Lámparas fluorescentes

Están en multitud de edificios o naves industriales, en forma de tubo, bombilla enrollada, etc. ¿Pero cómo funcionan? En la entrada de hoy hablaremos del funcionamiento y fundamento físico de las famosas lámparas fluorescentes, sus características y propiedades más relevantes. Para ello nos centraremos solamente en los tubos.

Un tubo fluorescente está formado, básicamente, por tres piezas: el tubo en sí, un cebador y una reactancia inductiva. El tubo es de vidrio, y en su interior se halla el vapor de mercurio combinado con algún gas inerte como el neón o el argón. Recubriendo el cristal hay un material llamado "fósforo", aunque no contenga esta sustancia. Su misión es absorber la luz UV que emite el mercurio al desexcitarse y emitir luz visible. Un tubo fluorescente sin este recubrimiento sería una lámpara de "luz negra".

Fuente: Wikipedia

Conectado al tubo hay un cebador. Se trata de un dispositivo con una ampolla de vidrio que contiene gases (como neón o argón) que al conectarse a la corriente se calientan y expanden. Dicha expansión cierra un circuito que hace que los filamentos del tubo (generalmente wolframio) se calienten al rojo vivo y comiencen a ionizar los gases del interior del tubo. Es en este momento cuando aparece ese color anaranjado en los extremos de los tubos antes de encenderse.

Al cerrarse el circuito del cebador, el gas se enfría, se contrae y se abre bruscamente el circuito. Es ahora cuando entra en juego la reactancia. De acuerdo con la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida (o fem) es igual a la variación del flujo magnético, sin olvidar un signo menos:

$\text{fem}=-\displaystyle\frac{d\Phi_{B}}{dt}$

La reactancia no es más que un solenoide o inductancia por el que circula la corriente. Por la Ley de Ampère, dentro de dicho solenoide aparecerá un campo magnético $\vec{B}$. Al cerrarse bruscamente el circuito, habrá una gran variación de flujo, y por efecto de autoinducción se inducirá una elevada fuerza electromotriz (de miles de voltios) que terminará de ionizar los gases del tubo. Una vez ocurrido esto, se establece una corriente de electrones entre el cátodo y el ánodo del tubo sin necesidad de altos voltajes.

Debido a que en Europa la corriente alterna oscila con una frecuencia de 50 Hz, los fluorescentes "parpadean" 100 veces cada segundo. Para evitar estos efectos estreboscópicos hay varias opciones. Una de ellas es la incorporación de un alternador electrónico que aumente dicha frecuencia a 50.000 Hz, como en las modernas bombillas fluorescentes. Otras opciones pueden ser colocar varios tubos juntos con corrientes desfasadas, minimizándose este efecto.

El consumo de un tubo fluorescente, así como su rendimiento, es bastante bajo. En la imagen inferior podemos observar el espectro emitido por una lámpara fluorescente de vapor de mercurio.

Como vemos, muy poca luz se desperdicia como infrarrojos, de modo que casi la totalidad de la potencia consumida se aprovecha para iluminación.

Asimismo, la potencia de los tubos es generalmente muy baja. Su pico de máximo consumo se alcanza al encender, pues es cuando más voltaje consume para ionizar el gas de mercurio. Es por eso por lo que se recomienda utilizar estas lámparas en lugares donde se necesite una fuente de luz permanente, es decir, que no se apaguen y se enciendan muchas veces. Esto también es porque la vida útil de las lámparas decrece cuantas más veces se enciendan.

Por último explicaremos por qué es necesario un condensador en este tipo de lámparas, para lo cual tendremos que introducir el concepto de potencia efectiva. Como sabemos, la corriente que llega a nuestras casas es alterna, es decir, oscilante. El motivo es simplemente las ventajas a la hora de transportarla. Por tanto, el voltaje que llega a nuestros enchufes (220 V en España) es oscilante. Entonces, ¿por qué un multímetro marca 220 V y no oscila? La respuesta es que lo que marca el multímetro no es el voltaje "instantáneo", sino el "eficaz", una especie de promedio. 

