Demostración de que $1=0$

Hoy vamos a dar una prueba de que $1=0$. Obviamente esto no es cierto, por lo que tu misión, querido lector, es ver dónde te la estoy jugando. Allá vamos:

Sea $I:=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{i\tau+1}d\tau}$. Multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, obtenemos:

$I=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{i\tau+1}d\tau}=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{-i\tau+1}{1+\tau^2}d\tau}=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{1+\tau^2}d\tau}$

Pues la función $\phi=\displaystyle\frac{x}{1+x^2}$ es impar y el recinto de integración es par, luego la integral se anula. Finalmente, 

$I=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{1+\tau^2}d\tau}=\arctan(1)-\arctan(-1)=\frac{\pi}{2}$.

Por otro lado:

$I=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{i\tau+1}d\tau}=\displaystyle\int_{-1}^1{\frac{1}{i}\frac{d}{d\tau}\log (i\tau+1)d\tau}=$

$=\displaystyle\frac{1}{i}[\log (1+i)-\log(1-i)]=\frac{1}{i}(\frac{i\pi}{4}-\frac{i7\pi}{4})=-\frac{3\pi}{2}$

Donde se ha tomado como argumento principal aquel en el intervalo $[0,2\pi)$. Como $I=I$, entonces tenemos que $\displaystyle\frac{\pi}{2}=-\frac{3\pi}{2}$. Dividiendo ambos miembros entre la cantidad $2\pi\neq 0$, obtenemos finalmente que:

$\displaystyle\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}\Longrightarrow 1=0$

¿Dónde está el error? 

Advertencia: Los comentarios de esta entrada contienen algún que otro spoiler ;)