Solución al reto #3

Sea $AB$ el diámetro de una circunferencia. Sea $O$ el punto medio del arco comprendido entre $A$ y $B$. Elegimos al azar un punto del arco entre $O$ y $B$, que será el punto $C$. Sea $D$ la intersección de la recta $\overline{OC}$ con $\overline{AB}$ y sea finalmente $E$ el punto de corte entre la recta $\overline{AC}$ con la recta perpendicular a $\overline{AB}$ que pasa por $D$. Demostrar que los segmentos $BD$ y $DE$ tienen la misma longitud.

Sea $R$ el radio de la circunferencia y sea $C=(b,\delta)$ donde definimos $\delta^2 =R^2-b^2$. Es claro que $A=(-R,0)$ y $B=(R,0)$. La recta $\overline{OC}\equiv\frac{R-\delta}{b}x-R$ es la que pasa por $O$ y por $C$, y la recta $\overline{AC}\equiv -\frac{\delta}{b+r}(x+R)$ es la que pasa por $A$ y $C$. De este modo podemos obtener las coordenadas de $D=(\frac{bR}{R-\delta})$ y de $E=(\frac{bR}{R-\delta},-\frac{\delta R(b+R-\delta)}{(b+R)(R-\delta)})$.

De esta manera, la distancia $BD=\frac{bR-R^2+\delta R}{R-\delta}$ y $DE=\frac{\delta R(b+R-\delta)}{(b+R)(R-\delta)}$. Al igualar:

$\frac{bR-R^2+\delta R}{R-\delta}=\frac{\delta R(b+R-\delta)}{(b+R)(R-\delta)}$

$\frac{\delta(b+R-\delta}{b+R}=b+R-\delta$ 

$b\delta+R\delta-\delta^2=b^2-Rb+b\delta+Rb-R^2+R\delta$

$R^2=\delta^2+b^2$

Lo cual es cierto puesto que lo definimos así, de modo que $\overline{BD}=\overline{DE}$.