Deducción de la Tercera Ley de Kepler

A comienzos del siglo XVII, Johannes Kepler elaboró tres leyes que se cumplían en todos los planetas del Sistema Solar. Para ello se valió de los datos cedidos por su amigo el astrónomo Brahe y sus grandes dotes matemáticas. Las tres leyes son las siguientes:

1. Las órbitas de los planetas son planas y elípticas, con el Sol en uno de sus focos.

2. El vector posición que une el Sol con cada planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, debido al principio de conservación del momento angular.

3. Hay una relación de proporcionalidad entre el cuadrado del periodo de traslación y el cubo de la distancia media de cada planeta al Sol.

Nos vamos a centrar en la tercera ley y a intentar deducirla:

La fuerza de atracción del Sol debe ser igual a la fuerza centrífuga, para mantener a cada planeta en un órbita estable. Vamos a deducir la tercera ley de Kepler a partir de esta afirmación.

Igualando fuerza gravitatoria a fuerza centrífuga:

Recordemos la Tercera Ley de Kepler:

Por semejanza a la fórmula anterior, hallamos k en unidades del SI:

Esa constante (en segundos al cuadrado/metros cúbicos) es común a todos los cuerpos que orbiten en torno a otro. Para calcularla solo tenemos que despejar las constantes. G es la constante de la gravitación universal y Ms es la masa del Sol (en este caso).

Vamos a intentar hallar la constante de la gravitación universal según la fórmula que hemos obtenido, para observar que es correcta:

Y efectivamente, funciona.

En la entrada sobre ¿Cómo descubrieron Neptuno? puedes ver una aplicación práctica de lo comentado en la entrada de hoy.

Si quieres leer la demostración de la Segunda Ley de Kepler, clic aquí.

Si quieres echar un vistazo a la primera ley de Kepler, clic aquí.

Nos vemos en la siguiente entrada. 

Un saludo muy fuerte.

¿Es posible la vida extraterrestre?

Enrico Fermi fue un físico italiano del siglo XX. Durante la II GM participó en el desarrollo de la bomba atómica, en el que se conoce como Proyecto Manhattan. El Fermio (elemento químico de símbolo Fm) y los fermiones (en el modelo estándar, familia de partículas constituyentes de la materia) le deben su nombre. En el año 1950 propuso la famosa Paradoja de Fermi en contraposición a la Ecuación de Drake. ¿Qué dice cada una?

Ecuación de Drake

La ecuación de Drake tiene en cuenta una serie de factores como el número de estrellas que se crean al año, la probabilidad de que desarrollen planetas en la zona habitable, de que desarrollen vida y que esta sea inteligente (entre otros parámetros) para calcular el número de civilizaciones inteligentes en nuestro universo. Resolviendo la ecuación obtuvo que debería haber 10 civilizaciones extraterrestres sólo en nuestra galaxia. Otros científicos proponen valores entre diez millones de civilizaciones y una sola: nosotros. Estas discrepancias son debidas a que no es posible tener en cuenta todos los factores de la ecuación, a que puede haber otros mecanismos de vida basados en otras estructuras moleculares (silicio, flúor, amoniaco…), o una imprecisión en esos datos que Drake obtuvo, ya que no podemos conocer con precisión el número de estrellas existentes o sus ciclos formativos. El número de civilizaciones inteligentes de nuestra galaxia se conseguiría, según Drake, multiplicando el número de estrellas que nacen cada año por la probabilidad de que tengan planetas, multiplicado por la fracción de éstos en la zona habitable, por la probabilidad de que desarrollen vida inteligente, por la fracción de que esa vida inteligente desee y pueda comunicarse y finalmente, multiplicado por el tiempo que puede existir esa civilización antes de su autodestrucción. Es demasiado simple para considerarse algo científico ya que no tiene en cuenta apenas ningún parámetro.

Si Drake tuviese razón, ¿dónde se esconden esas civilizaciones? A esta pregunta intenta responder la Paradoja de Fermi:

“La creencia común de que el Universo posee numerosas civilizaciones avanzadas tecnológicamente, combinada con nuestras observaciones que sugieren todo lo contrario es paradójica sugiriendo que nuestro conocimiento o nuestras observaciones son defectuosas o incompletas”. En la época en que la planteó, Fermi estaba trabajando en la bomba atómica, por lo que predijo lo que les sucedería a las civilizaciones avanzadas tecnológicamente: se auto aniquilarían. ¿Por qué no detectamos vida inteligente? Según Fermi, su elevada inteligencia les llevaría a su autodestrucción, prediciendo así el posible destino de la Humanidad. Otros científicos piensan que es la escasez de recursos lo que acaba con las civilizaciones inteligentes (debido a un crecimiento en forma de J o exponencial). Otros en cambio opinan que las condiciones del universo solo permiten la vida de nuestra especie (principio antrópico). Multitud de teorías científicas que pueden confundirse con especulaciones de ciencia ficción sin claros argumentos científicos.

