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sábado, 12 de marzo de 2016

Solución al Reto #2

Si no has leído en qué consiste el Reto #2 te animo a leerlo clicando aquí: Reto #2. Si ya lo has leído e intentado, o simplemente si tienes curiosidad, he aquí la solución al mismo:

Sea $r$ una recta que corta al eje OY en el punto $B=(0,b)$ con $b>0$ y que pasa por el punto $A=(5,0)$. Sea $C$ el punto del eje OY que se sitúa 2 unidades por encima de $B$ y sea $P$ el punto de corte entre $r$ y una recta que pasa por $C$ y forma un ángulo de $-\pi/4$ con la $x=0$. 

Hacemos girar a $r$ alrededor del punto $A$ de modo que el ángulo que se halla en el vértice $A$ pasa de $0$ a $\pi/2$. Calcula la ecuación del lugar geométrico de $P$. ¿Qué tipo de curva se obtiene?


Primero hallaremos la ecuación de $r$, que es trivial y de la forma $r\equiv y=-\frac{b}{5}x+b$. Después hallamos la ecuación de $s\equiv -x+b+2$.

Resolvemos el sistema formado por $r$ y $s$ para obtener las coordenadas de el punto $P$ en función de $x$:

$-\frac{b}{5}x+b=-x+b+2\Rightarrow \frac{5-b}{5}x=2\Rightarrow b=-\frac{10}{x}+5$.

Por lo tanto la ecuación de la curva obtenida es $y=-x-\frac{10}{x}+5$, que se corresponde con una hipérbole. Su representación gráfica vendría a ser:


Y la parte que nos concierne es la situada en el primer cuadrante.

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