Energía gravitatoria

En Mecánica Clásica entendemos la energía como aquel ente capaz de realizar un trabajo. Si por ejemplo consideramos un campo de fuerzas conservativas, es decir que posean un potencial, podemos definir una energía potencial asociada a dicho campo, que se interpretaría como aquella cantidad de energía necesaria para desplazar una partícula hasta el infinito (o hasta tierra, es decir, donde el campo se anule).

Potencial gravitatorio creado por una distribución esférica de masa $M$.

Consideremos la gravitación Newtoniana, donde el campo de fuerzas viene definido por la Ley de la Gravitación Universal:

$$ \vec F = - G \frac{m_1 m_2}{r^3} \vec r$$

siendo $G$ la constante de la gravitación universal, $m_1$ y $m_2$ las masas de las partículas en interacción y $\vec r$ el vector que las une. El campo es conservativo, pues proviene del potencial gravitatorio 

$$ V = - G \frac{m_1 m_2}{r} $$

ya que $\vec F = -\nabla V$. La energía potencial se define como el potencial por unidad de masa. Si $M=m_1$ es la masa de la partícula que crea el campo y $m_2$ la que lo "siente", la energía potencial será 

$$E = - G \frac{M}{r}$$

La interpretación física es que el valor numérico de $E$ en $r=r_0$ es la energía necesaria para llevar la partícula de $r=r_0$ hasta el infinito, donde no hay influencia gravitatoria. En este sentido, hemos encontrado una expresión local para la energía gravitatoria. Sin embargo, vamos a ver cómo todo se vuelve más complicado cuando nos adentramos en las fauces de la Relatividad General.

Principio de Equivalencia

Recordemos que, según la Segunda Ley de Newton, la fuerza y la aceleración que experimenta un cuerpo de masa $m$ están relacionadas por 

$$\vec F= m \vec a$$

Por otro lado, hemos visto que la fuerza gravitatoria también depende de la masa $m$ de los cuerpos en interacción. La pregunta es, ¿son estas dos masas la misma? Esto es lo que se conoce como Principio de Equivalencia de Galileo.

En principio no tendría por qué. Fijémonos por ejemplo en la Ley de Coulomb, donde la fuerza electrostática depende de la carga $q$ de la partícula, no de la masa. De hecho, dos partículas de igual masa pero distinta carga acelerarán de forma diferente en presencia de un campo eléctrico. Esto es radicalmente distinto a lo que ocurre con el campo gravitatorio, en el que todos los cuerpos caen con la misma aceleración. ¿Qué tiene de especial la Gravitación?

A lo largo de la Historia ha habido multitud de experimentos para tratar de discernir si en efecto la masa gravitatoria (la de la Ley de la Gravitación Universal) es la misma que la masa inercial (la de la Segunda Ley de Newton). Uno de los más famosos fue el ideado por Lóránd von Eötvös, en el que aprovechó la rotación de la Tierra y la aceleración centrífuga correspondiente. En dicha experiencia y en sucesivas mejoras, se ha logrado probar que ambas masas son iguales con un error menor a $10^{-13}$ (en 1999). Actualmente la sonda espacial MicroSCOPE ha logrado llegar a cotas de $10^{-15}$, y se espera que el satélite STEP alcance hasta $10^{-18}$. Así pues, el Principio de Equivalencia de Galileo tiene una gran base experimental. Ahora bien, ¿qué conclusiones podemos obtener de él?

El Principio de Equivalencia de Galileo parece apuntar a que, de algún modo, un sistema de referencia acelerado es equivalente a uno inercial en presencia de un campo gravitatorio. Dado que el campo gravitatorio no es uniforme, esta equivalencia es sólo local. En este sentido, somos capaces de anular el efecto del campo gravitatorio dejándonos caer en él.

El ejemplo típico, atribuido a Einstein, es el del ascensor. Si consideramos un ascensor que asciende con velocidad uniforme y dejamos caer un objeto, éste impactará contra el suelo del ascensor por efecto de la gravedad. Si repetimos el experimento en el espacio (sin gravedad) pero con un ascensor que se mueva de forma acelerada, el resultado va a ser el mismo. Análogamente, la Física en un ascensor inercial en ausencia de gravedad es la misma (localmente) a la que experimentaríamos en un ascensor en caída libre en presencia de un campo gravitatorio. Si en esta situación soltásemos un objeto, éste caería con nosotros, y lo percibiríamos "suspendido" ante nuestros ojos, como un sistema inercial en Relatividad Especial.

Einstein elevó el Principio de Equivalencia a la categoría de postulado para su Teoría de la Relatividad General. Dicho postulado reza:

Todas las leyes de la Física (salvo la gravitación) son las mismas, a escalas suficientemente locales, en un sistema en caída libre en presencia de un campo gravitatorio o en un sistema inercial en ausencia de gravedad.

Una versión alternativa es:

Todas las leyes de la Física (salvo la gravedad) son iguales, localmente, en un sistema inercial en presencia de un campo gravitatorio y en un sistema de referencia acelerado en ausencia de gravedad.

La principal consecuencia de este Postulado es que la gravedad ya no es una fuerza, si no que se trata de un efecto debido a la Geometría del espacio y del tiempo. Y una consecuencia secundaria es la imposibilidad de definir el concepto de energía local gravitatoria en Relatividad General. Veamos por qué.

Energía local gravitatoria

Recordemos que el Principio de Equivalencia nos lleva a abandonar toda esperanza de poder "medir el campo gravitatorio", al igual que Dante al descender al Inferno:

" Lasciate ogni speranza, voi ch'entrate "

Inferno, La Divina Commedia, Dante Alighieri

Esto es debido a que el valor del campo (la métrica) toma valores diferentes en sistemas de referencia distintos. Por ejemplo, un observador en caída libre (coordenadas gaussinas), observa localmente la métrica de Minkowski, es decir, no siente la gravedad. En el límite newtoniano, la energía asociada al campo viene dada por el laplaciano del potencial gravitatorio, de modo que en Relatividad General esperaríamos que ésta dependiese de la métrica $g$ y sus primeras derivadas. Pero por el Principio de Equivalencia, la energía tomaría valores distintos en diferentes sistemas coordenados. Este es el motivo por el cual no se puede definir un tensor local de energía gravitatoria.