La potencia que consumimos también se mide de esta forma promediada. Al manejar las ecuaciones se llega a que la potencia "activa" depende de un factor de potencia que va desde 0 hasta 1. Ese factor no es más que el coseno del desfase entre la intensidad y el voltaje. Como nos interesa que el factor de potencia esté lo más próximo a 1 posible, necesitamos conseguir una resonancia entre reactancia inductiva y capacitiva. Será más fácil si observamos matemáticamente el desfase $\phi$:

$\phi=\arctan\displaystyle\frac{L\omega-1/C\omega}{R}$

Para hacer que el factor de potencia sea 1, hay que hacer que $\phi$ sea cero, para lo cual hay que colocar un condensador de capacidad $C$ tal que a la frecuencia $\omega$ de la red eléctrica, compense la inductancia $L$ de la reactancia del fluorescente.

Espero que os haya gustado la breve entrada de hoy. Un saludo!

El número $e$

A principios del siglo XVII el matemático John Napier introdujo los logaritmos en el Cálculo, y fue el primero en mencionar el número $e$. Posteriormente, Huygens se percató de la relación entre este número y el área bajo la curva $xy=1$. Años más tarde, Jacob Bernouilli encontró que el número $e$ es el límite de la sucesión inferior, que es actualmente su definición.

$\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n$

Esta sucesión es muy importante en el cálculo del interés compuesto. Además, el número $e$ se define frecuentemente de las siguientes formas:

$e:=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n-1}\right)^n}$

$e:=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$ 

$\displaystyle\int_1^e{\frac{dt}{t}}=1$

El número $e$ aparece en infinidad de sitios, como la geometría, los números complejos, la estadística, etc. En la entrada de hoy demostraremos que $e$ es un número trascendente e irracional.

Irracionalidad

Un número irracional es aquel que no puede ser expresado de la forma $a/b$ con $a,b \in \mathbb{Z}$. Supongamos pues que $e$ es racional para después llegar a un absurdo.

Sea $e=\displaystyle\frac{a}{b}$ con $a,b \in \mathbb{Z}$. Se define el siguiente número:

$x=b!\left(e-\displaystyle\sum_{n=0}^b{\frac{1}{n!}}\right)=a(b-1)!-\displaystyle\sum_{n=0}^b{\frac{b!}{n!}}\in Z$ pues $n<b$.

Finalmente probaremos que $0<x<1$:

Haciendo un desarrollo de Taylor de la función $e^x$ se puede llegar a que $e=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{b!}{n!}}$, de modo que considerando nuestra definición de $x$:

$x=\displaystyle\sum_{n=b+1}^{\infty}{\frac{1}{n!}}>0$

Observando que  $\displaystyle\frac{b!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)\cdot...\cdot (b+1)}<\frac{1}{(b+1)^{n-b}}$ y definiendo $k=n-b$ se tiene que 

$x<\displaystyle\sum_{n=b+1}^{\infty}{\frac{1}{(b+1)^{n-b}}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{(b+1)^{k}}}=\displaystyle\frac{(b+1)^{-1}}{1-(b+1)^{-1}}=\displaystyle\frac{1}{b}\leq 1$

Por tanto queda probado que $0<x<1$, pero como se probó que $x\in\mathbb{Z}$ y no hay enteros en $(0,1)$ se llega a contradicción, luego la hipótesis de que $e$ es racional es falsa, y por tanto $e$ es un número irracional.

Trascendencia

Un número trascendente es aquel que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros, es decir, si $\alpha$ es trascendente, entonces no existen $a_0,a_1,...,a_n\in\mathbb{Z}: p(\alpha)=a_0+a_1\alpha+...+a_n\alpha^n=0$. Por ejemplo, el número áureo $\phi$ es algebraico pues es solución de la ecuación $x^2-x-1=0$.

Supongamos que existe un polinomio $p(x):=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ con coeficientes enteros y $e$ es una de sus raíces. Se definen las funciones $f(x)$ y $F(x)$ del siguiente modo:

$\phi (x):=\displaystyle\frac{x^{p-1}}{(p-1)!}\prod_{i=1}^m{(x-i)^p}$

$\Phi (x):=\displaystyle\sum_{i=0}^{mp+p-1}{\phi^{i)}(x)}$

Donde $p$ es un número primo. De las definiciones superiores se sigue que $\Phi (x)-\Phi '(x)=\phi(x)$, pues $\phi^{mp+p)}(x)=0$. Entonces es claro que 

$\displaystyle\frac{d}{dx}(e^{-x}\Phi (x))=-e^{-x}\Phi (x)+\Phi '(x)e^{-x}=-\phi (x)e^{-x}$

