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miércoles, 17 de febrero de 2016

Reto de Matemáticas #2

En este segundo reto, optamos por plantear un problema de matemáticas. Si averiguas la solución, mándala por correo electrónico a gasape21@gmail.com, y si es ingeniosa y elegante la publicaremos. Ahí va:

Sea $r$ una recta que corta al eje OY en el punto $B=(0,b)$ con $b>0$ y que pasa por el punto $A=(5,0)$. Sea $C$ el punto del eje OY que se sitúa 2 unidades por encima de $B$ y sea $P$ el punto de corte entre $r$ y una recta que pasa por $C$ y forma un ángulo de $-\pi/4$ con la recta $x=0$. 

Hacemos girar a $r$ alrededor del punto $A$ de modo que el ángulo que se halla en el vértice $A$ pasa de $0$ a $\pi/2$. Calcula la ecuación del lugar geométrico de $P$. ¿Qué tipo de curva se obtiene?





Recuerda que puedes ver el resto de retos con sus soluciones en esta página: Todos los Retos.


domingo, 14 de febrero de 2016

Solución al Reto #1

Si aún no sabéis cuál es el Reto #1, clic aquí: Reto #1. Si ya lo conoces, he aquí su solución:

Una espira cuadrada de lado $b$, masa $m$ y resistencia eléctrica $R$ es empujada con una velocidad inicial $v_0$ hacia una zona en la que existe un campo magnético $\vec{B}$ como se observa en la figura. ¿Cuál ha de ser la velocidad $v_0$, como mínimo, para que el carrito atraviese completamente la zona sombreada?

Nota: Puede serte útil la regla de la cadena. $\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{dv}{dx}\cdot\displaystyle\frac{dx}{dt}=v\cdot\displaystyle\frac{dv}{dx}$


Tenemos que darnos cuenta de que al entrar el carrito en el campo magnético, comenzará a frenarse debido a que la corriente que se induce en la espira propiciará una fuerza de Lorentz en el sentido opuesto al de la velocidad. Esta fuerza desaparecerá una vez el carrito haya penetrado completamente en el campo, pues en ese caso $d\Phi/dt=0$, donde $\Phi$ denota el flujo magnético. La fuerza que se opone al movimiento será $F=bBI$, donde $I$ denota la intensidad que circula por la espira.

Es claro por la Ley de Ohm que $I=V/R=\displaystyle\frac{1}{R}\displaystyle\frac{d\Phi}{dt}$, y por consiguiente $F=\displaystyle\frac{bB}{R}\displaystyle\frac{d\Phi}{dt}$ $(I)$.

Asimismo el flujo en función del tiempo será $\Phi=Bbv(x)t$, y la variación de flujo, por consiguiente, será $\displaystyle\frac{d\Phi}{dt}=Bbv$. Nótese que $v\neq v(t)$. Introduciendo este maravilloso resultado en $(I)$:

$F=\displaystyle\frac{B^2b^2}{R}v$, y por la Segunda Ley de Newton, $m\displaystyle\frac{dv}{dt}=-\displaystyle\frac{B^2b^2}{R}v$ al no existir más fuerzas implicadas. Adviértase el signo negativo, puesto que el carrito se frena.

Por la regla de la cadena se tiene finalmente que:

$m\displaystyle\frac{dv}{dt}=mv\displaystyle\frac{dv}{dx}=-\displaystyle\frac{B^2b^2}{R}v\Rightarrow\displaystyle\int_{v_0}^{0}{dv}=-\displaystyle\frac{B^2b^2}{mR}\displaystyle\int_{0}^{b}{dx}\Rightarrow v_0=\displaystyle\frac{B^2b^3}{mR}$




jueves, 11 de febrero de 2016

Última hora: detección de ondas gravitacionales

Hoy, día 11 de febrero de 2016, el equipo LIGO con la colaboración de VIRGO ha anunciado hace unos minutos por rueda de prensa la detección de ondas gravitacionales procedentes de la fusión de dos agujeros negros. La enrome energía liberada fue detectada el pasado 14 de septiembre, confirmando definitivamente la valided de la Teoría de la Relatividad General de Albert Einstein.