Sin embargo, sí que es posible construir un pseudo-tensor local, como por ejemplo el de Landau-Lifshitz. Este objeto no es tensorial, pues se anula en unos sistemas y no en otros, por lo que capta la esencia fundamental del Principio de Equivalencia. Además, a partir de él se pueden construir unas cantidades (masa ADM o momento ADM, en honor a Arnowitt-Deser-Misner, sus descubridores) conservados cuya interpretación es una medida global de la energía gravitatoria. La base matemática para introducir las formas de Landau-Lifshitz es bastante complicada, por lo que definiremos la masa ADM desde otra vía.

Desde los años 60 del siglo pasado se sabe que la formulación hamiltoniana de la Relatividad General (GR) es equivalente a la planteada por Albert Einstein en su teoría. A grandes rasgos, el Hamiltoniano es suma de dos términos: la ligadura hamiltoniana y la ligadura vectorial. Este formalismo canónico se sustenta en una descomposición 3+1 de la GR. Sin embargo, para normalizar el valor de la acción en GR es necesario añadir ciertos términos de frontera al hamiltoniano. Pues bien, precisamente uno de esos términos es la energía ADM:

$$E = \frac{1}{2}\int n^k(\partial_i h_{ik}-\partial_k h_{jj}) dS$$

donde la integral se realiza en la esfera del infinito, cuyo vector normal es $n$ y $h$ denota la métrica asintóticamente plana. Esta energía ADM obtenida desde el formalismo canónico es la misma que se encuentra a través del pseudo-tensor de Landau-Lifshitz.

El ejemplo clásico no trivial es la energía ADM para la métrica de Schwarzschild en coordenadas isotrópicas. Un sencillo cálculo nos permite comprobar que dicha energía es igual a la masa fuente del campo gravitatorio. De esta forma podemos interpretar la energía ADM como una medida global de la energía de campo gravitatorio en Relatividad General. Si añadimos dicha energía como término de frontera al hamiltoniano, el valor numérico de éste resulta ser la energía ADM, recuperando así la noción de que el hamiltoniano es la energía del sistema.

Conclusiones

 

Según hemos visto, el Principio de Equivalencia nos obliga a abandonar la idea de poder medir el campo gravitatorio, y con ello a ser capaces de definir una medida local de energía gravitatoria. Sin embargo, sí que se puede definir una medida global de energía, asociada a la totalidad del campo. Dicha energía (ADM) se puede obtener desde una vía puramente geométrica (a partir de las formas de Landau-Lifshitz) o desde un planteamiento hamiltoniano de la Relatividad General.

Referencias

 

- R. Arnowitt, S. Deser, C. W. Misner, "Gravitation: An introduction to current research. The dynamics of General Relativity". John Wiley, Sons Inc., New York, London (1962).

- R. M. Wald, "General Relativity", The University of Chicago Press, Chicago and London, (1984).

- Y. Choquet-Bruhat, "General Relativity and the Einstein Equations". Oxford Mathematical Monographs, (2009).

 

Lámparas fluorescentes

Están en multitud de edificios o naves industriales, en forma de tubo, bombilla enrollada, etc. ¿Pero cómo funcionan? En la entrada de hoy hablaremos del funcionamiento y fundamento físico de las famosas lámparas fluorescentes, sus características y propiedades más relevantes. Para ello nos centraremos solamente en los tubos.

Un tubo fluorescente está formado, básicamente, por tres piezas: el tubo en sí, un cebador y una reactancia inductiva. El tubo es de vidrio, y en su interior se halla el vapor de mercurio combinado con algún gas inerte como el neón o el argón. Recubriendo el cristal hay un material llamado "fósforo", aunque no contenga esta sustancia. Su misión es absorber la luz UV que emite el mercurio al desexcitarse y emitir luz visible. Un tubo fluorescente sin este recubrimiento sería una lámpara de "luz negra".

Fuente: Wikipedia

Conectado al tubo hay un cebador. Se trata de un dispositivo con una ampolla de vidrio que contiene gases (como neón o argón) que al conectarse a la corriente se calientan y expanden. Dicha expansión cierra un circuito que hace que los filamentos del tubo (generalmente wolframio) se calienten al rojo vivo y comiencen a ionizar los gases del interior del tubo. Es en este momento cuando aparece ese color anaranjado en los extremos de los tubos antes de encenderse.

Al cerrarse el circuito del cebador, el gas se enfría, se contrae y se abre bruscamente el circuito. Es ahora cuando entra en juego la reactancia. De acuerdo con la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida (o fem) es igual a la variación del flujo magnético, sin olvidar un signo menos:

$\text{fem}=-\displaystyle\frac{d\Phi_{B}}{dt}$

La reactancia no es más que un solenoide o inductancia por el que circula la corriente. Por la Ley de Ampère, dentro de dicho solenoide aparecerá un campo magnético $\vec{B}$. Al cerrarse bruscamente el circuito, habrá una gran variación de flujo, y por efecto de autoinducción se inducirá una elevada fuerza electromotriz (de miles de voltios) que terminará de ionizar los gases del tubo. Una vez ocurrido esto, se establece una corriente de electrones entre el cátodo y el ánodo del tubo sin necesidad de altos voltajes.

Debido a que en Europa la corriente alterna oscila con una frecuencia de 50 Hz, los fluorescentes "parpadean" 100 veces cada segundo. Para evitar estos efectos estreboscópicos hay varias opciones. Una de ellas es la incorporación de un alternador electrónico que aumente dicha frecuencia a 50.000 Hz, como en las modernas bombillas fluorescentes. Otras opciones pueden ser colocar varios tubos juntos con corrientes desfasadas, minimizándose este efecto.

El consumo de un tubo fluorescente, así como su rendimiento, es bastante bajo. En la imagen inferior podemos observar el espectro emitido por una lámpara fluorescente de vapor de mercurio.

Como vemos, muy poca luz se desperdicia como infrarrojos, de modo que casi la totalidad de la potencia consumida se aprovecha para iluminación.

Asimismo, la potencia de los tubos es generalmente muy baja. Su pico de máximo consumo se alcanza al encender, pues es cuando más voltaje consume para ionizar el gas de mercurio. Es por eso por lo que se recomienda utilizar estas lámparas en lugares donde se necesite una fuente de luz permanente, es decir, que no se apaguen y se enciendan muchas veces. Esto también es porque la vida útil de las lámparas decrece cuantas más veces se enciendan.