Multiplicando por un coeficiente del polinomio $a_j$e integrando en $(0,j)$ la expresión anterior:

$a_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \  dx=a_j\left[e^{-x}\Phi (x)\right]_j^0=a_j\Phi (0)-a_je^{-j}\Phi (j)$

Y multiplicando por $e^j$ y sumando obtenemos:

$\displaystyle\sum_{j=0}^m e^ja_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \  dx=\displaystyle\sum_{j=0}^me^ja_j\Phi (0)-\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\Phi (j)=-\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$

Ya que  $\displaystyle\sum_{j=0}^me^ja_j\Phi (0)=0$ según definimos $p(x):=\displaystyle\sum_{j=0}^m{a_jx^j}$ con $a_j\in\mathbb{Z}$. Nuestro objetivo es mostrar que la igualdad inferior no es cierta para un primo $p$ arbitrario.

$\displaystyle\sum_{j=0}^m e^ja_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \  dx=-\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$

En efecto, considerando el segundo término de la ecuación superior vemos que se trata de un entero no nulo no divisible por $p$, pues los términos no nulos del sumatorio son aquellos que se han derivado al menos $p$ veces ya que existe el factor $(x-j)^p$. En dichos casos, fijándonos en la definición de $\phi (x)$, $\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$ es múltiplo de $p$. Existe un caso en que $\phi^{i)}(j)$ no es múltiplo de $p$, cuando $j=0$ e $i=p-1$. En ese caso es evidente que el valor de la función es $\phi^{p-1)}(0)=(-1)^p\cdot ... \cdot (-m)^p$. Escogiendo un $p$ arbitrariamente grande (mayor que $m$) es claro que dicho producto no tiene a $p$ como factor primo, luego $\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$ es un numero entero no nulo y no divisible por $p$.

Por otra parte,  para valores positivos de $t$ tales que $t\leq m$ es claro que $\left|\phi (t)\right|\leq\displaystyle\frac{m^{mp+p-1}}{(p-1)!}$ y $0\leq\left|e^{-x}\phi (t)\right|\leq\left|\phi (t)\right|$ de modo que podemos realizar la siguiente acotación:

$0\leq\displaystyle\sum_{j=0}^ma_je^j\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \ dx\leq\sum_{j=0}^ma_je^j\int_0^j{\frac{m^{mp+p-1}}{(p-1)!}}=\displaystyle\sum_{j=0}^m{a_je^j\frac{jm^{mp+p-1}}{(p-1)!}}$

Finalmente notamos que $\displaystyle\lim_{p\to\infty}\displaystyle\sum_{j=0}^m{a_je^j\frac{jm^{mp+p-1}}{(p-1)!}}=0$ por la fórmula de Stirling: $n!\sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}$. Por tanto existe algún número primo $p>0$ tal que

$\displaystyle\sum_{j=0}^m e^ja_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \  dx\neq -\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$

Y habiendo llegado a una contradicción, es claro y evidente que $e$ es un número trascendente. Por tanto hemos concluido con la demostración de irracionalidad y trascendencia del número $e$. 

Quod erat demonstrandum.

Por último mencionar que la demostración sobre la trascendencia es del matemático francés Charles Hermite.

Bibliografía

- https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e

- http://gaussianos.com/como-demostrar-que-el-numero-e-es-trascendente/

- https://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_de_la_irracionalidad_de_e

- http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil

- http://forum.lawebdefisica.com

Puedes leer también la entrada de este mismo blog sobre la igualdad de Euler.

El problema de Basilea

A mediados del siglo XVII, Jakob Bernouilli popularizó un problema matemático: calcular la suma de los inversos de los cuadrados perfectos. En términos de la función $\zeta$ de Riemann, el problema era hallar $\zeta(2)$. Muchos fueron los que lo intentaron resolver, pero el primero de ellos fue el matemático Leonhard Euler en 1735.

$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$

Ciudad de Basilea

En la entrada de hoy se mostrarán algunas de las demostraciones de la solución del problema de Basilea, entre ellas la de Euler.

