La braquistócrona

Imaginad que os encargan la construcción de un tobogán con la siguiente condición: el tiempo de bajada tiene que ser el mínimo posible. ¿Cómo podríamos saber qué forma darle? Esta misma pregunta se la hicieron en el siglo XVII Jakob y Johann Bernouilli, y la solución a la que llegaron fue la cicloide.

La curva roja es una cicloide

La cicloide es una curva matemática parametrizada por las ecuaciones:

$$x=a(t-\sin t)$$

$$y=a(1-\cos t)$$

Y se puede obtener como se observa en la siguiente presentación:

Bueno, tratemos de resolver el problema de la braquistócrona: una partícula de masa $m$ localizada en el origen se mueve a un punto arbitrario $A$ bajo la acción de la gravedad involucrando un tiempo mínimo. ¿Cuál es la trayectoria?

Por conservación de la energía podemos decir que la velocidad es en todo momento $v=\sqrt{2gy}$, suponiendo que $\vec{g}$ actúa en el sentido negativo del eje $OY$. Por tanto el tiempo en llegar del origen a $A$ será:

$$t=\frac{1}{\sqrt{2g}}\displaystyle\int_O^A{\sqrt{\frac{1+\dot{x}^2}{y}} dy}$$

Denotando a $\dot{x}:=\frac{dx}{dy}$.

Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange al funcional a integrar, y teniendo en cuenta que no depende explícitamente de $x$, uno observa que

$$\frac{\partial f}{\partial\dot{x}}=\frac{\dot{x}y^{1/2}}{(1+\dot{x}^2)^{1/2}}=cte:=(2a)^{-1/2}$$

Despejando y resolviendo la ecuación diferencial se llega a que:

$$x=\displaystyle\int{\frac{ydy}{(2ay-y^2)^{1/2}}}$$

Cuya solución es:

$$x=a(t-\sin\theta)$$

$$y=a(1-\cos\theta)$$

¡Precisamente una cicloide! Además de braquistócrona, la cicloide es tautócrona, es decir, que independientemente de la posición inicial, cualquier masa tarda el mismo tiempo en llegar al mínimo de la curva:

Esta propiedad es sencilla de demostrar, pues generalizando a una altura inicial $y=y_0$, uno tiene que 

$$t=\frac{1}{\sqrt{2g}}\displaystyle\int_O^A{\sqrt{\frac{1+\dot{x}^2}{y-y_0}} dy}=2\left(\frac{a}{g}\right)\left(\pi/2-\arcsin\left(\frac{\cos\theta_f/2}{\cos\theta_0/2}\right)\right)$$

Y dado que  $\theta_f=\pi$ para todas las partículas, el tiempo será el mismo e igual a 

$$T=\pi\left(\frac{a}{g}\right)^{1/2}$$

Con esto en mente, fue posible la mejora de los relojes de péndulo, montándolos sobre cicloides como se oberva en la imagen, pues de esta forma siempre marcarán el mismo periodo (isócronos). Esto mejoró mucho la navegación a partir del siglo XVIII.

Péndulo con envolvente una cicloide. Es isócrono

Para profundizar:

- Curva braquistócrona

- Cicloide

- Cálculo variacional

- Ecuaciones de Euler - Lagrange

¿Existen los números?

Desde pequeños hemos aprendido que los naturales son el 0, el 1, el 2,... y que hay infinitos. Sabemos que si vamos sumando 1 a cada número obtenemos el siguiente, y que da lo mismo hacer 2+5 que 5+2; en ambos casos obtendremos 7. ¿Pero son estos resultados algo trivial? En absoluto.

¿Cómo podemos estar seguros de que existen los números? ¿Cómo sabemos que 1+1 = 2? Estas preguntas se las hizo el matemático Giuseppe Peano en el siglo XIX, introduciendo los conocidos como Axiomas de Peano. Tratemos de introducirlos partiendo de muy pocos preceptos evidentes e indubitables.

Supongamos que existen entes que llamaremos "conjuntos", y que contiene otros entes llamados "elementos". Digamos que dos conjuntos $A$ y $B$ son iguales si cada uno está incluído en el otro, es decir, $A=B\leftrightarrow A\subset B\wedge B\subset A$. Éste es el axioma de extensión. Nos creeremos que para todo conjunto $A$ y condición $T$ existe $B\subset A$ definido como los elementos de $A$ que verifican $T$. Éste es el axioma de especificación. Ahora soy capaz de demostrar que existe el cero: definiendo $B=\{x\in A:x\neq x\}$ me doy cuenta de que este conjunto no posee elementos. Lo llamaré conjunto vacío o cero, denotándolo como $\Phi$. Bautizaré al cero como 0, al $\{0\}$ lo llamaré uno, al $\{0,1\}$ lo llamaré dos,...