Por último explicaremos por qué es necesario un condensador en este tipo de lámparas, para lo cual tendremos que introducir el concepto de potencia efectiva. Como sabemos, la corriente que llega a nuestras casas es alterna, es decir, oscilante. El motivo es simplemente las ventajas a la hora de transportarla. Por tanto, el voltaje que llega a nuestros enchufes (220 V en España) es oscilante. Entonces, ¿por qué un multímetro marca 220 V y no oscila? La respuesta es que lo que marca el multímetro no es el voltaje "instantáneo", sino el "eficaz", una especie de promedio. 

La potencia que consumimos también se mide de esta forma promediada. Al manejar las ecuaciones se llega a que la potencia "activa" depende de un factor de potencia que va desde 0 hasta 1. Ese factor no es más que el coseno del desfase entre la intensidad y el voltaje. Como nos interesa que el factor de potencia esté lo más próximo a 1 posible, necesitamos conseguir una resonancia entre reactancia inductiva y capacitiva. Será más fácil si observamos matemáticamente el desfase $\phi$:

$\phi=\arctan\displaystyle\frac{L\omega-1/C\omega}{R}$

Para hacer que el factor de potencia sea 1, hay que hacer que $\phi$ sea cero, para lo cual hay que colocar un condensador de capacidad $C$ tal que a la frecuencia $\omega$ de la red eléctrica, compense la inductancia $L$ de la reactancia del fluorescente.

Espero que os haya gustado la breve entrada de hoy. Un saludo!

Los móviles perpetuos

Un móvil perpetuo es un dispositivo que puede funcionar eternamente a partir de un impulso inicial y que, hipotéticamente, nunca se pararía. Podemos encontrar en Youtube infinidad de ejemplos que parecen funcionar, al menos hasta que se acaba el vídeo. ¿Pero realmente son éstos posibles? Y si realmente fuesen posibles, ¿sería posible extraer de ellos energía para tener una fuente inagotable? Parece ser que no...

 

Ejemplo de móvil perpetuo: rueda sobrebalanceada

Existen varios tipos de móviles perpetuos, entre los que encontramos los de primera y segunda especie:

Móvil perpetuo de primera especie: es aquel que es capaz de producir trabajo (ej. levantar un peso) sin recibir energía exterior.

Móvil perpetuo de segunda especie: son aquellos que o bien pueden convertir todo el calor que reciben en trabajo (ej. un motor de coche con rendimiento 100%) o bien son capaces de transferir calor de un foco frío a otro más caliente sin necesitar energía (ej. un frigorífico ideal).

La imaginación humana y la pretensión de conseguir este tipo de motores han llevado al desarrollo de los Principios de la Termodinámica, en particular del primero y del segundo. ¿Qué dicen estos principios?

El Primer Principio de la Termodinámica, entre otras cosas, nos habla del principio de conservación de la energía. Existe un teorema en Física Teórica, el Teorema de Noether, que nos habla de que para cada invarianza en las leyes de la Física, existe un principio de conservación de una determinada magnitud. Por ejemplo, del hecho de que las leyes de la Física son las mismas aquí que en Andrómeda (invarianza de traslación), se deduce que el momento lineal en ausencia de fuerzas externas se conserva. Otro ejemplo, el que tiene que ver con el asunto que nos incumbe, es la invarianza temporal. Puesto que las leyes de la física no cambian de un día para otro, se deduce que la energía de un sistema aislado se conserva. Es por esto por lo que el móvil perpetuo de primera especie contradice el Primer Principío de la Termodinámica.

Matemáticamente, el primer principio viene a decir que $dU=\delta W+\delta Q$.

El Segundo Principio de la Termodinámica afirma que la entropía de un sistema aislado siempre aumenta en el tiempo. Esto viene a decir que no es posible que un motor funcionando cíclicamente sea capaz de convertir todo el calor que absorbe en trabajo. Tambien impide que, en ausencia de trabajo, se pueda transferir cíclicamente calor de un foco frío a otro caliente. Estos son los enunciados de Kelvin-Planck y Clausius respectivamente, y se puede demostrar que son equivalentes. De ellos se deduce que una magnitud física llamada entropía siempre aumente en el universo. Pues bien, el móvil perpetuo de segunda especie contradice el Segundo Principio, y por tanto es inviable.

Matemáticamente, el Segundo Principio se traduce en que $\displaystyle\frac{dS}{dt}\geq 0$.

Más que leyes de la Termodinámica, son imposibilidades de la Termodinámica. Recordemos a Homer Simpson en esta entrañable escena:

Como vemos, ha sido muy importante esta inquietud técnica de energía infinita para el desarrollo de toda esta rama de la Física. Es necesario decir que estos principios derivan de la experiencia, pues las invarianzas derivan de ella. Actualmente no ha logrado encontrarse un dispositivo que entre en contradicción con ambos Principios.

No puede, por tanto, construirse un coche cuyo rendimiento sea del 100%, es decir, que todo el calor de la combustión de la gasolina se convierta en velocidad y potencia del motor. ¿Eso quiere decir que es posible construir un motor de coche que tenga un rendimiento del 99%? Tampoco. Veamos por qué:

En el siglo XIX, el ingeniero francés Nicolás Carnot postuló que los motores con mayor rendimiento eran los que funcionaban entre ciclos reversibles (motores de Carnot), esto es, que el motor pudiese funcionar a la inversa. De hecho, la existencia de un motor con más rendimiento que un motor de Carnot contradice el Segundo Principio. ¿Y cuál es el rendimiento de un motor ideal de Carnot?

El rendimiento de un motor de Carnot depende de la temperatura de la siguiente forma:

$\eta=1-\displaystyle\frac{T_1}{T_2}$

Como vemos, el máximo rendimiento posible de cualquier motor depende de la temperatura a la que funcione. En el caso de un coche, suponiendo que la temperatura de la explosión es de 1600 ºC y en el exterior hace una temperatura de 17 ºC, el máximo rendimiento alcanzable no supera el 85%. En la realidad, puesto que no existen motores tan perfectos, el rendimiento máximo jamás alcanzado es en torno al 50%. A esto hay que añadir el calor que se disipa, la rodadura con el suelo, etc. Os dejo un vídeo explicativo sobre un motor de Carnot:

El la sección Archivos de este blog hay un libro que trata sobre los móviles perpetuos que quizá te pueda interesar.