Enrico Fermi señalando una ecuación de Einstein

Para saber si hay vida en otros planetas, primero debemos especificar qué es la vida. ¿Puede existir vida con otros elementos que no sean el carbono, hidrógeno, oxígeno…? ¿Qué tiene la Tierra de especial para haber desarrollado vida? Y multitud de preguntas más. Para generar vida, un planeta necesita de unas moléculas sencillas capaces de combinarse mediante la energía de una estrella, en nuestro caso del Sol. El planeta deberá encontrarse, según los elementos que posea, a una determinada distancia de su estrella. Si esas moléculas fuesen derivadas del amoniaco, cabe esperar que para que se desarrolle vida se encuentre a una distancia relativamente lejana de la estrella (aunque siempre dependerá del tamaño, edad y temperatura de la misma). Si por el contrario abundasen fluorocarburos, la distancia debería ser menor. Es evidente que la ecuación de Drake es demasiado simple, ya que hay más tipos de vida y no todas las estrellas son iguales. La presencia de campo magnético, de atmósfera, el tamaño y campo gravitatorio tanto del planeta como de su estrella, y así como las longitudes de onda de emisión de la estrella son factores importantes a tener en cuenta.

Nuevas investigaciones sostienen que la vida en la Tierra también es debida a la tectónica de placas, generada posiblemente por asteroides que nos visitaron en los inicios de nuestro planeta. Según el geofísico Tilman Spohn, la presencia de movimiento de las placas tectónicas hace posible la vida debido a que favorece los movimientos de materia y energía en los ciclos biogeoquímicos. Para que la corteza se dividiese en placas, geólogos y físicos como el profesor Norm Sleep (geofísico de la Universidad de Stamford) proponen la idea de que los causantes fuesen los impactos de meteoritos de hace 4.000 millones de años. En la Tierra es difícil detectarlos, debido precisamente a esa tectónica, pero en la Luna puede haber cráteres de esa edad.

Placas tectónicas en nuestro planeta

En Sudáfrica han encontrado una zona con sedimentos de hace más de 3.500 millones de años. En ellos, como ocurre en el límite KT (capa sedimentaria de iridio que dejó un asteroide que se cree como el causante hace 65 millones de años de la extinción de los dinosaurios y de los amonites), se han encontrado restos de elementos poco comunes en la corteza, como iridio, platino o cromo. Un gran avance en esta investigación sería el descubrimiento de algunos de esos cráteres. Cabe esperar que estas capas tan antiguas sean la muestra de que la Tierra estuvo bañada de asteroides en sus orígenes, lo que ayudó notablemente al desarrollo de la tectónica de placas, que combinada con la energía gravitacional y la energía interna del interior, permiten hoy día ese continuo desplazamiento horizontal de las placas litosféricas. Aún no sabemos si una tectónica de placas es indispensable para la vida. Si así lo fuese, otro factor más a tener en cuenta en la ecuación de Drake.

Capa oscura rica en Iridio que marca
el límite K-T

En mi opinión, es muy probable la existencia de vida extraterrestre. Más difícil es la existencia de vida inteligente, pero también posible. Organizaciones como el SETI están completamente convencidas de encontrar señales de vida inteligente antes de fin de siglo. El universo es muy grande y tiene mucha edad. Quizá en algún lugar lejano se hayan preguntado lo mismo, o incluso lo estén haciendo en este momento, aunque nuestro “rango de visión” (debido a la relativa lentitud de la velocidad de la luz) sea muy pequeño y nunca los encontremos. Quizá Drake sí que tuviese razón, ya que la probabilidad de encontrar un planeta con exactamente las mismas características que la Tierra es cada vez mayor, y si así fuese sería muy posible el desarrollo de la vida, y posiblemente también alguna especie que pueda llegar a auto considerarse como “inteligente”, teniendo en cuenta que lo que conocemos como vida es solo una de tantas posibilidades.

Espero que os haya gustado hoy esta entrada un poco diferente a las que suelo publicar.