Axioma de la unión: dada una colección de conjuntos $C$, existe uno que contiene a todos los elementos de al menos uno de ellos, I mean, $\exists V:\forall A\in C\wedge\forall x\in A$ se tiene que $x\in V$. El conjunto unión se denotará como

$\bigsqcup_{A\in C} A=\{x\in V:x\in A\}$

Definiremos también el sucesor de $A$ como $A+=A\cup\{A\}$ y el concepto de conjunto sucesor, sobre el que pivota la teoría de Peano. $S$ es un conjunto sucesor si $0\in S$ y si $A\in S\Rightarrow A+\in S$. Tomaremos como axioma la existencia de un conjunto sucesor. A partir de unión y especificación construímos el conjunto intersección:

$\bigcap_{A\in C} A=\{x\in \bigsqcup_{A\in C} A:x\in A\forall A\in C\}$

 Lema: si $A$ y $B$ son conjuntos sucesores, $A\cap B$ también lo es. Es evidente pues si $0\in A\wedge 0\in B\Rightarrow 0\in A\cap B$ y además si $n\in A\wedge n\in B\Rightarrow n+\in A\cap B$ pues $n+\in A\wedge n+\in B$ por hipótesis. Como corolario podemos afirmar que dada una colección de conjuntos $D$ y un conjunto $A$, $\bigcap_{A\in C} A$ es un conjunto de sucesores al que llamaremos conjunto de los número naturales: $\mathbb{N}=\bigcap_{A\in C} A$. Ahora estamos en disposición de enunciar los axiomas de Peano.

Propiedades de $\mathbb{N}$

1. Si $S\subset\mathbb{N}$ es sucesor entonces $S=\mathbb{N}$, pues $0\in S$ y toda vez que $n\in S$ entonces $n+\in S$. Esta es una generalización del principio de inducción. Otra forma de probarlo es mediante el Principio del Máximo: dado un conjunto acotado superiormente, éste tiene un máximo.

2. Cada $n\in\mathbb{N}$ satisface que $n+\neq 0$ pues $n\in n+$ y por tanto no puede ser $n+=\Phi$.

3. Dados $n,m\in\mathbb{N}$ con $n+=m+$ entonces $n=m$. Es una trivialidad, pues si $n=m$ no hay nada que demostrar, y si $n\neq m$ entonces como $n\cup\{n\}=m\cup\{m\}\rightarrow n\in m\rightarrow n\subset m$ y por la misma razón $m\subset n$ luego por el exioma de extensión $n=m$.

Considerando el 1 en vez del 0 se tiene:

Axiomas de Peano

(1) $1\in\mathbb{N}$ o más formal, $N(1)$.

(2) Si $n\in\mathbb{N}\rightarrow n+\in\mathbb{N}$ ó $\forall x(N(x)\rightarrow N(x'))$

(3) $\forall n\in\mathbb{N}, n+\neq 1$ ó $\neg \ \exists \ x(N(x)\wedge x'=1)$

(4)  Si $1\in S\wedge n\in S\rightarrow n+\in S$ entonces $S=\mathbb{N}$. Otra forma más elegante es $(\phi(1)\wedge\forall x(\phi(x)\rightarrow\phi(x')))\rightarrow\forall x\phi(x)$

(5) Dados $n,m\in\mathbb{N}$ con $n+=m+$ entonces $n=m$. Formalmente, $\forall x\forall y((N(x)\wedge N(y)\wedge x'=y')\rightarrow x=y)$

$N(n)$ simboliza que $n\in\mathbb{N}$. x' denota al sucesor de x. $\phi$ es cualquier proposición sobre $\mathbb{N}$.

Hemos visto que tan solo con unos pocos axiomas razonables y reglas lógicas hemos demostrado que existe un conjunto al que llamamos "números naturales" que verifica una serie de propiedades mencionadas y otras que no hemos citado, pues no son relevantes para el tema a tratar. Ahora bien, ¿qué operaciones podemos hacer con los números y qué propiedades cumplen? Para ello tendremos que definir un par de conceptos más y ver el Teorema de Recurrencia:

Sea $a\in X$ y $f:X\rightarrow X$. Existe una única función $u:\mathbb{N}\rightarrow X$ tal que $u(0)=a$ y $u(n+)=f(u(n))$ $\forall n\in\mathbb{N}$.

