Cómo te mojas más cuando llueve: ¿corriendo o andando?

Probablemente lo primero que hagas sea sacar un paraguas, sobre todo si eres precavido, pero si no dispones de uno, ¿qué es mejor para mojarse menos: correr o andar?

Aproximemos el cuerpo humano a un paralelepípedo de área frontal Af y área superior As como se muestra en la figura inferior. No es una mala aproximación si pensamos en As como la suma del área de la cabeza y los hombros y Af como la suma de cara, torso, brazos y piernas.

Ahora planteemos el problema:

Nuestro amigo el paralelepípedo se encuentra a una distancia D de su destino y quiere llegar a él mojándose lo menos posible. Para evitar mojarse, puede desplazarse con la velocidad que desee y puede inclinar su cuerpo si lo cree conveniente. También puede agacharse con el consiguiente detrimento de su velocidad.

Algunas consideraciones:

-La masa de todas las gotas de lluvia es la misma.

-La concentración de gotas de lluvia por unidad de volumen es constante en todo el recorrido.

-La densidad del agua es constante.

-La velocidad y dirección del viento es invariante durante todo el trayecto.

-La velocidad de caída de la lluvia, así como la del corredor es constante.

-Las gotas han alcanzado todas su velocidad límite por la fricción con el aire.

Problema:

Manera óptima para mojarse lo menos posible. Buscar una función del total de agua caída sobre el cuerpo para minimizarla, si es posible.

Caso #1 Sin viento

Sea Vc la velocidad del corredor y Vl la velocidad de la lluvia. Desde el sistema de referencia del sujeto, el experimento se vería así: 

Podemos ver que el agua que caerá sobre la cabeza y los hombros será menor cuanta mayor sea la velocidad. Para calcular dicha masa de agua, basta con considerar la cantidad encerrada en la columna de agua de base As o Al y cuya altura dependerá obviamente de D.

Sin tener en cuenta que el corredor pueda agacharse o inclinarse, llegamos a que la cantidad de agua M que cae sobre el sujeto en función del cociente entre Vc y Vl es:

Al derivarla obtenemos una función decreciente con una asíntota horizontal, ya que efectivamente al observar la gráfica de M vemos que:

Lo que evidentemente nos lleva a pensar que es una función monótomamente decreciente en el intervalo que nos interesa (desde que Vc es 0 hasta que tiende a infinito).

Las dos soluciones válidas para que te mojes lo menos posible son:

-Ir a la máxima velocidad posible, pero te mojas una cantidad fija (la columna frontal).

-Que la velocidad de la lluvia sea 0, es decir, que no llueva...

Masa de agua (eje azul) en función de la velocidad de la lluvia (eje verde)
y de la velocidad del corredor (eje rojo)

Por consiguiente, en ausencia de viento y a velocidad arbitraria, te mojas menos cuanto más rápido vayas y cuanto menor sea la velocidad de la lluvia.

Consideraremos la velocidad vertical de la lluvia como constante. Efectivamente, la ecuación del movimiento de una gota de lluvia será:

Y considerando la segunda derivada como nula, obtenemos el valor de la velocidad límite

Que en condiciones normales oscila entre los 15 y los 35 km/h.

Podemos considerar ahora que el corredor se incline hacia delante un ángulo delta. La forma de minimizar el agua que impacta con su cuerpo es hacer que el ángulo de inclinación sea, evidentemente, theta. De este modo obtenemos:

La expresión corresponde a la cantidad de agua sobre la cabeza, que obviamente tiende a infinito cuando se está parado, y tiende a una cantidad fija cuando la velocidad del corredor tiende a infinito.

Si graficamos esta función obtenemos:

Como es obvio, la cantidad de agua tiende a una constante, que no es ni más ni menos que el coeficiente de la raíz.