En la imagen inferior podemos ver el método que utilizan para detectarlas: el detector consta de dos brazos de varios kilómetros de largo recorridos por un haz láser. Al pasar una onda gravitacional, los brazos se contraen o extienden de modo que podemos detectarla debido a interferencias en dicho láser. Está mucho mejor explicado en el artículo que he subido a la sección Archivos, justo debajo de donde pone artículos.

Método de detección usado en LIGO


Os dejo aquí el artículo presentado hoy, así como la explicación del proceso: Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger.

LIGO


El paper de la rueda de prensa lo podéis encontar en la sección Archivos. 

Mi más sincera enhorabuena a todo aquel que se dedique a la Física. El día de hoy pasará a la historia.






Podemos esperar descubrimientos semejantes en las próximas décadas gracias a los detectores que se están construyendo en países como la India. Hoy es el comienzo de una nueva Astrofísica.

Un gran saludo!!!


miércoles, 10 de febrero de 2016

Reto de Física #1

Comienzo una serie de entradas en las que expondré un problema de Física o de Matemáticas para su resolución. La respuesta más elegante o más ingeniosa será publicada junto al nombre de la persona que la resuelva. Para ello, manden un correo electrónico con la respuesta a gasape21@gmail.com. Suerte!



El primer problema que quiero plantear es el siguiente:

Una espira cuadrada de lado $b$, masa $m$ y resistencia eléctrica $R$ es empujada con una velocidad inicial $v_0$ hacia una zona en la que existe un campo magnético $\vec{B}$ como se observa en la figura. ¿Cuál ha de ser la velocidad $v_0$, como mínimo, para que el carrito atraviese completamente la zona sombreada? Se desprecia todo tipo de rozamiento.

Nota: Puede serte útil la regla de la cadena. $\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{dv}{dx}\cdot\displaystyle\frac{dx}{dt}=v\cdot\displaystyle\frac{dv}{dx}$




Recuerda que puedes ver el resto de retos con sus soluciones en esta página: Todos los Retos.

Clic aquí para ver la solución.


domingo, 7 de febrero de 2016

Esa tan temida...Entropía

Este es uno de los conceptos a los que los alumnos de Física nos tenemos que enfrentar casi a diario. Es muy famosa la ecuación que nos dice que la entropía siempre aumenta en un sistema aislado, pero ¿qué es realmente la entropía?

Muchos la definen como el "grado de desorden" de un sistema. Los sistemas más desordenados tendrán una entropía mayor que los más ordenados. Pero sigo pensando que esta definición es demasiado confusa. Sin embargo, una de las maneras más ingeniosas en que me han explicado el concepto es: "la entropía es el tamaño del pen drive en el que está metido toda la información que nos falta por saber de un sistema". Simplemente genial. Vamos con ello:

Supóngase que tenemos cuatro bolitas y cuatro agujeros con distinto número de huecos como se muestra en las imágenes inferiores. Comencemos con un solo hueco:


Es evidente que en este caso las bolitas solo se pueden colocar de una sola forma. Dicho de otra manera, las combinaciones totales posibles son $\Omega=1$. 

Es bien sabido que a los físicos les gusta tomar logaritmos en todos los sitios, así que yo digo que la entropía $S$ de un sistema se calcula como $S=k\log\Omega$. En el caso de la imagen superior sale que $S=0$ puesto que $\log 1=0$. De momento nos olvidaremos de las unidades y de la constante $k$.

