Una barra de longitud $L$ reposa como se observa en la imagen sobre un
hoyo de radio $R$. Se pide calcular el ángulo $\theta$ sabiendo que la
relación entre $L$ y $R$ es $L=4R$.
Como condiciones de equilibrio (suma de fuerzas y de momentos igual a cero) obtenemos las siguientes expresiones:
$R_1\sin{\theta}=R_2\cos{2\theta}$ $(I)$
$R_1\cos{\theta}+R_2\sin{2\theta}=mg$ $(II)$
$LR_2\sin{\theta}=(4R\cos{\theta}-L)R_1$ $(III)$
Se puede demostrar por relaciones de triángulos que el ángulo que forma la reacción $\vec{R_2}$ con la barra es $\theta$, por tanto aplicando el teorema del seno en el triángulo sombreado obtenemos que la porción de la barra localizada en el hueco es:
$H=2R\cos{\theta}$ $(IV)$
De la ecuación $(I)$ y $(III)$ obtenemos la siguiente igualdad:
$\frac{\cos{2\theta}}{\sin{\theta}}=\frac{\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}}{\sin{\theta}}=\frac{L\sin{\theta}}{4R\cos{\theta}-L}$
Tras un poco de álgebra llegamos a la ecuación:
$4R\cos^2\theta-4R\sin^2\theta-Lcos\theta=0$
Y usando que $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ llegamos a que:
$8R\cos^2\theta-L\cos\theta-4R=0$
Que al resolver es $\cos\theta=-1/2$ al ser $L=4R$. El ángulo resultante es $\theta=60º$ (medido convenientemente).
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