Como ya mencionamos hace cierto tiempo en la entrada sobre la relación entre los corales y la duración del día terrestre, el período de rotación terrestre está aumentando, es decir, la Tierra se está frenando. Debido a ello, la Luna se aleja de la Tierra. ¿Pero por qué sucede todo esto? La respuesta la encontramos en el llamado "Efecto Marea", que trataremos de analizar en la entrada de hoy.
Partimos de que el momento angular del sistema Tierra-Luna se conserva. Trataremos a la Luna como una masa puntual y despreciaremos el momento de inercia de la Tierra respecto de su eje sobre el de la Luna alrededor de la Tierra. Consideraremos, por simplicidad, que el centro de masas del sistema coincide con el centro de la Tierra.
Las llamadas fuerzas de marea generan un torque que tiende a igualar la velocidad angular de rotación terrestre con la translación de la Luna en torno a nuestro planeta, de modo que en ese momento nuestro satélite se encontrará, aparentemente, en la misma posición en el firmamento.
La conservación del momento angular nos permite escribir que
Calculando el momento de inercia lunar y terrestre, encontramos que el de la Luna es tres órdenes de magnitud superior al de la Tierra, por lo que podemos decir que
En el momento en que los períodos se igualen, se cumplirá la ecuación
que aparece tras igualar la aceleración gravitatoria a la centrípeta.
Teniendo en cuenta el momento angular del sistema, es fácil ver que
lo que implica que la distancia final entre la Tierra y la Luna es 1,4 veces la actual.
Asimismo, la velocidad angular final del sistema vendrá dada por
que se corresponde con un período de unos 46 días actuales.
¿Cuánto se separa la Luna de la Tierra cada año?
Para ello tendremos que hacer un esquema ilustrativo de las fuerzas de marea que actúan sobre la Tierra. En la entrada de hoy despreciaremos la interacción con el Sol. Podríamos considerar el sistema Tierra-Luna de la forma:
Ahora calcularemos las fuerzas que ejerce la Luna sobre cada una de los dos masas. Llamaremos F1 a la fuerza sobre la masa más próxima y F2 a la más lejana. Utilizando la Ley de la Gravitación de Newton y el Teorema del coseno, llegamos a que:
Y por consiguiente, el torque generado por el par de fuerzas sobre la Luna será:
Pero como esto es un blog de Física y a los físicos no les gustan fórmulas tan grandes y feas, vamos a embellecerla un poco. Para ello tenemos en cuenta que D >> r, y tras una serie de cálculos y aproximaciones, llegamos a:
Que es infinítamente más sencilla, totalmente válida y más bonita. Para obtenerla hemos empleado el Teorema del seno además de las simplificaciones anteriormente mencionadas.
Sabemos también que el torque no es más que la primera derivada temporal del momento angular, y aproximando la órbita lunar a una circunferencia:
Introduciendo (1) en (2):
Y finalmente integrando:
Lo que, según la tasa actual de separación, implica que la Luna y la Tierra se alejan 3,4 cm cada año. Esa tasa se va frenando hasta el punto en que, cuando la variación de momento angular de la Luna se anule, sea cero. En ese instante desaparecerán las fuerzas de marea y la Tierra rotará a la misma velocidad a la que la Luna orbita nuestro planeta. Ambos periodos serán de 46 días.
Finalmente, hay que tener en cuenta que la energía del sistema se pierde debido a la viscosidad del agua en forma de calor. Una buena aproximación es que un 10% de la energía de subida del nivel del mar en una marea se disipa. Sabiendo aprovechar esta pérdida, podríamos producir en un año el equivalente a 10 mil millones de barriles de petróleo, la tercera parte de la energía consumida anualmente a nivel planetario. Yo creo que es una buena excusa para invertir en este tipo de energías.
Probablemente lo primero que hagas sea sacar un paraguas, sobre todo si eres precavido, pero si no dispones de uno, ¿qué es mejor para mojarse menos: correr o andar?
Aproximemos el cuerpo humano a un paralelepípedo de área frontal Af y área superior As como se muestra en la figura inferior. No es una mala aproximación si pensamos en As como la suma del área de la cabeza y los hombros y Af como la suma de cara, torso, brazos y piernas.
Ahora planteemos el problema:
Nuestro amigo el paralelepípedo se encuentra a una distancia D de su destino y quiere llegar a él mojándose lo menos posible. Para evitar mojarse, puede desplazarse con la velocidad que desee y puede inclinar su cuerpo si lo cree conveniente. También puede agacharse con el consiguiente detrimento de su velocidad.
Algunas consideraciones:
-La masa de todas las gotas de lluvia es la misma.
-La concentración de gotas de lluvia por unidad de volumen es constante en todo el recorrido.
-La densidad del agua es constante.
-La velocidad y dirección del viento es invariante durante todo el trayecto.
-La velocidad de caída de la lluvia, así como la del corredor es constante.
-Las gotas han alcanzado todas su velocidad límite por la fricción con el aire.
