Solución al reto #3

Sea $AB$ el diámetro de una circunferencia. Sea $O$ el punto medio del arco comprendido entre $A$ y $B$. Elegimos al azar un punto del arco entre $O$ y $B$, que será el punto $C$. Sea $D$ la intersección de la recta $\overline{OC}$ con $\overline{AB}$ y sea finalmente $E$ el punto de corte entre la recta $\overline{AC}$ con la recta perpendicular a $\overline{AB}$ que pasa por $D$. Demostrar que los segmentos $BD$ y $DE$ tienen la misma longitud.

Sea $R$ el radio de la circunferencia y sea $C=(b,\delta)$ donde definimos $\delta^2 =R^2-b^2$. Es claro que $A=(-R,0)$ y $B=(R,0)$. La recta $\overline{OC}\equiv\frac{R-\delta}{b}x-R$ es la que pasa por $O$ y por $C$, y la recta $\overline{AC}\equiv -\frac{\delta}{b+r}(x+R)$ es la que pasa por $A$ y $C$. De este modo podemos obtener las coordenadas de $D=(\frac{bR}{R-\delta})$ y de $E=(\frac{bR}{R-\delta},-\frac{\delta R(b+R-\delta)}{(b+R)(R-\delta)})$.

De esta manera, la distancia $BD=\frac{bR-R^2+\delta R}{R-\delta}$ y $DE=\frac{\delta R(b+R-\delta)}{(b+R)(R-\delta)}$. Al igualar:

$\frac{bR-R^2+\delta R}{R-\delta}=\frac{\delta R(b+R-\delta)}{(b+R)(R-\delta)}$

$\frac{\delta(b+R-\delta}{b+R}=b+R-\delta$ 

$b\delta+R\delta-\delta^2=b^2-Rb+b\delta+Rb-R^2+R\delta$

$R^2=\delta^2+b^2$

Lo cual es cierto puesto que lo definimos así, de modo que $\overline{BD}=\overline{DE}$.

Solución al reto #4

Una barra de longitud $L$ reposa como se observa en la imagen sobre un hoyo de radio $R$. Se pide calcular el ángulo $\theta$ sabiendo que la relación entre $L$ y $R$ es $L=4R$.

Como condiciones de equilibrio (suma de fuerzas y de momentos igual a cero) obtenemos las siguientes expresiones:

$R_1\sin{\theta}=R_2\cos{2\theta}$  $(I)$

$R_1\cos{\theta}+R_2\sin{2\theta}=mg$  $(II)$

$LR_2\sin{\theta}=(4R\cos{\theta}-L)R_1$  $(III)$

Se puede demostrar por relaciones de triángulos que el ángulo que forma la reacción $\vec{R_2}$ con la barra es $\theta$, por tanto aplicando el teorema del seno en el triángulo sombreado obtenemos que la porción de la barra localizada en el hueco es:

$H=2R\cos{\theta}$ $(IV)$

De la ecuación $(I)$ y $(III)$ obtenemos la siguiente igualdad:

$\frac{\cos{2\theta}}{\sin{\theta}}=\frac{\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}}{\sin{\theta}}=\frac{L\sin{\theta}}{4R\cos{\theta}-L}$

Tras un poco de álgebra llegamos a la ecuación:

$4R\cos^2\theta-4R\sin^2\theta-Lcos\theta=0$

Y usando que $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ llegamos a que:

$8R\cos^2\theta-L\cos\theta-4R=0$

Que al resolver es $\cos\theta=-1/2$ al ser $L=4R$. El ángulo resultante es $\theta=60º$ (medido convenientemente).

Reto de Física #4

En el reto de hoy, presentamos un problema de Física muy bonito. El problema es el siguiente:

Una barra de longitud $L$ reposa como se observa en la imagen sobre un hoyo de radio $R$. Se pide calcular el ángulo $\theta$ sabiendo que la relación entre $L$ y $R$ es $L=4R$.

Recuerda que puedes ver el resto de retos con sus soluciones en esta página: Todos los Retos.

Reto matemático #3

En este tercer reto, optamos por plantear un problema de matemáticas. Si averiguas la solución, mándala por correo electrónico a gasape21@gmail.com, y si es ingeniosa y elegante la publicaremos. Para este problema nos hemos basado en la Olimpiada Matemática Española (fase de Salamanca). Ahí va:

Sea $AB$ el diámetro de una circunferencia. Sea $O$ el punto medio del arco comprendido entre $A$ y $B$. Elegimos al azar un punto del arco entre $O$ y $B$, que será el punto $C$. Sea $D$ la intersección de la recta $\overline{OC}$ con $\overline{AB}$ y sea finalmente $E$ el punto de corte entre la recta $\overline{AC}$ con la recta perpendicular a $\overline{AB}$ que pasa por $D$. Demostrar que los segmentos $BD$ y $DE$ tienen la misma longitud.

Recuerda que puedes ver el resto de retos con sus soluciones en esta página: Todos los Retos.

Solución al Reto #2

Si no has leído en qué consiste el Reto #2 te animo a leerlo clicando aquí: Reto #2. Si ya lo has leído e intentado, o simplemente si tienes curiosidad, he aquí la solución al mismo:

Sea $r$ una recta que corta al eje OY en el punto $B=(0,b)$ con $b>0$ y que pasa por el punto $A=(5,0)$. Sea $C$ el punto del eje OY que se sitúa 2 unidades por encima de $B$ y sea $P$ el punto de corte entre $r$ y una recta que pasa por $C$ y forma un ángulo de $-\pi/4$ con la $x=0$. 