Demostración:  Sea $C=\{A\subset\mathbb{N}\times X:(0,a)\in A\wedge (n+,f(x))\in A \ \text{siempre que} \ (n,x)\in A\}$. Probaremos en primer lugar que $u:=\bigcap_{A\in C} A\in C$. En efecto, si $(n,x)\in u\Rightarrow (n,x)\in A \ \forall A\in C\Rightarrow (n+,f(x))\in u$, y además como $(0,a)\in A \ \forall A\in C$, entonces $(0,a)\in u$, luego $u\in C$. Si ahora probamos que $u$ es función, acabaría la demostración, es decir, que para cada $n\in\mathbb{N}$ existe un solo $x\in X$ tal que $(n,x)\in u$. Como siempre, invoquemos a un conjunto sucesor. Sea $S=\{n\in\mathbb{N}:\exists \ \text{como mucho un } x\in X:(n,x)\in u\}$. Evidentemente $0\in S$. Supongamos que $n\in S$, entonces $(n,x)\in u$ y por cómo está definida $u$ se llega claramente a que $n+\in S$, luego $S=\mathbb{N}$ y quedaría probado el Teorema. El detalle de "como mucho un $x\in X$" se demuestra por reducción al absurdo suponiendo que hay dos y llegándose a que son el mismo. En efecto sea $V=u/\{(0,b)\}$ y $(n,x)\in V$. Entonces por Peano, $(n+,f(x))\in u$ y como $n+\neq 0\forall n\in\mathbb{N}$ entonces $(n+,f(x))\in V\Rightarrow V\in C\wedge u\subset V$ contra la hipótesis.

Sea ahora $s:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ definida por $s(n)=n+$. El Teorema anterior nos garantiza la existencia de una función $S_m:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tal que $S_m(0)=m$ y $S_m(n+)=s(S_m(n))$. Llamaremos a esta función la suma, denotándola como $S_m(n)=m+n$. Por ejemplo, $1+1=S_1(1)=S_1(0+)=s(S_1(0))=s(1)=1+=2$. Nunca una operación tan sencilla se hizo con tanta elegancia. La función así definida es única, luego podemos estar tranquilos: 1 y 1 siempre sumarán 2.

De esta definición se pueden deducir las propiedades que desde que íbamos a la escuela conocemos: la propiedad asociativa, distributiva y la existencia del 0 como elemento neutro. Pese a ser repetitivos, las demostraremos:

El 0 como elemento neutro

Queremos probar que $0+m=m+0=m$ $\forall m\in\mathbb{N}$. Es evidente que $m+0=S_m(0)=m$, luego bastará probar que $0+m=m$. Sea $S=\{m\in\mathbb{N}:0+m=m\}$. Se ve que $0\in S$ y que si $m\in S\Rightarrow m+\in S$ ya que $0+m+=S_0(m+)=s(S_0(m))=(0+m)+=m+$, luego $\mathbb{N}=S$ y queda probado.

Propiedad conmutativa

Sea $S=\{a\in\mathbb{N}:a+b=b+a \ \text{con} \ b\in\mathbb{N}\}$. $0\in S$ pues es neutro. Si $n\in S$ entonces $b+n+=S_b(n+)=s(S_b(n))=s(b+n)=s(n+b)=(n+b)+=n+ +b\Rightarrow n+\in S$, por lo que también queda probada.

Propiedad asociativa

Definiendo un conjunto $S$ como en los casos anteriores y demostrando que es sucesor se deduce trivialmente. No queremos ni atosigar al lector ni insultar a su inteligencia.


Por el T. de la Recurrencia podemos definir $P_m:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ con $P_m(0)=0$ y $P_m(n+)=S_m(P_m(n))$. Esta función se llamará producto y se denotará como $P_m(n)=m\times n$. Por ejemplo, $1\times 2=P_1(2)=P_1(1+)=S_1(P_1(1))=S_1(1)=2$. Al igual que antes podemos verificar las propiedades asociativa y conmutativa, demostrar que el 1 es el elemento neutro y demás, cosas que dejaremos como ejercicio al lector. Para hacerlo basta encontrar un conjunto sucesor, como hicimos antes.

Podemos definir otras operaciones como la potencia. En este caso, de nuevo, $E_m:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$, $E_m(0)=1$, $E_m(n+)=P_m(E_m(n))$ y se denota por $E_m(n)=m^n$. Al igual que antes, podemos demostrar todas las propiedades que ya sabemos sobre las potencias, pero ahora de una forma más elegante y rigurosa. Por ejemplo:

$E_m(n+k)=E_m(n)\times E_m(k)$

Demostración: sea $S=\{n\in\mathbb{N}:E_m(n+k)=E_m(n)\times E_m(k)\}$. Es evidente que $0\in S$. Supóngase que $n\in S$. Entonces

$E_m(n++k)=E_m((k+n)+)=P_m(E_m(k+n))=P_m(E_m(n)\times E_m(k))=$

$=m\times E_m(n)\times E_m(k)=E_m(n+)\times E_m(k)$

suponiendo demostrada la propiedad asociativa del producto.


