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martes, 24 de noviembre de 2015

Cien años de...Relatividad General

 

BIOGRAFÍA


Aunque el título parezca una novela de Gabriel García Márquez, de quien realmente vamos a hablar en la entrada de hoy es de Albert Einstein. 

Nuestra historia no comienza en Macondo, como la de Gabo, sino en la ciudad alemana de Ulm, un 14 de marzo de 1879. Sin duda aquel fue un "Buendía". En tan "premonitoria" fecha nació el pequeño Albert, hijo de Hermann Einstein y de Pauline Koch, de ascendencia judía. 


En 1894, la familia Einstein se traslada a Milán, mientras el joven Albert permanece en Munich continuando sus estudios. En 1896 comenzó a estudiar en la Eidgenossische Technische Hochschule de Zúrich, donde fue alumno del matemático Minkowski, quién más tarde otorgaría el formalismo matemático a las teorías de su alumno.

En 1902, se incorpora a la Oficina de Patentes de Berna, y al año siguiente se casa con Milerva Maric, con quien tendrá tres hijos.


1905 es considerado como el Annus mirabilis de Einstein, por ser su época de producción científica más fructífera. Publicó un gran número de artículos acerca del movimiento browniano, de la naturaleza corpuscular de la luz, de la equivalencia masa-energía y Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento (que está colgado en la sección Archivos de esta página). Aquí surgiría la idea sobre la Teoría de la Relatividad Especial, a la que año y medio atrás dediqué una serie de entradas que puedes leer aquí.

Entre 1910 y 1914, comienzan los problemas matrimoniales entre Milerva y Einstein, que acabarán separándose. En este momento, Einstein comenzará una aventura amorosa con su prima Elsa Löwenthal. Probablemente, el año en que más fama y prestigio científico obtendría, así como grandes dolores de cabeza, fue 1915. En este año, tres frentes se abrieron en torno a él: la Primera Guerra Mundial, el divorcio con Milerva y la "batalla" para completar las ecuaciones de la Relatividad General.  

Fue gracias a un viejo amigo suyo, Marcel Grossmann, quien introdujo a Einstein en el estudio de las superficies no euclídeas en el verano de 1912, que tanta importancia irían a tener en la Teoría que presentaría Einstein tres años más tarde. Fue en esa época cuando Einstein se percató de que C.F. Gauss y su pupilo B. Riemann tenían la llave que necesitaba para completar sus ecuaciones. El matemático lituano Minkowski y antiguo profesor de Albert, tendría suma importancia en este periodo geometrizando la gravedad.

David Hilbert

Entran en escena otros matemáticos como Hilbert (de quien seguro que habrás oido hablar por su Hotel Infinito). David Hilbert, paisano espacial de Kant (aunque obviamente no temporal), comenzó con el estudio y corrección de las ecuaciones de campo de Einstein en 1912, lo que no sentó nada bien al pobre Albert al no haberlo citado en sus conferencias. Se inició así una rivalidad entre el innegable talante matemático de Hilbert y el inigualable instinto físico de Einstein.

El 14 de Noviembre de 1915, Hilbert anunció que había dado con las ecuaciones de campo gravitatorio. En este momento, Einstein trató de ponerse manos a la obra concluyendo su teoría. Cuando descubrió que sus ecuaciones predecían la irregularidad en la órbita de Mercurio y que en campos gravitatorios de baja intensidad sus ecuaciones se reducían a las de Newton, Einstein sufrió una taquicardia. El 25 de noviembre de 1915, hoy hace exactamente cien años, Einstein presentó sus ecuaciones definitivas de campo ante la academia de Berlín, adelantándose a las de Hilbert (marzo de 1916). Señoras y señores, estamos ante un día histórico.


Las asperezas entre Hilbert y Einstein se limaron a partir de entonces, gracias a que Hilbert no reclamó la autoría de las ecuaciones de Einstein.

El 29 de mayo de 1919, Arthur Eddington realizó una expedición científica a la costa de Guinea para contemplar un eclipse total de Sol. Ese día se demostró experimentalmente que la Teoría de la Relatividad General de Albert Einstein era acertada, al predecir la curvatura de un rayo de luz al pasar cerca del Sol.

