Cinemática y Gravitación

¿De qué depende el tiempo que tarda en caer un objeto en caída libre?

Como es lógico, de la altura. ¿Pero y la aceleración? ¿Es constante siempre? La respuesta es que no.

Esa aceleración se debe una fuerza de carácter gravitatorio, que a su vez depende de la distancia entre los cuerpos y sus masas (Ley de la Gravitación Universal). Como la fuerza aumenta conforme al objeto se acerque a la Tierra, también lo hará la aceleración para una masa m constante. Por esto, he decidido combinar las ecuaciones de cinemática con las de gravitación, para obtener unas nuevas que relacionen el tiempo de caída con la altura (teniendo en cuenta una aceleración variable). 

Esto quiere decir que la aceleración que sufre nuestro objeto depende de la altura, y nuestro objetivo será hallar la aceleración media entre el momento en el que está arriba del todo y el momento en el que toca el suelo. Recordemos las constantes con las que vamos a trabajar:

Si graficamos la aceleración en función de la altura, obtenemos una gráfica del siguiente tipo: (función potencial de exponente entero negativo par)

Cuando la altura vale 0, se obtiene el conocido valor de 9,8 m/s2 para la aceleración. A medida que la altura aumenta, este valor tiende a 0 en el infinito. Podemos observar que debajo de la función se forma un área:

Este área (A) corresponde geométricamente con la integral definida en el intervalo [0, h] de la función aceleración. Recordemos que la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, entonces la integral indefinida de la función aceleración (diferencial de tiempo) corresponde con la función velocidad, que depende del tiempo con una aceleración constante. Podemos decir entonces que el área A se corresponde con la aceleración multiplicada por el tiempo. Podemos hallar la aceleración media así:

Esta nueva función tiene aceleración constante, y el área (A) de debajo en el intervalo [0, h] es la misma. Por eso podemos decir que la aceleración media se corresponde con ese área dividida entre h. Viéndolo como si fuese un rectángulo, el área A sería igual a la base h por la altura am.

Vamos a comparar las ecuaciones obtenidas con las ecuaciones "normales" donde consideramos la aceleración, g, constante:

Graficando las dos ecuaciones del tiempo con respecto a la altura obtenemos lo siguiente:

La altura (h) está representada en el eje de abscisas en km, y el tiempo (t) está representado en el eje de ordenadas en segundos. La línea negra es la fórmula con aceleración constante, y la línea roja es la que hemos hallado, donde la aceleración es variable.

Podemos observar que a alturas "pequeñas" las dos funciones están casi superpuestas. A partir de 300 o 400 km ya se observan diferencias que se van acrecentando con el tiempo. Para que nos hagamos una idea, la altura desde donde se lanzó Felix Baumgartner está representada por la línea azul, es decir, la diferencia de tiempos no alcanzaba ni 1 segundo.

Si representamos la altura de un objeto en función del tiempo que tarda en caer según las dos fórmulas:

De nuevo, la línea roja será la que hemos hallado en esta entrada y la negra la que considera la aceleración constante. A alturas bajas, hasta los 300 km, la diferencia es insignificante. A partir de esa altura, es un factor a tener en cuenta. Una altura de 200 km representa tan solo el 3% del radio terrestre.

Finalizaré la entrada recordando las dos ecuaciones que hemos hallado hoy, la que relaciona la altura (h) con respecto al tiempo y la que relaciona el tiempo (t) con respecto a la altura desde la que se lanza un cuerpo en caída libre:

Nota: considero todos los tiempos, lógicamente, como positivos si no pongo el símbolo "+" delante de las raíces.

Estas ecuaciones se pueden aplicar en otros planetas, sustituyeno el radio y la masa por el que corresponda. Es necesario decir también que en estas ecuaciones omitimos por completo el rozamiento con el aire, que es un factor muy a tener en cuenta. Los tiempos que hallemos con estas fórmulas serán ligeramente superiores a los experimentales por este motivo. Posteriormente ampliaré las ecuaciones teniendo en cuenta esos datos.

Hasta dentro de unos días con otra entrada. Espero que os haya gustado esta, ya que le he dedicado bastante tiempo entre obtener las ecuaciones y preparar la entrada y las gráficas.

Un saludo!

Proyecto Ilustris

Recientemente, un grupo de astrofísicos de las universidades de Harvard, Princeton, Cambridge y el Instituto Tecnológico de Massachusetts, junto con la colaboración de superordenadores de varios países, han conseguido crear una ambiciosa simulación de los 13.800 millones de años de historia de nuestro Universo. 