Finalmente, aquí os dejo un resumen de la Historia de los móviles perpetuos. 

Un saludo y hasta la próxima!

Efecto Compton

Uno de los conceptos que más tiempo lleva dando vueltas en la cabeza del ser humano es la luz. A lo largo de la historia, físicos de todo el mundo han ido escribiendo obras sobre la naturaleza de la luz. Diferentes experimentos como el de la doble rendija (Thomas Young, 1801) demostraron que la luz se comportaba como una onda. Incluso Maxwell demostró que la luz era una onda electromagnética.

Pero a principios del siglo XX, la hipótesis corpuscular recobró importancia gracias al efecto fotoeléctrico y al efecto Compton. En la entrada de hoy trataremos éste último.

Arthur H. Compton utilizó el concepto de fotón para explicar la dispersión de los rayos X en 1923. De acuerdo con la teoría ondulatoria, cuando un haz de una determinada frecuencia alcanza un electrón, éste comenzará a vibrar y emitirá nuevas ondas de la misma frecuencia. Pero experimentalmente se demostraba que la frecuencia de las nuevas ondas era menor.

Compton escribiendo la ecuación que lleva su nombre

Compton partió de la expresión relativista de la energía de un fotón de momento p y de la Ley de Planck:

Ahora consideremos el choque entre un fotón y un electrón como se muestra en la figura inferior:

Teniendo en cuenta la conservación del momento lineal en dicho choque, así como de la conservación de la energía.

El 1 denota al rayo incidente, la e al electrón y el 2 al rayo dispersado

Sustituyendo la expresión (1) en (2), podemos obtener la Ecuación de Compton de forma trivial:

De la ecuación resultante se deduce que el fotón dispersado tiene mayor longitud de onda debido a la energía que ha perdido en el choque. Esto demuestra que la luz se comporta como una partícula cuando interacciona con los electrones, es decir, como un cuanto o fotón.

Los corales y la duración del día terrestre

Existen formas indirectas, como el depósito de sedimentos de un glaciar o las estrías de algunos corales, que nos permiten saber que hace millones de años el día duraba menos que en la actualidad. Hoy nos vamos a centrar en cómo podemos saber, a partir de un coral, que la rotación terrestre se está ralentizando y por qué.

Fósil de Calceola sandalina donde se pueden apreciar estrías de
crecimiento. 

Este coral es un fósil guía del Devónico medio, una etapa del Paleozoico que transcurre entre hace 395 y 385 millones de años.

Cada día, este coral desarrollaba una fina estría debido a las mareas. Las estrías se agrupan en franjas más grandes que corresponden al mes lunar, y estas a su vez se agrupan anualmente. En la especie de coral de la imagen, se han observado unas 400 estrías diarias por cada franja anual, es decir, el año en la época en que vivió el graciar duraba 400 días.

No será necesario considerar el aumento de la duración del periodo de rotación de la Tierra alrededor del Sol. En función de su potencia de radiación, de su masa y de la distancia Tierra-Sol se puede determinar que hace 400 millones de años el "año" era 27 minutos más corto. Como esos "27 minutos" son 13 órdenes de magnitud inferiores a los 400 millones de años, podemos despreciarlos. 

A partir del Principio de conservación del momento angular en el sistema Tierra-Luna (ya que la fuerza gravitatoria no produce momento respecto a la Tierra) y aproximando la órbita de la Luna alrededor de la Tierra como circular, podemos demostrar que una disminución en la velocidad angular de rotación de la Tierra sobre su eje conlleva una disminución (no proporcional) en la velocidad angular de traslación de la Luna en torno a nuestro planeta. Eso significa que la distancia entre ambos astros aumenta con el tiempo, para que se conserve el momento angular.

Podemos expresar la distancia entre la Tierra y la Luna en función de algunos parámetros que hemos utilizado a lo largo de esta entrada.

Luego gracias al número de estrías del coral, podemos saber que el día era más corto hace 400 millones de años, y que la distancia a la Luna era menor.


Hasta la próxima, que probablemente sea ya en verano debido a la PAU.

Un saludo!

Velocidad de escape y agujeros negros

Prueba a lanzar algo hacia arriba. Seguramente ascienda unos metros y despúes vuelva a caer. Cuanto más fuerte lo tires, más tiempo tarda en caer, ¿no? ¿Nunca te has preguntado a qué velocidad lo tienes que lanzar para que no caiga jamás? Si es así, ¡continua leyendo esta entrada!

De lo que vamos a hablar es de la velocidad de escape: la velocidad mínima que debe de tener un objeto para escapar de la atracción gravitatoria de otro. ¿Cómo podemos calcularla?

Si lanzamos un objeto hacia arriba desde la Tierra, se irá frenando poco a poco hasta que se frene y caiga. Para que el objeto no caiga nunca, su velocidad deberá ser tal que solo llegue a frenarse cuando se encuentre a una distancia infinita de nuestro planeta (supongamos que no influyesen en el objeto otros astros, aunque no es así).

Por tanto, en el infinito, su velocidad tiene que ser 0, por lo que su energía cinética (relacionada con la velocidad) también será 0. ¿Cuánto valdrá su energía potencial?

Dado que consideramos que el objeto se encuentra a una distancia infinita, su energía potencial será 0, al igual que su energía cinética.

Como la gravedad es una fuerza conservativa, la energía mecánica del objeto lanzado (la suma de la cinética y la potencial) es constante, y vale 0. Por lo tanto, se deduce que ambas energías son iguales. Igualandolas obtenemos:

En este caso, R es el radio de la Tierra, G es la constante de la gravitación universal y Mt es la masa de la Tierra. Sustituyendo, nos da que la velocidad de escape de un objeto (no importa su masa) desde la superficie de la Tierra es de unos 11 Km/s.

Por tanto, si consigues lanzar algo hacia arriba a esa velocidad (o mayor), despídete de él...

