Deducción de la Segunda Ley de Kepler

Hará cosa de medio año, en este blog deducimos la Tercera Ley de Kepler, o mejor dicho, la justificamos a partir de la Ley de la Gravitación Universal.

Hoy justificaremos la 2ª Ley de Kepler, que dice así: "Las áreas barridas por un radio vector con origen el Sol y destino un planeta, barren áreas iguales en tiempos iguales". Se verá mejor con una imagen:

Si el tiempo que tarda un planeta en ir desde P1 hasta P2 es el mismo que en ir desde P3 hasta P4, el área A1 será igual al área A2. Pero, ¿por qué ocurre esto?

Johannes Kepler se basó en los datos astronómicos de su coetáneo Tycho Brahe antes de que Isaac Newton estableciese su Ley de la Gravitación Universal. Nosotros vamos a partir de ahí, pero primero definamos algunos términos:

Perigeo: punto de la órbita más cercano al Sol (o al astro en torno al cual se orbite). En el caso de la Tierra, se llama Perihelio.

Apogeo: punto de la órbita mas alejado del Sol. En el caso de la Tierra se llama Afelio.

Velocidad Areolar: el área barrida por el radio vector por unidad de tiempo.

Demostración:

Primero vamos a demostrar esta ley en los casos particulares del apogeo y perigeo. Si consideramos un diferencial de tiempo (dt), el área barrida por el planeta se asemeja a un triángulo de base ds y de altura la distancia al Sol:

Calculemos el área de las zonas rojas (dA) como si fuesen triángulos:

En el caso del perigeo procederemos del mismo modo:

Ahora vamos a calcular el momento de fuerza de la fuerza gravitatoria del Sol al planeta con respecto al propio Sol. Por definición:

Entonces el momento será (modularmente):

El momento también puede escribirse de la siguiente forma:

Deducimos que el momento angular es constante (en dirección, sentido y módulo) a lo largo de toda la trayectoria. El momento angular se define como:

Como hemos dicho que el momento angular es constante, el momento angular en el apogeo será igual al del perigeo:

Finalmente llegamos a que la velocidad areolar en el perigeo es igual a la velocidad areolar en el apogeo:

Para cualquier otro punto de la órbita procedemos igual:

El área (dA):

Y como tanto L como m son constantes, la velocidad areolar también será constante y queda demostrada la Segunda Ley de Kepler.

Puedes leer también la demostración de la Primera Ley de Kepler.

Nos vemos en la próxima entrada!

¿A cuánto está el horizonte?

Cuando estamos en la orilla del mar y miramos a lo lejos, observamos la línea que separa mar y cielo: es lo que llamamos horizonte. ¿Alguna vez te has preguntado a qué distancia está realmente?

Usando el Teorema de Pitágoras, podemos hallarlo. Veamos cómo:

Podemos suponer que el horizonte es el punto de corte de una recta tangente a la Tierra que parte de nuestros ojos, como se muestra en el dibujo. Sabemos que el radio de la Tierra es de 6.371 Km, y que éste es perpendicular a la recta tangente como se puede observar en el dibujo, y por tanto forma un ángulo de 90º con él. Así tenemos:

Llamaremos h a la altura de la visual del observador, d a la distancia al horizonte, y r al radio terrestre en ese punto del globo.

En este hipotético triángulo rectángulo, la hipotenusa mide r + h. Los otros dos catetos miden d y r. Por tanto, usando el Teorema de Pitágoras, tenemos que:

A partir de esta fórmula, y conociendo la estatura del observador, así como el radio de la Tierra, podremos saber la distancia al horizonte.

Para r = 6371000 m y para h = 1,80 m, tenemos que d = 4,79 Km aproximadamente.

¡ENTONCES EL HORIZONTE ESTÁ A UNOS 5 KM DE NOSOTROS!

Eso sí, la Tierra no es completamente redonda: está achatada por los polos. Entonces, ese radio será variable, aumentando en el ecuador y disminuyendo al aumentar la latitud.

La próxima vez que estés contemplando una hermosa puesta de Sol en la playa, lo primero: disfrútala. Luego ya si eso acuérdate de esta entrada y compártela. 

Comentad y compartid ¡Un saludo y hasta otra!