El problema de Basilea

A mediados del siglo XVII, Jakob Bernouilli popularizó un problema matemático: calcular la suma de los inversos de los cuadrados perfectos. En términos de la función $\zeta$ de Riemann, el problema era hallar $\zeta(2)$. Muchos fueron los que lo intentaron resolver, pero el primero de ellos fue el matemático Leonhard Euler en 1735.

$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$

Ciudad de Basilea

En la entrada de hoy se mostrarán algunas de las demostraciones de la solución del problema de Basilea, entre ellas la de Euler.

Demostración 1: Euler

 

Haciendo un desarrollo en serie de Taylor se obtiene:

$\sin x=x-\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\displaystyle\frac{x^5}{5!}-\displaystyle\frac{x^7}{7!}+...$

Y dividiendo entre $x$:

$\displaystyle\frac{\sin x}{x}=1-\displaystyle\frac{x^2}{3!}+\displaystyle\frac{x^4}{5!}-\displaystyle\frac{x^6}{7!}+...$

Ahora llega el punto más delicado de la demostración y el que le reprocharía Bernouilli: poner dicha suma como producto infinito de factores. Notando que las respectivas raíces del seno son los múltiplos enteros de $\pi$, Euler escribió:

$\displaystyle\frac{\sin x}{x}=\left(1-\displaystyle\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\displaystyle\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\displaystyle\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\displaystyle\frac{x}{2\pi}\right)...=\left(1-\displaystyle\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\displaystyle\frac{x^2}{4\pi^2}\right)...$

Ya que si $x=n\pi \Longrightarrow \displaystyle\frac{x}{n\pi}=1$ con $n=\pm 1, \pm 2,...$

Haciendo el producto de los infinitos términos, uno se da cuenta de que el coeficiente de $x^2$ es precisamente:

$-\displaystyle\frac{1}{\pi^2}\zeta(2)$

Teniendo en cuenta que el polinomio de Taylor es único (Teorema de Taylor), es claro y evidente que el coeficiente en el desarrollo en serie tiene que ser equivalente al coeficiente obtenido en la ecuación superior. Por tanto igualándolos obtenemos finalmente el valor de la serie infinita:

$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$

Demostración 2

 

Esta segunda demostración se basa en el Criterio del Sándwich: trataremos de acotar $\zeta(2)$ entre dos valores que tiendan ambos al valor que buscamos. Para ello consideramos que por la fórmula de Moivre en el álgebra compleja:

$\displaystyle\frac{\cos (nx)+i\sin (nx)}{(\sin x)^n}=(\cot x+i)^n=\displaystyle\sum_{j=0}^n{{n\choose j} i^j\cot^{n-j}{x}}$

Sabiendo el valor de las diferentes potencias de la unidad imaginaria $i$ llegamos a:

$\displaystyle\frac{i\sin (nx)}{(\sin x)^n}=i\left[{n\choose 1}\cot^{n-1}{x}-{n\choose 3}\cot^{n-3}{x}+...\right]$

Definiendo $n=2m+1$ con $m$ entero positivo y $x=r\pi/(2m+1)$ con $r=1,2,...,m$  vemos que:

$0={2m+1 \choose 1}\cot^{2m}{x}-{2m+1 \choose 3}\cot^{2m-2}{x}+...+(-1)^m$

Al ser la cotangente biyectiva (one to one) en $[0,\pi/2]$, las distintas raíces $x=r\pi/(2m+1)$ son diferentes para cada valor de $r$. Esto nos sirve para definir el polinomio $p(t)$ de la siguiente guisa:

$p(t):={2m+1 \choose 1}t^m-{2m+1 \choose 3}t^{m-1}+...+(-1)^m$

Puesto que $\tan x>x>\sin x$, es evidente pues que

$\csc^2 x>1/x^2>\cot^2 x \Longrightarrow \displaystyle\sum\csc^2 x\geq\zeta(2)\geq\displaystyle\sum\cot^2 x $

La suma $\displaystyle\sum^m\cot^2 x$ equivale a la suma de las raíces de $p(t)$, que por álgebra elemental equivale al cociente entre el coeficiente de $t^{m-1}$ entre el de $t^m$ cambiado de signo. Entonces

$\displaystyle\sum^m\cot^2 x=\displaystyle\frac{{2m+1 \choose 3}}{{2m+1 \choose 1}}=\displaystyle\frac{(2m)(2m-1)}{6}$