Los lectores más avispados os preguntaréis qué pasa en un agujero negro. Un agujero negro es un "objeto" que crea un campo gravitatorio tan potente que ni la luz puede escapar de él. Quiere decir que posee una velocidad de escape superior a la de la luz. Igualando la fórmula obtenida anteriormente a la velocidad de la luz:

Hemos obtenido una fórmula en la que R es el radio mínimo de un agujero negro de masa M. Este "radio mínimo" se conoce como radio de Schwarzschild. En el caso de la Tierra, R vale 0,88 cm. ¿Qué significa esto? Significa que si redujésemos todo el planeta Tierra a un tamaño menor al de una canica, su densidad sería tal que se convertiría en un agujero negro, ya que su velocidad de escape sería igual o superior a la de la luz, y como sabemos que nada puede superar esa velocidad, nada* puede escapar de un agujero negro.

A partir de lo hasta aquí obtenido, podemos deducir que la densidad de un agujero negro viene dada por:

Por tanto, la densidad depende del radio: a mayor radio, menor densidad. Un agujero negro de radio 500.000 veces mayor al de la Vía Láctea podría tener una densidad inferior a la del agua.

Esto tiene que ver mucho con la Teoría General de la Relatividad, que dice que el tiempo va ralentizándose a medida que la intensidad del campo gravitatorio aumenta. Cuando esta intensidad equivale a la de un agujero negro, el tiempo se detiene (para un observador situado fuera del agujero negro).

Gracias por haber leído esta entrada. No os olvidéis de votar mi blog en la categoría de Ciencia en los Premios Bitácoras. Votar es muy fácil. Si no sabes cómo, clic aquí.

Hasta la próxima!

*Sin tener en cuenta la supuesta Radiación de Hawking.

La expansión del Universo

En las primeras décadas del siglo XX ya se conocían muy bien los espectros de emisión de los diferentes elementos. Un espectro de emisión es el conjunto de longitudes de onda que emite un elemento cuando uno de sus electrones disminuye de orbital, tal y como podéis recordar en mi entrada sobre las Auroras Polares.

Podemos imaginar que un electrón de un átomo es un libro. Podemos subirlo de estante o bajarlo, y al hacerlo, emite o absorbe energía. Un ejemplo son los fuegos artificiales de colores, hechos con elementos cuyos espectros se corresponden con los colores de la pirotecnia.

El color verde se consigue gracias al Bario

En esta página encontraréis los espectros de todos los elementos de la tabla periódica.

Como el Sol está formado por diversos elementos, si descomponemos su luz en colores podremos obtener en qué longitudes emite y por tanto sus elementos constituyentes, ya que cada elemento emite unas longitudes de onda correspondientes y bien definidas, tal y como establece el modelo atómico de Bohr.

Lo que hizo Edwin Hubble en la primera mitad del siglo XX es comparar el espectro del Sol (el Sol ni se aleja ni se acerca de nosotros) con el de un tipo especial de estrellas llamadas cefeidas. Estas estrellas tienen un brillo característico y regular, como un faro. Si conocemos su brillo, podemos saber la distancia a la que se encuentra, porque cuanto más lejos esté, menos brillará. 

La luz que emite el Sol es la de la izquierda, y la de una cefeida, la de la derecha. Se puede observar que las líneas negras están más hacia arriba en la cefeida que en el Sol, el conocido corrimiento al rojo. Esto, tal y como vimos en la entrada del Efecto Doppler, significa que esa cefeida se aleja de nosotros, al igual que la galaxia que la contiene. Como se aleja, las ondas que nos llegan de ella cada vez recorren más espacio, lo que se traduce como un aumento de la longitud de onda, que es lo que vemos comparando los espectros.

Hubble comparó el espectro de muchas cefeidas con el del Sol, y desarrolló la famosa ley de Hubble. Esta ley dice que cuanto más lejos está una galaxia, más rápidamente se aleja de nosotros. La desarrolló viendo cómo cambiaban los espectros entre unas cefeidas más cercanas y otras más lejanas, ya que el grado de corrimiento al rojo es proporcional a la distancia que nos separa de la cefeida.

En términos matemáticos, la ley dice que D = v/H, donde D es la distancia, v la velocidad de alejamiento y H es la constante de Hubble (H = 2,5·10E-18 Hz). Esa fórmula implica que cuanto más lejos está la galaxia, más rápido se aleja.

Y lo más importante es que todas las galaxias se alejan las unas de las otras entre sí, igual que los puntitos del globo de la imagen de abajo cuando la niña lo infla:

Cuando Hubble descubrió que el Universo se expandía aceleradamente, surgieron bastantes cuestiones: ¿Qué hace que se expanda? Y si cada vez es más grande, antes debió ser más pequeño. ¿Qué hubo al principio? ¿Cómo será el fin de nuestro Universo? 

Todas estas cuestiones las intentan responder los físicos cada día en laboratorios, aceleradores de partículas como el CERN o mediante la física teórica. Hablaremos de ellos en entradas posteriores. 

Para conocer más sobre cómo sabemos que el Universo está expansión, visita la entrada del Efecto Doppler Relativista.

Un saludo!

Crear materia a partir de luz

Sí, parece raro afirmar que a partir de algo sin masa como es la luz, podamos crear materia...

Recordando lo dicho en mi última entrada, la energía y la masa son magnitudes muy relacionadas. La ecuación simplificada que utilizaremos para ejemplificar esta situación es:

En la ecuación superior, la E hace referencia a la energía, la m a la masa y la c a una constante que es la velocidad de la luz en el vacío (aprox. 300.000.000 m/s).

Para una 'pequeña' masa de 1 kg, equivaldría una energía de 90.000.000.000.000.000 Julios, es decir, que si lográsemos transformar un solo kilo de masa en energía podríamos mantener encendida una bombilla convencional de 50W durante 57 millones de años...imagínate la energía que produce el Sol transformando cada segundo 4 millones de toneladas de materia en energía mediante la fusión nuclear. 

Más increíble aún, con la masa de un grano de arroz transformada íntegramente en energía, podríamos hacer que un coche de 1000 kg que está parado acelere hasta unos supuestos 420.000 km/h (hipotéticamente, ya que violaría la Teoría de la Relatividad de Einstein), o que un camión cargado con mil coches acelerara hasta 1000 km/h...y sólo con un grano de arroz...

Otro ejemplo es una bomba atómica, mediante la cual con pequeñas masas se pueden crear energías devastadoras. Einstein nos dejó una ecuación, conocimiento, pero no la forma de transformar materia en energía o viceversa.