Espero que esta entrada, pese a quizá ser demasiado formal, os haya gustado.

Un saludo!

Lámparas fluorescentes

Están en multitud de edificios o naves industriales, en forma de tubo, bombilla enrollada, etc. ¿Pero cómo funcionan? En la entrada de hoy hablaremos del funcionamiento y fundamento físico de las famosas lámparas fluorescentes, sus características y propiedades más relevantes. Para ello nos centraremos solamente en los tubos.

Un tubo fluorescente está formado, básicamente, por tres piezas: el tubo en sí, un cebador y una reactancia inductiva. El tubo es de vidrio, y en su interior se halla el vapor de mercurio combinado con algún gas inerte como el neón o el argón. Recubriendo el cristal hay un material llamado "fósforo", aunque no contenga esta sustancia. Su misión es absorber la luz UV que emite el mercurio al desexcitarse y emitir luz visible. Un tubo fluorescente sin este recubrimiento sería una lámpara de "luz negra".

Fuente: Wikipedia

Conectado al tubo hay un cebador. Se trata de un dispositivo con una ampolla de vidrio que contiene gases (como neón o argón) que al conectarse a la corriente se calientan y expanden. Dicha expansión cierra un circuito que hace que los filamentos del tubo (generalmente wolframio) se calienten al rojo vivo y comiencen a ionizar los gases del interior del tubo. Es en este momento cuando aparece ese color anaranjado en los extremos de los tubos antes de encenderse.

Al cerrarse el circuito del cebador, el gas se enfría, se contrae y se abre bruscamente el circuito. Es ahora cuando entra en juego la reactancia. De acuerdo con la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida (o fem) es igual a la variación del flujo magnético, sin olvidar un signo menos:

$\text{fem}=-\displaystyle\frac{d\Phi_{B}}{dt}$

La reactancia no es más que un solenoide o inductancia por el que circula la corriente. Por la Ley de Ampère, dentro de dicho solenoide aparecerá un campo magnético $\vec{B}$. Al cerrarse bruscamente el circuito, habrá una gran variación de flujo, y por efecto de autoinducción se inducirá una elevada fuerza electromotriz (de miles de voltios) que terminará de ionizar los gases del tubo. Una vez ocurrido esto, se establece una corriente de electrones entre el cátodo y el ánodo del tubo sin necesidad de altos voltajes.

Debido a que en Europa la corriente alterna oscila con una frecuencia de 50 Hz, los fluorescentes "parpadean" 100 veces cada segundo. Para evitar estos efectos estreboscópicos hay varias opciones. Una de ellas es la incorporación de un alternador electrónico que aumente dicha frecuencia a 50.000 Hz, como en las modernas bombillas fluorescentes. Otras opciones pueden ser colocar varios tubos juntos con corrientes desfasadas, minimizándose este efecto.

El consumo de un tubo fluorescente, así como su rendimiento, es bastante bajo. En la imagen inferior podemos observar el espectro emitido por una lámpara fluorescente de vapor de mercurio.

Como vemos, muy poca luz se desperdicia como infrarrojos, de modo que casi la totalidad de la potencia consumida se aprovecha para iluminación.

Asimismo, la potencia de los tubos es generalmente muy baja. Su pico de máximo consumo se alcanza al encender, pues es cuando más voltaje consume para ionizar el gas de mercurio. Es por eso por lo que se recomienda utilizar estas lámparas en lugares donde se necesite una fuente de luz permanente, es decir, que no se apaguen y se enciendan muchas veces. Esto también es porque la vida útil de las lámparas decrece cuantas más veces se enciendan.

Por último explicaremos por qué es necesario un condensador en este tipo de lámparas, para lo cual tendremos que introducir el concepto de potencia efectiva. Como sabemos, la corriente que llega a nuestras casas es alterna, es decir, oscilante. El motivo es simplemente las ventajas a la hora de transportarla. Por tanto, el voltaje que llega a nuestros enchufes (220 V en España) es oscilante. Entonces, ¿por qué un multímetro marca 220 V y no oscila? La respuesta es que lo que marca el multímetro no es el voltaje "instantáneo", sino el "eficaz", una especie de promedio. 

