Solución al reto #4

Una barra de longitud $L$ reposa como se observa en la imagen sobre un hoyo de radio $R$. Se pide calcular el ángulo $\theta$ sabiendo que la relación entre $L$ y $R$ es $L=4R$.

Como condiciones de equilibrio (suma de fuerzas y de momentos igual a cero) obtenemos las siguientes expresiones:

$R_1\sin{\theta}=R_2\cos{2\theta}$  $(I)$

$R_1\cos{\theta}+R_2\sin{2\theta}=mg$  $(II)$

$LR_2\sin{\theta}=(4R\cos{\theta}-L)R_1$  $(III)$

Se puede demostrar por relaciones de triángulos que el ángulo que forma la reacción $\vec{R_2}$ con la barra es $\theta$, por tanto aplicando el teorema del seno en el triángulo sombreado obtenemos que la porción de la barra localizada en el hueco es:

$H=2R\cos{\theta}$ $(IV)$

De la ecuación $(I)$ y $(III)$ obtenemos la siguiente igualdad:

$\frac{\cos{2\theta}}{\sin{\theta}}=\frac{\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}}{\sin{\theta}}=\frac{L\sin{\theta}}{4R\cos{\theta}-L}$

Tras un poco de álgebra llegamos a la ecuación:

$4R\cos^2\theta-4R\sin^2\theta-Lcos\theta=0$

Y usando que $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ llegamos a que:

$8R\cos^2\theta-L\cos\theta-4R=0$

Que al resolver es $\cos\theta=-1/2$ al ser $L=4R$. El ángulo resultante es $\theta=60º$ (medido convenientemente).