Hoy, día 11 de febrero de 2016, el equipo LIGO con la colaboración de VIRGO ha anunciado hace unos minutos por rueda de prensa la detección de ondas gravitacionales procedentes de la fusión de dos agujeros negros. La enrome energía liberada fue detectada el pasado 14 de septiembre, confirmando definitivamente la valided de la Teoría de la Relatividad General de Albert Einstein.
En la imagen inferior podemos ver el método que utilizan para detectarlas: el detector consta de dos brazos de varios kilómetros de largo recorridos por un haz láser. Al pasar una onda gravitacional, los brazos se contraen o extienden de modo que podemos detectarla debido a interferencias en dicho láser. Está mucho mejor explicado en el artículo que he subido a la sección Archivos, justo debajo de donde pone artículos.
El paper de la rueda de prensa lo podéis encontar en la sección Archivos.
Mi más sincera enhorabuena a todo aquel que se dedique a la Física. El día de hoy pasará a la historia.
Podemos esperar descubrimientos semejantes en las próximas décadas gracias a los detectores que se están construyendo en países como la India. Hoy es el comienzo de una nueva Astrofísica.
Comienzo una serie de entradas en las que expondré un problema de Física o de Matemáticas para su resolución. La respuesta más elegante o más ingeniosa será publicada junto al nombre de la persona que la resuelva. Para ello, manden un correo electrónico con la respuesta a gasape21@gmail.com. Suerte!
El primer problema que quiero plantear es el siguiente:
Una espira cuadrada de lado $b$, masa $m$ y resistencia eléctrica $R$ es empujada con una velocidad inicial $v_0$ hacia una zona en la que existe un campo magnético $\vec{B}$ como se observa en la figura. ¿Cuál ha de ser la velocidad $v_0$, como mínimo, para que el carrito atraviese completamente la zona sombreada? Se desprecia todo tipo de rozamiento.
Nota: Puede serte útil la regla de la cadena. $\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{dv}{dx}\cdot\displaystyle\frac{dx}{dt}=v\cdot\displaystyle\frac{dv}{dx}$
Recuerda que puedes ver el resto de retos con sus soluciones en esta página: Todos los Retos.
Este es uno de los conceptos a los que los alumnos de Física nos tenemos que enfrentar casi a diario. Es muy famosa la ecuación que nos dice que la entropía siempre aumenta en un sistema aislado, pero ¿qué es realmente la entropía?
Muchos la definen como el "grado de desorden" de un sistema. Los sistemas más desordenados tendrán una entropía mayor que los más ordenados. Pero sigo pensando que esta definición es demasiado confusa. Sin embargo, una de las maneras más ingeniosas en que me han explicado el concepto es: "la entropía es el tamaño del pen drive en el que está metido toda la información que nos falta por saber de un sistema". Simplemente genial. Vamos con ello:
Supóngase que tenemos cuatro bolitas y cuatro agujeros con distinto número de huecos como se muestra en las imágenes inferiores. Comencemos con un solo hueco:
Es evidente que en este caso las bolitas solo se pueden colocar de una sola forma. Dicho de otra manera, las combinaciones totales posibles son $\Omega=1$.
Es bien sabido que a los físicos les gusta tomar logaritmos en todos los sitios, así que yo digo que la entropía $S$ de un sistema se calcula como $S=k\log\Omega$. En el caso de la imagen superior sale que $S=0$ puesto que $\log 1=0$. De momento nos olvidaremos de las unidades y de la constante $k$.
Veamos un ejemplo con varios huecos, en este caso tres:
Aunque también pueden colocarse las bolitas de más formas, como esta:
Y podemos encontrar hasta 81 combinaciones en total. En este caso $\Omega=81$ y por tanto la entropía será distinta de cero. Calculándola, $S=k\log\Omega=6\cdot 10^{-23}$, que equivale a un número muy muy muy diminuto, tan pequeño como comparar un átomo con la distancia entre el Sol y la estrella más cercana.
Ahora imaginemos que hacemos de nuevo el experimento de las bolitas en los agujeros pero no podemos ver cómo están colocadas. Solo nos dicen el número de huecos que hay. Si hay un solo hueco, sabemos que la única posición posible es que cada una esté en un hueco. Lo sabemos todo, el pen drive de lo que no sabemos está vacío.
