La braquistócrona

Imaginad que os encargan la construcción de un tobogán con la siguiente condición: el tiempo de bajada tiene que ser el mínimo posible. ¿Cómo podríamos saber qué forma darle? Esta misma pregunta se la hicieron en el siglo XVII Jakob y Johann Bernouilli, y la solución a la que llegaron fue la cicloide.

La curva roja es una cicloide

La cicloide es una curva matemática parametrizada por las ecuaciones:

$$x=a(t-\sin t)$$

$$y=a(1-\cos t)$$

Y se puede obtener como se observa en la siguiente presentación:

Bueno, tratemos de resolver el problema de la braquistócrona: una partícula de masa $m$ localizada en el origen se mueve a un punto arbitrario $A$ bajo la acción de la gravedad involucrando un tiempo mínimo. ¿Cuál es la trayectoria?

Por conservación de la energía podemos decir que la velocidad es en todo momento $v=\sqrt{2gy}$, suponiendo que $\vec{g}$ actúa en el sentido negativo del eje $OY$. Por tanto el tiempo en llegar del origen a $A$ será:

$$t=\frac{1}{\sqrt{2g}}\displaystyle\int_O^A{\sqrt{\frac{1+\dot{x}^2}{y}} dy}$$

Denotando a $\dot{x}:=\frac{dx}{dy}$.

Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange al funcional a integrar, y teniendo en cuenta que no depende explícitamente de $x$, uno observa que

$$\frac{\partial f}{\partial\dot{x}}=\frac{\dot{x}y^{1/2}}{(1+\dot{x}^2)^{1/2}}=cte:=(2a)^{-1/2}$$

Despejando y resolviendo la ecuación diferencial se llega a que:

$$x=\displaystyle\int{\frac{ydy}{(2ay-y^2)^{1/2}}}$$

Cuya solución es:

$$x=a(t-\sin\theta)$$

$$y=a(1-\cos\theta)$$

¡Precisamente una cicloide! Además de braquistócrona, la cicloide es tautócrona, es decir, que independientemente de la posición inicial, cualquier masa tarda el mismo tiempo en llegar al mínimo de la curva:

Esta propiedad es sencilla de demostrar, pues generalizando a una altura inicial $y=y_0$, uno tiene que 

$$t=\frac{1}{\sqrt{2g}}\displaystyle\int_O^A{\sqrt{\frac{1+\dot{x}^2}{y-y_0}} dy}=2\left(\frac{a}{g}\right)\left(\pi/2-\arcsin\left(\frac{\cos\theta_f/2}{\cos\theta_0/2}\right)\right)$$

Y dado que  $\theta_f=\pi$ para todas las partículas, el tiempo será el mismo e igual a 

$$T=\pi\left(\frac{a}{g}\right)^{1/2}$$

Con esto en mente, fue posible la mejora de los relojes de péndulo, montándolos sobre cicloides como se oberva en la imagen, pues de esta forma siempre marcarán el mismo periodo (isócronos). Esto mejoró mucho la navegación a partir del siglo XVIII.

Péndulo con envolvente una cicloide. Es isócrono

Para profundizar:

- Curva braquistócrona

- Cicloide

- Cálculo variacional

- Ecuaciones de Euler - Lagrange