Esa tan temida...Entropía

Este es uno de los conceptos a los que los alumnos de Física nos tenemos que enfrentar casi a diario. Es muy famosa la ecuación que nos dice que la entropía siempre aumenta en un sistema aislado, pero ¿qué es realmente la entropía?

Muchos la definen como el "grado de desorden" de un sistema. Los sistemas más desordenados tendrán una entropía mayor que los más ordenados. Pero sigo pensando que esta definición es demasiado confusa. Sin embargo, una de las maneras más ingeniosas en que me han explicado el concepto es: "la entropía es el tamaño del pen drive en el que está metido toda la información que nos falta por saber de un sistema". Simplemente genial. Vamos con ello:

Supóngase que tenemos cuatro bolitas y cuatro agujeros con distinto número de huecos como se muestra en las imágenes inferiores. Comencemos con un solo hueco:

Es evidente que en este caso las bolitas solo se pueden colocar de una sola forma. Dicho de otra manera, las combinaciones totales posibles son $\Omega=1$. 

Es bien sabido que a los físicos les gusta tomar logaritmos en todos los sitios, así que yo digo que la entropía $S$ de un sistema se calcula como $S=k\log\Omega$. En el caso de la imagen superior sale que $S=0$ puesto que $\log 1=0$. De momento nos olvidaremos de las unidades y de la constante $k$.

Veamos un ejemplo con varios huecos, en este caso tres:

 

Aunque también pueden colocarse las bolitas de más formas, como esta:

Y podemos encontrar hasta 81 combinaciones en total. En este caso $\Omega=81$ y por tanto la entropía será distinta de cero. Calculándola, $S=k\log\Omega=6\cdot 10^{-23}$, que equivale a un número muy muy muy diminuto, tan pequeño como comparar un átomo con la distancia entre el Sol y la estrella más cercana.

Ahora imaginemos que hacemos de nuevo el experimento de las bolitas en los agujeros pero no podemos ver cómo están colocadas. Solo nos dicen el número de huecos que hay. Si hay un solo hueco, sabemos que la única posición posible es que cada una esté en un hueco. Lo sabemos todo, el pen drive de lo que no sabemos está vacío.

Con dos huecos ya hay más opciones, ya no lo sabemos todo. El pen drive de las cosas que no sabemos ya tendrá algo de información. 

Con veinte huecos, hay muchísimas opciones, más de tres mil millones. Necesitaremos un pen drive mucho mayor. Con 100 huecos hay un número inimaginable de posibilidades. Y con $6,023\cdot 10^{23}$, ni te cuento.

La entropía es, por tanto, el tamaño del pen drive en el que está toda la información que desconocemos. Ahora es fácil ver aquello del desorden, pues a mayor entropía, mayores posibilidades. Las bolitas están más descolocadas con veinte huecos que con uno.

Originalmente el concepto físico de la entropía se deriva del Segundo Principio de la Termodinámica. Se define como sigue:

$dS=\displaystyle\frac{\delta Q}{T}$

Y es una función de estado. Además solo puede calcularse para procesos reversibles. Realizando la integral correspondiente en el caso de un gas ideal a presión constante en el que cambia el volumen, obtenemos que:

$\Delta S=nR\log\displaystyle\frac{V_1}{V_2}$

Ahora supongamos que, de repente, todas las moléculas de un gas ideal se encuentran hacinadas en un volumen $V_2<V_1$, siendo $V_1$ el volumen del recipiente en que está el gas. La probabilidad de que la molécula 1 esté ahí es $\Omega=V_2/V_1$. La probabilidad de que estén la 1 y la 2 es $\Omega=(V_2/V_1)^2$. La probabilidad de que estén las $N$ moléculas será $\Omega=(V_2/V_1)^N$. Tomando logaritmos:

$\log\Omega=N\log{\displaystyle\frac{V_2}{V_1}}$

Recordando que de la Termodinámica se tiene que $\Delta S=nR\log\frac{V_1}{V_2}$ y ordenando un poquito ambas ecuaciones, es claro que:

$\Delta S=k\log\Omega$

Ya que $k=\displaystyle\frac{R}{N_A}$.

Por tanto hemos visto cómo a partir de la definición termodinámica de la entropía como $dS=\displaystyle\frac{\delta Q}{T}$ hemos llegado a la definición de "desorden" que tanto se escucha: $\Delta S=k\log\Omega$.

Pues bien, el Segundo Principio de la Termodinámica nos dice que en un sistema aislado, la entropía (o desorden) del sistema siempre aumenta. Matemáticamente, $\displaystyle\frac{dS}{dT}\geq 0$. ¿Es esto siempre cierto? Sí y no. 

Supongamos un gas como en el ejemplo de antes. La variación de entropía a presión constante podría calcularse como $\Delta S=nR\log\frac{V_1}{V_2}$. El valor que vamos a obtener va a ser cero, porque el volumen siempre va a ser el mismo...¿o no? Imaginemos que en un instante dado todas las moléculas se encuentran en una de las dos mitades del recipiente. En este caso, puesto que $V_1>V_2$, ¡LA ENTROPÍA DISMINUYE! ¿Por tanto el Segundo Principio es falso y todo es una gran mentira? 

Quieto parado amigo. Un gas normal tiene del orden de $10^{23}$ moléculas. Como vimos al principio de la entrada, podemos calcular la probabilidad de que las moléculas estén en una posición o en otra. Como cuantos más huecos en el ejemplo de las bolitas las posibilidades eran cada vez mayores, con tantas moléculas las posibilidades son casi infinitas. Esto quiere decir que para que la entropía disminuyese realmente, deberían de pasar miles de billones de años. 

Hemos de recordar que la Termodinámica es una descripción macroscópica de la realidad. Es evidente que con tres partículas la entropía sí que disminuiría en el tiempo, pero es que con tres partículas no hablamos de Termodinámica, sino de Mecánica Cuántica. En el ámbito de aplicación del Segundo Principio de la Termodinámica, con millones y millones y millones de partículas, éste siempre se cumple. Por tanto podemos concluir con esta frase de Homer:

Quizá pueda resultar interesante un fragmento de la obra "La última pregunta" de Isaac Asimov donde habla de la disminución de la entropía en el Universo. Si la lees, te dejará sin palabras. Puedes encontrarla en mi sección Archivos.

Muchas gracias y compartan!