En caso de considerar variable la velocidad del agua:

Masa de agua (eje azul) en función de la velocidad de la lluvia (eje verde)

y de la velocidad del corredor (eje rojo)

Ahora comparemos la masa de agua del corredor sin inclinarse (I) y la del que se inclina (II):

Llamaremos beta al cociente entre la velocidad de la lluvia y la del corredor. Si restamos a la ecuación (II) a la (I), obtenemos:

Por consiguiente, existen ciertos valores de beta para los cuales es preferible correr recto a correr inclinado. Basta con resolver la ecuación superior cuando delta de M es cero, y obtenemos precisamente la condición para la cual es conveniente no inclinarse:

Asimismo, como beta va a ser siempre positivo ya que las velocidades lo son, el cociente tendrá que ser mayor que cero también, para lo cual el área de la cabeza debería ser mayor que el área frontal, cosa que en una persona no ocurre, pero sí en otros animales.

De esta forma llegamos a que es preferible inclinarse siempre en la dirección del desplazamiento.

La inclinación óptima será, lógicamente, aquella que coincida con el ángulo que forman las componentes de la velocidad de la lluvia. Esto se debe a que la cantidad de agua en función del ángulo de inclinación tiene un mínimo cuando ese ángulo es theta.

Caso #2 Con viento

Ahora consideremos que nos da el viento a velocidad constante en la dirección de la trayectoria. En la suma vectorial de las velocidades tenemos que incluir la velocidad del viento y obtenemos, tanto para viento de cara como para viento de espalda:

Es fácil de observar que, a parte de todo lo dicho con anterioridad, la velocidad del viento influye, ya que aumenta lo que te mojas frontalmente. Considerando constante la velocidad de caída de la lluvia y haciendo la gráfica M (Vc, Vv):

Observamos que cuando Vc = -Vv, M es mínimo

Efectivamente cuando el viento nos da de espalda y nos movemos a la misma velocidad, desde nuestro sistema de referencia el agua nos cae sobre la cabeza y es mínima. Esa cantidad de agua es, precisamente:

                                                             

Aunque sea trivial, tratemos de demostrar que la velocidad óptima es igual a la velocidad del viento de espaldas:

Y al resolver esa última ecuación se obtiene

Que es la solución obvia que antes habíamos indicado.

También podemos optar por inclinarnos un ángulo theta. El ángulo óptimo de inclinación, en este caso, sería:

Que evidentemente, cuando Vc = -Vv, ese ángulo es cero. Al inclinarse ese ángulo, el problema se reduce únicamente al agua que cae sobre la cabeza y los hombros.

Es lógico que por culpa del viento el corredor va a verse frenado, lo que aumentaría la pendiente de mojado, pero lo omitiremos por simplicidad.

Está claro que es preferible inclinarse a no hacerlo, pero a altas velocidades no es posible por las limitaciones del cuerpo humano. Por ello podemos pensar: ¿es preferible correr a la velocidad del viento o correr muy rápido? ¿Cómo te mojas menos?

Si hacemos tender la velocidad a valores altos, podemos despreciar el primer sumando y obtenemos que el agua caída sobre el cuerpo es aproximadamente

Si, por el contrario optamos por correr a la velocidad del viento, la masa sería

Comparando las dos expresiones, podemos ver que Mo es del mismo orden que M, pero menor. Además hay que tener en cuenta que M es más grande, ya que hemos prescindido del primer sumando.

Por todo ello, es preferible correr despacio a la velocidad del viento que no muy rápido cuando el viento te viene de espalda.

Conclusiones


- En ausencia de viento, es preferible correr a la máxima velocidad posible.

- En ausencia de viento, lo óptimo es inclinarse en la dirección del desplazamiento un ángulo que coincida con el de la lluvia (desde tu sistema de referencia)

- Con viento de cara, es aconsejable inclinarse hacia delante en el ángulo en el que caiga la lluvia.

- Con viento de espalda, lo preferible es correr a la velocidad del viento.

- Si el viento es lateral, descomponerlo en sus componentes y aplicar una de las dos conclusiones superiores, pero a la máxima velocidad posible.

Para concluir la entrada, os dejo un vídeo del genial Walter Lewin, ex-profesor emérito del Massachusetts Institute of Technology (MIT), donde habla de este problema.