La potencia que consumimos también se mide de esta forma promediada. Al manejar las ecuaciones se llega a que la potencia "activa" depende de un factor de potencia que va desde 0 hasta 1. Ese factor no es más que el coseno del desfase entre la intensidad y el voltaje. Como nos interesa que el factor de potencia esté lo más próximo a 1 posible, necesitamos conseguir una resonancia entre reactancia inductiva y capacitiva. Será más fácil si observamos matemáticamente el desfase $\phi$:

$\phi=\arctan\displaystyle\frac{L\omega-1/C\omega}{R}$

Para hacer que el factor de potencia sea 1, hay que hacer que $\phi$ sea cero, para lo cual hay que colocar un condensador de capacidad $C$ tal que a la frecuencia $\omega$ de la red eléctrica, compense la inductancia $L$ de la reactancia del fluorescente.

Espero que os haya gustado la breve entrada de hoy. Un saludo!

El número $e$

A principios del siglo XVII el matemático John Napier introdujo los logaritmos en el Cálculo, y fue el primero en mencionar el número $e$. Posteriormente, Huygens se percató de la relación entre este número y el área bajo la curva $xy=1$. Años más tarde, Jacob Bernouilli encontró que el número $e$ es el límite de la sucesión inferior, que es actualmente su definición.

$\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n$

Esta sucesión es muy importante en el cálculo del interés compuesto. Además, el número $e$ se define frecuentemente de las siguientes formas:

$e:=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n-1}\right)^n}$

$e:=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$ 

$\displaystyle\int_1^e{\frac{dt}{t}}=1$

El número $e$ aparece en infinidad de sitios, como la geometría, los números complejos, la estadística, etc. En la entrada de hoy demostraremos que $e$ es un número trascendente e irracional.

Irracionalidad

Un número irracional es aquel que no puede ser expresado de la forma $a/b$ con $a,b \in \mathbb{Z}$. Supongamos pues que $e$ es racional para después llegar a un absurdo.

Sea $e=\displaystyle\frac{a}{b}$ con $a,b \in \mathbb{Z}$. Se define el siguiente número:

$x=b!\left(e-\displaystyle\sum_{n=0}^b{\frac{1}{n!}}\right)=a(b-1)!-\displaystyle\sum_{n=0}^b{\frac{b!}{n!}}\in Z$ pues $n<b$.

Finalmente probaremos que $0<x<1$:

Haciendo un desarrollo de Taylor de la función $e^x$ se puede llegar a que $e=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{b!}{n!}}$, de modo que considerando nuestra definición de $x$:

$x=\displaystyle\sum_{n=b+1}^{\infty}{\frac{1}{n!}}>0$

Observando que  $\displaystyle\frac{b!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)\cdot...\cdot (b+1)}<\frac{1}{(b+1)^{n-b}}$ y definiendo $k=n-b$ se tiene que 

$x<\displaystyle\sum_{n=b+1}^{\infty}{\frac{1}{(b+1)^{n-b}}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{(b+1)^{k}}}=\displaystyle\frac{(b+1)^{-1}}{1-(b+1)^{-1}}=\displaystyle\frac{1}{b}\leq 1$

Por tanto queda probado que $0<x<1$, pero como se probó que $x\in\mathbb{Z}$ y no hay enteros en $(0,1)$ se llega a contradicción, luego la hipótesis de que $e$ es racional es falsa, y por tanto $e$ es un número irracional.

Trascendencia

Un número trascendente es aquel que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros, es decir, si $\alpha$ es trascendente, entonces no existen $a_0,a_1,...,a_n\in\mathbb{Z}: p(\alpha)=a_0+a_1\alpha+...+a_n\alpha^n=0$. Por ejemplo, el número áureo $\phi$ es algebraico pues es solución de la ecuación $x^2-x-1=0$.

Supongamos que existe un polinomio $p(x):=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ con coeficientes enteros y $e$ es una de sus raíces. Se definen las funciones $f(x)$ y $F(x)$ del siguiente modo:

$\phi (x):=\displaystyle\frac{x^{p-1}}{(p-1)!}\prod_{i=1}^m{(x-i)^p}$

$\Phi (x):=\displaystyle\sum_{i=0}^{mp+p-1}{\phi^{i)}(x)}$

Donde $p$ es un número primo. De las definiciones superiores se sigue que $\Phi (x)-\Phi '(x)=\phi(x)$, pues $\phi^{mp+p)}(x)=0$. Entonces es claro que 

$\displaystyle\frac{d}{dx}(e^{-x}\Phi (x))=-e^{-x}\Phi (x)+\Phi '(x)e^{-x}=-\phi (x)e^{-x}$