Arthur Eddington

En 1922, Albert Einstein recibiría el Premio Nobel de Física por su contribución al Efecto Fotoeléctrico. En 1933 se exilia a Estados Unidos donde comienza a trabajar en Princeton, donde coincidirá con otros ilustres como Gödel o von Neumann. 

Fue una persona pacifista, contrario a todo acto de violencia, como pudo comprobarse con su rechazo a la Segunda Guerra Mundial. En boca del propio Einstein, "no sé con qué armas se luchará en la Tercera Guerra Mundial, pero sí sé con cuáles lo harán en la Cuarta Guerra Mundial: palos y piedras". 

En 1952 rechazó el convertirse en presidente del Estado de Israel, y en 1955 muere en Princeton por problemas cardiacos, sin haber logrado su objetivo de unificar todas las fuerzas de la naturaleza en una sola.

 

 

TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL


Pese a todas las ecuaciones planteadas entre 1905 y 1915 en semajante bullicio intelectual, solo las de Einstein consiguieron tal caracter "general". Pero bien, ¿qué es lo que describen tan brillantes ecuaciones?

Cuentan que un día Einstein dialogaba con un carpintero que había caído de un andamio que le dijo: "fue como flotar en el aire". Esa idea tan simple condujo a Einstein hacia una teoría: la Relatividad General. Albert pensó que una persona flotando en el espacio sentiría lo mismo que otra en caida libre, es decir, que si vendásemos los ojos a ambas, no serían capaces de distinguir ambas sensaciones. Asimismo, no es posible distinguir entre estar en reposo sobre la Tierra o estar en un ascensor espacial que acelere con una aceleración g. Esto se conoce como el principio de equivalencia.


Einstein se dio cuenta de que la fuerza gravitatoria descrita por Newton dependía de la distancia, pero años atrás demostró que aquélla era relativa según la velocidad del observador. Algo semejante ocurría con el tiempo: no se encontraba explícitamente en la famosa ecuación de Newton, lo cual violaba el postulado básico de la Relatividad (ninguna partícula con masa puede moverse a una velocidad mayor que la de la luz en el vacío). Esto implicaba que necesitaba encontrar una teoría sobre la gravedad relativista.

Fue el matemático lituano Hermann Minkowski quien despejó el camino para que las ideas de Einstein pudiesen ser expresadas un lenguaje matemático más formal. A partir del "espacio" y del "tiempo", creó el "espacio-tiempo". Ahora el tiempo es una coordenada más, matemáticamente equivalente a "anchura", "altura" y "profundidad". De este modo, el espacio-tiempo adquiere un sentido puramente geométrico.

Analogía 4D - 3D

Las trayectorias de los objetos por un espacio de dimensión 3 pasan a convertirse en movimientos en 4 dimensiones denominados geodésicas. Se pueden encontrar imágenes de este tipo para ilustrar esto mismo:


La forma de estas trayectorias depende de la masa, es decir, la masa distorsiona el espaciotiempo. Suele ponerse el ejemplo de la bola de bolos sobre una sábana y una canica dando vueltas alrededor. La masa determina la curvatura del espacio-tiempo y ésta determina las trayectorias de los cuerpos. Esta relación viene descrita en la famosa ecuación de Einstein, el mayor logro de la mente humana para algunos.


En palabras de Wheeler, "el espacio le dice a la materia cómo debe moverse, y la materia le dice al espacio cómo debe curvarse".



CONSECUENCIAS


Es obvio que esta teoría es uno de los más magníficos constructos de la mente humana, tanto por su belleza como por sus posteriores repercusiones. Poco a poco se fue introduciendo en el resto de ramas de la Física. Quizá no hizo muy buenas migas con la Mecánica Cuántica, pero esa es otra historia.