Con dos huecos ya hay más opciones, ya no lo sabemos todo. El pen drive de las cosas que no sabemos ya tendrá algo de información.
Con veinte huecos, hay muchísimas opciones, más de tres mil millones. Necesitaremos un pen drive mucho mayor. Con 100 huecos hay un número inimaginable de posibilidades. Y con $6,023\cdot 10^{23}$, ni te cuento.
La entropía es, por tanto, el tamaño del pen drive en el que está toda la información que desconocemos. Ahora es fácil ver aquello del desorden, pues a mayor entropía, mayores posibilidades. Las bolitas están más descolocadas con veinte huecos que con uno.
Originalmente el concepto físico de la entropía se deriva del Segundo Principio de la Termodinámica. Se define como sigue:
$dS=\displaystyle\frac{\delta Q}{T}$
Y es una función de estado. Además solo puede calcularse para procesos reversibles. Realizando la integral correspondiente en el caso de un gas ideal a presión constante en el que cambia el volumen, obtenemos que:
$\Delta S=nR\log\displaystyle\frac{V_1}{V_2}$
Ahora supongamos que, de repente, todas las moléculas de un gas ideal se encuentran hacinadas en un volumen $V_2<V_1$, siendo $V_1$ el volumen del recipiente en que está el gas. La probabilidad de que la molécula 1 esté ahí es $\Omega=V_2/V_1$. La probabilidad de que estén la 1 y la 2 es $\Omega=(V_2/V_1)^2$. La probabilidad de que estén las $N$ moléculas será $\Omega=(V_2/V_1)^N$. Tomando logaritmos:
$\log\Omega=N\log{\displaystyle\frac{V_2}{V_1}}$
Recordando que de la Termodinámica se tiene que $\Delta S=nR\log\frac{V_1}{V_2}$ y ordenando un poquito ambas ecuaciones, es claro que:
$\Delta S=k\log\Omega$
Ya que $k=\displaystyle\frac{R}{N_A}$.
Por tanto hemos visto cómo a partir de la definición termodinámica de la entropía como $dS=\displaystyle\frac{\delta Q}{T}$ hemos llegado a la definición de "desorden" que tanto se escucha: $\Delta S=k\log\Omega$.
Pues bien, el Segundo Principio de la Termodinámica nos dice que en un sistema aislado, la entropía (o desorden) del sistema siempre aumenta. Matemáticamente, $\displaystyle\frac{dS}{dT}\geq 0$. ¿Es esto siempre cierto? Sí y no.
Supongamos un gas como en el ejemplo de antes. La variación de entropía a presión constante podría calcularse como $\Delta S=nR\log\frac{V_1}{V_2}$. El valor que vamos a obtener va a ser cero, porque el volumen siempre va a ser el mismo...¿o no? Imaginemos que en un instante dado todas las moléculas se encuentran en una de las dos mitades del recipiente. En este caso, puesto que $V_1>V_2$, ¡LA ENTROPÍA DISMINUYE! ¿Por tanto el Segundo Principio es falso y todo es una gran mentira?
Quieto parado amigo. Un gas normal tiene del orden de $10^{23}$ moléculas. Como vimos al principio de la entrada, podemos calcular la probabilidad de que las moléculas estén en una posición o en otra. Como cuantos más huecos en el ejemplo de las bolitas las posibilidades eran cada vez mayores, con tantas moléculas las posibilidades son casi infinitas. Esto quiere decir que para que la entropía disminuyese realmente, deberían de pasar miles de billones de años.
Hemos de recordar que la Termodinámica es una descripción macroscópica de la realidad. Es evidente que con tres partículas la entropía sí que disminuiría en el tiempo, pero es que con tres partículas no hablamos de Termodinámica, sino de Mecánica Cuántica. En el ámbito de aplicación del Segundo Principio de la Termodinámica, con millones y millones y millones de partículas, éste siempre se cumple. Por tanto podemos concluir con esta frase de Homer:
Quizá pueda resultar interesante un fragmento de la obra "La última pregunta" de Isaac Asimov donde habla de la disminución de la entropía en el Universo. Si la lees, te dejará sin palabras. Puedes encontrarla en mi sección Archivos.
Para concluir esta triada de entradas relacionadas con las mareas, hoy hablaré de la explicación física de las propias mareas. Las otras dos publicaciones son El Efecto Marea y los Corales y la duración del día.