Demostración 1: Euler

 

Haciendo un desarrollo en serie de Taylor se obtiene:

$\sin x=x-\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\displaystyle\frac{x^5}{5!}-\displaystyle\frac{x^7}{7!}+...$

Y dividiendo entre $x$:

$\displaystyle\frac{\sin x}{x}=1-\displaystyle\frac{x^2}{3!}+\displaystyle\frac{x^4}{5!}-\displaystyle\frac{x^6}{7!}+...$

Ahora llega el punto más delicado de la demostración y el que le reprocharía Bernouilli: poner dicha suma como producto infinito de factores. Notando que las respectivas raíces del seno son los múltiplos enteros de $\pi$, Euler escribió:

$\displaystyle\frac{\sin x}{x}=\left(1-\displaystyle\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\displaystyle\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\displaystyle\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\displaystyle\frac{x}{2\pi}\right)...=\left(1-\displaystyle\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\displaystyle\frac{x^2}{4\pi^2}\right)...$

Ya que si $x=n\pi \Longrightarrow \displaystyle\frac{x}{n\pi}=1$ con $n=\pm 1, \pm 2,...$

Haciendo el producto de los infinitos términos, uno se da cuenta de que el coeficiente de $x^2$ es precisamente:

$-\displaystyle\frac{1}{\pi^2}\zeta(2)$

Teniendo en cuenta que el polinomio de Taylor es único (Teorema de Taylor), es claro y evidente que el coeficiente en el desarrollo en serie tiene que ser equivalente al coeficiente obtenido en la ecuación superior. Por tanto igualándolos obtenemos finalmente el valor de la serie infinita:

$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$

Demostración 2

 

Esta segunda demostración se basa en el Criterio del Sándwich: trataremos de acotar $\zeta(2)$ entre dos valores que tiendan ambos al valor que buscamos. Para ello consideramos que por la fórmula de Moivre en el álgebra compleja:

$\displaystyle\frac{\cos (nx)+i\sin (nx)}{(\sin x)^n}=(\cot x+i)^n=\displaystyle\sum_{j=0}^n{{n\choose j} i^j\cot^{n-j}{x}}$

Sabiendo el valor de las diferentes potencias de la unidad imaginaria $i$ llegamos a:

$\displaystyle\frac{i\sin (nx)}{(\sin x)^n}=i\left[{n\choose 1}\cot^{n-1}{x}-{n\choose 3}\cot^{n-3}{x}+...\right]$

Definiendo $n=2m+1$ con $m$ entero positivo y $x=r\pi/(2m+1)$ con $r=1,2,...,m$  vemos que:

$0={2m+1 \choose 1}\cot^{2m}{x}-{2m+1 \choose 3}\cot^{2m-2}{x}+...+(-1)^m$

Al ser la cotangente biyectiva (one to one) en $[0,\pi/2]$, las distintas raíces $x=r\pi/(2m+1)$ son diferentes para cada valor de $r$. Esto nos sirve para definir el polinomio $p(t)$ de la siguiente guisa:

$p(t):={2m+1 \choose 1}t^m-{2m+1 \choose 3}t^{m-1}+...+(-1)^m$

Puesto que $\tan x>x>\sin x$, es evidente pues que

$\csc^2 x>1/x^2>\cot^2 x \Longrightarrow \displaystyle\sum\csc^2 x\geq\zeta(2)\geq\displaystyle\sum\cot^2 x $

La suma $\displaystyle\sum^m\cot^2 x$ equivale a la suma de las raíces de $p(t)$, que por álgebra elemental equivale al cociente entre el coeficiente de $t^{m-1}$ entre el de $t^m$ cambiado de signo. Entonces

$\displaystyle\sum^m\cot^2 x=\displaystyle\frac{{2m+1 \choose 3}}{{2m+1 \choose 1}}=\displaystyle\frac{(2m)(2m-1)}{6}$

Y fijándonos en que $\csc^2 x=1+\cot^2 x$ entonces

$\displaystyle\sum^m\csc^2 x=\displaystyle\frac{{2m+1 \choose 3}}{{2m+1 \choose 1}}+m=\displaystyle\frac{(2m)(2m+2)}{6}$

Y por el principio del sándwich, ya que $x=r\pi/(2m+1)$,

$\displaystyle\lim_{m\to\infty}\displaystyle\frac{(2m)(2m+2)}{6}\geq \displaystyle\sum_{r=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{(2m+1)^2}{\pi^2r^2}}\geq\displaystyle\lim_{m\to\infty}\displaystyle\frac{(2m)(2m-1)}{6}$