Un saludo y hasta la próxima.
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Deducción de la Segunda Ley de Kepler

Hará cosa de medio año, en este blog deducimos la Tercera Ley de Kepler, o mejor dicho, la justificamos a partir de la Ley de la Gravitación Universal.

Hoy justificaremos la 2ª Ley de Kepler, que dice así: "Las áreas barridas por un radio vector con origen el Sol y destino un planeta, barren áreas iguales en tiempos iguales". Se verá mejor con una imagen:

Si el tiempo que tarda un planeta en ir desde P1 hasta P2 es el mismo que en ir desde P3 hasta P4, el área A1 será igual al área A2. Pero, ¿por qué ocurre esto?

Johannes Kepler se basó en los datos astronómicos de su coetáneo Tycho Brahe antes de que Isaac Newton estableciese su Ley de la Gravitación Universal. Nosotros vamos a partir de ahí, pero primero definamos algunos términos:

Perigeo: punto de la órbita más cercano al Sol (o al astro en torno al cual se orbite). En el caso de la Tierra, se llama Perihelio.

Apogeo: punto de la órbita mas alejado del Sol. En el caso de la Tierra se llama Afelio.

Velocidad Areolar: el área barrida por el radio vector por unidad de tiempo.

Demostración:

Primero vamos a demostrar esta ley en los casos particulares del apogeo y perigeo. Si consideramos un diferencial de tiempo (dt), el área barrida por el planeta se asemeja a un triángulo de base ds y de altura la distancia al Sol:

Calculemos el área de las zonas rojas (dA) como si fuesen triángulos:

En el caso del perigeo procederemos del mismo modo:

Ahora vamos a calcular el momento de fuerza de la fuerza gravitatoria del Sol al planeta con respecto al propio Sol. Por definición:

Entonces el momento será (modularmente):

El momento también puede escribirse de la siguiente forma:

Deducimos que el momento angular es constante (en dirección, sentido y módulo) a lo largo de toda la trayectoria. El momento angular se define como:

Como hemos dicho que el momento angular es constante, el momento angular en el apogeo será igual al del perigeo:

Finalmente llegamos a que la velocidad areolar en el perigeo es igual a la velocidad areolar en el apogeo:

Para cualquier otro punto de la órbita procedemos igual:

El área (dA):

Y como tanto L como m son constantes, la velocidad areolar también será constante y queda demostrada la Segunda Ley de Kepler.

Puedes leer también la demostración de la Primera Ley de Kepler.

Nos vemos en la próxima entrada!

Velocidad de escape y agujeros negros

Prueba a lanzar algo hacia arriba. Seguramente ascienda unos metros y despúes vuelva a caer. Cuanto más fuerte lo tires, más tiempo tarda en caer, ¿no? ¿Nunca te has preguntado a qué velocidad lo tienes que lanzar para que no caiga jamás? Si es así, ¡continua leyendo esta entrada!

De lo que vamos a hablar es de la velocidad de escape: la velocidad mínima que debe de tener un objeto para escapar de la atracción gravitatoria de otro. ¿Cómo podemos calcularla?

Si lanzamos un objeto hacia arriba desde la Tierra, se irá frenando poco a poco hasta que se frene y caiga. Para que el objeto no caiga nunca, su velocidad deberá ser tal que solo llegue a frenarse cuando se encuentre a una distancia infinita de nuestro planeta (supongamos que no influyesen en el objeto otros astros, aunque no es así).

Por tanto, en el infinito, su velocidad tiene que ser 0, por lo que su energía cinética (relacionada con la velocidad) también será 0. ¿Cuánto valdrá su energía potencial?

Dado que consideramos que el objeto se encuentra a una distancia infinita, su energía potencial será 0, al igual que su energía cinética.

Como la gravedad es una fuerza conservativa, la energía mecánica del objeto lanzado (la suma de la cinética y la potencial) es constante, y vale 0. Por lo tanto, se deduce que ambas energías son iguales. Igualandolas obtenemos:

En este caso, R es el radio de la Tierra, G es la constante de la gravitación universal y Mt es la masa de la Tierra. Sustituyendo, nos da que la velocidad de escape de un objeto (no importa su masa) desde la superficie de la Tierra es de unos 11 Km/s.

