Si aún no sabéis cuál es el Reto #1, clic aquí:
Reto #1. Si ya lo conoces, he aquí su solución:
Una espira cuadrada de lado $b$, masa $m$ y resistencia eléctrica $R$
es empujada con una velocidad inicial $v_0$ hacia una zona en la que
existe un campo magnético $\vec{B}$ como se observa en la figura. ¿Cuál
ha de ser la velocidad $v_0$, como mínimo, para que el carrito atraviese
completamente la zona sombreada?
Nota: Puede serte útil la regla de la cadena. $\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{dv}{dx}\cdot\displaystyle\frac{dx}{dt}=v\cdot\displaystyle\frac{dv}{dx}$
Tenemos que darnos cuenta de que al entrar el carrito en el campo magnético, comenzará a frenarse debido a que la corriente que se induce en la espira propiciará una fuerza de Lorentz en el sentido opuesto al de la velocidad. Esta fuerza desaparecerá una vez el carrito haya penetrado completamente en el campo, pues en ese caso $d\Phi/dt=0$, donde $\Phi$ denota el flujo magnético. La fuerza que se opone al movimiento será $F=bBI$, donde $I$ denota la intensidad que circula por la espira.
Es claro por la Ley de Ohm que $I=V/R=\displaystyle\frac{1}{R}\displaystyle\frac{d\Phi}{dt}$, y por consiguiente $F=\displaystyle\frac{bB}{R}\displaystyle\frac{d\Phi}{dt}$ $(I)$.
Asimismo el flujo en función del tiempo será $\Phi=Bbv(x)t$, y la variación de flujo, por consiguiente, será $\displaystyle\frac{d\Phi}{dt}=Bbv$. Nótese que $v\neq v(t)$. Introduciendo este maravilloso resultado en $(I)$:
$F=\displaystyle\frac{B^2b^2}{R}v$, y por la Segunda Ley de Newton, $m\displaystyle\frac{dv}{dt}=-\displaystyle\frac{B^2b^2}{R}v$ al no existir más fuerzas implicadas. Adviértase el signo negativo, puesto que el carrito se frena.
Por la regla de la cadena se tiene finalmente que:
$m\displaystyle\frac{dv}{dt}=mv\displaystyle\frac{dv}{dx}=-\displaystyle\frac{B^2b^2}{R}v\Rightarrow\displaystyle\int_{v_0}^{0}{dv}=-\displaystyle\frac{B^2b^2}{mR}\displaystyle\int_{0}^{b}{dx}\Rightarrow v_0=\displaystyle\frac{B^2b^3}{mR}$