El ejemplo de la bombilla y el del grano de arroz son solamente ejemplos. Hoy en día no sabemos cómo transformar la masa en energía útil con esas finalidades.

A lo largo del siglo XX numerosos físicos han tenido ideas sobre cómo hacerlo, algunas de las cuales se reflejan en los siguientes diagramas de Feynman (representaciones simbólicas de interacciones cuánticas):

Las más conocidas son la aniquilación de Dirac (donde un electrón y su antipartícula, el positrón, se aniquilan formando energía) y el efecto fotoeléctrico (donde un haz de fotones "arranca" electrones en una placa metálica, base teórica de la energía fotoeléctrica).

Los físicos Breit y Wheeler encontraron teóricamente que realizando el proceso inverso a la aniquilación de Dirac, se podrían generar electrones y positrones a partir de fotones muy energéticos. Hasta la actualidad, la tecnología no ha sido suficiente para demostrar su teoría, pero el pasado mes se logró idear el escenario necesario para tal experimento. ¿En qué consiste?

Primero, mediante un acelerador de partículas (un importante candidato sería el CERN de Ginebra), se aceleraría a velocidades próximas a la de la luz a un haz de electrones, que se harían colisionar contra oro para generar fotones muy energéticos. Después, harían incidir un rayo láser de alta energía contra una cavidad de oro para obtener temperaturas semejantes a las del Sol. Al igual que un hierro incandescente cambia de color al calentarse, la cavidad de oro a tan alta temperatura emitirá fotones muy energéticos, que se harían colisionar con el grupo anterior y así generar pares de electrones/positrones. La cavidad de oro funcionaría como un cuerpo negro, que emite ondas electromagnéticas a una frecuencia relacionada con su temperatura.

En todo momento se cumple que la energía total permanece constante, porque según la fórmula E=mc2, la energía de esos fotones ahora equivale a la masa del electrón más la del positrón.

Puede que en pocos años pueda realizarse este experimento, junto con la creación de grandes colisionadores de fotones. También puede que sea un paso más hacia la fusión fría, una rama de la física y de la tecnología que solventaría los problemas mundiales de energía.

Un saludo, espero que haya sido interesante.
Gabriel.

¿Es posible la vida extraterrestre?

Enrico Fermi fue un físico italiano del siglo XX. Durante la II GM participó en el desarrollo de la bomba atómica, en el que se conoce como Proyecto Manhattan. El Fermio (elemento químico de símbolo Fm) y los fermiones (en el modelo estándar, familia de partículas constituyentes de la materia) le deben su nombre. En el año 1950 propuso la famosa Paradoja de Fermi en contraposición a la Ecuación de Drake. ¿Qué dice cada una?

Ecuación de Drake

La ecuación de Drake tiene en cuenta una serie de factores como el número de estrellas que se crean al año, la probabilidad de que desarrollen planetas en la zona habitable, de que desarrollen vida y que esta sea inteligente (entre otros parámetros) para calcular el número de civilizaciones inteligentes en nuestro universo. Resolviendo la ecuación obtuvo que debería haber 10 civilizaciones extraterrestres sólo en nuestra galaxia. Otros científicos proponen valores entre diez millones de civilizaciones y una sola: nosotros. Estas discrepancias son debidas a que no es posible tener en cuenta todos los factores de la ecuación, a que puede haber otros mecanismos de vida basados en otras estructuras moleculares (silicio, flúor, amoniaco…), o una imprecisión en esos datos que Drake obtuvo, ya que no podemos conocer con precisión el número de estrellas existentes o sus ciclos formativos. El número de civilizaciones inteligentes de nuestra galaxia se conseguiría, según Drake, multiplicando el número de estrellas que nacen cada año por la probabilidad de que tengan planetas, multiplicado por la fracción de éstos en la zona habitable, por la probabilidad de que desarrollen vida inteligente, por la fracción de que esa vida inteligente desee y pueda comunicarse y finalmente, multiplicado por el tiempo que puede existir esa civilización antes de su autodestrucción. Es demasiado simple para considerarse algo científico ya que no tiene en cuenta apenas ningún parámetro.

Si Drake tuviese razón, ¿dónde se esconden esas civilizaciones? A esta pregunta intenta responder la Paradoja de Fermi:

“La creencia común de que el Universo posee numerosas civilizaciones avanzadas tecnológicamente, combinada con nuestras observaciones que sugieren todo lo contrario es paradójica sugiriendo que nuestro conocimiento o nuestras observaciones son defectuosas o incompletas”. En la época en que la planteó, Fermi estaba trabajando en la bomba atómica, por lo que predijo lo que les sucedería a las civilizaciones avanzadas tecnológicamente: se auto aniquilarían. ¿Por qué no detectamos vida inteligente? Según Fermi, su elevada inteligencia les llevaría a su autodestrucción, prediciendo así el posible destino de la Humanidad. Otros científicos piensan que es la escasez de recursos lo que acaba con las civilizaciones inteligentes (debido a un crecimiento en forma de J o exponencial). Otros en cambio opinan que las condiciones del universo solo permiten la vida de nuestra especie (principio antrópico). Multitud de teorías científicas que pueden confundirse con especulaciones de ciencia ficción sin claros argumentos científicos.

Enrico Fermi señalando una ecuación de Einstein

Para saber si hay vida en otros planetas, primero debemos especificar qué es la vida. ¿Puede existir vida con otros elementos que no sean el carbono, hidrógeno, oxígeno…? ¿Qué tiene la Tierra de especial para haber desarrollado vida? Y multitud de preguntas más. Para generar vida, un planeta necesita de unas moléculas sencillas capaces de combinarse mediante la energía de una estrella, en nuestro caso del Sol. El planeta deberá encontrarse, según los elementos que posea, a una determinada distancia de su estrella. Si esas moléculas fuesen derivadas del amoniaco, cabe esperar que para que se desarrolle vida se encuentre a una distancia relativamente lejana de la estrella (aunque siempre dependerá del tamaño, edad y temperatura de la misma). Si por el contrario abundasen fluorocarburos, la distancia debería ser menor. Es evidente que la ecuación de Drake es demasiado simple, ya que hay más tipos de vida y no todas las estrellas son iguales. La presencia de campo magnético, de atmósfera, el tamaño y campo gravitatorio tanto del planeta como de su estrella, y así como las longitudes de onda de emisión de la estrella son factores importantes a tener en cuenta.