Problema:
Manera óptima para mojarse lo menos posible. Buscar una función del total de agua caída sobre el cuerpo para minimizarla, si es posible.
Caso #1 Sin viento
Sea Vc la velocidad del corredor y Vl la velocidad de la lluvia. Desde el sistema de referencia del sujeto, el experimento se vería así:
Podemos ver que el agua que caerá sobre la cabeza y los hombros será menor cuanta mayor sea la velocidad. Para calcular dicha masa de agua, basta con considerar la cantidad encerrada en la columna de agua de base As o Al y cuya altura dependerá obviamente de D.
Sin tener en cuenta que el corredor pueda agacharse o inclinarse, llegamos a que la cantidad de agua M que cae sobre el sujeto en función del cociente entre Vc y Vl es:
Al derivarla obtenemos una función decreciente con una asíntota horizontal, ya que efectivamente al observar la gráfica de M vemos que:
Lo que evidentemente nos lleva a pensar que es una función monótomamente decreciente en el intervalo que nos interesa (desde que Vc es 0 hasta que tiende a infinito).
Las dos soluciones válidas para que te mojes lo menos posible son:
-Ir a la máxima velocidad posible, pero te mojas una cantidad fija (la columna frontal).
-Que la velocidad de la lluvia sea 0, es decir, que no llueva...
Masa de agua (eje azul) en función de la velocidad de la lluvia (eje verde)
y de la velocidad del corredor (eje rojo)
Por consiguiente, en ausencia de viento y a velocidad arbitraria, te mojas menos cuanto más rápido vayas y cuanto menor sea la velocidad de la lluvia.
Consideraremos la velocidad vertical de la lluvia como constante. Efectivamente, la ecuación del movimiento de una gota de lluvia será:
Y considerando la segunda derivada como nula, obtenemos el valor de la velocidad límite
Que en condiciones normales oscila entre los 15 y los 35 km/h.
Podemos considerar ahora que el corredor se incline hacia delante un ángulo delta. La forma de minimizar el agua que impacta con su cuerpo es hacer que el ángulo de inclinación sea, evidentemente, theta. De este modo obtenemos:
La expresión corresponde a la cantidad de agua sobre la cabeza, que obviamente tiende a infinito cuando se está parado, y tiende a una cantidad fija cuando la velocidad del corredor tiende a infinito.
Si graficamos esta función obtenemos:
Como es obvio, la cantidad de agua tiende a una constante, que no es ni más ni menos que el coeficiente de la raíz.
En caso de considerar variable la velocidad del agua:
Masa de agua (eje azul) en función de la velocidad de la lluvia (eje verde)
y de la velocidad del corredor (eje rojo)
Ahora comparemos la masa de agua del corredor sin inclinarse (I) y la del que se inclina (II):
Llamaremos beta al cociente entre la velocidad de la lluvia y la del corredor. Si restamos a la ecuación (II) a la (I), obtenemos:
Por consiguiente, existen ciertos valores de beta para los cuales es preferible correr recto a correr inclinado. Basta con resolver la ecuación superior cuando delta de M es cero, y obtenemos precisamente la condición para la cual es conveniente no inclinarse:
Asimismo, como beta va a ser siempre positivo ya que las velocidades lo son, el cociente tendrá que ser mayor que cero también, para lo cual el área de la cabeza debería ser mayor que el área frontal, cosa que en una persona no ocurre, pero sí en otros animales.
De esta forma llegamos a que es preferible inclinarse siempre en la dirección del desplazamiento.
La inclinación óptima será, lógicamente, aquella que coincida con el ángulo que forman las componentes de la velocidad de la lluvia. Esto se debe a que la cantidad de agua en función del ángulo de inclinación tiene un mínimo cuando ese ángulo es theta.
Caso #2 Con viento
Ahora consideremos que nos da el viento a velocidad constante en la dirección de la trayectoria. En la suma vectorial de las velocidades tenemos que incluir la velocidad del viento y obtenemos, tanto para viento de cara como para viento de espalda:
Es fácil de observar que, a parte de todo lo dicho con anterioridad, la velocidad del viento influye, ya que aumenta lo que te mojas frontalmente. Considerando constante la velocidad de caída de la lluvia y haciendo la gráfica M (Vc, Vv):
Observamos que cuando Vc = -Vv, M es mínimo
Efectivamente cuando el viento nos da de espalda y nos movemos a la misma velocidad, desde nuestro sistema de referencia el agua nos cae sobre la cabeza y es mínima. Esa cantidad de agua es, precisamente:
Aunque sea trivial, tratemos de demostrar que la velocidad óptima es igual a la velocidad del viento de espaldas:
Y al resolver esa última ecuación se obtiene
Que es la solución obvia que antes habíamos indicado.
También podemos optar por inclinarnos un ángulo theta. El ángulo óptimo de inclinación, en este caso, sería:
Que evidentemente, cuando Vc = -Vv, ese ángulo es cero. Al inclinarse ese ángulo, el problema se reduce únicamente al agua que cae sobre la cabeza y los hombros.
