Como ya mencionamos hace cierto tiempo en la entrada sobre la relación entre los corales y la duración del día terrestre, el período de rotación terrestre está aumentando, es decir, la Tierra se está frenando. Debido a ello, la Luna se aleja de la Tierra. ¿Pero por qué sucede todo esto? La respuesta la encontramos en el llamado "Efecto Marea", que trataremos de analizar en la entrada de hoy.
Partimos de que el momento angular del sistema Tierra-Luna se conserva. Trataremos a la Luna como una masa puntual y despreciaremos el momento de inercia de la Tierra respecto de su eje sobre el de la Luna alrededor de la Tierra. Consideraremos, por simplicidad, que el centro de masas del sistema coincide con el centro de la Tierra.
Las llamadas fuerzas de marea generan un torque que tiende a igualar la velocidad angular de rotación terrestre con la translación de la Luna en torno a nuestro planeta, de modo que en ese momento nuestro satélite se encontrará, aparentemente, en la misma posición en el firmamento.
La conservación del momento angular nos permite escribir que
En el momento en que los períodos se igualen, se cumplirá la ecuación
que aparece tras igualar la aceleración gravitatoria a la centrípeta.
Teniendo en cuenta el momento angular del sistema, es fácil ver que
lo que implica que la distancia final entre la Tierra y la Luna es 1,4 veces la actual.
Asimismo, la velocidad angular final del sistema vendrá dada por
que se corresponde con un período de unos 46 días actuales.
¿Cuánto se separa la Luna de la Tierra cada año?
Para ello tendremos que hacer un esquema ilustrativo de las fuerzas de marea que actúan sobre la Tierra. En la entrada de hoy despreciaremos la interacción con el Sol. Podríamos considerar el sistema Tierra-Luna de la forma:
Ahora calcularemos las fuerzas que ejerce la Luna sobre cada una de los dos masas. Llamaremos F1 a la fuerza sobre la masa más próxima y F2 a la más lejana. Utilizando la Ley de la Gravitación de Newton y el Teorema del coseno, llegamos a que:
Y por consiguiente, el torque generado por el par de fuerzas sobre la Luna será:
Pero como esto es un blog de Física y a los físicos no les gustan fórmulas tan grandes y feas, vamos a embellecerla un poco. Para ello tenemos en cuenta que D >> r, y tras una serie de cálculos y aproximaciones, llegamos a:
Que es infinítamente más sencilla, totalmente válida y más bonita. Para obtenerla hemos empleado el Teorema del seno además de las simplificaciones anteriormente mencionadas.
Sabemos también que el torque no es más que la primera derivada temporal del momento angular, y aproximando la órbita lunar a una circunferencia:
Introduciendo (1) en (2):
Y finalmente integrando:
Lo que, según la tasa actual de separación, implica que la Luna y la Tierra se alejan 3,4 cm cada año. Esa tasa se va frenando hasta el punto en que, cuando la variación de momento angular de la Luna se anule, sea cero. En ese instante desaparecerán las fuerzas de marea y la Tierra rotará a la misma velocidad a la que la Luna orbita nuestro planeta. Ambos periodos serán de 46 días.
Finalmente, hay que tener en cuenta que la energía del sistema se pierde debido a la viscosidad del agua en forma de calor. Una buena aproximación es que un 10% de la energía de subida del nivel del mar en una marea se disipa. Sabiendo aprovechar esta pérdida, podríamos producir en un año el equivalente a 10 mil millones de barriles de petróleo, la tercera parte de la energía consumida anualmente a nivel planetario. Yo creo que es una buena excusa para invertir en este tipo de energías.
Si quieres avanzar más y saber cómo se producen las mareas, haz clic aquí.
¡Un saludo y hasta la próxima!
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