A principios del siglo XVII el matemático John Napier introdujo los logaritmos en el Cálculo, y fue el primero en mencionar el número $e$. Posteriormente, Huygens se percató de la relación entre este número y el área bajo la curva $xy=1$. Años más tarde, Jacob Bernouilli encontró que el número $e$ es el límite de la sucesión inferior, que es actualmente su definición.
$\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n$
Esta sucesión es muy importante en el cálculo del interés compuesto. Además, el número $e$ se define frecuentemente de las siguientes formas:
$e:=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n-1}\right)^n}$
$e:=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$
$\displaystyle\int_1^e{\frac{dt}{t}}=1$
El número $e$ aparece en infinidad de sitios, como la geometría, los números complejos, la estadística, etc. En la entrada de hoy demostraremos que $e$ es un número trascendente e irracional.
Irracionalidad
Un número irracional es aquel que no puede ser expresado de la forma $a/b$ con $a,b \in \mathbb{Z}$. Supongamos pues que $e$ es racional para después llegar a un absurdo.
Sea $e=\displaystyle\frac{a}{b}$ con $a,b \in \mathbb{Z}$. Se define el siguiente número:
$x=b!\left(e-\displaystyle\sum_{n=0}^b{\frac{1}{n!}}\right)=a(b-1)!-\displaystyle\sum_{n=0}^b{\frac{b!}{n!}}\in Z$ pues $n<b$.
Finalmente probaremos que $0<x<1$:
Haciendo un desarrollo de Taylor de la función $e^x$ se puede llegar a que $e=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{b!}{n!}}$, de modo que considerando nuestra definición de $x$:
$x=\displaystyle\sum_{n=b+1}^{\infty}{\frac{1}{n!}}>0$
Observando que $\displaystyle\frac{b!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)\cdot...\cdot (b+1)}<\frac{1}{(b+1)^{n-b}}$ y definiendo $k=n-b$ se tiene que
$x<\displaystyle\sum_{n=b+1}^{\infty}{\frac{1}{(b+1)^{n-b}}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{(b+1)^{k}}}=\displaystyle\frac{(b+1)^{-1}}{1-(b+1)^{-1}}=\displaystyle\frac{1}{b}\leq 1$
Por tanto queda probado que $0<x<1$, pero como se probó que $x\in\mathbb{Z}$ y no hay enteros en $(0,1)$ se llega a contradicción, luego la hipótesis de que $e$ es racional es falsa, y por tanto $e$ es un número irracional.
Trascendencia
Un número trascendente es aquel que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros, es decir, si $\alpha$ es trascendente, entonces no existen $a_0,a_1,...,a_n\in\mathbb{Z}: p(\alpha)=a_0+a_1\alpha+...+a_n\alpha^n=0$. Por ejemplo, el número áureo $\phi$ es algebraico pues es solución de la ecuación $x^2-x-1=0$.
Supongamos que existe un polinomio $p(x):=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ con coeficientes enteros y $e$ es una de sus raíces. Se definen las funciones $f(x)$ y $F(x)$ del siguiente modo:
Supongamos que existe un polinomio $p(x):=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ con coeficientes enteros y $e$ es una de sus raíces. Se definen las funciones $f(x)$ y $F(x)$ del siguiente modo:
$\phi (x):=\displaystyle\frac{x^{p-1}}{(p-1)!}\prod_{i=1}^m{(x-i)^p}$
$\Phi (x):=\displaystyle\sum_{i=0}^{mp+p-1}{\phi^{i)}(x)}$
Donde $p$ es un número primo. De las definiciones superiores se sigue que $\Phi (x)-\Phi '(x)=\phi(x)$, pues $\phi^{mp+p)}(x)=0$. Entonces es claro que
$\displaystyle\frac{d}{dx}(e^{-x}\Phi (x))=-e^{-x}\Phi (x)+\Phi '(x)e^{-x}=-\phi (x)e^{-x}$
Multiplicando por un coeficiente del polinomio $a_j$e integrando en $(0,j)$ la expresión anterior:
$a_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \ dx=a_j\left[e^{-x}\Phi (x)\right]_j^0=a_j\Phi (0)-a_je^{-j}\Phi (j)$
Y multiplicando por $e^j$ y sumando obtenemos:
$\displaystyle\sum_{j=0}^m e^ja_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \ dx=\displaystyle\sum_{j=0}^me^ja_j\Phi (0)-\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\Phi (j)=-\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$
Ya que $\displaystyle\sum_{j=0}^me^ja_j\Phi (0)=0$ según definimos $p(x):=\displaystyle\sum_{j=0}^m{a_jx^j}$ con $a_j\in\mathbb{Z}$. Nuestro objetivo es mostrar que la igualdad inferior no es cierta para un primo $p$ arbitrario.