Veamos un ejemplo con varios huecos, en este caso tres:

 

Aunque también pueden colocarse las bolitas de más formas, como esta:



Y podemos encontrar hasta 81 combinaciones en total. En este caso $\Omega=81$ y por tanto la entropía será distinta de cero. Calculándola, $S=k\log\Omega=6\cdot 10^{-23}$, que equivale a un número muy muy muy diminuto, tan pequeño como comparar un átomo con la distancia entre el Sol y la estrella más cercana.

Ahora imaginemos que hacemos de nuevo el experimento de las bolitas en los agujeros pero no podemos ver cómo están colocadas. Solo nos dicen el número de huecos que hay. Si hay un solo hueco, sabemos que la única posición posible es que cada una esté en un hueco. Lo sabemos todo, el pen drive de lo que no sabemos está vacío.

Con dos huecos ya hay más opciones, ya no lo sabemos todo. El pen drive de las cosas que no sabemos ya tendrá algo de información. 

Con veinte huecos, hay muchísimas opciones, más de tres mil millones. Necesitaremos un pen drive mucho mayor. Con 100 huecos hay un número inimaginable de posibilidades. Y con $6,023\cdot 10^{23}$, ni te cuento.

La entropía es, por tanto, el tamaño del pen drive en el que está toda la información que desconocemos. Ahora es fácil ver aquello del desorden, pues a mayor entropía, mayores posibilidades. Las bolitas están más descolocadas con veinte huecos que con uno.


Originalmente el concepto físico de la entropía se deriva del Segundo Principio de la Termodinámica. Se define como sigue:

$dS=\displaystyle\frac{\delta Q}{T}$

Y es una función de estado. Además solo puede calcularse para procesos reversibles. Realizando la integral correspondiente en el caso de un gas ideal a presión constante en el que cambia el volumen, obtenemos que:

$\Delta S=nR\log\displaystyle\frac{V_1}{V_2}$

Ahora supongamos que, de repente, todas las moléculas de un gas ideal se encuentran hacinadas en un volumen $V_2<V_1$, siendo $V_1$ el volumen del recipiente en que está el gas. La probabilidad de que la molécula 1 esté ahí es $\Omega=V_2/V_1$. La probabilidad de que estén la 1 y la 2 es $\Omega=(V_2/V_1)^2$. La probabilidad de que estén las $N$ moléculas será $\Omega=(V_2/V_1)^N$. Tomando logaritmos:

$\log\Omega=N\log{\displaystyle\frac{V_2}{V_1}}$

Recordando que de la Termodinámica se tiene que $\Delta S=nR\log\frac{V_1}{V_2}$ y ordenando un poquito ambas ecuaciones, es claro que:

$\Delta S=k\log\Omega$

Ya que $k=\displaystyle\frac{R}{N_A}$.

Por tanto hemos visto cómo a partir de la definición termodinámica de la entropía como $dS=\displaystyle\frac{\delta Q}{T}$ hemos llegado a la definición de "desorden" que tanto se escucha: $\Delta S=k\log\Omega$.

Pues bien, el Segundo Principio de la Termodinámica nos dice que en un sistema aislado, la entropía (o desorden) del sistema siempre aumenta. Matemáticamente, $\displaystyle\frac{dS}{dT}\geq 0$. ¿Es esto siempre cierto? Sí y no. 

Supongamos un gas como en el ejemplo de antes. La variación de entropía a presión constante podría calcularse como $\Delta S=nR\log\frac{V_1}{V_2}$. El valor que vamos a obtener va a ser cero, porque el volumen siempre va a ser el mismo...¿o no? Imaginemos que en un instante dado todas las moléculas se encuentran en una de las dos mitades del recipiente. En este caso, puesto que $V_1>V_2$, ¡LA ENTROPÍA DISMINUYE! ¿Por tanto el Segundo Principio es falso y todo es una gran mentira? 

Quieto parado amigo. Un gas normal tiene del orden de $10^{23}$ moléculas. Como vimos al principio de la entrada, podemos calcular la probabilidad de que las moléculas estén en una posición o en otra. Como cuantos más huecos en el ejemplo de las bolitas las posibilidades eran cada vez mayores, con tantas moléculas las posibilidades son casi infinitas. Esto quiere decir que para que la entropía disminuyese realmente, deberían de pasar miles de billones de años. 