La relación entre las aceleraciones de dos sistemas, uno inercial y el otro no inercial, se halla así:
Ahora esquematicemos el sistema Tierra-Luna:
Sea una masa m localizada en la superficie terrestre. Por simplicidad, consideremos que la Tierra no gira sobre su eje y que la hidrosfera recubre toda la superficie del planeta. La masa solo está afectada gravitacionalmente por la Tierra y la Luna, de momento. La segunda ley de Newton sobre esta masa desde el sistema centro de masas nos permite escribir:
Donde E es el empuje hidrostático y el vector a se refiere al sistema centro de masas.
Como consideramos la masa estática desde el sistema Tierra (despreciamos efecto Coriolis), así como que exista vector rotación ni su primera derivada temporal, en la ecuación deducida de (1) solo nos queda:
Donde el vector radio estrella es el que va desde el CM del sistema Tierra-Luna al centro de la Tierra. Como decíamos, por Newton podíamos escribir:
Siendo el vector F el que compensa a E para que la masa m esté en reposo. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y el centro de masas del sistema es:
Y aplicando la Ley de la Gravitación de Newton podemos hallar la velocidad angular tal que:
Podemos decir, finalmente, que la fuerza F es:
Si nos fijamos, el primer término es simplemente la atracción terrestre. Teniendo solo en cuenta este primer término, no se producirían las mareas, por lo que el segundo y el tercer miembro de la ecuación son los generadores de mareas. De este modo llamamos f a la fuerza generadora de mareas de forma que:
Un esquema ilustrativo sobre nuestro planeta podría ser el siguiente:
Ahora procedamos a calcular cuál es el tiempo que transcurre entre dos mareas. Aparentemente puede parecer que son 12h, es decir, dos pleamares y dos bajamares diarias, pero mientras gira la Tierra sobre su eje, la Luna ha recorrido un pequeño ángulo de su órbita, variando la posición del centro de masas.
En la figura superior, las mareas altas se producen en la línea que une los centros de la Tierra y la Luna. En un instante inicial, nos encontramos en el punto A'. Queremos hallar el tiempo que transcurre hasta que nos encontremos en A. Como, desde la Tierra, el CM gira a la misma velocidad angular que la Luna, nuestra posición angular respecto al centro de la Tierra y la posición del punto A son, respectivamente,
Resolviendo el sistema obtenemos que el periodo T de las mareas es:
Podemos ver en la siguiente página una Tabla con las mareas de Gran Canaria. Como observamos, hay pequeás variaciones de minutos por las aproximaciones y simplificaciones hechas, además de por no tener en cuenta el liger efecto del Sol.
Para concluir la entrada, os dejo un vídeo ilustrativo que resume un poco todo.
Aunque el título parezca una novela de Gabriel García Márquez, de quien realmente vamos a hablar en la entrada de hoy es de Albert Einstein.
Nuestra historia no comienza en Macondo, como la de Gabo, sino en la ciudad alemana de Ulm, un 14 de marzo de 1879. Sin duda aquel fue un "Buendía". En tan "premonitoria" fecha nació el pequeño Albert, hijo de Hermann Einstein y de Pauline Koch, de ascendencia judía.
En 1894, la familia Einstein se traslada a Milán, mientras el joven Albert permanece en Munich continuando sus estudios. En 1896 comenzó a estudiar en la Eidgenossische Technische Hochschule de Zúrich, donde fue alumno del matemático Minkowski, quién más tarde otorgaría el formalismo matemático a las teorías de su alumno.
En 1902, se incorpora a la Oficina de Patentes de Berna, y al año siguiente se casa con Milerva Maric, con quien tendrá tres hijos.
1905 es considerado como el Annus mirabilis de Einstein, por ser su época de producción científica más fructífera. Publicó un gran número de artículos acerca del movimiento browniano, de la naturaleza corpuscular de la luz, de la equivalencia masa-energía y Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento (que está colgado en la sección Archivos de esta página). Aquí surgiría la idea sobre la Teoría de la Relatividad Especial, a la que año y medio atrás dediqué una serie de entradas que puedes leer aquí.