$\displaystyle\sum_{j=0}^m e^ja_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \ dx=-\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$
En efecto, considerando el segundo término de la ecuación superior vemos que se trata de un entero no nulo no divisible por $p$, pues los términos no nulos del sumatorio son aquellos que se han derivado al menos $p$ veces ya que existe el factor $(x-j)^p$. En dichos casos, fijándonos en la definición de $\phi (x)$, $\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$ es múltiplo de $p$. Existe un caso en que $\phi^{i)}(j)$ no es múltiplo de $p$, cuando $j=0$ e $i=p-1$. En ese caso es evidente que el valor de la función es $\phi^{p-1)}(0)=(-1)^p\cdot ... \cdot (-m)^p$. Escogiendo un $p$ arbitrariamente grande (mayor que $m$) es claro que dicho producto no tiene a $p$ como factor primo, luego $\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$ es un numero entero no nulo y no divisible por $p$.
Por otra parte, para valores positivos de $t$ tales que $t\leq m$ es claro que $\left|\phi (t)\right|\leq\displaystyle\frac{m^{mp+p-1}}{(p-1)!}$ y $0\leq\left|e^{-x}\phi (t)\right|\leq\left|\phi (t)\right|$ de modo que podemos realizar la siguiente acotación:
Finalmente notamos que $\displaystyle\lim_{p\to\infty}\displaystyle\sum_{j=0}^m{a_je^j\frac{jm^{mp+p-1}}{(p-1)!}}=0$ por la fórmula de Stirling: $n!\sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}$. Por tanto existe algún número primo $p>0$ tal que
Por otra parte, para valores positivos de $t$ tales que $t\leq m$ es claro que $\left|\phi (t)\right|\leq\displaystyle\frac{m^{mp+p-1}}{(p-1)!}$ y $0\leq\left|e^{-x}\phi (t)\right|\leq\left|\phi (t)\right|$ de modo que podemos realizar la siguiente acotación:
$0\leq\displaystyle\sum_{j=0}^ma_je^j\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \ dx\leq\sum_{j=0}^ma_je^j\int_0^j{\frac{m^{mp+p-1}}{(p-1)!}}=\displaystyle\sum_{j=0}^m{a_je^j\frac{jm^{mp+p-1}}{(p-1)!}}$
Finalmente notamos que $\displaystyle\lim_{p\to\infty}\displaystyle\sum_{j=0}^m{a_je^j\frac{jm^{mp+p-1}}{(p-1)!}}=0$ por la fórmula de Stirling: $n!\sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}$. Por tanto existe algún número primo $p>0$ tal que
$\displaystyle\sum_{j=0}^m e^ja_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \ dx\neq -\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$
Y habiendo llegado a una contradicción, es claro y evidente que $e$ es un número trascendente. Por tanto hemos concluido con la demostración de irracionalidad y trascendencia del número $e$.
Quod erat demonstrandum.
Por último mencionar que la demostración sobre la trascendencia es del matemático francés Charles Hermite.
Bibliografía
Puedes leer también la entrada de este mismo blog sobre la igualdad de Euler.
