aprendido y comprendido uno de los grandes logros de la física moderna. Nos vemos en la siguiente entrada con "La dilatación del Tiempo" (que puedes leer aquí).

"Lo más incomprensible del Universo, es que sea comprensible"
Albert Einstein

Un saludo!