También tuvo sus consecuencias negativas, aunque siempre por fallos humanos, no de la teoría. Con esto me refiero a las bombas atómicas de Hiroshima y Nagasaki en 1945, que nos demuestran el impacto que tuvo la ralatividad en la Física Nuclear. Absolutamente todos los efectos que predice la relatividad han sido medidos en el laboratorio: la contracción temporal, la curvatura de la luz por la presencia de un cuerpo masivo y demás. 

Actualmente, la gravedad no puede ser descrita de la misma forma que las otras tres fuerzas fundamentales. Por ello mismo se intenta comaginar las cuatro en una sola fuerza, para lo cual los físicos recurren a dimensiones más altas. Es interesante un libro de Michio Kaku titulado Hiperespacio, que puedes adquirir para ebook en mi sección Archivos. 

A Einstein y a su magnífica teoría, junto a la Mecánica Cuántica, le debemos todo el avance tecnológico del siglo XX. Sin estas teorías, no estarías leyendo este blog, al menos digitalmente. Tampoco exisiría casi ningún dispositivo electrónico, y mucho menos ordenadores, tablets, smartphones...
Otra magnífica prueba de la Relatividad General es el GPS. Para determinar la posición de tu coche, tu dispositivo GPS se "pone en hora" con cuatro satélites a la vez. De este modo, cada satélite puede determinar la distancia a la que se encuentra el dispositivo, construyendo una esfera con todos los puntos posibles en los que puede localizarse. La intersección de las respectivas cuatro esferas de cada satélite es, en efecto, un punto: tu posción. 

La sincronización entre los satélites y el GPS es vital. Teniendo en cuenta que el tiempo no transcurre a la misma velocidad para el satélite que para nosotros (por efectos gravitatorios y por la velocidad), es necesario incluir en la programación de los GPS las ecuaciones de Einstein, o si no un viaje de París a Moscú puede acabar en Roma, y no especialmente porque todos los caminos lleven a ella.



LECTURAS Y VIDEOS RECOMENDADOS


Recomiendo echar un vistazo a un famoso documental de Brian Greene que puedes ver haciendo clic aquí. Además, puedes encontrar dos de sus libros en formato digital en el siguiente enlace: Archivos

Muchos autores de divulgación como Michio Kaku o Stephen Hawking explican muy bien la Teoría de la Relatividad en sus libros, los cuales puedes encontrar en los Archivos de este blog. 

Finalmente, dejo enlaces a varios documentales sobre el tema:





Un saludo y feliz día de la Relatividad General!


sábado, 12 de septiembre de 2015

El efecto marea

Como ya mencionamos hace cierto tiempo en la entrada sobre la relación entre los corales y la duración del día terrestre, el período de rotación terrestre está aumentando, es decir, la Tierra se está frenando. Debido a ello, la Luna se aleja de la Tierra. ¿Pero por qué sucede todo esto? La respuesta la encontramos en el llamado "Efecto Marea", que trataremos de analizar en la entrada de hoy.


Partimos de que el momento angular del sistema Tierra-Luna se conserva. Trataremos a la Luna como una masa puntual y despreciaremos el momento de inercia de la Tierra respecto de su eje sobre el de la Luna alrededor de la Tierra. Consideraremos, por simplicidad, que el centro de masas del sistema coincide con el centro de la Tierra.

Las llamadas fuerzas de marea generan un torque que tiende a igualar la velocidad angular de rotación terrestre con la translación de la Luna en torno a nuestro planeta, de modo que en ese momento nuestro satélite se encontrará, aparentemente, en la misma posición en el firmamento.


La conservación del momento angular nos permite escribir que


Calculando el momento de inercia lunar y terrestre, encontramos que el de la Luna es tres órdenes de magnitud superior al de la Tierra, por lo que podemos decir que


En el momento en que los períodos se igualen, se cumplirá la ecuación


que aparece tras igualar la aceleración gravitatoria a la centrípeta.

Teniendo en cuenta el momento angular del sistema, es fácil ver que


lo que implica que la distancia final entre la Tierra y la Luna es 1,4 veces la actual.

Asimismo, la velocidad angular final del sistema vendrá dada por


que se corresponde con un período de unos 46 días actuales.


¿Cuánto se separa la Luna de la Tierra cada año?