Multiplicando todo por $\left(\displaystyle\frac{\pi}{2m+1}\right)^2$

$\displaystyle\lim_{m\to\infty}\displaystyle\frac{(2m)(2m+2)}{6}\left(\displaystyle\frac{\pi}{2m+1}\right)^2\geq\zeta(2)\geq\displaystyle\lim_{m\to\infty}\displaystyle\frac{(2m)(2m-1)}{6}\left(\displaystyle\frac{\pi}{2m+1}\right)^2$

Y como a izquierda y derecha ambos límites son iguales y de valor $\pi^2/6$, se concluye que:

$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$

Demostración 3

 

Fijándonos en que $\zeta(2)$ puede escribirse como suma de los inversos de los cuadrados de números pares más los impares, se llega a que:

$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^2}} + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{(2n)^2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^2}}+\displaystyle\frac{1}{4}\zeta(2)$

De modo que 

$\zeta(2)=\displaystyle\frac{4}{3}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^2}}$

Por otro lado

$\displaystyle\frac{1}{2n+1}=\displaystyle\int_0^1{x^{2n}} dx=\displaystyle\int_0^1{y^{2n}} dy$

Luego evidentemente

$\zeta(2)=\displaystyle\frac{4}{3}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\int_0^1{x^{2n}} dx\displaystyle\int_0^1{y^{2n}} dy}=\displaystyle\frac{4}{3}\displaystyle\int_0^1\int_0^1{\sum_{n=0}^{\infty}{(xy)^{2n}}}dx dy$

Donde

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{(xy)^{2n}}=\displaystyle\frac{1}{1-x^2y^2}$

Ya que $xy<1$. 

Por tanto el problema se ha reducido a calcular una integral doble que no resolveremos entera aquí, solo una parte:

$\displaystyle\int_0^1\int_0^1{\displaystyle\frac{1}{1-(xy)^2}dx \ dy}=\displaystyle\int_0^1{\displaystyle\frac{\sinh^{-1} x}{x}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{8}$

según Wolfram Alpha, y por tanto es evidente que:

$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$

Demostración 4

 

En este caso nos basaremos en la relación entre las funciones $\zeta(s)$ y $\Gamma(s)$. Considerando la integral $I(t,x)$ y haciendo el cambio $x\to x/t$ vemos que:

$I(x,t)=\displaystyle\int_0^{\infty}{x^se^{-tx} \ dx}=\displaystyle\int_0^{\infty}{\displaystyle\frac{x^s}{t^s}e^{-x}t^{-1} \ dx}=\displaystyle\frac{\Gamma(s+1)}{t^{s+1}}$

Luego

$\displaystyle\frac{\Gamma(s)}{t^s}= \displaystyle\int_0^{\infty}{x^{s-1}e^{-tx} \ dx}$

Haciendo el cambio $t\to n\in \mathbb{N}$ y sumando hasta infinito en ambos miembros:

$\Gamma(s)\zeta(s)=\displaystyle\int_0^{\infty}{x^{s-1}\displaystyle\sum{\left(e^{-x}\right)^n} \ dx}\Longrightarrow\Gamma(s)\zeta(s)=\displaystyle\int_0^{\infty}{\displaystyle\frac{x^{s-1}}{e^x-1}} \ dx$

En nuestro caso buscamos $s=2$. Sabiendo que $\Gamma(2)=1$, el problema se reduce a calcular la integral:

$\zeta(2)=\displaystyle\frac{1}{\Gamma(2)}\displaystyle\int_0^{\infty}{\displaystyle\frac{x \ dx}{e^x-1}}$

Que se puede calcular y arroja el esperado valor de $\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$.

Si os interesa, en la bibliografía hay otras 14 maneras de calcular $\zeta(2)$.

Para valores impares de $s$, no se sabe demasiado de la función $\zeta(s)$. Esta función es básica en la Teoría de Números y se encuentra muy íntimamente relacionada con los números primos, con la función $\mu$ de Möbius, la función $\phi$ de Euler y otras funciones multiplicativas. 

Para valores pares de $s$, Euler fue capaz de encontrar una fórmula cerrada para $\zeta(s)$. Denotando $s=2k$ con $k\in \mathbb{Z}$ y $B_{2k}$ a los números de Bernouilli, 

$\zeta(2k)=\displaystyle\frac{(-1)^{k-1}(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2(2k)!}$

De donde $\zeta(2)=\pi^2/6$, $\zeta(4)=\pi^4/90$, etc.

