¿Cómo se producen las mareas?

Para concluir esta triada de entradas relacionadas con las mareas, hoy hablaré de la explicación física de las propias mareas. Las otras dos publicaciones son El Efecto Marea y los Corales y la duración del día.

La relación entre las aceleraciones de dos sistemas, uno inercial y el otro no inercial, se halla así:

Ahora esquematicemos el sistema Tierra-Luna:

Sea una masa m localizada en la superficie terrestre. Por simplicidad, consideremos que la Tierra no gira sobre su eje y que la hidrosfera recubre toda la superficie del planeta. La masa solo está afectada gravitacionalmente por la Tierra y la Luna, de momento. La segunda ley de Newton sobre esta masa desde el sistema centro de masas nos permite escribir:

 Donde E es el empuje hidrostático y el vector a se refiere al sistema centro de masas.

Como consideramos la masa estática desde el sistema Tierra (despreciamos efecto Coriolis), así como que exista vector rotación ni su primera derivada temporal, en la ecuación deducida de (1) solo nos queda:

Donde el vector radio estrella es el que va desde el CM del sistema Tierra-Luna al centro de la Tierra. Como decíamos, por Newton podíamos escribir:

Siendo el vector F el que compensa a E para que la masa m esté en reposo. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y el centro de masas del sistema es:

 Y aplicando la Ley de la Gravitación de Newton podemos hallar la velocidad angular tal que:

Podemos decir, finalmente, que la fuerza F es:

Si nos fijamos, el primer término es simplemente la atracción terrestre. Teniendo solo en cuenta este primer término, no se producirían las mareas, por lo que el segundo y el tercer miembro de la ecuación son los generadores de mareas. De este modo llamamos f a la fuerza generadora de mareas de forma que:

Un esquema ilustrativo sobre nuestro planeta podría ser el siguiente:

Ahora procedamos a calcular cuál es el tiempo que transcurre entre dos mareas. Aparentemente puede parecer que son 12h, es decir, dos pleamares y dos bajamares diarias, pero mientras gira la Tierra sobre su eje, la Luna ha recorrido un pequeño ángulo de su órbita, variando la posición del centro de masas.

En la figura superior, las mareas altas se producen en la línea que une los centros de la Tierra y la Luna. En un instante inicial, nos encontramos en el punto A'. Queremos hallar el tiempo que transcurre hasta que nos encontremos en A. Como, desde la Tierra, el CM gira a la misma velocidad angular que la Luna, nuestra posición angular respecto al centro de la Tierra y la posición del punto A son, respectivamente,

Resolviendo el sistema obtenemos que el periodo T de las mareas es:

Podemos ver en la siguiente página una Tabla con las mareas de Gran Canaria. Como observamos, hay pequeás variaciones de minutos por las aproximaciones y simplificaciones hechas, además de por no tener en cuenta el liger efecto del Sol.

Para concluir la entrada, os dejo un vídeo ilustrativo que resume un poco todo.

Un saludo!

El efecto marea

Como ya mencionamos hace cierto tiempo en la entrada sobre la relación entre los corales y la duración del día terrestre, el período de rotación terrestre está aumentando, es decir, la Tierra se está frenando. Debido a ello, la Luna se aleja de la Tierra. ¿Pero por qué sucede todo esto? La respuesta la encontramos en el llamado "Efecto Marea", que trataremos de analizar en la entrada de hoy.

Partimos de que el momento angular del sistema Tierra-Luna se conserva. Trataremos a la Luna como una masa puntual y despreciaremos el momento de inercia de la Tierra respecto de su eje sobre el de la Luna alrededor de la Tierra. Consideraremos, por simplicidad, que el centro de masas del sistema coincide con el centro de la Tierra.

Las llamadas fuerzas de marea generan un torque que tiende a igualar la velocidad angular de rotación terrestre con la translación de la Luna en torno a nuestro planeta, de modo que en ese momento nuestro satélite se encontrará, aparentemente, en la misma posición en el firmamento.

La conservación del momento angular nos permite escribir que

Calculando el momento de inercia lunar y terrestre, encontramos que el de la Luna es tres órdenes de magnitud superior al de la Tierra, por lo que podemos decir que

En el momento en que los períodos se igualen, se cumplirá la ecuación

que aparece tras igualar la aceleración gravitatoria a la centrípeta.

Teniendo en cuenta el momento angular del sistema, es fácil ver que

lo que implica que la distancia final entre la Tierra y la Luna es 1,4 veces la actual.

Asimismo, la velocidad angular final del sistema vendrá dada por

que se corresponde con un período de unos 46 días actuales.

¿Cuánto se separa la Luna de la Tierra cada año?

Para ello tendremos que hacer un esquema ilustrativo de las fuerzas de marea que actúan sobre la Tierra. En la entrada de hoy despreciaremos la interacción con el Sol. Podríamos considerar el sistema Tierra-Luna de la forma:

Ahora calcularemos las fuerzas que ejerce la Luna sobre cada una de los dos masas. Llamaremos F1 a la fuerza sobre la masa más próxima y F2 a la más lejana. Utilizando la Ley de la Gravitación de Newton y el Teorema del coseno, llegamos a que:

Y por consiguiente, el torque generado por el par de fuerzas sobre la Luna será:

Pero como esto es un blog de Física y a los físicos no les gustan fórmulas tan grandes y feas, vamos a embellecerla un poco. Para ello tenemos en cuenta que D >> r, y tras una serie de cálculos y aproximaciones, llegamos a:

Que es infinítamente más sencilla, totalmente válida y más bonita. Para obtenerla hemos empleado el Teorema del seno además de las simplificaciones anteriormente mencionadas.

Sabemos también que el torque no es más que la primera derivada temporal del momento angular, y aproximando la órbita lunar a una circunferencia:

Introduciendo (1) en (2):

Y finalmente integrando:

Lo que, según la tasa actual de separación, implica que la Luna y la Tierra se alejan 3,4 cm cada año. Esa tasa se va frenando hasta el punto en que, cuando la variación de momento angular de la Luna se anule, sea cero. En ese instante desaparecerán las fuerzas de marea y la Tierra rotará a la misma velocidad a la que la Luna orbita nuestro planeta. Ambos periodos serán de 46 días.

Finalmente, hay que tener en cuenta que la energía del sistema se pierde debido a la viscosidad del agua en forma de calor. Una buena aproximación es que un 10% de la energía de subida del nivel del mar en una marea se disipa. Sabiendo aprovechar esta pérdida, podríamos producir en un año el equivalente a 10 mil millones de barriles de petróleo, la tercera parte de la energía consumida anualmente a nivel planetario. Yo creo que es una buena excusa para invertir en este tipo de energías.

Si quieres avanzar más y saber cómo se producen las mareas, haz clic aquí.

¡Un saludo y hasta la próxima!