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domingo, 14 de diciembre de 2014

Deducción de la Segunda Ley de Kepler

Hará cosa de medio año, en este blog deducimos la Tercera Ley de Kepler, o mejor dicho, la justificamos a partir de la Ley de la Gravitación Universal.

Hoy justificaremos la 2ª Ley de Kepler, que dice así: "Las áreas barridas por un radio vector con origen el Sol y destino un planeta, barren áreas iguales en tiempos iguales". Se verá mejor con una imagen:


Si el tiempo que tarda un planeta en ir desde P1 hasta P2 es el mismo que en ir desde P3 hasta P4, el área A1 será igual al área A2. Pero, ¿por qué ocurre esto?

Johannes Kepler se basó en los datos astronómicos de su coetáneo Tycho Brahe antes de que Isaac Newton estableciese su Ley de la Gravitación Universal. Nosotros vamos a partir de ahí, pero primero definamos algunos términos:

Perigeo: punto de la órbita más cercano al Sol (o al astro en torno al cual se orbite). En el caso de la Tierra, se llama Perihelio.

Apogeo: punto de la órbita mas alejado del Sol. En el caso de la Tierra se llama Afelio.

Velocidad Areolar: el área barrida por el radio vector por unidad de tiempo.


Demostración:

Primero vamos a demostrar esta ley en los casos particulares del apogeo y perigeo. Si consideramos un diferencial de tiempo (dt), el área barrida por el planeta se asemeja a un triángulo de base ds y de altura la distancia al Sol:


Calculemos el área de las zonas rojas (dA) como si fuesen triángulos:


En el caso del perigeo procederemos del mismo modo:


Ahora vamos a calcular el momento de fuerza de la fuerza gravitatoria del Sol al planeta con respecto al propio Sol. Por definición:



Entonces el momento será (modularmente):


El momento también puede escribirse de la siguiente forma:


Deducimos que el momento angular es constante (en dirección, sentido y módulo) a lo largo de toda la trayectoria. El momento angular se define como:


Como hemos dicho que el momento angular es constante, el momento angular en el apogeo será igual al del perigeo:


Finalmente llegamos a que la velocidad areolar en el perigeo es igual a la velocidad areolar en el apogeo:


Para cualquier otro punto de la órbita procedemos igual:


El área (dA):


Y como tanto L como m son constantes, la velocidad areolar también será constante y queda demostrada la Segunda Ley de Kepler.

Puedes leer también la demostración de la Primera Ley de Kepler.


Nos vemos en la próxima entrada!


3 comentarios:

  1. Hola Gabriel! Te nomine para el premio Parabatais !! Me encanta tu pagina!!
    http://kichiacha.blogspot.com.ar/2015/03/estoy-muy-feliz-con-esta-nominacion.html
    Aqui te dejo mi pag, para que veas como se hace. Si no lo queres hacer no hay ningún problema!!

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  2. En la fórmula que dice que L=r x v; L=mrv x cos(r^p); creo que es incorrecto, porque al ser un producto escalar se multiplican los módulos por el seno y no por el coseno. De otro modo el coseno del ángulo que forman el radio y el momento lineal o cantidad de movimiento (90º) sería 0 por lo que el momento angular L también saldría cero y eso no creo que sea así.

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    1. Efectivamente se trata de una errata. Gracias por avisar y un saludo.

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