El proyecto, finalizado el pasado octubre y presentado el 8 de mayo de 2014, cuenta con total fidelidad física. En la simulación se introdujeron las leyes físicas, y las imágenes y vídeos simulados coinciden sorprendentemente con la realidad. Esto nos ayudará a conocer mejor el Universo en el que vivimos.

El ordenador con el que estás leyendo ahora esta entrada tardaría 2000 años en realizar todos los cálculos del Proyecto Ilustris.

Aquí tenéis el vídeo con el que se presentó el proyecto:

Para visualizarlo desde un móvil, clic aquí.

Si deseas visitar la página oficial del proyecto, clic en este enlace: Ilustris Project.

Un saludo lectores,

nos vemos en unos días con una entrada de radiación ;)

Paradoja de los Gemelos

Y finalmente llegamos al final de esta serie dedicada especialmente a Relatividad Especial. Si quieres leer el resto de entradas sobre este tema, te invito a que hagas clic en el siguiente enlace, donde están todas agrupadas: Serie de Relatividad Especial.

Hoy vamos a tratar la Paradoja de los Gemelos. Antes de todo, veamos en qué consiste:

"Dos hermanos gemelos deciden hacer un peculiar experimento: uno de ellos es astronauta, y se embarca en un viaje espacial a velocidades próximas a la de la luz. Para el que permaneció en la Tierra, el astronauta ha sido el que se ha movido, por tanto al regresar habrá envejecido menos que él (de acuerdo con la dilatación temporal que sufre a esas velocidades). Pero para el astronauta, el que se ha movido respecto a él ha sido el resto del Universo...por tanto al volver, el que menos habrá envejecido habrá sido el que permaneció aquí".

Aquí reside la paradoja, ya que lo que miden los dos no tiene sentido en el momento en el que se encuentran. Si analizamos a fondo el experimento, veremos qué gemelo tiene razón. ¿Te apuntas?

Antes de nada, recordemos que a grandes velocidades el tiempo se ralentiza, el espacio se contrae y la masa aumenta. Vamos a observar el experimento desde el punto de referencia del gemelo astronauta primero, y finalmente el otro gemelo. De este modo queremos saber qué ocurre exactamente y cuál de los dos envejece más. Vamos a añadir un matiz: tanto el astronauta como su hermano tienen una linterna con la que envían un destello cada segundo a su hermano.

El astronauta decide embarcarse en su travesía espacial de 10 años luz a 261.000 km/s (he escogido este valor para simplificar las cuentas al final). El astronauta no mide 10 años luz, sino que debido a la contracción espacial que experimenta, para él el trayecto es de 5 años luz. A la velocidad que lleva, debería tardar 11,5 años ida y vuelta en completar el trayecto. Sin embargo, para el que permanece en la Tierra no es así...

Aunque el hermano que se queda en la Tierra encienda y apague su linterna cada segundo, el astronauta no ve esos destellos cada segundo, porque cada segundo la luz tiene que recorrer una distancia de 261.000 km más (el espacio que recorre su nave en un segundo). Debido a esto, los destellos se ralentizan cada 1,87 segundos...y si aplicamos la fórmula de dilatación temporal...los destellos se producirán cada 3,74 segundos.

Hemos dicho que para el astronauta, el tiempo de ida y vuelta son 11,5 años, entonces en ir emplearía la mitad, un total de 5,75 años. Como el tiempo en la Tierra transcurre 3,74 veces más lento, el tiempo que habrá medido el hermano de la Tierra será 5,75/3,74...es decir, 1,5 años.

Cuando el astronauta llega a su destino y se da la vuelta, el proceso se invierte. Cada segundo, la luz tiene que recorrer 261.000 km menos, lo que provoca que esos destellos los perciba cada 0,26 segundos teniendo en cuenta la dilatación temporal. Entonces, los 5,75 años de vuelta de la nave para nosotros son como 21,5 años, el resultado de dividir 5,75/0,26.

Astronauta: 5,75 + 5,75 = 11,5 años

Tierra: 1,5 + 21,5 = 23 años

Si hacemos cuentas, el astronauta ha vivido 11,5 años en total y nosotros en la Tierra hemos vivido 23 años, el doble, exactamente el mismo resultado que obtendríamos según la transformación de Lorentz.

Según la primera parte de este experimento, el que menos envejece es el astronauta.