Finalmente quiero concluir esta entrada con una célebre cita de Gauss: "La Matemática es la Reina de las Ciencias, y la Teoría de Números es la Reina de la Matemática".

Bibliografía

 

- Fermat Last Theorem

- Wikipedia

- La gaceta de la RSME

- Gaussianos

- Divulgamat2

- Euler’s Solution of the Basel Problem

- 14 proofs of the evaluation of $\zeta(2)$

La materia oscura

La materia oscura es uno de los conceptos que más veces le rondan por la cabeza a los físicos desde mediados del siglo pasado. Veamos qué es este concepto.

Debido a una epidemia de peste, un joven llamado Isaac Newton abandonó temporalmente sus estudios en Cambridge y se retiró a Woolsthorpe, donde entre 1665 y 1667 dedujo las leyes de la mecánica newtoniana, el cálculo diferencial y la Ley de la Gravitación Universal:

$\vec{F}=-G\displaystyle\frac{Mm}{r^3}\vec{r}$

De este modo fue capaz de aunar en una sola ecuación cielo y tierra, ya que la fuerza que hacía caer una manzana de un árbol era la misma que la que mantenía a la Luna en órbita circular.

Ya en tiempos de Galileo se conocía que la aceleración de la gravedad era aproximadamente $g_0=9,8 m/s^2$. Por la segunda ley de Newton, tendríamos que $g_0R_T^2=GM_T$. Como el radio de la Tierra era ya conocido, Newton sabía ya el valor de $G\cdot M$. Igualando la aceleración de la gravedad terrestre sobre la Luna a la fuerza centrípeta, y conocido el radio orbital lunar, Newton predijo con total exactitud el periodo de traslación de la Luna alrededor de nuestro planeta. De este maravilloso modo, especialmente una vez determinado el valor de $G$ por Cavendish en 1798, se podrá determinar la masa de cualquier cuerpo midiendo la velocidad de un cuerpo que orbite en torno a él por la formulita:

$v=\sqrt{\displaystyle\frac{GM}{r}}$

En los años setenta del siglo pasado, se intentó hacer lo mismo con las galaxias, es decir, determinar sus masas a partir de las velocidades de las estrellas que las componen. Como es muy complicado medir la velocidad de las estrellas alrededor de las galaxias, se utiliza el efecto Doppler y el corrimiento al rojo de los espectros emitidos por las estrellas para deteminar sus velocidades.

A esto se dedicaron los científicos Vera Rubin y Kent Ford, midiendo datos de más de sesenta galaxias cuando se dieron cuenta de algo. En efecto, es previsible que cuando más lejos se encuentre una estrella del centro de la galaxia, más despacio debería moverse. Pero lo que realmente ocurría era que todas las estrellas parecían moverse a la misma velocidad. En el gráfico superior, se esperaba que ocurriese algo como (A) pero lo que realmente ocurría era (B). Las soluciones eran simples: o la Ley de Newton no era válida en esos casos...o existía una extraña materia que aumentaba enormemente la masa total de la galaxia: la materia oscura.

Sin meternos en muchos berenjenales, algunos físicos defendían teorías tipo MOND, acrónimo en inglés de Modified Newtonian Dynamics. Defendían incluso que $G$ no era una constante, sino que $G=G(r)$, es decir, que $G$ aumentaba cuando las distancias entre los astros eran grandes, y de ese modo no era necesario postular la existencia de materia oscura. 

En 1915, Einstein presentó su Teoría de la Relatividad General, con lo que pudo comprobar aquellos "huecos" en los que la teoría de Newton no era muy precisa. Un claro ejemplo es la precesión del perihelio de Mercurio. Con ésta, podemos hacer la siguiente corrección a la Ley de la Gravitación Universal:

$F=G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}-\displaystyle\frac{4}{c^2}\cdot \displaystyle\frac{G^2M^2m}{r^3}+...$

Pero aún así no conseguimos solucionar el problema que nos atañe. La solución está en otro fenómeno derivado del genio de Einstein: las lentes gravitacionales.

La masa, según la Teoría de la Relatividad, curva el espacio-tiempo. Esa curvatura es capaz de desviar rayos luminosos. El efecto de una lente gravitacional es la curvatura de los rayos de luz que provienen desde detrás de la lente. El ángulo de desviación es proporcional a la masa de la "lente gravitacional", de modo que disponemos de un método alternativo para conocer las masas de galaxias o cúmulos galácticos. Lo sorprendente es que esta masa resulta ser la misma que la calculada por la Ley de Newton, es decir, tiene que existir esa materia oscura para "rellenar esa masa que nos falta".