Un saludo!

¿Cómo descubrieron Neptuno?

Una vez que sir Isaac Newton encontró su famosa Ley de la Gravitación Universal, se pensaba que todo en el universo se comportaría de forma predecible y que tantos los planetas como todos los astros seguían trayectorias lógicas y que se deducían a partir de las leyes de Kepler y Newton.

El Universo se contemplaba como una enorme máquina de relojería, y tenían la visión de Dios como un implacable matemático diseñador de tal obra. Nacería así el determinismo científico, teoría filosófica que básicamente niega la existencia de la libertad. Se pensaba que todo en el Universo era entendible según esas leyes que ya se poseían, y por tanto la conducta humana era también predecible, pero mucho más compleja.

Pierre Simon Laplace postularía su tesis del Demonio de Laplace, un hipotético demonio capaz de conocer la posición y momento de todas las partículas del universo. Así, podría calcular sus posiciones y momentos en cualquier otro momento. 

Conociendo las distancias interplanetarias y las masas de cada planeta, podríamos calcular la velocidad de traslación de cada astro de nuestro Sistema Solar simplemente igualando la fuerza centrífuga (hacia fuera) de cada planeta debido al movimiento elíptico que describen con la atracción del Sol. Por ejemplo, si yo describo una rotonda en coche, para que el vehículo no vuelque en la curva, la fuerza de rozamiento del suelo debe ser igual a la fuerza centrífuga. Lo mismo ocurre con los planetas.

La fuerza centrífuga, para que la Tierra no salga despedida, es igual a la atracción gravitatoria del Sol

Efectivamente, la fuerza centrífuga tiene un valor muy parecido al de la atracción gravitatoria. Recordemos que la órbita es una elipse, no una circunferencia.

Aplicando esta definición planeta por planeta, comprobaron que la Ley de la Gravitación de Newton se ajustaba perfectamente a las predicciones, excepto en Urano. La órbita de Urano presentaba ciertas perturbaciones, y comenzó una desconfianza en la teoría de Newton, que parecía estar fallando.

En la década de 1840, John Couch Adams y Urbain le Verrier tuvieron la siguiente idea: puede que exista un cuerpo, más allá de la órbita de Urano, que por interacción gravitatoria desvíe la trayectoria de este último. De ser así, podríamos encontrarnos frente al octavo planeta del Sistema Solar.

Urbain le Verrier

Manos a la obra. De manera independiente trabajaron intentando hallar la masa, posición, tamaño y distancia de ese hipotético planeta. En 1846 concluyeron sus cálculos, prediciendo las coordenadas donde se encontraría la noche del 23 de septiembre de 1846. Efectivamente, ese día fue observado Neptuno, el primer planeta que anteriormente se había descubierto matemáticamente.

Neptuno

Pero aquí no acaba la cosa: Urano no era el único planeta que presentaba anomalías en su órbita. También era conocido el caso de la desviación del perihelio de Mercurio. Se atribuía a una mala medida, pero le Verrier volvió a plantear el mismo argumento que aplicó en el caso de Urano. Pensó que alomejor podría existir un planeta entre el Sol y Mercurio, al que bautizó como Vulcano, que desviase también su órbita. En este caso, se equivocó. La órbita de Mercurio, efectivamente, no encajaba dentro de la Teoría de Newton. Tuvo que ser en 1915 cuando Einstein encontrase la solución.

Debido a la enorme masa solar y el campo gravitatorio que genera, es necesario tener en cuenta los factores relativistas de la Teoría de la Relatividad General de Einstein, ya que la de Newton no es válida en esos casos. Uno de los hitos de la teoría de Einstein fue esa, explicar las anomalías de la órbita de Mercurio (entre multitud de fenómenos que predicen sus ecuaciones). También fue demostrada experimentalmente durante el famoso eclipse de 1919, donde se comprobó que la luz de estrellas situadas detrás del Sol se curvaba al pasar cerca suyo. La luz, aunque no tenga masa, posee un momento lineal asociado a su frecuencia, por lo que también deforma el espacio-tiempo y puede ser desviada.

Y así es como se descubrió un planeta gracias a la valiosísima herramienta que son las matemáticas. Hoy en día se descubren planetas de esta manera, al igual que los agujeros negros se encuentran observando cómo se comporta la materia a su alrededor. Otro método de detectar planetas es estudiar los cambios de brillo de estrellas cuando el planeta pasa por delante.