Y fijándonos en que $\csc^2 x=1+\cot^2 x$ entonces

$\displaystyle\sum^m\csc^2 x=\displaystyle\frac{{2m+1 \choose 3}}{{2m+1 \choose 1}}+m=\displaystyle\frac{(2m)(2m+2)}{6}$

Y por el principio del sándwich, ya que $x=r\pi/(2m+1)$,

$\displaystyle\lim_{m\to\infty}\displaystyle\frac{(2m)(2m+2)}{6}\geq \displaystyle\sum_{r=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{(2m+1)^2}{\pi^2r^2}}\geq\displaystyle\lim_{m\to\infty}\displaystyle\frac{(2m)(2m-1)}{6}$

Multiplicando todo por $\left(\displaystyle\frac{\pi}{2m+1}\right)^2$

$\displaystyle\lim_{m\to\infty}\displaystyle\frac{(2m)(2m+2)}{6}\left(\displaystyle\frac{\pi}{2m+1}\right)^2\geq\zeta(2)\geq\displaystyle\lim_{m\to\infty}\displaystyle\frac{(2m)(2m-1)}{6}\left(\displaystyle\frac{\pi}{2m+1}\right)^2$

Y como a izquierda y derecha ambos límites son iguales y de valor $\pi^2/6$, se concluye que:

$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$

Demostración 3

 

Fijándonos en que $\zeta(2)$ puede escribirse como suma de los inversos de los cuadrados de números pares más los impares, se llega a que:

$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^2}} + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{(2n)^2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^2}}+\displaystyle\frac{1}{4}\zeta(2)$

De modo que 

$\zeta(2)=\displaystyle\frac{4}{3}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^2}}$

Por otro lado

$\displaystyle\frac{1}{2n+1}=\displaystyle\int_0^1{x^{2n}} dx=\displaystyle\int_0^1{y^{2n}} dy$

Luego evidentemente

$\zeta(2)=\displaystyle\frac{4}{3}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\int_0^1{x^{2n}} dx\displaystyle\int_0^1{y^{2n}} dy}=\displaystyle\frac{4}{3}\displaystyle\int_0^1\int_0^1{\sum_{n=0}^{\infty}{(xy)^{2n}}}dx dy$

Donde

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{(xy)^{2n}}=\displaystyle\frac{1}{1-x^2y^2}$

Ya que $xy<1$. 

Por tanto el problema se ha reducido a calcular una integral doble que no resolveremos entera aquí, solo una parte:

$\displaystyle\int_0^1\int_0^1{\displaystyle\frac{1}{1-(xy)^2}dx \ dy}=\displaystyle\int_0^1{\displaystyle\frac{\sinh^{-1} x}{x}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{8}$

según Wolfram Alpha, y por tanto es evidente que:

$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$

Demostración 4

 

En este caso nos basaremos en la relación entre las funciones $\zeta(s)$ y $\Gamma(s)$. Considerando la integral $I(t,x)$ y haciendo el cambio $x\to x/t$ vemos que:

$I(x,t)=\displaystyle\int_0^{\infty}{x^se^{-tx} \ dx}=\displaystyle\int_0^{\infty}{\displaystyle\frac{x^s}{t^s}e^{-x}t^{-1} \ dx}=\displaystyle\frac{\Gamma(s+1)}{t^{s+1}}$

Luego

$\displaystyle\frac{\Gamma(s)}{t^s}= \displaystyle\int_0^{\infty}{x^{s-1}e^{-tx} \ dx}$

Haciendo el cambio $t\to n\in \mathbb{N}$ y sumando hasta infinito en ambos miembros:

$\Gamma(s)\zeta(s)=\displaystyle\int_0^{\infty}{x^{s-1}\displaystyle\sum{\left(e^{-x}\right)^n} \ dx}\Longrightarrow\Gamma(s)\zeta(s)=\displaystyle\int_0^{\infty}{\displaystyle\frac{x^{s-1}}{e^x-1}} \ dx$

En nuestro caso buscamos $s=2$. Sabiendo que $\Gamma(2)=1$, el problema se reduce a calcular la integral:

$\zeta(2)=\displaystyle\frac{1}{\Gamma(2)}\displaystyle\int_0^{\infty}{\displaystyle\frac{x \ dx}{e^x-1}}$

Que se puede calcular y arroja el esperado valor de $\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$.