Para ello tendremos que hacer un esquema ilustrativo de las fuerzas de marea que actúan sobre la Tierra. En la entrada de hoy despreciaremos la interacción con el Sol. Podríamos considerar el sistema Tierra-Luna de la forma:


Ahora calcularemos las fuerzas que ejerce la Luna sobre cada una de los dos masas. Llamaremos F1 a la fuerza sobre la masa más próxima y F2 a la más lejana. Utilizando la Ley de la Gravitación de Newton y el Teorema del coseno, llegamos a que:


Y por consiguiente, el torque generado por el par de fuerzas sobre la Luna será:


Pero como esto es un blog de Física y a los físicos no les gustan fórmulas tan grandes y feas, vamos a embellecerla un poco. Para ello tenemos en cuenta que D >> r, y tras una serie de cálculos y aproximaciones, llegamos a:


Que es infinítamente más sencilla, totalmente válida y más bonita. Para obtenerla hemos empleado el Teorema del seno además de las simplificaciones anteriormente mencionadas.

Sabemos también que el torque no es más que la primera derivada temporal del momento angular, y aproximando la órbita lunar a una circunferencia:


Introduciendo (1) en (2):


Y finalmente integrando:


Lo que, según la tasa actual de separación, implica que la Luna y la Tierra se alejan 3,4 cm cada año. Esa tasa se va frenando hasta el punto en que, cuando la variación de momento angular de la Luna se anule, sea cero. En ese instante desaparecerán las fuerzas de marea y la Tierra rotará a la misma velocidad a la que la Luna orbita nuestro planeta. Ambos periodos serán de 46 días.

Finalmente, hay que tener en cuenta que la energía del sistema se pierde debido a la viscosidad del agua en forma de calor. Una buena aproximación es que un 10% de la energía de subida del nivel del mar en una marea se disipa. Sabiendo aprovechar esta pérdida, podríamos producir en un año el equivalente a 10 mil millones de barriles de petróleo, la tercera parte de la energía consumida anualmente a nivel planetario. Yo creo que es una buena excusa para invertir en este tipo de energías.

Si quieres avanzar más y saber cómo se producen las mareas, haz clic aquí.


¡Un saludo y hasta la próxima!


lunes, 3 de agosto de 2015

Cómo te mojas más cuando llueve: ¿corriendo o andando?

Probablemente lo primero que hagas sea sacar un paraguas, sobre todo si eres precavido, pero si no dispones de uno, ¿qué es mejor para mojarse menos: correr o andar?

Aproximemos el cuerpo humano a un paralelepípedo de área frontal Af y área superior As como se muestra en la figura inferior. No es una mala aproximación si pensamos en As como la suma del área de la cabeza y los hombros y Af como la suma de cara, torso, brazos y piernas.


Ahora planteemos el problema:

Nuestro amigo el paralelepípedo se encuentra a una distancia D de su destino y quiere llegar a él mojándose lo menos posible. Para evitar mojarse, puede desplazarse con la velocidad que desee y puede inclinar su cuerpo si lo cree conveniente. También puede agacharse con el consiguiente detrimento de su velocidad.

Algunas consideraciones:

-La masa de todas las gotas de lluvia es la misma.
-La concentración de gotas de lluvia por unidad de volumen es constante en todo el recorrido.
-La densidad del agua es constante.
-La velocidad y dirección del viento es invariante durante todo el trayecto.
-La velocidad de caída de la lluvia, así como la del corredor es constante.
-Las gotas han alcanzado todas su velocidad límite por la fricción con el aire.

Problema:

Manera óptima para mojarse lo menos posible. Buscar una función del total de agua caída sobre el cuerpo para minimizarla, si es posible.


Caso #1 Sin viento

Sea Vc la velocidad del corredor y Vl la velocidad de la lluvia. Desde el sistema de referencia del sujeto, el experimento se vería así: 


Podemos ver que el agua que caerá sobre la cabeza y los hombros será menor cuanta mayor sea la velocidad. Para calcular dicha masa de agua, basta con considerar la cantidad encerrada en la columna de agua de base As o Al y cuya altura dependerá obviamente de D.