Visita la entrada Deducción de la Tercera Ley de Kepler.

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Un saludo,
Gabriel.

Datación radiactiva

¡Buenas amigos!

Hoy intentaré relacionar lo aprendido en las entradas de Radiación Beta y Radiación Alfa con el estudio de la antigüedad de rocas, fósiles...

Lo primero de todo es recordar que en la Naturaleza existen 4 fuerzas fundamentales: Gravitación, Electromagnetismo, Nuclear Fuerte y Nuclear Débil. En esta tabla se recogen los datos más relevantes de estas fuerzas:

Los estudios sobre Gravitación se los debemos en primera instancia a Newton (Ley de la Gravitación Universal), y dos siglos después a Einstein (Teoría General de la Relatividad). Es una fuerza universal, que disminuye con la distancia, presente entre todas las partículas con masa, de carácter atractivo. Su partícula correspondiente, aún no confirmada experimentalmente, es el Gravitón. Es la fuerza más "débil", ya que un simple imán atrayendo un clip de metal supera la fuerza que la Tierra ejerce sobre ese clip, por ejemplo.

La unificación entre electricidad y magnetismo se lo debemos en gran medida al físico inglés Maxwell. Es una fuerza asociada a la carga, cuya partícula es el fotón (sin masa en reposo y por tanto su velocidad es la de la luz). Tiene un alcance universal, disminuye con la distancia, y puede ser tanto atractiva como repulsiva. Es la segunda fuerza más intensa después de la Nuclear Fuerte.

Ya en el siglo XX, gracias al estudio del núcleo atómico, consiguió estudiarse la interacción fuerte y la débil. La fuerte es la encargada de mantener a los protones y neutrones fijos en el núcleo atómico, aunque su alcance es ínfimo. La partícula correspondiente es el gluón (en inglés glue es pegamento), y es la más intensa de las 4.

Finalmente, la Fuerza Débil (sigue siendo muy intensa, que su nombre no nos engañe...) llamada así porque es menos intensa que la Fuerte, es la encargada del decaimiento beta tan imprescindible en la fusión nuclear de las estrellas. Cambia el sabor de los quarks constituyentes de los nucleones, y su partícula asociada son los bosones W y Z. Tiene un alcance aún menor que la anterior, debido a que los bosones W y Z tienen una vida muy corta, menor que la de los gluones.

La perfecta armonía de estas cuatro fuerzas hace posible la existencia del universo tal y como lo conocemos. 

¿Alguna vez os habéis preguntado por qué no se repelen los protones de los núcleos atómicos?

La respuesta es que la fuerza nuclear fuerte actúa de enlace entre ellos, superando a la fuerza electrostática de repulsión. A medida que un átomo es más y más grande, y dado que la fuerza electromagnética tiene alcance infinito mientras que la nuclear fuerte es de corto alcance, el núcleo tiende a ser más y más inestable. Llega un momento en que la fuerza de repulsión supera con creces a la nuclear fuerte, y entonces el átomo se divide en otros dos más ligeros liberándose gran cantidad de energía y partículas alfa. Es el proceso de fisión nuclear.

Por otra parte, la interacción débil es la responsable de la radiación beta (tanto positiva como negativa). Tal y como vimos en la entrada correspondiente, que puedes visitar aquí, los neutrones y los protones están transformándose continuamente (los protones se transforman en neutrones y los neutrones en protones, quedando el átomo tal cual). El problema está en los isótopos con demasiados neutrones, donde este proceso no ocurre del mismo modo. En estos casos, hay una cierta probabilidad de que un neutrón decaiga en un protón, aumentando en uno el número atómico del elemento, sin que otro protón decaiga en neutrón. Cuanto más pesado sea el isótopo, más probable es este proceso.

Cuando ocurre esto, el bosón W-, encargado de cambiar el sabor del quark correspondiente para la transformación del protón en neutrón, se desintegra. En su desintegración se produce un electrón (conservando la carga) y un antineutrino (para conservar parte de la energía en energía cinética). Puede ocurrir que halla demasiados pocos neutrones y que un protón decaiga en un neutrón. En este caso se liberaría un bosón W+, que decae en un positrón (antipartícula correspondiente al electrón) y un neutrino.

En neutrón (n) decae en un protón (p), un electrón (e) y un antineutrino (v)

¿Qué tiene que ver todo esto con la datación en rocas y seres vivos?