Si os interesa, en la bibliografía hay otras 14 maneras de calcular $\zeta(2)$.

Para valores impares de $s$, no se sabe demasiado de la función $\zeta(s)$. Esta función es básica en la Teoría de Números y se encuentra muy íntimamente relacionada con los números primos, con la función $\mu$ de Möbius, la función $\phi$ de Euler y otras funciones multiplicativas. 

Para valores pares de $s$, Euler fue capaz de encontrar una fórmula cerrada para $\zeta(s)$. Denotando $s=2k$ con $k\in \mathbb{Z}$ y $B_{2k}$ a los números de Bernouilli, 

$\zeta(2k)=\displaystyle\frac{(-1)^{k-1}(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2(2k)!}$

De donde $\zeta(2)=\pi^2/6$, $\zeta(4)=\pi^4/90$, etc.

Finalmente quiero concluir esta entrada con una célebre cita de Gauss: "La Matemática es la Reina de las Ciencias, y la Teoría de Números es la Reina de la Matemática".

Bibliografía

 

- Fermat Last Theorem

- Wikipedia

- La gaceta de la RSME

- Gaussianos

- Divulgamat2

- Euler’s Solution of the Basel Problem

- 14 proofs of the evaluation of $\zeta(2)$

La materia oscura

La materia oscura es uno de los conceptos que más veces le rondan por la cabeza a los físicos desde mediados del siglo pasado. Veamos qué es este concepto.

Debido a una epidemia de peste, un joven llamado Isaac Newton abandonó temporalmente sus estudios en Cambridge y se retiró a Woolsthorpe, donde entre 1665 y 1667 dedujo las leyes de la mecánica newtoniana, el cálculo diferencial y la Ley de la Gravitación Universal:

$\vec{F}=-G\displaystyle\frac{Mm}{r^3}\vec{r}$

De este modo fue capaz de aunar en una sola ecuación cielo y tierra, ya que la fuerza que hacía caer una manzana de un árbol era la misma que la que mantenía a la Luna en órbita circular.

Ya en tiempos de Galileo se conocía que la aceleración de la gravedad era aproximadamente $g_0=9,8 m/s^2$. Por la segunda ley de Newton, tendríamos que $g_0R_T^2=GM_T$. Como el radio de la Tierra era ya conocido, Newton sabía ya el valor de $G\cdot M$. Igualando la aceleración de la gravedad terrestre sobre la Luna a la fuerza centrípeta, y conocido el radio orbital lunar, Newton predijo con total exactitud el periodo de traslación de la Luna alrededor de nuestro planeta. De este maravilloso modo, especialmente una vez determinado el valor de $G$ por Cavendish en 1798, se podrá determinar la masa de cualquier cuerpo midiendo la velocidad de un cuerpo que orbite en torno a él por la formulita:

$v=\sqrt{\displaystyle\frac{GM}{r}}$

En los años setenta del siglo pasado, se intentó hacer lo mismo con las galaxias, es decir, determinar sus masas a partir de las velocidades de las estrellas que las componen. Como es muy complicado medir la velocidad de las estrellas alrededor de las galaxias, se utiliza el efecto Doppler y el corrimiento al rojo de los espectros emitidos por las estrellas para deteminar sus velocidades.

A esto se dedicaron los científicos Vera Rubin y Kent Ford, midiendo datos de más de sesenta galaxias cuando se dieron cuenta de algo. En efecto, es previsible que cuando más lejos se encuentre una estrella del centro de la galaxia, más despacio debería moverse. Pero lo que realmente ocurría era que todas las estrellas parecían moverse a la misma velocidad. En el gráfico superior, se esperaba que ocurriese algo como (A) pero lo que realmente ocurría era (B). Las soluciones eran simples: o la Ley de Newton no era válida en esos casos...o existía una extraña materia que aumentaba enormemente la masa total de la galaxia: la materia oscura.

Sin meternos en muchos berenjenales, algunos físicos defendían teorías tipo MOND, acrónimo en inglés de Modified Newtonian Dynamics. Defendían incluso que $G$ no era una constante, sino que $G=G(r)$, es decir, que $G$ aumentaba cuando las distancias entre los astros eran grandes, y de ese modo no era necesario postular la existencia de materia oscura. 