Sin tener en cuenta que el corredor pueda agacharse o inclinarse, llegamos a que la cantidad de agua M que cae sobre el sujeto en función del cociente entre Vc y Vl es:


Al derivarla obtenemos una función decreciente con una asíntota horizontal, ya que efectivamente al observar la gráfica de M vemos que:




Lo que evidentemente nos lleva a pensar que es una función monótomamente decreciente en el intervalo que nos interesa (desde que Vc es 0 hasta que tiende a infinito).

Las dos soluciones válidas para que te mojes lo menos posible son:

-Ir a la máxima velocidad posible, pero te mojas una cantidad fija (la columna frontal).
-Que la velocidad de la lluvia sea 0, es decir, que no llueva...

Masa de agua (eje azul) en función de la velocidad de la lluvia (eje verde)
y de la velocidad del corredor (eje rojo)

Por consiguiente, en ausencia de viento y a velocidad arbitraria, te mojas menos cuanto más rápido vayas y cuanto menor sea la velocidad de la lluvia.

Consideraremos la velocidad vertical de la lluvia como constante. Efectivamente, la ecuación del movimiento de una gota de lluvia será:


Y considerando la segunda derivada como nula, obtenemos el valor de la velocidad límite



Que en condiciones normales oscila entre los 15 y los 35 km/h.



Podemos considerar ahora que el corredor se incline hacia delante un ángulo delta. La forma de minimizar el agua que impacta con su cuerpo es hacer que el ángulo de inclinación sea, evidentemente, theta. De este modo obtenemos:


La expresión corresponde a la cantidad de agua sobre la cabeza, que obviamente tiende a infinito cuando se está parado, y tiende a una cantidad fija cuando la velocidad del corredor tiende a infinito.

Si graficamos esta función obtenemos:


Como es obvio, la cantidad de agua tiende a una constante, que no es ni más ni menos que el coeficiente de la raíz.

En caso de considerar variable la velocidad del agua:

Masa de agua (eje azul) en función de la velocidad de la lluvia (eje verde)
y de la velocidad del corredor (eje rojo)

Ahora comparemos la masa de agua del corredor sin inclinarse (I) y la del que se inclina (II):



Llamaremos beta al cociente entre la velocidad de la lluvia y la del corredor. Si restamos a la ecuación (II) a la (I), obtenemos:


Por consiguiente, existen ciertos valores de beta para los cuales es preferible correr recto a correr inclinado. Basta con resolver la ecuación superior cuando delta de M es cero, y obtenemos precisamente la condición para la cual es conveniente no inclinarse:


Asimismo, como beta va a ser siempre positivo ya que las velocidades lo son, el cociente tendrá que ser mayor que cero también, para lo cual el área de la cabeza debería ser mayor que el área frontal, cosa que en una persona no ocurre, pero sí en otros animales.

De esta forma llegamos a que es preferible inclinarse siempre en la dirección del desplazamiento.

La inclinación óptima será, lógicamente, aquella que coincida con el ángulo que forman las componentes de la velocidad de la lluvia. Esto se debe a que la cantidad de agua en función del ángulo de inclinación tiene un mínimo cuando ese ángulo es theta.



Caso #2 Con viento

Ahora consideremos que nos da el viento a velocidad constante en la dirección de la trayectoria. En la suma vectorial de las velocidades tenemos que incluir la velocidad del viento y obtenemos, tanto para viento de cara como para viento de espalda:


Es fácil de observar que, a parte de todo lo dicho con anterioridad, la velocidad del viento influye, ya que aumenta lo que te mojas frontalmente. Considerando constante la velocidad de caída de la lluvia y haciendo la gráfica M (Vc, Vv):

Observamos que cuando Vc = -Vv, M es mínimo

Efectivamente cuando el viento nos da de espalda y nos movemos a la misma velocidad, desde nuestro sistema de referencia el agua nos cae sobre la cabeza y es mínima. Esa cantidad de agua es, precisamente:

                                                             

Aunque sea trivial, tratemos de demostrar que la velocidad óptima es igual a la velocidad del viento de espaldas:


Y al resolver esa última ecuación se obtiene


Que es la solución obvia que antes habíamos indicado.

