El arcoiris

Canta, oh musa, la cólera del pélida Aquiles; cólera funesta que causó infinitos males a los aqueos y precipitó al Hades muchas almas valerosas de héroes, a quienes hizo presa de perros y pasto de aves; cumplíase la voluntad de Zeus desde que se separaron disputando el Atrida, rey de hombres, y el divino Aquiles.

La Ilíada, Homero.

Iris y Júpiter (Michel Corneille), Versalles.

 

Según la mitología griega, Iris, hija de Taumante y Electra, es descrita como mensajera de los dioses y personificación de la tregua entre los dioses y los hombres al final de la tormenta. Para Platón, la palabra Iris procedía de eireín, símbolo de dialéctica y filosofía. En la tradición judeocristiana, el arcoíris simboliza el pacto entre Dios y los humanos después del Diluvio. En la epopeya de Gilgamesh, también es símbolo de pacto después de la Inundación. Hoy trataremos de explicar, tal y como hizo Descartes en el año 1637, por qué se producen los arcoíris.

Como sabemos, cuando un rayo de luz atraviesa una separación entre dos medios de distinto índice de refracción, sufre un cambio de dirección gobernado por la ley de Snell.

Refracción entre aire y agua

El índice de refracción, en general, depende de la longitud de onda de la luz. En el caso del agua, la luz de color rojo es la que menos se desvía, mientras que la azul, por tener menor longitud de onda, sufre una mayor refracción. Esto puede observarse muy bien mirando al Dark side of the Moon...

The Dark side of the Moon, Pink Floyd

En el caso del arcoíris, cuando después de la lluvia el ambiente está cargado de pequeñas partículas de agua, éstas actúan como lentes que desvían la luz solar, tal y como podemos ver en la siguiente imagen:

La luz solar, de color blanco, se descompone por colores

En ocasiones, la luz se refleja dos veces dentro de la gota de agua, produciéndose dos arcoiris: uno primaro y otro secundario con los colores invertidos.

Pero, ¿por qué siempre vemos el arcoíris de espaldas al Sol y con el mismo ángulo? Para responder a esta pregunta, fijémonos que dependiendo de con qué ángulo entre la luz, los rayos se desviarán en una dirección o en otra. 

                                      

Como vemos en la imagen, hay una región dónde los rayos están más concentrados. Esa región puede encontrarse muy fácilmente sin más que determinar el ángulo de desviación en función del de entrada. Mediante el uso de trigonometría y de la ley de Snell, es sencillo determinar que 

$$\phi_d=\pi+2\theta_1-4\cdot arcsen\frac{\sin\theta_1}{n}$$

 

Derivando dicha función e igualando a cero para hallar el mínimo, descubrimos que éste es tal que $\phi_d=138º$, es decir, una desviación de 42º para la luz roja (y 40º para la azul). Por ello, los arcoíris siempre se forman cuando estamos de espaldas al Sol. 

En teoría, es posible ver arcoíris completos, es decir, la circunferencia completa, siempre que se den las condiciones necesarias. También debemos recordar que el arcoíris como tal no existe, es una ilusión óptica fruto de la descomposición de la luz blanca por colores. Cada persona ve su propio arcoíris, pues la luz es dispersada por gotas distintas.

Más información:

- WikiPedia

- Ayto de A Coruña

- Curiosidades de elTiempo.es

La braquistócrona

Imaginad que os encargan la construcción de un tobogán con la siguiente condición: el tiempo de bajada tiene que ser el mínimo posible. ¿Cómo podríamos saber qué forma darle? Esta misma pregunta se la hicieron en el siglo XVII Jakob y Johann Bernouilli, y la solución a la que llegaron fue la cicloide.

La curva roja es una cicloide

La cicloide es una curva matemática parametrizada por las ecuaciones:

$$x=a(t-\sin t)$$

$$y=a(1-\cos t)$$

Y se puede obtener como se observa en la siguiente presentación:

Bueno, tratemos de resolver el problema de la braquistócrona: una partícula de masa $m$ localizada en el origen se mueve a un punto arbitrario $A$ bajo la acción de la gravedad involucrando un tiempo mínimo. ¿Cuál es la trayectoria?

Por conservación de la energía podemos decir que la velocidad es en todo momento $v=\sqrt{2gy}$, suponiendo que $\vec{g}$ actúa en el sentido negativo del eje $OY$. Por tanto el tiempo en llegar del origen a $A$ será:

$$t=\frac{1}{\sqrt{2g}}\displaystyle\int_O^A{\sqrt{\frac{1+\dot{x}^2}{y}} dy}$$

Denotando a $\dot{x}:=\frac{dx}{dy}$.

Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange al funcional a integrar, y teniendo en cuenta que no depende explícitamente de $x$, uno observa que

$$\frac{\partial f}{\partial\dot{x}}=\frac{\dot{x}y^{1/2}}{(1+\dot{x}^2)^{1/2}}=cte:=(2a)^{-1/2}$$

Despejando y resolviendo la ecuación diferencial se llega a que:

$$x=\displaystyle\int{\frac{ydy}{(2ay-y^2)^{1/2}}}$$

Cuya solución es:

$$x=a(t-\sin\theta)$$

$$y=a(1-\cos\theta)$$

¡Precisamente una cicloide! Además de braquistócrona, la cicloide es tautócrona, es decir, que independientemente de la posición inicial, cualquier masa tarda el mismo tiempo en llegar al mínimo de la curva:

Esta propiedad es sencilla de demostrar, pues generalizando a una altura inicial $y=y_0$, uno tiene que 

$$t=\frac{1}{\sqrt{2g}}\displaystyle\int_O^A{\sqrt{\frac{1+\dot{x}^2}{y-y_0}} dy}=2\left(\frac{a}{g}\right)\left(\pi/2-\arcsin\left(\frac{\cos\theta_f/2}{\cos\theta_0/2}\right)\right)$$

Y dado que  $\theta_f=\pi$ para todas las partículas, el tiempo será el mismo e igual a 

$$T=\pi\left(\frac{a}{g}\right)^{1/2}$$

Con esto en mente, fue posible la mejora de los relojes de péndulo, montándolos sobre cicloides como se oberva en la imagen, pues de esta forma siempre marcarán el mismo periodo (isócronos). Esto mejoró mucho la navegación a partir del siglo XVIII.

Péndulo con envolvente una cicloide. Es isócrono

Para profundizar:

- Curva braquistócrona

- Cicloide

- Cálculo variacional

- Ecuaciones de Euler - Lagrange