Ahora vamos a centrarnos en el hermano que permanece en nuestro planeta. Al igual que antes, los destellos de su hermano le llegan cada 3,74 segundos. La distancia que recorre su gemelo son 10 años luz a un 87% de la velocidad de la luz, entonces la nave tarda 11,5 años "terrestres" en llegar al destino.

Cuando el astronauta llega al final de la travesía y se da la vuelta, en la Tierra vamos a seguir notando los destellos cada 3,74 segundos durante 10 años más, porque se encuentra a 10 años luz de nosotros. Eso quiere decir que pasamos un total de 21,5 años percibiendo los destellos, lo que para el astronauta serían 5,7 años.

Como el viaje de vuelta dura 11,5 años (10 años luz a 261.000 km/s), y 10 de esos años los percibimos cada 3,74 segundos, quedan 1,5 años. A partir de ese momento, desde la Tierra comenzamos a percibir los destellos aceleradamente, porque ya ha llegado el último que se emitió desde el punto más lejano a 10 años luz. Durante esos 1,5 años, los destellos se producen cada 0,26 segundos. Eso quiere decir que para el tripulante de la nave, ese año y medio equivale a 1,5/0,26 = 5,7 años.

Astronauta: 5,7 + 5,7 = 11,5 años

Tierra: 11,5 + 10 + 1,5 = 23 años

Si echamos cuentas, el astronauta ha vivido 11,5 años y en la Tierra han pasado 23 años. Exactamente el mismo resultado que en el caso anterior. Aquí queda resuelta la paradoja.

El gemelo que envejece menos es el astronauta.

En ambos casos se cumple que el que menos envejece es el astronauta, tal y como predicen las ecuaciones de Lorentz y Einstein.

No hemos tenido en cuenta la dilatación temporal producida por la gravedad, que también afectaría al experimento. El gemelo de la Tierra se encuentra en un sistema acelerado constante (la aceleración de la gravedad sería g = 8,81 m/s2), pero el astronauta también tendría que acelerar para lograr tales velocidades, por lo que los datos del experimento podrían variar teniendo en cuenta estas consideraciones.

Aquí llegamos al final de la serie dedicada a Relatividad Especial. Espero que os haya gustado, y como ya sabéis, aquí abajo podéis dejar comentarios.

¡Un abrazo científico!

Serie de Relatividad Especial

Aquí están, por orden de publicación, todas las entradas dedicadas a Relatividad Especial. Clic sobre ellas para leerlas.

Introducción 

Dilatación temporal

Contracción espacial

Aumento de masa

Paradoja de los gemelos

Efecto Doppler Relativista

Espero que hayáis disfrutado leyendo esta serie tanto como yo escribiéndola, y que hayáis sentido la satisfacción de haber entendido un poco más sobre algo que a primera vista no es muy intuitivo, pero que después de todo se puede llegar a entender. Un saludo muy fuerte. Si queréis alguna serie sobre otra teoría o que hable sobre otro tema, hacédmelo saber en los comentarios y me informaré para escribirla.

Un saludo.

Aumento de masa

Sí amigo, has leído bien...la masa aumenta...

En entradas anteriores hemos visto cómo se dilata el tiempo (léelo aquí) y como se contrae el espacio (léelo aquí). Al igual que estas magnitudes, la masa no es una constante universal para cualquier sistema de referencia. Dicho bien, lo que ocurre es que el momento lineal de una partícula con masa a grandes velocidades, es proporcional al inverso del factor ß que habíamos visto en entradas anteriores, es decir, que el aumento del momento dependiendo de la velocidad no es una recta, si no que se curva tendiendo a infinito cuando la velocidad iguala a la de la luz. Para la mecánica newtoniana esto no era así, y la masa era constante. De este modo definíamos momento lineal o cantidad de movimiento como el producto de la masa por la velocidad. En los choques elásticos, el momento se conservaba.

Vamos a hacer un experimento mental para entender por qué aumenta la masa:

Juan y María se mueven por el espacio en sentido contrario y de forma paralela, a una velocidad constante y próxima a la de la luz, tal como vemos en la imagen inferior.