También podemos optar por inclinarnos un ángulo theta. El ángulo óptimo de inclinación, en este caso, sería:


Que evidentemente, cuando Vc = -Vv, ese ángulo es cero. Al inclinarse ese ángulo, el problema se reduce únicamente al agua que cae sobre la cabeza y los hombros.

Es lógico que por culpa del viento el corredor va a verse frenado, lo que aumentaría la pendiente de mojado, pero lo omitiremos por simplicidad.

Está claro que es preferible inclinarse a no hacerlo, pero a altas velocidades no es posible por las limitaciones del cuerpo humano. Por ello podemos pensar: ¿es preferible correr a la velocidad del viento o correr muy rápido? ¿Cómo te mojas menos?


Si hacemos tender la velocidad a valores altos, podemos despreciar el primer sumando y obtenemos que el agua caída sobre el cuerpo es aproximadamente


Si, por el contrario optamos por correr a la velocidad del viento, la masa sería


Comparando las dos expresiones, podemos ver que Mo es del mismo orden que M, pero menor. Además hay que tener en cuenta que M es más grande, ya que hemos prescindido del primer sumando.

Por todo ello, es preferible correr despacio a la velocidad del viento que no muy rápido cuando el viento te viene de espalda.



Conclusiones


- En ausencia de viento, es preferible correr a la máxima velocidad posible.

- En ausencia de viento, lo óptimo es inclinarse en la dirección del desplazamiento un ángulo que coincida con el de la lluvia (desde tu sistema de referencia)

- Con viento de cara, es aconsejable inclinarse hacia delante en el ángulo en el que caiga la lluvia.

- Con viento de espalda, lo preferible es correr a la velocidad del viento.

- Si el viento es lateral, descomponerlo en sus componentes y aplicar una de las dos conclusiones superiores, pero a la máxima velocidad posible.




Para concluir la entrada, os dejo un vídeo del genial Walter Lewin, ex-profesor emérito del Massachusetts Institute of Technology (MIT), donde habla de este problema.



Un saludo y hasta la próxima.
Recordad comentar y compartir!


domingo, 26 de julio de 2015

Slingshot, gravity assist o swing-by

Con estos términos nos referimos al hecho de aprovechar el tirón gravitatorio de un cuerpo celeste para modificar la trayectoria de una sonda espacial, e incluso para acelerarla.

Recientemente, esta técnica ha sido utilizada por la misión que hace poco visitó Plutón, y por ello hoy quería dedicar esta entrada para explicar, desde un ejemplo, su funcionamiento.

Sea un satélite de masa m lanzado desde la Tierra con una velocidad suficiente como para abandonar el campo gravitatorio solar. Alcanza la órbita de Júpiter perpendicularmente a una distancia b del astro y es capaz de desviarse un ángulo de 90º. Vamos a calcular cuánta energía gana nuestra nave.

Si el satélite tiene suficiente energía como para escapar del campo solar, es porque su energía en el infinito es nula, y por el Principio de Conservación de la Energía, su energía cuando se encuentra a una distancia cualquiera del Sol también será nula.

Sea r el radio orbital de Júpiter en el momento en que es alcanzado por la nave. Podemos decir que:


donde Vs representa la velocidad del satélite respecto del Sol y Mj la masa de Júpiter.

La velocidad desde el sistema de referencia de Júpiter lógicamente será


donde Vj representa la velocidad orbital de Júpiter.

Si durante el encuentro b es constante, debido a que el campo es central, se conservará el momento angular con respecto a Júpiter, por lo que de forma más o menos trivial observamos que la velocidad final Vf del satélite en el sistema de referencia del Sol es:


Por tanto, la energía cinética ganada por unidad de masa del satélite será de:


Lo que evidentemente supone enormes ventajas en el ahorro de combustible.


Un saludo y hasta la próxima publicación. No olviden comentar y compartir.