En las rocas, como en los seres vivos, hay isótopos radiactivos que nos pueden ayudar a datar la edad de una roca o un fósil. Hay tres mecanismos dependiendo de los isótopos implicados en el proceso de datación:

1. Radiación Beta -

Ocurre cuando un elemento aumenta el número de protones de su núcleo. Un ejemplo es el Carbono 14, que decae en Nitrógeno 14 (con un protón más y un neutrón menos). En el proceso se liberan electrones del núcleo en forma de radiación y también antineutrinos. El tiempo que tarda la mitad de una muestra en desintegrarse son 5570 años, tiempo que se llama vida media. Estudiando la relación entre átomos de carbono y de nitrógeno podemos saber la edad del fósil. Es útil en restos de seres vivos. Los seres vivos intercambian Carbono 14 con el medio ambiente hasta que mueren. A partir de ese momento éste se va desintegrando en Nitrógeno 14, proceso que utilizamos para datarlo.

2. Radiación Beta +

Un elemento disminuye su número atómico. El Potasio 40 decae en Argón 40, ya que uno de sus protones decae en un neutrón. Se libera en el proceso un positrón y un neutrino. Es el método más usado, y la desintegración de la mitad de una muestra tarda 1.300 millones de años.

3. Radiación Alfa (+)

Es usada en átomos más grandes, como el Uranio, y es el método más preciso. Debido al corto alcance de la fuerza Fuerte, el átomo de Uranio 235 se rompe y se forma el átomo de Plomo 207, liberándose en el proceso partículas alfa (núcleos de helio) y energía, mucha energía. Por esta razón son frecuentes los depósitos de helio cerca de las minas de uranio.

Fósil datado por las técnicas antes mencionadas

Y hasta aquí la entrada de hoy. Si os ha gustado, dejad un comentario y compartid a quienes creáis que les pueda gustar. Un saludo y hasta la próxima.

Radiación alfa

Hará cosa de mes y medio, en la entrada "Radiación beta", definíamos esta como aquella en forma de radiación donde un núcleo atómico emitía electrones y antineutrinos, o también positrones y neutrinos. Esto se debía a la interacción débil, que hacía decaer generalmente un neutrón en un protón. Recomiendo visitar la entrada sobre datación radioactiva, donde hablo de radiación beta y alfa.

Hoy hablaremos de la Radiación Alfa. Sabemos que en los núcleos de los átomos hay protones y neutrones. ¿Cómo es posible que estos no se repelan aunque sean de la misma carga? La respuesta la encontramos en la fuerza nuclear fuerte, que mantiene unidos a esos nucleones en el núcleo. Gracias a que es más fuerte que la electromagnética, los núcleos están fuertemente cohesionados. Sin la existencia de dicha interacción, el Universo sería una sopa de protones, neutrones, electrones, radiación y demás partículas.

Un dato importante es que esta fuerza tiene un alcance muy corto. Debido a esto, llega un momento en el que el valor de la fuerza se hace 0. Su rango de acción es algo mayor a una trillonésima de metro. Para imaginar esto, os diré que si un metro fuese la distancia entre la Tierra y el Sol, el rango de acción de esta fuerza tendría la longitud de una bacteria...casi nada.

Imaginemos por un momento un átomo de Uranio-238. Su núcleo está constituído por 92 protones y 146 neutrones. Cuanto más grande y pesado es un núcleo, menos estable será, porque las fuerzas electrostáticas de repulsión entre los protones crecerá. Debido a esto, el Uranio-238 tenderá a perder cargas nucleares en forma de partículas alfa. Las partículas alfa son agrupaciones de dos neutrones y dos protones, como si de un núcleo de helio se tratase. 

Así, ese isótopo de Uranio decaerá en un átomo de Thorio (90 protones y 90 electrones), en una partícula alfa (2 protones y dos neutrones) y en los dos electrones que quedan. Finalmente, estos dos electrones se asocian a la partícula alfa formando un átomo de helio. Esta es la razón por la que en los depósitos de minerales radiactivos es frecuente la presencia de bolsas de helio.

Otra forma de entender esta radiación se basa en el efecto túnel de la mecánica cuántica, donde esa partícula alfa supera esa barrera de potencial "escapándose" del núcleo.

Debido al enorme tamaño de estas partículas, su masa y su carga, pueden ser detenidas por una simple hoja de papel, y no son capaces de atravesar la piel humana aunque su velocidad media sea de 15.000 km/s.

Si te ha gustado, comparte y comenta. 

Un saludo, hasta otra!