Cúmulo "bala" estudiado como choque entre galaxias

En realidad, la mayoría de científicos rechazan las teorías MOND gracias al estudio de choques entre galaxias. En estos choques, las nubes de gas (helio e hidrógeno principalmente) se retrasan respecto de la galaxia, pero esta sigue comportándose como una lente gravitacional, a pesar de que la mayor parte de la masa ordinaria de una galaxia se debe a la nube de gas. Esto es prueba clara de la existencia de materia oscura, de una naturaleza distinta a la de la materia ordinaria.

Gracias a un estudio exhaustivo sobre la radiación de fondo de microondas, es posible deducir la existencia de materia oscura y su proporción respecto a la materia ordinaria. A partir del mapa de la imagen inferior y del análisis de las diferencias en la densidad o temperatura de las ondas recibidas, hemos podido deducir que la densidad de materia en el Universo es un 32% de la densidad crítica, de la cual un 5% es materia ordinaria y un 27% materia oscura. Actualmente se cree que el universo es plano, es decir, que su densidad es igual a la densidad crítica, de modo que el 68% que falta corresponde a "algo" diferente: a energía oscura. Es notable mencionar que los datos teóricos obtenidos del análisis del fondo de micrrondas concuerdan a la perfección con las medidas sobre la cantidad de materia en el universo.

Fondo cósmico de micrrondas. Satélite Planck.

La pregunta ahora es: ¿de qué está hecha la materia oscura? O mejor dicho, ¿de qué no está hecha?

Debe estar formada por alguna partícula que aún no hayamos detectado, y debería interaccionar muy poco o nulamente con el resto de la materia. No puede estar formada por protones, neutrones ni electrones: de lo contrario los cálculos de la nucleosíntesis primitiva no coincidirían con los observados. Tampoco puede estar formada por partículas con carga, y debe ser muy estable, al menos su vida debería ser superior a la edad del universo. Por último, tampoco puede interaccionar mucho consigo misma y ha de ser fría, para que de este modo se agrupe de la manera en que lo hace.

Estudios realizados con supercomputadoras ofrecen mapas de materia oscura muy semejantes a los medidos experimentalmente si aceptamos como hipótesis las características antes citadas sobre la materia oscura.

Un candidato a materia oscura fue el neutrino. Debido a su baja interacción con la materia, resulta un buen partido para ser lo que llamamos "materia oscura", pero no cumple la condición de ser frío, pues tiene unas velocidades muy próximas a la de la luz. Además, deberían tener más masa para constituir el 27% de la materia del universo.

Mapa de materia oscura en el universo

La mayor parte de la comunidad científica considera el modelo estándar de la física de partículas como inacabado: es necesaria una nueva Física que explique muchas de las cosas que el modelo estándar deja a medias, entre ellas las partículas básicas constituyentes de la materia oscura. Hablaríamos entonces de partículas exóticas (WIMPs) como el neutralino (partícula super-simétrica del neutrino), los axiones...Entraríamos ya en teorías más nuevas como la Supersimetría, la Teoría de Supercuerdas y demás.

Actualmente hay decenas de experimentos que se están llevando a cabo en todo el mundo que tratan de descubrir alguna de las partículas candidatas a materia oscura, como por ejemplo el experimento ANAIS en el Pirineo aragonés. Pese a todos los esfuerzos empleados, aún no existen evidencias claras del descubrimiento de esta exótica y misteriosa materia.

Los móviles perpetuos

Un móvil perpetuo es un dispositivo que puede funcionar eternamente a partir de un impulso inicial y que, hipotéticamente, nunca se pararía. Podemos encontrar en Youtube infinidad de ejemplos que parecen funcionar, al menos hasta que se acaba el vídeo. ¿Pero realmente son éstos posibles? Y si realmente fuesen posibles, ¿sería posible extraer de ellos energía para tener una fuente inagotable? Parece ser que no...

 

Ejemplo de móvil perpetuo: rueda sobrebalanceada

Existen varios tipos de móviles perpetuos, entre los que encontramos los de primera y segunda especie:

Móvil perpetuo de primera especie: es aquel que es capaz de producir trabajo (ej. levantar un peso) sin recibir energía exterior.