En 1915, Einstein presentó su Teoría de la Relatividad General, con lo que pudo comprobar aquellos "huecos" en los que la teoría de Newton no era muy precisa. Un claro ejemplo es la precesión del perihelio de Mercurio. Con ésta, podemos hacer la siguiente corrección a la Ley de la Gravitación Universal:

$F=G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}-\displaystyle\frac{4}{c^2}\cdot \displaystyle\frac{G^2M^2m}{r^3}+...$

Pero aún así no conseguimos solucionar el problema que nos atañe. La solución está en otro fenómeno derivado del genio de Einstein: las lentes gravitacionales.

La masa, según la Teoría de la Relatividad, curva el espacio-tiempo. Esa curvatura es capaz de desviar rayos luminosos. El efecto de una lente gravitacional es la curvatura de los rayos de luz que provienen desde detrás de la lente. El ángulo de desviación es proporcional a la masa de la "lente gravitacional", de modo que disponemos de un método alternativo para conocer las masas de galaxias o cúmulos galácticos. Lo sorprendente es que esta masa resulta ser la misma que la calculada por la Ley de Newton, es decir, tiene que existir esa materia oscura para "rellenar esa masa que nos falta".

Cúmulo "bala" estudiado como choque entre galaxias

En realidad, la mayoría de científicos rechazan las teorías MOND gracias al estudio de choques entre galaxias. En estos choques, las nubes de gas (helio e hidrógeno principalmente) se retrasan respecto de la galaxia, pero esta sigue comportándose como una lente gravitacional, a pesar de que la mayor parte de la masa ordinaria de una galaxia se debe a la nube de gas. Esto es prueba clara de la existencia de materia oscura, de una naturaleza distinta a la de la materia ordinaria.

Gracias a un estudio exhaustivo sobre la radiación de fondo de microondas, es posible deducir la existencia de materia oscura y su proporción respecto a la materia ordinaria. A partir del mapa de la imagen inferior y del análisis de las diferencias en la densidad o temperatura de las ondas recibidas, hemos podido deducir que la densidad de materia en el Universo es un 32% de la densidad crítica, de la cual un 5% es materia ordinaria y un 27% materia oscura. Actualmente se cree que el universo es plano, es decir, que su densidad es igual a la densidad crítica, de modo que el 68% que falta corresponde a "algo" diferente: a energía oscura. Es notable mencionar que los datos teóricos obtenidos del análisis del fondo de micrrondas concuerdan a la perfección con las medidas sobre la cantidad de materia en el universo.

Fondo cósmico de micrrondas. Satélite Planck.

La pregunta ahora es: ¿de qué está hecha la materia oscura? O mejor dicho, ¿de qué no está hecha?

Debe estar formada por alguna partícula que aún no hayamos detectado, y debería interaccionar muy poco o nulamente con el resto de la materia. No puede estar formada por protones, neutrones ni electrones: de lo contrario los cálculos de la nucleosíntesis primitiva no coincidirían con los observados. Tampoco puede estar formada por partículas con carga, y debe ser muy estable, al menos su vida debería ser superior a la edad del universo. Por último, tampoco puede interaccionar mucho consigo misma y ha de ser fría, para que de este modo se agrupe de la manera en que lo hace.

Estudios realizados con supercomputadoras ofrecen mapas de materia oscura muy semejantes a los medidos experimentalmente si aceptamos como hipótesis las características antes citadas sobre la materia oscura.

Un candidato a materia oscura fue el neutrino. Debido a su baja interacción con la materia, resulta un buen partido para ser lo que llamamos "materia oscura", pero no cumple la condición de ser frío, pues tiene unas velocidades muy próximas a la de la luz. Además, deberían tener más masa para constituir el 27% de la materia del universo.

Mapa de materia oscura en el universo

La mayor parte de la comunidad científica considera el modelo estándar de la física de partículas como inacabado: es necesaria una nueva Física que explique muchas de las cosas que el modelo estándar deja a medias, entre ellas las partículas básicas constituyentes de la materia oscura. Hablaríamos entonces de partículas exóticas (WIMPs) como el neutralino (partícula super-simétrica del neutrino), los axiones...Entraríamos ya en teorías más nuevas como la Supersimetría, la Teoría de Supercuerdas y demás.

Actualmente hay decenas de experimentos que se están llevando a cabo en todo el mundo que tratan de descubrir alguna de las partículas candidatas a materia oscura, como por ejemplo el experimento ANAIS en el Pirineo aragonés. Pese a todos los esfuerzos empleados, aún no existen evidencias claras del descubrimiento de esta exótica y misteriosa materia.