Nuevas investigaciones sostienen que la vida en la Tierra también es debida a la tectónica de placas, generada posiblemente por asteroides que nos visitaron en los inicios de nuestro planeta. Según el geofísico Tilman Spohn, la presencia de movimiento de las placas tectónicas hace posible la vida debido a que favorece los movimientos de materia y energía en los ciclos biogeoquímicos. Para que la corteza se dividiese en placas, geólogos y físicos como el profesor Norm Sleep (geofísico de la Universidad de Stamford) proponen la idea de que los causantes fuesen los impactos de meteoritos de hace 4.000 millones de años. En la Tierra es difícil detectarlos, debido precisamente a esa tectónica, pero en la Luna puede haber cráteres de esa edad.

Placas tectónicas en nuestro planeta

En Sudáfrica han encontrado una zona con sedimentos de hace más de 3.500 millones de años. En ellos, como ocurre en el límite KT (capa sedimentaria de iridio que dejó un asteroide que se cree como el causante hace 65 millones de años de la extinción de los dinosaurios y de los amonites), se han encontrado restos de elementos poco comunes en la corteza, como iridio, platino o cromo. Un gran avance en esta investigación sería el descubrimiento de algunos de esos cráteres. Cabe esperar que estas capas tan antiguas sean la muestra de que la Tierra estuvo bañada de asteroides en sus orígenes, lo que ayudó notablemente al desarrollo de la tectónica de placas, que combinada con la energía gravitacional y la energía interna del interior, permiten hoy día ese continuo desplazamiento horizontal de las placas litosféricas. Aún no sabemos si una tectónica de placas es indispensable para la vida. Si así lo fuese, otro factor más a tener en cuenta en la ecuación de Drake.

Capa oscura rica en Iridio que marca
el límite K-T

En mi opinión, es muy probable la existencia de vida extraterrestre. Más difícil es la existencia de vida inteligente, pero también posible. Organizaciones como el SETI están completamente convencidas de encontrar señales de vida inteligente antes de fin de siglo. El universo es muy grande y tiene mucha edad. Quizá en algún lugar lejano se hayan preguntado lo mismo, o incluso lo estén haciendo en este momento, aunque nuestro “rango de visión” (debido a la relativa lentitud de la velocidad de la luz) sea muy pequeño y nunca los encontremos. Quizá Drake sí que tuviese razón, ya que la probabilidad de encontrar un planeta con exactamente las mismas características que la Tierra es cada vez mayor, y si así fuese sería muy posible el desarrollo de la vida, y posiblemente también alguna especie que pueda llegar a auto considerarse como “inteligente”, teniendo en cuenta que lo que conocemos como vida es solo una de tantas posibilidades.

Espero que os haya gustado hoy esta entrada un poco diferente a las que suelo publicar.

Un saludo!

Aumento de masa

Sí amigo, has leído bien...la masa aumenta...

En entradas anteriores hemos visto cómo se dilata el tiempo (léelo aquí) y como se contrae el espacio (léelo aquí). Al igual que estas magnitudes, la masa no es una constante universal para cualquier sistema de referencia. Dicho bien, lo que ocurre es que el momento lineal de una partícula con masa a grandes velocidades, es proporcional al inverso del factor ß que habíamos visto en entradas anteriores, es decir, que el aumento del momento dependiendo de la velocidad no es una recta, si no que se curva tendiendo a infinito cuando la velocidad iguala a la de la luz. Para la mecánica newtoniana esto no era así, y la masa era constante. De este modo definíamos momento lineal o cantidad de movimiento como el producto de la masa por la velocidad. En los choques elásticos, el momento se conservaba.

Vamos a hacer un experimento mental para entender por qué aumenta la masa:

Juan y María se mueven por el espacio en sentido contrario y de forma paralela, a una velocidad constante y próxima a la de la luz, tal como vemos en la imagen inferior.

Como son movimientos a velocidad constante, cada uno estará parado "para él mismo", y verá solo moverse al otro. Es como cuando vamos en coche y pasa al lado nuestro otro vehículo en dirección contraria. En un momento dado, ambos lanzan hacia el otro una pelota, de tal modo que la velocidad de la bola medida por el que la lanza es la misma que la velocidad de la otra medida por el otro. Es decir, Juan lanza hacia María la pelota a 10 m/s (por ejemplo), y María se la lanza a Juan a la misma velocidad. Si observamos el experimento como si María fuese la observadora en reposo y el que se moviese fuera Juan (consideramos que la velocidad de Juan hacia María es un 87% de la de la luz), dado que el tiempo de Juan (y su bola) transcurre para María de forma más lenta, la velocidad horizontal de la bola que lanza Juan es menor. Si la bola llevase un reloj, para Juan el tiempo de su bola transcurriría "normal", pero para María ese tiempo iría más lento. Si Juan lanza la bola a 10 m/s, para María esa bola recorre 10 m cada 2 segundos, o lo que es lo mismo, 5 m/s (teniendo en cuenta la dilatación temporal).

Visto desde el sistema de referencia de Juan, ocurre lo mismo...son experimentos simétricos: Juan se nota a sí mismo quieto, y María es la que se mueve. Juan lanza la bola a 10 m/s y ve aproximarse la de María a 5 m/s.

Volvamos al sistema de referencia de María. Ella ha lanzado su pelota a 10 m/s contra la de Juan a 5 m/s. Dado que en ese choque se conserva el momento lineal (p = m·v) y como cada bola vuelve a las manos de su dueño después del choque (por lo que los momentos de cada bola son iguales) y además su velocidad horizontal es diferente (siendo la pelota de Juan más lenta), su masa debe ser mayor para conservar la igualdad.

Como Juan se mueve a un 87% de la velocidad de la luz con respecto a María, el tiempo de Juan visto desde el sistema de referencia de María transcurriría dos veces más lento: cada dos segundos de vida de María equivaldría a un segundo en la vida de Juan. Debido a esto, el sistema de Juan (él, su reloj, su bola...) van más lento. Como al lanzar la bola horizontalmente va mas lento (menos velocidad) para chocar y acabar desplazándose lo mismo que la de María, debe tener dos veces más masa.