Entre 1910 y 1914, comienzan los problemas matrimoniales entre Milerva y Einstein, que acabarán separándose. En este momento, Einstein comenzará una aventura amorosa con su prima Elsa Löwenthal. Probablemente, el año en que más fama y prestigio científico obtendría, así como grandes dolores de cabeza, fue 1915. En este año, tres frentes se abrieron en torno a él: la Primera Guerra Mundial, el divorcio con Milerva y la "batalla" para completar las ecuaciones de la Relatividad General.
Fue gracias a un viejo amigo suyo, Marcel Grossmann, quien introdujo a Einstein en el estudio de las superficies no euclídeas en el verano de 1912, que tanta importancia irían a tener en la Teoría que presentaría Einstein tres años más tarde. Fue en esa época cuando Einstein se percató de que C.F. Gauss y su pupilo B. Riemann tenían la llave que necesitaba para completar sus ecuaciones. El matemático lituano Minkowski y antiguo profesor de Albert, tendría suma importancia en este periodo geometrizando la gravedad.
David Hilbert
Entran en escena otros matemáticos como Hilbert (de quien seguro que habrás oido hablar por su Hotel Infinito). David Hilbert, paisano espacial de Kant (aunque obviamente no temporal), comenzó con el estudio y corrección de las ecuaciones de campo de Einstein en 1912, lo que no sentó nada bien al pobre Albert al no haberlo citado en sus conferencias. Se inició así una rivalidad entre el innegable talante matemático de Hilbert y el inigualable instinto físico de Einstein.
El 14 de Noviembre de 1915, Hilbert anunció que había dado con las ecuaciones de campo gravitatorio. En este momento, Einstein trató de ponerse manos a la obra concluyendo su teoría. Cuando descubrió que sus ecuaciones predecían la irregularidad en la órbita de Mercurio y que en campos gravitatorios de baja intensidad sus ecuaciones se reducían a las de Newton, Einstein sufrió una taquicardia. El 25 de noviembre de 1915, hoy hace exactamente cien años, Einstein presentó sus ecuaciones definitivas de campo ante la academia de Berlín, adelantándose a las de Hilbert (marzo de 1916). Señoras y señores, estamos ante un día histórico.
Las asperezas entre Hilbert y Einstein se limaron a partir de entonces, gracias a que Hilbert no reclamó la autoría de las ecuaciones de Einstein.
El 29 de mayo de 1919, Arthur Eddington realizó una expedición científica a la costa de Guinea para contemplar un eclipse total de Sol. Ese día se demostró experimentalmente que la Teoría de la Relatividad General de Albert Einstein era acertada, al predecir la curvatura de un rayo de luz al pasar cerca del Sol.
Arthur Eddington
En 1922, Albert Einstein recibiría el Premio Nobel de Física por su contribución al Efecto Fotoeléctrico. En 1933 se exilia a Estados Unidos donde comienza a trabajar en Princeton, donde coincidirá con otros ilustres como Gödel o von Neumann.
Fue una persona pacifista, contrario a todo acto de violencia, como pudo comprobarse con su rechazo a la Segunda Guerra Mundial. En boca del propio Einstein, "no sé con qué armas se luchará en la Tercera Guerra Mundial, pero sí sé
con cuáles lo harán en la Cuarta Guerra Mundial: palos y piedras".
En 1952 rechazó el convertirse en presidente del Estado de Israel, y en 1955 muere en Princeton por problemas cardiacos, sin haber logrado su objetivo de unificar todas las fuerzas de la naturaleza en una sola.
TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL
Pese a todas las ecuaciones planteadas entre 1905 y 1915 en semajante bullicio intelectual, solo las de Einstein consiguieron tal caracter "general". Pero bien, ¿qué es lo que describen tan brillantes ecuaciones?
Cuentan que un día Einstein dialogaba con un carpintero que había caído de un andamio que le dijo: "fue como flotar en el aire". Esa idea tan simple condujo a Einstein hacia una teoría: la Relatividad General. Albert pensó que una persona flotando en el espacio sentiría lo mismo que otra en caida libre, es decir, que si vendásemos los ojos a ambas, no serían capaces de distinguir ambas sensaciones. Asimismo, no es posible distinguir entre estar en reposo sobre la Tierra o estar en un ascensor espacial que acelere con una aceleración g. Esto se conoce como el principio de equivalencia.