Por tanto, si consigues lanzar algo hacia arriba a esa velocidad (o mayor), despídete de él...

Los lectores más avispados os preguntaréis qué pasa en un agujero negro. Un agujero negro es un "objeto" que crea un campo gravitatorio tan potente que ni la luz puede escapar de él. Quiere decir que posee una velocidad de escape superior a la de la luz. Igualando la fórmula obtenida anteriormente a la velocidad de la luz:

Hemos obtenido una fórmula en la que R es el radio mínimo de un agujero negro de masa M. Este "radio mínimo" se conoce como radio de Schwarzschild. En el caso de la Tierra, R vale 0,88 cm. ¿Qué significa esto? Significa que si redujésemos todo el planeta Tierra a un tamaño menor al de una canica, su densidad sería tal que se convertiría en un agujero negro, ya que su velocidad de escape sería igual o superior a la de la luz, y como sabemos que nada puede superar esa velocidad, nada* puede escapar de un agujero negro.

A partir de lo hasta aquí obtenido, podemos deducir que la densidad de un agujero negro viene dada por:

Por tanto, la densidad depende del radio: a mayor radio, menor densidad. Un agujero negro de radio 500.000 veces mayor al de la Vía Láctea podría tener una densidad inferior a la del agua.

Esto tiene que ver mucho con la Teoría General de la Relatividad, que dice que el tiempo va ralentizándose a medida que la intensidad del campo gravitatorio aumenta. Cuando esta intensidad equivale a la de un agujero negro, el tiempo se detiene (para un observador situado fuera del agujero negro).

Gracias por haber leído esta entrada. No os olvidéis de votar mi blog en la categoría de Ciencia en los Premios Bitácoras. Votar es muy fácil. Si no sabes cómo, clic aquí.

Hasta la próxima!

*Sin tener en cuenta la supuesta Radiación de Hawking.

Efecto Doppler Relativista

Antes de comenzar, recomiendo leer la entrada anterior (Fórmulas del Efecto Doppler). Gracias al Efecto Doppler se pudo comprobar la Expansión del Universo. En la entrada de hoy combinaremos lo de las tres últimas entradas con la Teoría de la Relatividad Especial de Albert Einstein.

En la entrada anterior hemos considerado el espacio y el tiempo como dimensiones aisladas y absolutas. ¿Pero qué pasa cuando la aproximación entre fuente y observador se aproxima a la velocidad de la luz? Tal y como habíamos dicho en la serie sobre Relatividad Especial, el espacio y el tiempo dependen uno del otro y no son absolutos, sino que dos observadores que se muevan a distintas velocidades pueden medir tiempos y espacios diferentes, y todo ello porque la velocidad de la luz es constante para cualquier observador. A físicos como Albert Einstein o Hendrik Lorentz le debemos estas maravillas.

Recordemos que la Teoría de la Relatividad nace de la idea de que la luz viaja siempre a la misma velocidad en el vacío, tal y como demostró el experimento de Milchelson y Morley.

Supongamos que fabricamos un reloj que funciona con un fotón (partícula asociada a la luz) que rebota entre dos espejos. Cuando rebota, va haciendo tic-tac, como en el del vídeo inferior.

Enlace desde móviles

La distancia d entre los dos espejos es igual a c·t, es decir, la velocidad de la luz por el tiempo que tarda en llegar de un espejo a otro. Dicho de otro modo, el tiempo es igual al espacio entre la velocidad: t = d/c.

Ahora supongamos que introducimos ese reloj en una nave espacial que se mueve a velocidad v. Un astronauta dentro de la nave seguirá oyendo esos tic-tac con la misma frecuencia, ¿pero cómo verá eso una persona desde la Tierra?

Enlace desde móviles

El fotón visto para un astronauta dentro de la nave, sube y baja en línea recta. Pero visto desde fuera, realiza un movimiento en zig-zag, como muestra la imagen inferior. Mediante una serie de sencillas operaciones, deducimos que el tiempo que medía el observador en movimiento (t) es inferior al que mide el observador en reposo (t'):

Eso significa que el tiempo transcurre relativamente más lento para una persona que se mueva que para una en reposo. Si alguien viajase por el espacio a una velocidad de 260.000 km/s durante 50 años, al volver a la Tierra parecería que solo ha envejecido 25 años. A velocidades pequeñas (coches, meteoritos, misiles...), esa dilatación temporal es imperceptible. Necesitaríamos viajar más de 5 millones de años sin parar en coche para que nuestro reloj se atrase solo 1 segundo...antes se queda sin pila...

Una vez repasada la dilatación temporal, podemos comenzar con nuestros típicos ejercicios de imaginación:

Imaginemos que una nave espacial que se mueve hacia nosotros con una velocidad v emite pulsos luminosos a ritmo constante. A nosotros nos interesa calcular la longitud de onda de esos pulsos, entonces contamos el número de ellos que suceden en un tiempo t, y también calculamos cuánto espacio recorre la nave en ese tiempo. Si llamamos N al número de pulsos contados en un intervalo de tiempo t, la longitud de onda será:

A partir de la longitud de onda, hallamos la frecuencia:

Según la Relatividad Especial, la imagen inferior relaciona el periodo medido desde el sistema de referencia del observador (T) y el de la fuente (T'). 

Combinando las ecuaciones (I) y (II), obtenemos:

Racionalizando la expresión superior y simplificándola:

Tenemos que recordar que según el Principio de Relatividad, el movimiento es relativo. Imaginemos que viajamos en coche. Según este principio, es equivalente decir que el coche se mueve respecto a la carretera que decir que la carretera se mueve debajo de las ruedas del coche. Por tanto, no podemos saber si es la fuente la que se mueve o si somos nosotros, solo podremos decir que existe un movimiento.

Dependiendo si fuente y observador se alejan o acercan entre sí, aquí quedan las fórmulas para la frecuencia y la longitud de onda:

Si aumenta la frecuencia, disminuye la longitud de onda y viceversa, ya que c es constante para cualquier sistema de referencia. Otra forma de ver las ecuaciones superiores es considerar positiva la velocidad cuando es de aproximamiento y negativa cuando se alejan, teniendo solo que usar la primera.

Dicho esto, solo nos queda aclarar lo dicho en la entrada sobre la Expansión del Universo.  

Si una estrella se aleja de nosotros, según las ecuaciones superiores, su frecuencia debería disminuir. Por eso mismo se produce el corrimiento al rojo, porque el rojo es el color de menos frecuencia del espectro visible. 

Por el contrario, si una estrella se acerca, se produciría el corrimiento al azul debido al mismo efecto.

Para terminar, un "problema-chiste": Un físico iba pensando en sus ecuaciones sobre la Teoría de Supercuerdas mientras conducía, como cualquier mañana normal. De repente se da cuenta de que le persigue la policía por saltarse un semáforo en rojo, pero como es físico, intenta pensar una escusa rápida. Le dice al policía que no vio el semáforo rojo, sino verde, debido al efecto Doppler. De todos modos, el agente le puso una multa por exceso de velocidad...¿A qué velocidad iba nuestro amigo el físico? Intenta calcularla y deja la respuesta en los comentarios. (La longitud de onda del rojo es de 650 nm y la del verde es de 520 nm). Este problema y su solución están en la sección Ingenio.

Demostración desde la matriz de Lorentz

La ecuación de onda electromagnética, en la imagen inferior, es una invariante relativista.

Luego la fase del campo eléctrico también ha de serlo. Definimos el cuadrivector K como:

Por lo que, en la dirección del movimiento tenemos que:

Y en direcciones perpendiculares a la del movimiento:

Y aquí acaba esta serie de 4 entradas sobre el Efecto Doppler. Si te ha gustado, no olvides compartir y dejar comentarios. Nos "vemos" en la próxima.

Un saludo!