Multiplicando por un coeficiente del polinomio $a_j$e integrando en $(0,j)$ la expresión anterior:

$a_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \  dx=a_j\left[e^{-x}\Phi (x)\right]_j^0=a_j\Phi (0)-a_je^{-j}\Phi (j)$

Y multiplicando por $e^j$ y sumando obtenemos:

$\displaystyle\sum_{j=0}^m e^ja_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \  dx=\displaystyle\sum_{j=0}^me^ja_j\Phi (0)-\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\Phi (j)=-\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$

Ya que  $\displaystyle\sum_{j=0}^me^ja_j\Phi (0)=0$ según definimos $p(x):=\displaystyle\sum_{j=0}^m{a_jx^j}$ con $a_j\in\mathbb{Z}$. Nuestro objetivo es mostrar que la igualdad inferior no es cierta para un primo $p$ arbitrario.

$\displaystyle\sum_{j=0}^m e^ja_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \  dx=-\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$

En efecto, considerando el segundo término de la ecuación superior vemos que se trata de un entero no nulo no divisible por $p$, pues los términos no nulos del sumatorio son aquellos que se han derivado al menos $p$ veces ya que existe el factor $(x-j)^p$. En dichos casos, fijándonos en la definición de $\phi (x)$, $\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$ es múltiplo de $p$. Existe un caso en que $\phi^{i)}(j)$ no es múltiplo de $p$, cuando $j=0$ e $i=p-1$. En ese caso es evidente que el valor de la función es $\phi^{p-1)}(0)=(-1)^p\cdot ... \cdot (-m)^p$. Escogiendo un $p$ arbitrariamente grande (mayor que $m$) es claro que dicho producto no tiene a $p$ como factor primo, luego $\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$ es un numero entero no nulo y no divisible por $p$.

Por otra parte,  para valores positivos de $t$ tales que $t\leq m$ es claro que $\left|\phi (t)\right|\leq\displaystyle\frac{m^{mp+p-1}}{(p-1)!}$ y $0\leq\left|e^{-x}\phi (t)\right|\leq\left|\phi (t)\right|$ de modo que podemos realizar la siguiente acotación:

$0\leq\displaystyle\sum_{j=0}^ma_je^j\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \ dx\leq\sum_{j=0}^ma_je^j\int_0^j{\frac{m^{mp+p-1}}{(p-1)!}}=\displaystyle\sum_{j=0}^m{a_je^j\frac{jm^{mp+p-1}}{(p-1)!}}$

Finalmente notamos que $\displaystyle\lim_{p\to\infty}\displaystyle\sum_{j=0}^m{a_je^j\frac{jm^{mp+p-1}}{(p-1)!}}=0$ por la fórmula de Stirling: $n!\sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}$. Por tanto existe algún número primo $p>0$ tal que

$\displaystyle\sum_{j=0}^m e^ja_j\displaystyle\int_0^j{e^{-x}\phi (x)} \  dx\neq -\displaystyle\sum_{j=0}^ma_j\sum_{i=0}^{mp+p-1}\phi^{i)}(j)$

Y habiendo llegado a una contradicción, es claro y evidente que $e$ es un número trascendente. Por tanto hemos concluido con la demostración de irracionalidad y trascendencia del número $e$. 

Quod erat demonstrandum.

Por último mencionar que la demostración sobre la trascendencia es del matemático francés Charles Hermite.

Bibliografía

- https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e

- http://gaussianos.com/como-demostrar-que-el-numero-e-es-trascendente/

- https://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_de_la_irracionalidad_de_e

- http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil

- http://forum.lawebdefisica.com

Puedes leer también la entrada de este mismo blog sobre la igualdad de Euler.

El problema de Basilea

A mediados del siglo XVII, Jakob Bernouilli popularizó un problema matemático: calcular la suma de los inversos de los cuadrados perfectos. En términos de la función $\zeta$ de Riemann, el problema era hallar $\zeta(2)$. Muchos fueron los que lo intentaron resolver, pero el primero de ellos fue el matemático Leonhard Euler en 1735.

$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$

Ciudad de Basilea

En la entrada de hoy se mostrarán algunas de las demostraciones de la solución del problema de Basilea, entre ellas la de Euler.