Einstein se dio cuenta de que la fuerza gravitatoria descrita por Newton dependía de la distancia, pero años atrás demostró que aquélla era relativa según la velocidad del observador. Algo semejante ocurría con el tiempo: no se encontraba explícitamente en la famosa ecuación de Newton, lo cual violaba el postulado básico de la Relatividad (ninguna partícula con masa puede moverse a una velocidad mayor que la de la luz en el vacío). Esto implicaba que necesitaba encontrar una teoría sobre la gravedad relativista.
Fue el matemático lituano Hermann Minkowski quien despejó el camino para que las ideas de Einstein pudiesen ser expresadas un lenguaje matemático más formal. A partir del "espacio" y del "tiempo", creó el "espacio-tiempo". Ahora el tiempo es una coordenada más, matemáticamente equivalente a "anchura", "altura" y "profundidad". De este modo, el espacio-tiempo adquiere un sentido puramente geométrico.
Analogía 4D - 3D
Las trayectorias de los objetos por un espacio de dimensión 3 pasan a convertirse en movimientos en 4 dimensiones denominados geodésicas. Se pueden encontrar imágenes de este tipo para ilustrar esto mismo:
La forma de estas trayectorias depende de la masa, es decir, la masa distorsiona el espaciotiempo. Suele ponerse el ejemplo de la bola de bolos sobre una sábana y una canica dando vueltas alrededor. La masa determina la curvatura del espacio-tiempo y ésta determina las trayectorias de los cuerpos. Esta relación viene descrita en la famosa ecuación de Einstein, el mayor logro de la mente humana para algunos.
En palabras de Wheeler, "el espacio le dice a la materia cómo debe moverse, y la materia le dice al espacio cómo debe curvarse".
CONSECUENCIAS
Es obvio que esta teoría es uno de los más magníficos constructos de la mente humana, tanto por su belleza como por sus posteriores repercusiones. Poco a poco se fue introduciendo en el resto de ramas de la Física. Quizá no hizo muy buenas migas con la Mecánica Cuántica, pero esa es otra historia.
También tuvo sus consecuencias negativas, aunque siempre por fallos humanos, no de la teoría. Con esto me refiero a las bombas atómicas de Hiroshima y Nagasaki en 1945, que nos demuestran el impacto que tuvo la ralatividad en la Física Nuclear. Absolutamente todos los efectos que predice la relatividad han sido medidos en el laboratorio: la contracción temporal, la curvatura de la luz por la presencia de un cuerpo masivo y demás.
Actualmente, la gravedad no puede ser descrita de la misma forma que las otras tres fuerzas fundamentales. Por ello mismo se intenta comaginar las cuatro en una sola fuerza, para lo cual los físicos recurren a dimensiones más altas. Es interesante un libro de Michio Kaku titulado Hiperespacio, que puedes adquirir para ebook en mi sección Archivos.
A Einstein y a su magnífica teoría, junto a la Mecánica Cuántica, le debemos todo el avance tecnológico del siglo XX. Sin estas teorías, no estarías leyendo este blog, al menos digitalmente. Tampoco exisiría casi ningún dispositivo electrónico, y mucho menos ordenadores, tablets, smartphones...
Otra magnífica prueba de la Relatividad General es el GPS. Para determinar la posición de tu coche, tu dispositivo GPS se "pone en hora" con cuatro satélites a la vez. De este modo, cada satélite puede determinar la distancia a la que se encuentra el dispositivo, construyendo una esfera con todos los puntos posibles en los que puede localizarse. La intersección de las respectivas cuatro esferas de cada satélite es, en efecto, un punto: tu posción.
La sincronización entre los satélites y el GPS es vital. Teniendo en cuenta que el tiempo no transcurre a la misma velocidad para el satélite que para nosotros (por efectos gravitatorios y por la velocidad), es necesario incluir en la programación de los GPS las ecuaciones de Einstein, o si no un viaje de París a Moscú puede acabar en Roma, y no especialmente porque todos los caminos lleven a ella.
LECTURAS Y VIDEOS RECOMENDADOS
Recomiendo echar un vistazo a un famoso documental de Brian Greene que puedes ver haciendo clic aquí. Además, puedes encontrar dos de sus libros en formato digital en el siguiente enlace: Archivos.
Muchos autores de divulgación como Michio Kaku o Stephen Hawking explican muy bien la Teoría de la Relatividad en sus libros, los cuales puedes encontrar en los Archivos de este blog.
Finalmente, dejo enlaces a varios documentales sobre el tema:
