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domingo, 9 de abril de 2017

Demostración de que $1=0$

Hoy vamos a dar una prueba de que $1=0$. Obviamente esto no es cierto, por lo que tu misión, querido lector, es ver dónde te la estoy jugando. Allá vamos:

Sea $I:=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{i\tau+1}d\tau}$. Multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, obtenemos:

$I=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{i\tau+1}d\tau}=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{-i\tau+1}{1+\tau^2}d\tau}=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{1+\tau^2}d\tau}$

Pues la función $\phi=\displaystyle\frac{x}{1+x^2}$ es impar y el recinto de integración es par, luego la integral se anula. Finalmente, 

$I=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{1+\tau^2}d\tau}=\arctan(1)-\arctan(-1)=\frac{\pi}{2}$.


Por otro lado:

$I=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{i\tau+1}d\tau}=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{i}\frac{d}{d\tau}\log (i\tau+1)d\tau}=$

$=\displaystyle\frac{1}{i}[\log (1+i)-\log(1-i)]=\frac{1}{i}(\frac{i\pi}{4}-\frac{i7\pi}{4})=-\frac{3\pi}{2}$


Donde se ha tomado como argumento principal aquel en el intervalo $[0,2\pi)$. Como $I=I$, entonces tenemos que $\displaystyle\frac{\pi}{2}=-\frac{3\pi}{2}$. Dividiendo ambos miembros entre la cantidad $2\pi\neq 0$, obtenemos finalmente que:

$\displaystyle\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}\Longrightarrow 1=0$


¿Dónde está el error? 

Advertencia: Los comentarios de esta entrada contienen algún que otro spoiler ;)


7 comentarios:

  1. El error está en la diferencia de logaritmos, ya que log(1-i) = log(√2) + i(-pi/4).

    Y luego en la cuenta te queda:

    (1/i)(log(1+i)-log(1-i)) = (1/i)(log(√2) + i(pi/4) - (log(√2) + i(-pi/4))) = (1/i)(i(pi/4) + i(pi/4)) = pi/2

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    1. Si empleamos que el argumento principal esté en [0,2pi), el log(1-i) = log(sqrt 2)+3pi/4

      Pero la solución va por ahí...

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    2. Mmm, si quieres quedarte en [0,2pi) esencialmente lo que haces es acotar la imagen de la arcotangente en ese intervalo, puesto que el argumento no es otra cosa que la arcotangente del cociente entre parte imaginaria y parte real.

      Pero antes pusiste que la arcotangente de -1 es igual a -pi/4, luego ya habías tomado implícitamente la cota de [-pi/2,pi/2]. Falla la consistencia, por así decirlo.

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    3. La integral del arco tangente es correcta independientemente de la elección de ángulos, lo que falla es la determinación del argumento de los logaritmos. Y ocurre básicamente porque al integrar, implícitamente, estamos pasando por un corte de rama, y por eso hay un desfase de 2pi respecto a la solución correcta.

      Como tú dices, si tomamos [-pi, pi), el problema ya no aparece, pues el corte de rama ahora está en el semieje imaginario positivo y la integral no pasa por ese eje.

      Todo depende de cómo definamos la función (y sobre todo los ángulos, pues de ello depende la analiticidad del logaritmo).

      Muchas gracias Andrés!

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    4. Aaah, veo que tiene explicación dada por el análisis complejo. Para mí era la misma cuenta, arctg(-1) arriba y arctg(-1) abajo. Hasta ahí llega el análisis de primero jeje.

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  2. Creo que los resultados son arcos o ángulos. Así que es correcto que p/2=-3p/2. Pues es un ángulo de 90º . Si dividimos los dos miembros por 2p en realidad estamos dicvidiendo entre 0 porque un ángulo de 2p es una circunferencia entera. Así que al dividir entre 0 puede salirte y puede justificar cualquier cosa. La división entre 0 no está definida.

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  3. =1i(iπ4−i7π4)=−3π2, el error esta en esta parte.

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