Demostración 1: Euler

 

Haciendo un desarrollo en serie de Taylor se obtiene:

$\sin x=x-\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\displaystyle\frac{x^5}{5!}-\displaystyle\frac{x^7}{7!}+...$

Y dividiendo entre $x$:

$\displaystyle\frac{\sin x}{x}=1-\displaystyle\frac{x^2}{3!}+\displaystyle\frac{x^4}{5!}-\displaystyle\frac{x^6}{7!}+...$

Ahora llega el punto más delicado de la demostración y el que le reprocharía Bernouilli: poner dicha suma como producto infinito de factores. Notando que las respectivas raíces del seno son los múltiplos enteros de $\pi$, Euler escribió:

$\displaystyle\frac{\sin x}{x}=\left(1-\displaystyle\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\displaystyle\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\displaystyle\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\displaystyle\frac{x}{2\pi}\right)...=\left(1-\displaystyle\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\displaystyle\frac{x^2}{4\pi^2}\right)...$

Ya que si $x=n\pi \Longrightarrow \displaystyle\frac{x}{n\pi}=1$ con $n=\pm 1, \pm 2,...$

Haciendo el producto de los infinitos términos, uno se da cuenta de que el coeficiente de $x^2$ es precisamente:

$-\displaystyle\frac{1}{\pi^2}\zeta(2)$

Teniendo en cuenta que el polinomio de Taylor es único (Teorema de Taylor), es claro y evidente que el coeficiente en el desarrollo en serie tiene que ser equivalente al coeficiente obtenido en la ecuación superior. Por tanto igualándolos obtenemos finalmente el valor de la serie infinita:

$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$

Demostración 2

 

Esta segunda demostración se basa en el Criterio del Sándwich: trataremos de acotar $\zeta(2)$ entre dos valores que tiendan ambos al valor que buscamos. Para ello consideramos que por la fórmula de Moivre en el álgebra compleja:

$\displaystyle\frac{\cos (nx)+i\sin (nx)}{(\sin x)^n}=(\cot x+i)^n=\displaystyle\sum_{j=0}^n{{n\choose j} i^j\cot^{n-j}{x}}$

Sabiendo el valor de las diferentes potencias de la unidad imaginaria $i$ llegamos a:

$\displaystyle\frac{i\sin (nx)}{(\sin x)^n}=i\left[{n\choose 1}\cot^{n-1}{x}-{n\choose 3}\cot^{n-3}{x}+...\right]$

Definiendo $n=2m+1$ con $m$ entero positivo y $x=r\pi/(2m+1)$ con $r=1,2,...,m$  vemos que:

$0={2m+1 \choose 1}\cot^{2m}{x}-{2m+1 \choose 3}\cot^{2m-2}{x}+...+(-1)^m$

Al ser la cotangente biyectiva (one to one) en $[0,\pi/2]$, las distintas raíces $x=r\pi/(2m+1)$ son diferentes para cada valor de $r$. Esto nos sirve para definir el polinomio $p(t)$ de la siguiente guisa:

$p(t):={2m+1 \choose 1}t^m-{2m+1 \choose 3}t^{m-1}+...+(-1)^m$

Puesto que $\tan x>x>\sin x$, es evidente pues que

$\csc^2 x>1/x^2>\cot^2 x \Longrightarrow \displaystyle\sum\csc^2 x\geq\zeta(2)\geq\displaystyle\sum\cot^2 x $

La suma $\displaystyle\sum^m\cot^2 x$ equivale a la suma de las raíces de $p(t)$, que por álgebra elemental equivale al cociente entre el coeficiente de $t^{m-1}$ entre el de $t^m$ cambiado de signo. Entonces

$\displaystyle\sum^m\cot^2 x=\displaystyle\frac{{2m+1 \choose 3}}{{2m+1 \choose 1}}=\displaystyle\frac{(2m)(2m-1)}{6}$

Y fijándonos en que $\csc^2 x=1+\cot^2 x$ entonces

$\displaystyle\sum^m\csc^2 x=\displaystyle\frac{{2m+1 \choose 3}}{{2m+1 \choose 1}}+m=\displaystyle\frac{(2m)(2m+2)}{6}$

Y por el principio del sándwich, ya que $x=r\pi/(2m+1)$,

$\displaystyle\lim_{m\to\infty}\displaystyle\frac{(2m)(2m+2)}{6}\geq \displaystyle\sum_{r=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{(2m+1)^2}{\pi^2r^2}}\geq\displaystyle\lim_{m\to\infty}\displaystyle\frac{(2m)(2m-1)}{6}$

Multiplicando todo por $\left(\displaystyle\frac{\pi}{2m+1}\right)^2$

$\displaystyle\lim_{m\to\infty}\displaystyle\frac{(2m)(2m+2)}{6}\left(\displaystyle\frac{\pi}{2m+1}\right)^2\geq\zeta(2)\geq\displaystyle\lim_{m\to\infty}\displaystyle\frac{(2m)(2m-1)}{6}\left(\displaystyle\frac{\pi}{2m+1}\right)^2$