Móvil perpetuo de segunda especie: son aquellos que o bien pueden convertir todo el calor que reciben en trabajo (ej. un motor de coche con rendimiento 100%) o bien son capaces de transferir calor de un foco frío a otro más caliente sin necesitar energía (ej. un frigorífico ideal).

La imaginación humana y la pretensión de conseguir este tipo de motores han llevado al desarrollo de los Principios de la Termodinámica, en particular del primero y del segundo. ¿Qué dicen estos principios?

El Primer Principio de la Termodinámica, entre otras cosas, nos habla del principio de conservación de la energía. Existe un teorema en Física Teórica, el Teorema de Noether, que nos habla de que para cada invarianza en las leyes de la Física, existe un principio de conservación de una determinada magnitud. Por ejemplo, del hecho de que las leyes de la Física son las mismas aquí que en Andrómeda (invarianza de traslación), se deduce que el momento lineal en ausencia de fuerzas externas se conserva. Otro ejemplo, el que tiene que ver con el asunto que nos incumbe, es la invarianza temporal. Puesto que las leyes de la física no cambian de un día para otro, se deduce que la energía de un sistema aislado se conserva. Es por esto por lo que el móvil perpetuo de primera especie contradice el Primer Principío de la Termodinámica.

Matemáticamente, el primer principio viene a decir que $dU=\delta W+\delta Q$.

El Segundo Principio de la Termodinámica afirma que la entropía de un sistema aislado siempre aumenta en el tiempo. Esto viene a decir que no es posible que un motor funcionando cíclicamente sea capaz de convertir todo el calor que absorbe en trabajo. Tambien impide que, en ausencia de trabajo, se pueda transferir cíclicamente calor de un foco frío a otro caliente. Estos son los enunciados de Kelvin-Planck y Clausius respectivamente, y se puede demostrar que son equivalentes. De ellos se deduce que una magnitud física llamada entropía siempre aumente en el universo. Pues bien, el móvil perpetuo de segunda especie contradice el Segundo Principio, y por tanto es inviable.

Matemáticamente, el Segundo Principio se traduce en que $\displaystyle\frac{dS}{dt}\geq 0$.

Más que leyes de la Termodinámica, son imposibilidades de la Termodinámica. Recordemos a Homer Simpson en esta entrañable escena:

Como vemos, ha sido muy importante esta inquietud técnica de energía infinita para el desarrollo de toda esta rama de la Física. Es necesario decir que estos principios derivan de la experiencia, pues las invarianzas derivan de ella. Actualmente no ha logrado encontrarse un dispositivo que entre en contradicción con ambos Principios.

No puede, por tanto, construirse un coche cuyo rendimiento sea del 100%, es decir, que todo el calor de la combustión de la gasolina se convierta en velocidad y potencia del motor. ¿Eso quiere decir que es posible construir un motor de coche que tenga un rendimiento del 99%? Tampoco. Veamos por qué:

En el siglo XIX, el ingeniero francés Nicolás Carnot postuló que los motores con mayor rendimiento eran los que funcionaban entre ciclos reversibles (motores de Carnot), esto es, que el motor pudiese funcionar a la inversa. De hecho, la existencia de un motor con más rendimiento que un motor de Carnot contradice el Segundo Principio. ¿Y cuál es el rendimiento de un motor ideal de Carnot?

El rendimiento de un motor de Carnot depende de la temperatura de la siguiente forma:

$\eta=1-\displaystyle\frac{T_1}{T_2}$

Como vemos, el máximo rendimiento posible de cualquier motor depende de la temperatura a la que funcione. En el caso de un coche, suponiendo que la temperatura de la explosión es de 1600 ºC y en el exterior hace una temperatura de 17 ºC, el máximo rendimiento alcanzable no supera el 85%. En la realidad, puesto que no existen motores tan perfectos, el rendimiento máximo jamás alcanzado es en torno al 50%. A esto hay que añadir el calor que se disipa, la rodadura con el suelo, etc. Os dejo un vídeo explicativo sobre un motor de Carnot:

El la sección Archivos de este blog hay un libro que trata sobre los móviles perpetuos que quizá te pueda interesar.

Finalmente, aquí os dejo un resumen de la Historia de los móviles perpetuos. 

Un saludo y hasta la próxima!