Hacemos girar a $r$ alrededor del punto $A$ de modo que el ángulo que se halla en el vértice $A$ pasa de $0$ a $\pi/2$. Calcula la ecuación del lugar geométrico de $P$. ¿Qué tipo de curva se obtiene?


Primero hallaremos la ecuación de $r$, que es trivial y de la forma $r\equiv y=-\frac{b}{5}x+b$. Después hallamos la ecuación de $s\equiv -x+b+2$.

Resolvemos el sistema formado por $r$ y $s$ para obtener las coordenadas de el punto $P$ en función de $x$:

$-\frac{b}{5}x+b=-x+b+2\Rightarrow \frac{5-b}{5}x=2\Rightarrow b=-\frac{10}{x}+5$.

Por lo tanto la ecuación de la curva obtenida es $y=-x-\frac{10}{x}+5$, que se corresponde con una hipérbole. Su representación gráfica vendría a ser:

Y la parte que nos concierne es la situada en el primer cuadrante.

Reto de Matemáticas #2

En este segundo reto, optamos por plantear un problema de matemáticas. Si averiguas la solución, mándala por correo electrónico a gasape21@gmail.com, y si es ingeniosa y elegante la publicaremos. Ahí va:

Sea $r$ una recta que corta al eje OY en el punto $B=(0,b)$ con $b>0$ y que pasa por el punto $A=(5,0)$. Sea $C$ el punto del eje OY que se sitúa 2 unidades por encima de $B$ y sea $P$ el punto de corte entre $r$ y una recta que pasa por $C$ y forma un ángulo de $-\pi/4$ con la recta $x=0$. 

Hacemos girar a $r$ alrededor del punto $A$ de modo que el ángulo que se halla en el vértice $A$ pasa de $0$ a $\pi/2$. Calcula la ecuación del lugar geométrico de $P$. ¿Qué tipo de curva se obtiene?

 

Recuerda que puedes ver el resto de retos con sus soluciones en esta página: Todos los Retos.

Solución al Reto #1

Si aún no sabéis cuál es el Reto #1, clic aquí: Reto #1. Si ya lo conoces, he aquí su solución:

Una espira cuadrada de lado $b$, masa $m$ y resistencia eléctrica $R$ es empujada con una velocidad inicial $v_0$ hacia una zona en la que existe un campo magnético $\vec{B}$ como se observa en la figura. ¿Cuál ha de ser la velocidad $v_0$, como mínimo, para que el carrito atraviese completamente la zona sombreada?

Nota: Puede serte útil la regla de la cadena. $\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{dv}{dx}\cdot\displaystyle\frac{dx}{dt}=v\cdot\displaystyle\frac{dv}{dx}$

Tenemos que darnos cuenta de que al entrar el carrito en el campo magnético, comenzará a frenarse debido a que la corriente que se induce en la espira propiciará una fuerza de Lorentz en el sentido opuesto al de la velocidad. Esta fuerza desaparecerá una vez el carrito haya penetrado completamente en el campo, pues en ese caso $d\Phi/dt=0$, donde $\Phi$ denota el flujo magnético. La fuerza que se opone al movimiento será $F=bBI$, donde $I$ denota la intensidad que circula por la espira.

Es claro por la Ley de Ohm que $I=V/R=\displaystyle\frac{1}{R}\displaystyle\frac{d\Phi}{dt}$, y por consiguiente $F=\displaystyle\frac{bB}{R}\displaystyle\frac{d\Phi}{dt}$ $(I)$.

Asimismo el flujo en función del tiempo será $\Phi=Bbv(x)t$, y la variación de flujo, por consiguiente, será $\displaystyle\frac{d\Phi}{dt}=Bbv$. Nótese que $v\neq v(t)$. Introduciendo este maravilloso resultado en $(I)$:

$F=\displaystyle\frac{B^2b^2}{R}v$, y por la Segunda Ley de Newton, $m\displaystyle\frac{dv}{dt}=-\displaystyle\frac{B^2b^2}{R}v$ al no existir más fuerzas implicadas. Adviértase el signo negativo, puesto que el carrito se frena.

Por la regla de la cadena se tiene finalmente que:

$m\displaystyle\frac{dv}{dt}=mv\displaystyle\frac{dv}{dx}=-\displaystyle\frac{B^2b^2}{R}v\Rightarrow\displaystyle\int_{v_0}^{0}{dv}=-\displaystyle\frac{B^2b^2}{mR}\displaystyle\int_{0}^{b}{dx}\Rightarrow v_0=\displaystyle\frac{B^2b^3}{mR}$

Reto de Física #1

Comienzo una serie de entradas en las que expondré un problema de Física o de Matemáticas para su resolución. La respuesta más elegante o más ingeniosa será publicada junto al nombre de la persona que la resuelva. Para ello, manden un correo electrónico con la respuesta a gasape21@gmail.com. Suerte!

El primer problema que quiero plantear es el siguiente:

Una espira cuadrada de lado $b$, masa $m$ y resistencia eléctrica $R$ es empujada con una velocidad inicial $v_0$ hacia una zona en la que existe un campo magnético $\vec{B}$ como se observa en la figura. ¿Cuál ha de ser la velocidad $v_0$, como mínimo, para que el carrito atraviese completamente la zona sombreada? Se desprecia todo tipo de rozamiento.

Nota: Puede serte útil la regla de la cadena. $\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{dv}{dx}\cdot\displaystyle\frac{dx}{dt}=v\cdot\displaystyle\frac{dv}{dx}$

Recuerda que puedes ver el resto de retos con sus soluciones en esta página: Todos los Retos.

Clic aquí para ver la solución.