Podemos imaginar que choca una bola de bolos con una canica. Si van igual de rápido, al chocar, la canica retrocederá más. Esto se debe a que la de bolos es más pesada, y su momento p es mayor. En nuestro experimento retroceden ambas igual, y como una de ellas se mueve la mitad de rápido...para equilibrar la ecuación su masa deberá ser el doble. En la imagen inferior podemos ver la conservación del momento teniendo en cuenta solo las velocidades verticales.

Es decir, que si una persona de 80 Kg se pone a correr, su masa a esa velocidad aumentaría hasta los 80,00000000000001 Kg.

La ecuación que relaciona la masa en reposo (mo) con la masa (m) a una velocidad v es:

Si la velocidad v tiende a c, la masa m tiende a infinito...y como la fuerza necesaria para mover esa masa infinita también sería igual a infinito, la energía sería lógicamente INFINITA.

Por consiguiente, para conseguir que una partícula con masa alcance la velocidad de la luz, es necesario un aporte infinito de energía, por eso una partícula con masa no puede sobrepasar ni alcanzar c. Una partícula con masa nunca podrá alcanzar la velocidad de la luz para ningún sistema de referencia, y la luz no puede reducir su velocidad para ningún otro.

En el siguiente video podremos ver otro modo de entender por qué no es posible superar la velocidad de la luz, además de otras nociones curiosas que os recomiendo ver sobre Relatividad:

Para ver el vídeo desde un móvil, clic aquí.

Como la hipotenusa de un triángulo rectángulo es siempre mayor (o igual) que cualquiera de los catetos, la máxima velocidad permitida para una partícula es la velocidad de la luz, siempre que la partícula no tenga masa, como el fotón. Si tuviese masa, nunca podrá alcanzar la velocidad de la luz.

Este aumento de masa se puede observar en aceleradores de partículas: las colisiones entre dos protones generan muchos tipos de partículas. Si sumamos las masas de esas partículas, observamos que se supera las masas de los dos protones. Si tenemos en cuenta el aumento de la masa a las velocidades a las que chocan, los resultados cuadran.

En desintegraciones de núcleos pesados, la masa de los productos es menor a la del núcleo del que proceden. Teniendo en cuenta la energía emitida y la relación que hay entre esa energía y la masa (la famosa ecuación E = mc2), los resultados vuelven a cuadrar.

Esta serie de Relatividad Especial va llegando a su fin...en la siguiente entrada trataré la famosa "Paradoja de los Gemelos".

¡Un saludo!

Péndulo de Foucault

Hoy en día, gracias a la existencia de satélites, podemos comprobar que la Tierra se mueve. Pero, ¿cómo demostró esto León Foucault hace más de 150 años?

Primero debemos recordar la Ley de la Inercia de Newton, publicada en su famoso libro Principia Mathematica, que es además el libro donde nace la física moderna. Esta ley dice que todo cuerpo conservará su estado de reposo o de movimiento rectilineo uniforme a no ser que actúe una fuerza (o varias cuya resultante no sea nula) sobre él. Esto indica que un cuerpo sobre el que no actue una fuerza no va a variar su movimiento. Una pelota que se mueva en línea recta no variará su movimiento si no hay fuerzas que actúen sobre ella.

En un péndulo "ideal", la energía mecánica se conserva. La energía cinética (relacionada con la velocidad) más la potencial (relacionada con la altura) en cualquier punto siempre será la misma y, si no tenemos en cuenta el rozamiento, sobre él no actuará más fuerzas que la gravedad. Entonces el péndulo siempre se moverá en línea recta si no aplicamos fuerzas sobre él. 

El experimento que realizó Foucault a mediados del siglo XIX fue colgar una bola de cañón de la cúpula de una catedral a modo de péndulo. En la parte de abajo colocó una aguja para que el péndulo dejase marcada su trayectoria en el suelo, tal que así:

Bola de cañón con aguja abajo para dejar la marca de su trayectoria

Después de varias horas de oscilación del péndulo, el resultado del experimento fue el siguiente:

Resultado del experimento de Foucault

Bajo el péndulo se apreciaban marcas como las del dibujo. Si el movimiento del péndulo es rectilineo, pero aparentemente "va girando", quiere decir que "el suelo se mueve bajo el péndulo". Dicho de otro modo, la Tierra se mueve. 

Debido a la rotación terrestre, y dado que el péndulo no cambia de dirección nunca, observamos que la trayectoria del péndulo parece ir rotando, cuando lo único que rota es nuestro planeta. La explicación técnica a este efecto la encontramos en el efecto Coriolis, una fuerza originada debido a la rotación terrestre que es la causante del giro de los huracanes. Puedes leerla aquí.

Puedes realizar un símil de este experimento en casa, colocando una cartulina en el suelo y colgando del techo una cuerda atada a algo esférico (no demasiado ligero) y a una mina de lápiz. Mientras dure el efecto de la oscilación, ve moviendo la cartulina como si fuese nuestro planeta rotando sobre sí mismo. También puedes esperar a que ocurra de forma natural, pero necesitas paciencia...

Evidentemente este aparente movimiento no será igual en todos los puntos del planeta. Mientras que en los polos el péndulo tarda 24 horas en completar una vuelta (lo que tarda la Tierra en dar una vuelta sobre sí misma), a medida que nos acerquemos al ecuador tardará más. En el ecuador, dado que el plano de oscilación es perpendicular al eje de rotación, el péndulo oscilará en la misma linea siempre. La fórmula que relaciona el periodo (tiempo en volver a un mismo plano de oscilación) y la latitud a la que se encuentre el péndulo, es la siguiente: 

T=24/sen ß  siendo ß el ángulo de la latitud donde se encuentre el péndulo.

A partir de la fórmula deducimos que en los polos (latitud 90º, sen 90º = 1) el periodo es de un día, mientras que en el ecuador no existe periodo dado que no varía el plano de oscilación. En Salamanca, una ciudad de España con una latitud de 40º 58', el tiempo que tarda el péndulo en completar una vuelta es de 36 horas y 36 minutos. 

Las siguiente fotografías y el vídeo pertenecen al péndulo de la Facultad de Físicas de la Universidad de esta ciudad, Salamanca:

Al igual que en la mayoría de facultades de Ciencias, este péndulo lo hallamos en miles de museos por todo el mundo, dada su gran relevancia. 

Gracias por haber leído esta entrada. Compartidla a quién penséis que le pueda interesar.

Nos vemos en la próxima.

¡UN SALUDO!