Hemos de recordar que la Termodinámica es una descripción macroscópica de la realidad. Es evidente que con tres partículas la entropía sí que disminuiría en el tiempo, pero es que con tres partículas no hablamos de Termodinámica, sino de Mecánica Cuántica. En el ámbito de aplicación del Segundo Principio de la Termodinámica, con millones y millones y millones de partículas, éste siempre se cumple. Por tanto podemos concluir con esta frase de Homer:



Quizá pueda resultar interesante un fragmento de la obra "La última pregunta" de Isaac Asimov donde habla de la disminución de la entropía en el Universo. Si la lees, te dejará sin palabras. Puedes encontrarla en mi sección Archivos.

Muchas gracias y compartan!


miércoles, 3 de febrero de 2016

¿Cómo se producen las mareas?

Para concluir esta triada de entradas relacionadas con las mareas, hoy hablaré de la explicación física de las propias mareas. Las otras dos publicaciones son El Efecto Marea y los Corales y la duración del día.

La relación entre las aceleraciones de dos sistemas, uno inercial y el otro no inercial, se halla así:


Ahora esquematicemos el sistema Tierra-Luna:


Sea una masa m localizada en la superficie terrestre. Por simplicidad, consideremos que la Tierra no gira sobre su eje y que la hidrosfera recubre toda la superficie del planeta. La masa solo está afectada gravitacionalmente por la Tierra y la Luna, de momento. La segunda ley de Newton sobre esta masa desde el sistema centro de masas nos permite escribir:


 Donde E es el empuje hidrostático y el vector a se refiere al sistema centro de masas.

Como consideramos la masa estática desde el sistema Tierra (despreciamos efecto Coriolis), así como que exista vector rotación ni su primera derivada temporal, en la ecuación deducida de (1) solo nos queda:


Donde el vector radio estrella es el que va desde el CM del sistema Tierra-Luna al centro de la Tierra. Como decíamos, por Newton podíamos escribir:



Siendo el vector F el que compensa a E para que la masa m esté en reposo. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y el centro de masas del sistema es:


 Y aplicando la Ley de la Gravitación de Newton podemos hallar la velocidad angular tal que:


Podemos decir, finalmente, que la fuerza F es:


Si nos fijamos, el primer término es simplemente la atracción terrestre. Teniendo solo en cuenta este primer término, no se producirían las mareas, por lo que el segundo y el tercer miembro de la ecuación son los generadores de mareas. De este modo llamamos f a la fuerza generadora de mareas de forma que:


Un esquema ilustrativo sobre nuestro planeta podría ser el siguiente:


Ahora procedamos a calcular cuál es el tiempo que transcurre entre dos mareas. Aparentemente puede parecer que son 12h, es decir, dos pleamares y dos bajamares diarias, pero mientras gira la Tierra sobre su eje, la Luna ha recorrido un pequeño ángulo de su órbita, variando la posición del centro de masas.

En la figura superior, las mareas altas se producen en la línea que une los centros de la Tierra y la Luna. En un instante inicial, nos encontramos en el punto A'. Queremos hallar el tiempo que transcurre hasta que nos encontremos en A. Como, desde la Tierra, el CM gira a la misma velocidad angular que la Luna, nuestra posición angular respecto al centro de la Tierra y la posición del punto A son, respectivamente,


Resolviendo el sistema obtenemos que el periodo T de las mareas es:


Podemos ver en la siguiente página una Tabla con las mareas de Gran Canaria. Como observamos, hay pequeás variaciones de minutos por las aproximaciones y simplificaciones hechas, además de por no tener en cuenta el liger efecto del Sol.


Para concluir la entrada, os dejo un vídeo ilustrativo que resume un poco todo.



Un saludo!