Es lógico que por culpa del viento el corredor va a verse frenado, lo que aumentaría la pendiente de mojado, pero lo omitiremos por simplicidad.
Está claro que es preferible inclinarse a no hacerlo, pero a altas velocidades no es posible por las limitaciones del cuerpo humano. Por ello podemos pensar: ¿es preferible correr a la velocidad del viento o correr muy rápido? ¿Cómo te mojas menos?
Si hacemos tender la velocidad a valores altos, podemos despreciar el primer sumando y obtenemos que el agua caída sobre el cuerpo es aproximadamente
Si, por el contrario optamos por correr a la velocidad del viento, la masa sería
Comparando las dos expresiones, podemos ver que Mo es del mismo orden que M, pero menor. Además hay que tener en cuenta que M es más grande, ya que hemos prescindido del primer sumando.
Por todo ello, es preferible correr despacio a la velocidad del viento que no muy rápido cuando el viento te viene de espalda.
Conclusiones
- En ausencia de viento, es preferible correr a la máxima velocidad posible.
- En ausencia de viento, lo óptimo es inclinarse en la dirección del desplazamiento un ángulo que coincida con el de la lluvia (desde tu sistema de referencia)
- Con viento de cara, es aconsejable inclinarse hacia delante en el ángulo en el que caiga la lluvia.
- Con viento de espalda, lo preferible es correr a la velocidad del viento.
- Si el viento es lateral, descomponerlo en sus componentes y aplicar una de las dos conclusiones superiores, pero a la máxima velocidad posible.
Para concluir la entrada, os dejo un vídeo del genial Walter Lewin, ex-profesor emérito del Massachusetts Institute of Technology (MIT), donde habla de este problema.
Un saludo y hasta la próxima.
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Con estos términos nos referimos al hecho de aprovechar el tirón gravitatorio de un cuerpo celeste para modificar la trayectoria de una sonda espacial, e incluso para acelerarla.
Recientemente, esta técnica ha sido utilizada por la misión que hace poco visitó Plutón, y por ello hoy quería dedicar esta entrada para explicar, desde un ejemplo, su funcionamiento.
Sea un satélite de masa m lanzado desde la Tierra con una velocidad suficiente como para abandonar el campo gravitatorio solar. Alcanza la órbita de Júpiter perpendicularmente a una distancia b del astro y es capaz de desviarse un ángulo de 90º. Vamos a calcular cuánta energía gana nuestra nave.
Si el satélite tiene suficiente energía como para escapar del campo solar, es porque su energía en el infinito es nula, y por el Principio de Conservación de la Energía, su energía cuando se encuentra a una distancia cualquiera del Sol también será nula.
Sea r el radio orbital de Júpiter en el momento en que es alcanzado por la nave. Podemos decir que:
donde Vs representa la velocidad del satélite respecto del Sol y Mj la masa de Júpiter.
La velocidad desde el sistema de referencia de Júpiter lógicamente será
donde Vj representa la velocidad orbital de Júpiter.
Si durante el encuentro b es constante, debido a que el campo es central, se conservará el momento angular con respecto a Júpiter, por lo que de forma más o menos trivial observamos que la velocidad final Vf del satélite en el sistema de referencia del Sol es:
Por tanto, la energía cinética ganada por unidad de masa del satélite será de:
Lo que evidentemente supone enormes ventajas en el ahorro de combustible.
Un saludo y hasta la próxima publicación. No olviden comentar y compartir.
La International Physics Olympiad, conocida como IPhO, es un evento anual destinado a los estudiantes pre-universitarios más destacados en la materia de Física de sus respectivos países.
Cada año, desde 1967, esta competición se ha celebrado en un país diferente. La primera fue organizada en Polonia, donde solamente participaron cinco países; y la última se ha celebrado en Bombay (India), donde han participado más de 450 alumnos de todo el mundo.
La 46th International Physics Olympiad ha tenido lugar en Bombay durante las dos primeras semanas del mes de Julio de 2015, y ha sido patrocinada por el Homi Bhabha Centre for Science Education.
En España se realizan unas pruebas locales en cada ciudad, de donde se eligen a unos representantes que se enfrentarán en la Olimpiada Española de Física. Este año se celebró en Madrid, donde tuvimos que realizar una prueba experimental y tres ejercicios teóricos.
De las nueve medallas de oro de la Olimpiada Española de Física, los cinco primeros fuimos a la Olimpiada Internacional de Física (celebrada en Bombay a principios de Julio de 2015) y los cuatro siguientes irán a la Olimpiada Iberoamericana de Física en el mes de Septiembre.
Algunas fotos de la IPhO:
Delegación española junto con la siria
Delegación española
Delegación española en el acto de apertura
El autor de este blog
Equipo español en el acto de clausura
Para los que estéis interesados en echar un vistazo a los enunciados del examen y sus soluciones, clic aquí.