Y como a izquierda y derecha ambos límites son iguales y de valor $\pi^2/6$, se concluye que:

$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$

Demostración 3

 

Fijándonos en que $\zeta(2)$ puede escribirse como suma de los inversos de los cuadrados de números pares más los impares, se llega a que:

$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^2}} + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{(2n)^2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^2}}+\displaystyle\frac{1}{4}\zeta(2)$

De modo que 

$\zeta(2)=\displaystyle\frac{4}{3}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^2}}$

Por otro lado

$\displaystyle\frac{1}{2n+1}=\displaystyle\int_0^1{x^{2n}} dx=\displaystyle\int_0^1{y^{2n}} dy$

Luego evidentemente

$\zeta(2)=\displaystyle\frac{4}{3}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle\int_0^1{x^{2n}} dx\displaystyle\int_0^1{y^{2n}} dy}=\displaystyle\frac{4}{3}\displaystyle\int_0^1\int_0^1{\sum_{n=0}^{\infty}{(xy)^{2n}}}dx dy$

Donde

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{(xy)^{2n}}=\displaystyle\frac{1}{1-x^2y^2}$

Ya que $xy<1$. 

Por tanto el problema se ha reducido a calcular una integral doble que no resolveremos entera aquí, solo una parte:

$\displaystyle\int_0^1\int_0^1{\displaystyle\frac{1}{1-(xy)^2}dx \ dy}=\displaystyle\int_0^1{\displaystyle\frac{\sinh^{-1} x}{x}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{8}$

según Wolfram Alpha, y por tanto es evidente que:

$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{n^2}}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$

Demostración 4

 

En este caso nos basaremos en la relación entre las funciones $\zeta(s)$ y $\Gamma(s)$. Considerando la integral $I(t,x)$ y haciendo el cambio $x\to x/t$ vemos que:

$I(x,t)=\displaystyle\int_0^{\infty}{x^se^{-tx} \ dx}=\displaystyle\int_0^{\infty}{\displaystyle\frac{x^s}{t^s}e^{-x}t^{-1} \ dx}=\displaystyle\frac{\Gamma(s+1)}{t^{s+1}}$

Luego

$\displaystyle\frac{\Gamma(s)}{t^s}= \displaystyle\int_0^{\infty}{x^{s-1}e^{-tx} \ dx}$

Haciendo el cambio $t\to n\in \mathbb{N}$ y sumando hasta infinito en ambos miembros:

$\Gamma(s)\zeta(s)=\displaystyle\int_0^{\infty}{x^{s-1}\displaystyle\sum{\left(e^{-x}\right)^n} \ dx}\Longrightarrow\Gamma(s)\zeta(s)=\displaystyle\int_0^{\infty}{\displaystyle\frac{x^{s-1}}{e^x-1}} \ dx$

En nuestro caso buscamos $s=2$. Sabiendo que $\Gamma(2)=1$, el problema se reduce a calcular la integral:

$\zeta(2)=\displaystyle\frac{1}{\Gamma(2)}\displaystyle\int_0^{\infty}{\displaystyle\frac{x \ dx}{e^x-1}}$

Que se puede calcular y arroja el esperado valor de $\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$.

Si os interesa, en la bibliografía hay otras 14 maneras de calcular $\zeta(2)$.

Para valores impares de $s$, no se sabe demasiado de la función $\zeta(s)$. Esta función es básica en la Teoría de Números y se encuentra muy íntimamente relacionada con los números primos, con la función $\mu$ de Möbius, la función $\phi$ de Euler y otras funciones multiplicativas. 

Para valores pares de $s$, Euler fue capaz de encontrar una fórmula cerrada para $\zeta(s)$. Denotando $s=2k$ con $k\in \mathbb{Z}$ y $B_{2k}$ a los números de Bernouilli, 

$\zeta(2k)=\displaystyle\frac{(-1)^{k-1}(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2(2k)!}$

De donde $\zeta(2)=\pi^2/6$, $\zeta(4)=\pi^4/90$, etc.

Finalmente quiero concluir esta entrada con una célebre cita de Gauss: "La Matemática es la Reina de las Ciencias, y la Teoría de Números es la Reina de la Matemática".

Bibliografía

 

- Fermat Last Theorem

- Wikipedia

- La gaceta de la RSME

- Gaussianos

- Divulgamat2

- Euler’s Solution of the Basel Problem

- 14 proofs of the evaluation of $\zeta(2)$