Como son movimientos a velocidad constante, cada uno estará parado "para él mismo", y verá solo moverse al otro. Es como cuando vamos en coche y pasa al lado nuestro otro vehículo en dirección contraria. En un momento dado, ambos lanzan hacia el otro una pelota, de tal modo que la velocidad de la bola medida por el que la lanza es la misma que la velocidad de la otra medida por el otro. Es decir, Juan lanza hacia María la pelota a 10 m/s (por ejemplo), y María se la lanza a Juan a la misma velocidad. Si observamos el experimento como si María fuese la observadora en reposo y el que se moviese fuera Juan (consideramos que la velocidad de Juan hacia María es un 87% de la de la luz), dado que el tiempo de Juan (y su bola) transcurre para María de forma más lenta, la velocidad horizontal de la bola que lanza Juan es menor. Si la bola llevase un reloj, para Juan el tiempo de su bola transcurriría "normal", pero para María ese tiempo iría más lento. Si Juan lanza la bola a 10 m/s, para María esa bola recorre 10 m cada 2 segundos, o lo que es lo mismo, 5 m/s (teniendo en cuenta la dilatación temporal).

Visto desde el sistema de referencia de Juan, ocurre lo mismo...son experimentos simétricos: Juan se nota a sí mismo quieto, y María es la que se mueve. Juan lanza la bola a 10 m/s y ve aproximarse la de María a 5 m/s.

Volvamos al sistema de referencia de María. Ella ha lanzado su pelota a 10 m/s contra la de Juan a 5 m/s. Dado que en ese choque se conserva el momento lineal (p = m·v) y como cada bola vuelve a las manos de su dueño después del choque (por lo que los momentos de cada bola son iguales) y además su velocidad horizontal es diferente (siendo la pelota de Juan más lenta), su masa debe ser mayor para conservar la igualdad.

Como Juan se mueve a un 87% de la velocidad de la luz con respecto a María, el tiempo de Juan visto desde el sistema de referencia de María transcurriría dos veces más lento: cada dos segundos de vida de María equivaldría a un segundo en la vida de Juan. Debido a esto, el sistema de Juan (él, su reloj, su bola...) van más lento. Como al lanzar la bola horizontalmente va mas lento (menos velocidad) para chocar y acabar desplazándose lo mismo que la de María, debe tener dos veces más masa.

Podemos imaginar que choca una bola de bolos con una canica. Si van igual de rápido, al chocar, la canica retrocederá más. Esto se debe a que la de bolos es más pesada, y su momento p es mayor. En nuestro experimento retroceden ambas igual, y como una de ellas se mueve la mitad de rápido...para equilibrar la ecuación su masa deberá ser el doble. En la imagen inferior podemos ver la conservación del momento teniendo en cuenta solo las velocidades verticales.

Es decir, que si una persona de 80 Kg se pone a correr, su masa a esa velocidad aumentaría hasta los 80,00000000000001 Kg.

La ecuación que relaciona la masa en reposo (mo) con la masa (m) a una velocidad v es:

Si la velocidad v tiende a c, la masa m tiende a infinito...y como la fuerza necesaria para mover esa masa infinita también sería igual a infinito, la energía sería lógicamente INFINITA.

Por consiguiente, para conseguir que una partícula con masa alcance la velocidad de la luz, es necesario un aporte infinito de energía, por eso una partícula con masa no puede sobrepasar ni alcanzar c. Una partícula con masa nunca podrá alcanzar la velocidad de la luz para ningún sistema de referencia, y la luz no puede reducir su velocidad para ningún otro.

En el siguiente video podremos ver otro modo de entender por qué no es posible superar la velocidad de la luz, además de otras nociones curiosas que os recomiendo ver sobre Relatividad:

Para ver el vídeo desde un móvil, clic aquí.

Como la hipotenusa de un triángulo rectángulo es siempre mayor (o igual) que cualquiera de los catetos, la máxima velocidad permitida para una partícula es la velocidad de la luz, siempre que la partícula no tenga masa, como el fotón. Si tuviese masa, nunca podrá alcanzar la velocidad de la luz.

Este aumento de masa se puede observar en aceleradores de partículas: las colisiones entre dos protones generan muchos tipos de partículas. Si sumamos las masas de esas partículas, observamos que se supera las masas de los dos protones. Si tenemos en cuenta el aumento de la masa a las velocidades a las que chocan, los resultados cuadran.

En desintegraciones de núcleos pesados, la masa de los productos es menor a la del núcleo del que proceden. Teniendo en cuenta la energía emitida y la relación que hay entre esa energía y la masa (la famosa ecuación E = mc2), los resultados vuelven a cuadrar.

Esta serie de Relatividad Especial va llegando a su fin...en la siguiente entrada trataré la famosa "Paradoja de los Gemelos".

¡Un saludo!